Dieses Vielfach hängt ab von der Form der Nutzenfunktion. Man bezeichnet dies auch als Arrow-Pratt Koeffizient.

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1 Die Riskoprämie ergibt sich also als ein Vielfaches der Varianz der zugrundeliegenden Unsicherheit Dieses Vielfach hängt ab von der Form der Nutzenfunktion. Man bezeichnet dies auch als Arrow-Pratt Koeffizient. Der Arrow-Pratt Koeffizient ist ein nützliches Mass für die absolute Risikoaversion des Haushaltes. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

2 Bisher haben wir uns nur angeschaut wie Individuen Risiko bewerten. Wir haben dabei ein Maß für die Risikoeinstellung ermittelt. Ein zweiter wichtiger Punkt bleibt dabei offen: Wie messen wir überhaupt Riskiko? Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

3 Ein Maß für Risiko soll uns also zeigen wie risikoreich eine bestimmte Situation/Lotterie für ein Individuum ist. Die Idee ist dabei, dass ein risikoaverses Individuum eine Situation mit weniger Risiko einer Situation mit mehr Risiko vorzieht. Das Risikomaß soll also eine entsprechende Reihung der Lotterien generieren. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

4 Das erste mögliche und intuitive Risikomaß ist natürlich die Varianz einer Lotterie. Eine Situation in der das Einkommen einer größeren Variation unterliegt hat auch eine höheres Risiko. Der Vorteil der Varianz ist, dass diese leicht zu ermitteln und intuitiv ist. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

5 Der große Nachteil ist aber, dass die zu kurz greift, weil der erwartete Nutzen (bzw. payoff) nicht nur eine Funktion der Varianz ist. Eine Lotterie mit einer höheren Varianz muss nicht unbedingt mit einem höheren Risiko verbunden sein. Auch die weitere Momente der Verteilung spielen eine wichtige Rolle. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

6 Stellen wir uns vor, dass der Haushalt sich einer (stochastischen) Auszahlung in Höhe von y s = ȳ + z s (siehe oben) gegenübersieht. Der Nutzen kann dann geschrieben werden als u(y s ) = u(ȳ + z s ) bzw. als Taylor Reihe u(y s ) = u(ȳ) + u (ȳ)z s + 1 2! u (ȳ)zs ! u (ȳ)zs 3... Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

7 Damit ergibt sich der Erwartungswert des Nutzens als E(u(y s )) = E(u(ȳ)) + 1 2! u (ȳ)e(z 2 s ) + n=3 1 n! un (ȳ)e(z n s ) Da der Erwartungswert von z s Null ist, ist die Varianz E(z 2 s ) bzw. die höheren Momente E(z n s ) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

8 Es kann also Situationen geben in denen eine Lotterie eine höhere Varianz als eine andere hat, der erwartete Nutzen aber dennoch größer ist. Dann ist die Varianz natürlich kein vernünftiges Maß für Risiko. Dies ist nur der Fall bei speziellen Nutzenfunktionen und/oder Einkommensverteilungen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

9 Um diesem Problem zu begegnen wurden weitere Maße für Risiko vorgeschlagen. 1. stochastische Dominanz 2. mean-preserving spread Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

10 Nehmen wir an, das Einkommen Y sei eine Zufallsvariable. Nehmen wir weiterhin an, dass wir diese so normieren können dass y [0, 1]. Betrachten wir nun eine Verteilungsfunktion F i (y) (mit zugehöriger Dichte f i (y)), wobei i irgendeine Verteilung angibt. Von stochastischer Dominanz erster Ordnung spricht man immer dann, wenn F 1 (y) F 2 (y) y und F 1 (y) > F 2 (y) für min. ein y. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

11 In diesem Fall hat Verteilung 2 stochastische Dominanz über Verteilung 1. Salopp kann man sagen, dass die Wahrscheinlichkeit für ein Einkommen von y oder kleiner, bei Verteilung 1 größer ist als bei Verteilung 2. damit gilt aber auch folgender Satz. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

