Extrema von Funktionen mit zwei Variablen

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1 Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Es gilt der Satz: Ist an einer Stelle x,y ) f x x,y ) = und f y x,y ) = und besteht außerdem die Ungleichung f xx x,y )f yy x,y ) f xy x,y ) >, so liegt an dieser Stelle ein Extremum vor, und zwar ein Maximum, wenn f xx x,y ) <, und ein Minimum, wenn f xx x,y ) > ist. y Fig. x Wir wollen uns diesen Satz plausibel machen und betrachten hierzu alle Kurven, die sich als Schnitt der Fläche mit Ebenen ergeben, die senkrecht zur xy-ebene durch die Stelle x,y ) verlaufen. Wenn ein Extremum vorliegt, so gilt dies sicherlich auch für die Schnittkurven in x- und y-richtung, d.h. die partiellen Ableitungen sind an dieser Stelle null. Die Sattelfläche siehe Schiebeflächen) zeigt, dass diese Bedingung noch nicht hinreichend ist. Die Schnittkurven werden durch: gλ) = fx +λa,y +λb), a und b beliebig, erfasst. Es ist g λ) = f xx x +λa,y +λb) a + f xy x +λa,y +λb) ab + f yy x +λa,y +λb) b und für λ = ergibt sich: g ) = f xx x,y ) a + f xy x,y ) ab + f yy x,y ) b. Beim Zusammenfassen werden f xy x,y ) = f yx x,y ) und die verallgemeinerte Kettenregel benutzt. Beide Regeln können ohne großen Aufwand eingesehen werden siehe weiter unten). Umerkennen zu können,welches Vorzeichen g ) hat, formenwirweiter um,zur einfacheren Schreibweise werden die Argumente weggelassen. Falls f xx > oder f xx < ist, liegt zumindest für die Schnittkurve in x-richtung ein Extremum vor. Wir klammern daher f xx aus und ergänzen quadratisch, damit das Vorzeichen erhalten bleibt. [ g ) = f xx a + f xy ab + f yy b = f xx a+ f ) xy b + f ] xxf yy fxy f xx fxx b Nun ist zu erkennen: Der Term in eckigen Klammern ist stets positiv, falls f xx f yy f xy > ist falls b = ist, müsste a sein), so dass f xx das Vorzeichen von g ) festlegt.

2 Das Beispiel fx,y) = y x )y x ) wirft leider einen Schatten auf unsere bisherigen Überlegungen. Sämtliche Schnittkurven der angegebenen Art besitzten an der Stelle, ) ein Minimum, doch dieses gilt nicht für die Funktion fx,y). Nur im Bereich zwischen den Graphen von y = x und y = x in der xy-ebene ist die Funktion f negativ. In jeder Umgebung des Ursprungs existieren daher negative und positive Funktionswerte man setze y = x ein). y x Fig. Wir müssen unsere Überlegungen daher auf beliebige Schnitte und damit auf Wege φ t),φ t)) erweitern, die fürt = durch x,y ) verlaufen undderen Ableitungen nicht beide an der Stelle t = verschwinden, es muss also eine Tangente an dieser Stelle existieren. Eine erneute Rechnung ergibt nun: g ) = f xx a + f xy ab + f yy b, mit a = φ ) und b = φ ). Das erwähnte Kriterium ist also auch hinreichend dafür, dass jede Schnittkurve, deren zugehöriger Weg in der xy-ebene eine glatte d.h. differenzierbare) Kurve ist, ein Extremum an der Stelle x,y ) hat. Nun ist es plausibel, dass dann auch die Funktion fx, y) an dieser Stelle eine Extremum aufweist. x y Fig.

3 y x Fig. Beispiel: fx,y) = xy x y Die notwendigen Bedingungen f x = und f y = führen zu dem Gleichungssystem: mit den Lösungen,) und,) y x = x y = f xx,) = f yy,) =, f xy,) = f xx f yy f xy = 9 < f xx,) = f yy,) = 6, f xy,) = f xx f yy f xy = 7 > Nur an der Stelle, ) ist das hinreichende Kriterium erfüllt, hier liegt ein Maximum vor.

