Ausgleichsrechnung - Lineare Regression

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1 ugleichrechnung - Lineare Regreion Die biher berachee Fehlerrechnung i gu verwendbar wenn ich die beracheen Größen dire een laen. Of ind phialiche Größen für eine diree Meung aber nur chwer zugänglich; ie laen ich aber uner Verwendung leich zu beiender Größen erieln. Sellen wir un al eipiel vor die Gechwindigei eine uo auf eine Kinderaruell i zu erieln. Da uo elb verfüg über ein Tachoeer - e bleib Ihnen eigenlich nur die Möglichei die Zei eine Ulauf zu oppen und au der Geoerie de Karuell den zurücgelegen Weg zu beien. Darau lä ich die Gechwindigei leich berechnen. Wie aber önne eine Fehlerrechnung auehen? Wie lä ich eine Mehrfacheung anellen? Sinnvoll wäre icher die Zei bei jede Ulauf zu een. Da ich da Karuell i weigehend gleicher Gechwindigei außer vielleich in der. Runde) beweg lä ich ein linearer Zuaenhang zwichen zurücgelege Weg und der benöigen Zei für die zurücgelegen Runden veruen. Maheaich lä ich ein olch linearer Zuaenhang audrücen: x bzw. x 0 Der phialiche Sinn lä ich in den Konanen und finden die e über indeen ) Meungen von x und zu beien gil. Wir wien inzwichen da die Größen x und fehlerbehafe ein werden und dai zu einer Verfälchung der errechneen und führen. Wir uchen eine Möglichei durch eine Vielfacheung den Einflu der zufälligen Fehler auf die errechneen und zu verindern und abzuchäzen. Dabei bechränen wir un auf den peziellen Fall da die Größe x fehlerfrei fehlerar) geeen werden ann. Für verchiedene x - Were ergeben ich dann enprechende -Were die i eine Zuaenhang x bechrieben werden önnen. Eine ere wichige Frage i alo: Welche Größe lä ich genauer erieln? I Falle de Kinderaruell bleib uner Mepun unveränder - alo ehr genau. Ein Fehler wird icher bei der Zeieung aufreen. In uneren linearen Zuaenhang würden wir dai den Weg al x und die Zei al auweien. I Experien werden alo zurücgeleger Weg und Zei für 0 Runden geeen: Weg ) Zei ) Weg ) Zei ) Die Zei wird al Funion de vorgegebenen Weg geeen und ei dabei i eine zufälligen Fehler unbeanner Größe behafe. Dr. Hepel Maheaiche Grundlagen ugleichrechnung lineare Regreion Seie

2 Der unerelle linearen Zuaenhang 0 wird nich exa erfüllen d.h. für die einzelnen Zahlenpaare ) wird e 0 gelen. Sell an ich dieen Sachverhal graphich dar liegen die geeenen Pune ) e u eine Differenz neben der Gerade. Eine fehlerfreie erechnung der unbeannen Paraeer und au den Werepaaren ) wird daher nich gelingen. Möglich i e au den Werepaaren eine Schäzung für und zu gewinnen die bei einer wachenden nzahl von eingehenden Werepaaren ) den wahren Zahlenweren von und beliebig nahe o. erechne werden alo al äherung für den wahren Paraeer und al äherung für den wahren Paraeer. und nenn an Regreionoeffizienen. Welche phialiche edeuung haben die Koeffizienen und eigenlich i eipiel? i der chenabchni der Zeiache. Er gib un die Zeiverzögerung bei nfahren an. i der nieg der Regreiongeraden an ; da Reziproe der Gechwindigei. Die aheaiche edingung die der Regreiongeraden zu Grunde lieg laue 0 0 ) ) in und üen o gewähl werden da die Sue aller bweichungen poiiv und negaiv - daher Quadra) inial wird. Die einzelnen Tere ) enprechen dabei der Differenz zwichen de Mewer und de exaen Wer der Regreiongeraden bei. Dr. Hepel Maheaiche Grundlagen ugleichrechnung lineare Regreion Seie