12 Satz Wenn Verteilung 2 die Verteilung 1 stochastisch dominiert, dann ist der erwartete Nutzen unter Verteilung 2 größer als unter Verteilung 1. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

13 Beweis Der erwartete Nutzen (abhängig von der Verteilung i) ist E i (u(y)) = 1 0 f i (y)u(y)dy. Partielles integrieren (uv = u v + v u, hier v = f ) gibt E i (u(y)) = (u(1)f i (1) u(0)f i (0)) 1 0 F i (y)u (y)dy Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

14 Damit kann man aber zeigen, dass für E 2 (u(y)) E 1 (u(y)) folgendes gilt E 2 (u(y)) E 1 (u(y)) = 1 0 (F 1 (y) F 2 (y))u (y) > 0 Die Definition der stochastischen Dominanz beweist den Satz. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

15 Das Konzept der stochastischen Dominanz legt strenge Restriktionen auf die zu vergleichenden Verteilungen. Faktisch sind nur Verteilungen vergleichbar, deren Verteilungsfunktionen sich nicht schneiden. Diese harte Restriktion ist aber in vielen Fällen nicht praktikabel. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

16 Ein zweites Konzept zur Messung des Risikos zielt deshalb weniger auf die absoluten Werte der Verteilungsfunktion sondern vielmehr auf die Fläche unter der Funktion ab. Definiere die Fläche unter der Verteilungsfunktion als T (ȳ) = ȳ 0 F (y)dy. Für den Erwartungswert gilt E(y) = 1 0 yf (y)dy = [yf (y)] F (y)dy E(y) = 1 T (1) Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

17 Mit Hilfe dieser Größen kann man nun zwei Verteilungen 1 und 2 bzgl. des Risikos miteinander vergleichen. Eine Verteilung 2 hat stochastische Dominanz zweiter Ordnung über Verteilung 1, wenn T 1 (y) T 2 (y) gilt, wobei für manche y dies als Ungleichheit halten muss. Eine Verteilung hat also stochastische Dominanz zweiter Ordnung, wenn die Fläche unter der Verteilungsfunktion immer kleiner oder gleich der einer anderen Verteilung ist. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

18 Satz Hat Verteilung 2 stochastische Dominanz zweiter Ordnung über Verteilung 1, dann ist der erwartete Nutzen unter Verteilung 2 größer als unter Verteilung 1. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

19 Beweis Wir haben gezeigt, dass folgendes gilt: E 2 (u(y)) E 1 (u(y)) = 1 0 (F 1 (y) F 2 (y))u (y) Löst man nun die rechte Seite der Gleichung (partielles Integrieren!) so erhält man Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

20 (T 1 (1) T 2 (1))u (1) (T 1 (0) T 2 (0))u (0) 1 0 (T 1 (y) T 2 (y))u (y) > 0. Dieser Ausdruck ist aber eben wegen der Annahme der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung positiv. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

21 Der wichtige Punkt bei dem Konzept der stochastischen Dominanz zweiter Ordnung ist, dass es sehr eng mit dem Konzept des mean-preserving spread verbunden ist. Eine Verteilung 1 ist ein mean-preserving spread der Verteilung 2, wenn diese einen identischen Erwartungswert habe, aber Verteilung 1 mehr Wahrscheinlichkeitsmasse an den Rändern hat ( fettere Enden ). Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

22 Formal bedeutet dies, dass innerhalb eines beliebigen Intervalls f 2 (y) > f 1 (y) bzw. f 2 (y) < f 1 (y) außerhalb dieses Intervalls. Beginnen wir also am linken Rand die Werte für die Dichte zu addieren (und damit die Verteilungsfunktion zu ermitteln), so ist F 1 (y) > F 2 (y) und zwar bis zu einem Schwellenwert ȳ und danach F 1 (y) < F 2 (y). Dies ist die single crossing property des mean preserving spread. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

23 Wegen dieser Eigenschaft muss aber für die Fläche unter der Verteilungsfunktion gelten, dass T 1 (y) T 2 (y) 0 bzw. > für einige y. Weiterhin gilt natürlich per Definition T 1 (1) = T 2 (1). Damit impliziert der mean preserving spread aber die stochastische Dominanz zweiter Ordnung. Risikoaverse Individuen verlieren also durch einen mean-preserving spread Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