4 Satz von Schwarz: f xy x,y ) = f yx x,y ) unter geeigneten Stetigkeitsvoraussetzungen) z f y f x +f yx dx fy +f xy dx f x y x y dx dx x Die partiellen Ableitungen werden an der Stelle x,y ) betrachtet. Die Funktion f y x,y ), deren Variable x ist, wird gemäß fx +dx) = fx )+f x )dx linear approximiert. Dann ist f y x +dx,y ) = f y x,y )+f xy x,y )dx, Entsprechendes gilt für f x. Der Grafik kann entnommen werden: dz = f x dx+f y +f xy dx)dx = f y dx+f x +f yx dx)dx = f xy = f yx Verallgemeinerte Kettenregel: einfacher Spezialfall) Sei gt) = fx +at, y +bt), dann ist g ) = f x x,y ) a+f y x,y ) b. Betrachten wir die Tangentialebene von fx,y) an der Stelle x,y ), es ist dz = f x x,y )dx+f y x,y )dy siehe Tangentialebene und Gradient). Erhöht sich t für t = um dt, so wächst x,y ) um adt in x-richtung und bdt in y-richtung und gt) daher um dz = f x x,y )adt+f y x,y )bdt. Das ist die Behauptung siehe Lineare Näherung). dz z = f y dy z = f x dx dy dx Der Verallgemeinerung liegt die gleiche Idee zugrunde. gt) = fφ t), φ t)) = g t) = f x φ t), φ t)) φ t)+f yφ t), φ t)) φ t) Erhöht sich t für t = t um dt, so wächst φ t), φ t)) um φ t)dt in x-richtung und φ t)dt in y-richtung.

5 Extrema von Funktionen mit zwei Variablen Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum von fx,y) an der Stelle x y ) x fx,y ) = y fx,y ) = Für eine hinreichende Bedingung ist die Hesse-Matrix aufzustellen: x M = xy xy y partielle Ableitungen an der Stelle x y ), die Reihenfolge der Ableitungen ist für zweimal stetig differenzierbare Funktionen unerheblich. M ist daher symmetrisch. u,u ) M u,u ) M u ) > = lokales Minimum an der Stelle x y ) u R, u, M ist positiv definit ) < = lokales Maximum u R, u, M ist negativ definit u u u u u T M u ist die Verallgemeinerung von x f x )x. Das Vorzeichen von f x ) bestimmt die Art des Extremums. alternativ detm >, detm >, x > = lokales Minimum an der Stelle x y ) x < = lokales Maximum detm < = Sattelpunkt an der Stelle x y ) 5

6 Extrema von Funktionen mit drei Variablen Notwendige Bedingung für ein lokales Extremum von fx,y,z) an der Stelle x y z ) x fx,y,z ) = y fx,y,z ) = z fx,y,z ) = Für eine hinreichende Bedingung ist die Hesse-Matrix an der Stelle x y z ) aufzustellen: x M = f xy xz xy y yz xz yz f z M ist symmetrisch. u u,u,u ) M u > = lokales Minimum an der Stelle x y z ) u u R, u, M ist positiv definit u u,u,u ) M u < = lokales Maximum u u R, u, M ist negativ definit alternativ M x xy xz xy y yz f xz yz z x xy xz M xy y yz f xz yz z x xy xz M xy y yz f xz yz z detm >, detm >, detm > = lokales Minimum an der Stelle x y z ) detm <, detm >, detm < = lokales Maximum Das Kriterium kann für fx,x,...,x n ) verallgemeinert werden. Für ein lokales Maximum ist die Reihe der Vorzeichen der Hauptabschnittsdeterminanten alternierend und beginnt mit. 6

7 Extrema Beispiel y x Wir suchen nach Extremwerten für die Funktion fx,y) = x +y xy. Die notwendige Bedingung lautet: x fx,y) = y fx,y) = x y = y x = Aus der zweiten Gleichung folgt x = y. Dies in die erste Gleichung eingesetzt, y ausgeklammert, ergibt y =, y =. Falls y = ist, folgt mit der ersten Gleichung x =, ) so dass der erste Kandidat für einen Extremwert x = ist. Falls y = ist, folgt mit der ersten Gleichung x / = ±. x = scheidet aus, weil die zweite Gleichung nicht erfüllt ) wird. Der zweite Kandidat für einen Extremwert ist x =. Hinreichende Bedingung Die symmetrische) Hesse-Matrix ) ) fxx x,y) f xy x,y) 6x = f xy x,y) f yy x,y) 6y wird an den Stellen x, x auf positiv/negativ definit überprüft. 7

8 ) 6x 6y x = ) ) u,u ) u u ) = u u u u für u,u R mal positiv, mal negativ x = ) 6 ) u,u ) 6 u u ) = 6u +u u u ) > beachte: u u ) = u u u +u = lokales Minimum an der Stelle x 8

9 Extrema weiteres Beispiel y x Wir suchen nach Extremwerten für die Funktion fx,y) = y x x+y. Die notwendige Bedingung lautet: x fx,y) = y fx,y) = x = y + = x / = ±, y / = ± Hinreichende Bedingung Die symmetrische) Hesse-Matrix ) fxx x,y) f xy x,y) = x f xy x,y) f yy x,y) y wird an den Stellen auf positiv/negativ definit überprüft. x = x = x = x = ) ) 6 ) ) 6 ) ) 6 ) ) 6 Sattelpunkt Maximum Minimum Sattelpunkt 9