3 Dr. Hepel Maheaiche Grundlagen ugleichrechnung lineare Regreion Seie 3 Wir berechnen die Regreionoeffizienen und : I Miniu der Sue der quadrieren verchwinden die eren pariellen bleiungen nach und. 0 und 0 Wie führen Mielwere ein: und erhalen dai: 0 0 owie 0 0 uflöen der Gleichungen nach und liefer die erechnungvorchrifen und x In unere eipiel bedeue da:

4 Dr. Hepel Maheaiche Grundlagen ugleichrechnung lineare Regreion Seie 4 Phialiche edeuung ha hier beonder wie oben berei erwähn) der Kehrwer von der i der eziehung v den Schäzwer für die wahre Gechwindigei v liefer. dai wird h v ) Da wir hier Fehlerrechnung bereiben fragen wir naürlich nach de Fehler von v! Dieen Fehler von v gewinnen wir au de Fehler de Regreionoeffizienen. lo auf! erechnen wir den Fehler von.. Wir berechnen die Sue der Fehlerquadrae der Mewere : ) ). Darau gewinnen wir die ilere Sreuung der Mewere u die Regreiongerade: Man beache hier da ) i enner! ) ergib ich au der Taache da ein Fehler i nieg bzw. i chenabchni innvoll er ab 3 Mewerepaaren bei werden ann. welchen niegfehler önne an z.. beien wenn die Gerade durch genau Pune verläuf? 3. Da und nur ielbar au den Meweren 0... ) errechne werden werden ihre Fehler iel Fehlerforpflanzung eriel. E ergib ich: oder I eipiel:

5 E bleib pannend! Un inereiere eigenlich der aboluen Fehler de Schäzwere v! Da die Gechwindigei hier da Reziproe de nieg üen wir wieder einal die Fehlerforpflanzung beühen. Wie wir ich ein Fehler auf den Kehrwer einer Größe au? - v v Δv Δ E ergib ich oi eine Gechwindigei de Karuell von v ) I diee ngabe innvoll? EI!! Wenn ich der Fehler berei in der eren Selle nach de Koa beerbar ach - wa oll dann eine ngabe weierer Sellen für einen Sinn haben? innvolle Ergebniangabe: Fehler werden ier aufgerunde!) v 6 0) uageräfiger al der Wer de aboluen Fehler Δ v 0 i häufig die ngabe de Δ v relaiven Fehler. v Dieer errechne ich z.. inde an die eziehung Δv durch erneue Einezen de Zuaenhange v ufor: Δv v v Δv Δ Diviion durch v ergib dann v die relaiven Fehler von v und ind gleich. I eipiel ergib ich hier Δ v % v Der Korrelaionoeffizien r Gelegenlich beonder bei chwierigen Meungen) ell ich die Frage ob ein verueer linearer Zuaenhang zwichen zwei Größen aächlich exiier; ob die beiden Größen alo ieinander orrelier ind. ich ier ieh an e de Diagra der Mewere an wie gu die eingeragenen Mewere auf einer Geraden liegen - oder auch nich. Dr. Hepel Maheaiche Grundlagen ugleichrechnung lineare Regreion Seie 5

6 Dr. Hepel Maheaiche Grundlagen ugleichrechnung lineare Regreion Seie 6 Quanifizieren lä ich gu hier i de Korrelaionoeffizienen r. Er i gegeben durch: r Der Korrelaionoeffizien r ann dabei Were zwichen r und r annehen; eine phialiche Größe lä ich au ih nich dire gewinnen. Je näher der erag von r dabei der o deo ärer enhalen die Werepaare eine lineare eziehung. Für einen erag von exa liegen alle Werepaare exa auf einer Geraden die für r fallend und für r eigend verläuf. Für 0 r i eine bhängigei anzunehen. I eipiel ergib ich: r 0 Der Korrelaionoeffizien r 0 zeig i de poiiven Vorzeichen eine diree Proporionaliä zwichen und. Die geringfügige bweichung zu + zeig die geringfügige bweichung der realen Mewerpaare vo erwareen linearen Zuaenhang.