24 Wir haben uns bisher angeschaut, wie die Haushalte gemäß ihrer Risikoeinstellung klassifiziert werden können und wie das Risiko verschiedener Lotterien (Verteilungen) verglichen werden kann. In einem nächsten Schritt wollen wir uns anschauen, wie ein Haushalt mit Risiko umgeht, wenn es Versicherungen gibt. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

25 Problem: Das Einkommen des Haushaltes hängt vom Zustand der Welt s ab. Nehmen wir an, dass es 2 dieser Zustände gibt. Das Einkommen ist dann y 1 = y und y 2 = y L. L mögen dabei die Kosten eines Unfalls darstellen. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

26 Dem Haushalt bietet sich nun die Möglichkeit über einen Versicherungskontrakt Ressourcen von einem Zustand in den anderen Zustand zu verschieben. Der Preis um einen Euro zu verschieben sei nun p. Bezahlt der Haushalt also pq, so erhält dieser q falls der Zustand 2 eintritt. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

27 Weiterhin nehmen wir an, dass π i die Wahrscheinlichkeit für den Zustand i ist. Sowohl das Individuum als auch der Versicherer kennen diese Wahrscheinlichkeit keine Adverse Selektion. Der Versicherungsnehmer hat weder Einfluss auf die Schadenshöhe noch auf die Schadenswahrscheinlickeit kein Moral Hazard Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

28 Gegeben diese Information, kann das Einkommen des Haushaltes in den beiden Situationen dargestellt werden: y 1 = y pq y 2 = y pq L + q Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

29 Damit konstituieren diese beiden Gleichungen so etwas wie eine Budgetrestriktion. Das verbindende Element zwischen diesen beiden Zuständen der Welt ist die Höhe der Versicherung q. Der Haushalt wählt endogen die Versicherungssumme q, die den erwarteten Nutzen maximiert. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

30 Bevor wir uns dem Maximierungsproblem des Haushaltes widmen wollen wir uns noch die Bedingung für eine faire Versicherungsprämie anschauen. Eine faire Versicherungsprämie liegt immer dann vor, wenn sich das erwartete Einkommen nicht ändert. Erwartetes Einkommen ohne Versicherung π 1 (y) + π 2 (y L) = y π 2 L, wobei natürlich π 1 + π 2 = 1. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

31 Erwartetes Einkommen mit Versicherung π 1 (y pq) + π 2 (y L pq + q) = y pq π 2 L + π 2 q Wenn also die Prämie p der Schadenseintrittswahrscheinlichkeit π 2 entspricht, so handelt es sich um eine faire Versicherung. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

32 Wie sieht nun das optimal Verhalten eines Haushaltes aus? Zielfunktion E(u) = π 1 u(y pq) + π 2 u(y L pq + q) Die Bedingung erster Ordnung für die optimale Wahl des Versicherungsschutzes (alle anderen Größen sind exogen!) ist dann: π 1 u (y pq)( 1)p + π 2 u (y L pq + q)(1 p) = 0 Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

33 Dies Bedingung kann umgeschrieben werden zu: p(π 1 u (y pq) + π 2 u (y L pq + q)) = π 2 u (y L pq + q) Die Grenzkosten der Versicherung (linke Seite), d.h. der Einkommenverlust in Höhe von p muss im Optimum genau so groß sein wie der Grenzertrag. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311

34 Wie hoch wir nun der optimale Versicherungsschutz sein, wenn die Prämie der Versicherung fair ist, d.h. p = π 2? In diesem Fall gilt im Optimum π 1 u (y pq) + (1 π 1 )u (y L pq + q) = u (y L pq + q) Dies impliziert aber, dass u (y pq) = u (y L pq + q). Dies kann nur wahr sein, wenn q = L Der Haushalt wird sich also bei fairer Prämie komplett absichern. Jörg Lingens (WWU Münster) VWL-Theorie im Masterstudiengang VWL February 2, / 311