11 Optimierung von Funktionen einer Veränderlichen

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1 11 Optimierung von Funktionen einer Veränderlichen In diesem Kapitel werden die bis hier behandelten Grundlagen der Analysis genutzt, um Methoden aus der Optimierungstheorie für eindimensionale Entscheidungsmengen einzuführen. Die zentrale Problemstellung der Optimierung besteht darin, den Wert einer Funktion durch die geeignete Wahl ihres Arguments zu maimieren oder zu minimieren. Kann das Argument aus dem Definitionsbereich der Funktion beliebig gewählt werden, so spricht man von unbeschränkter Optimierung oder auch der Optimierung ohne Nebenbedingungen; falls dagegen das Argument zusätzliche Bedingungen erfüllen muß, so spricht man von beschränkter Optimierung oder auch Optimierung unter Nebenbedingungen. Insbesondere die beschränkte Optimierung steht in sehr enger Beziehung zu zentralen Fragestellungen der Wirtschaftswissenschaften, insbesondere im Zusammenhang der bestmöglichen Verwendung knapper Ressourcen Lokale und globale Etrema Wichtigstes Grundkonzept der Optimierungstheorie sind Etremwerte von Funktionen, also Maima und Minima. Wir unterscheiden zwischen lokalen und globalen Etremwerten. Die Formulierung lokal bezieht sich auf die unmittelbare Nachbarschaft (genügend kleine ε-kugel) um den Etremwert, während global sich auf eine in Frage kommende oder betrachtete Zahlenmenge bezieht. Durch die in der folgenden Definition vorgenommene Präzisierung kann ein lokales als ein relatives (relativ zur Nachbarschaft) Etremum aufgefaßt werden und ein globales als ein absolutes. Definition 11.1 (Lokale und globale Etrema) Sei f : R R. DasElement ˆ A Def(f) heißt lokales Maimum (Minimum) auf A genau dann wenn ε >0: B ε = { ˆ ε} A gilt: f() ( )f (ˆ). ˆ A Def(f) heißt dagegen globales Maimum (Minimum) auf A genau dann wenn A gilt: f() ( )f (ˆ). 106

2 insert picture here Im Bild sind a und c lokale Maima, b lokales Minimum und c globales Maimum, während kein globales Minimum eistiert. Für differenzierbare Funktionen stehen erste und zweite Ableitung in engem Zusammenhang mit der Etremwert Satz 11.1 (Notwendige und hinreichende Bedingungen für lokale Etremwerte) Sei f : R R eine C 2 -Funktion mit Def(f) =R. Danngilt: 1.) Falls ˆ lokales Maimum ist, gilt Df (ˆ) =0 und D 2 f (ˆ) 0. 2.) Falls ˆ lokales Minimum ist, gilt Df (ˆ) =0 und D 2 f (ˆ) 0. 3.) Falls Df (ˆ) =0 und D 2 f (ˆ) < 0 ist, dann ist ˆ lokales Maimum. 4.) Falls Df (ˆ) =0 und D 2 f (ˆ) > 0 ist, dann ist ˆ lokales Minimum. Man beachte die feinen Unterschiede zwischen den notwendigen und hinreichenden Bedingungen in den schwachen und starken Ungleichheitszeichen. Daraus ergibt sich ein einfaches Rezept für den nach einem globalen Maimum suchenden Protagonisten. 1.) Zunächst bestimme man diejenigen Punkte ˆ mit der Eigenschaft, daß deren erste Ableitung gleich null ist, also Df (ˆ) = 0. 2.) Unter diesen bestimme man diejenigen, für die zusätzlich gilt D 2 f (ˆ) < 0. Nach Satz 11.1 ist sichergestellt, daß alle Punkte die beiden Kriterien genügen lokale Maima sind. 3.) Man bestimme deren Funktionswerte und wähle denjenigen (oder falls es mehr als einen gibt, diejenigen) mit dem höchsten Funktionswert aus. 107

3 4.) Achtung jetzt sind wir noch nicht fertig, denn es kann noch passieren, daß die Funktion f am Rand des Definitionsbereiches also für oder nach strebt und daher kein globales Maimum eistiert. Letzter Schritt ist also die Untersuchung des Randverhaltens. Beispiel 11.1: Sei f() = Dann ist Df() = und D 2 f() = Erster Schritt: Erste Ableitung gleich null ergibt 1 = 0, 2 = 1 und 3 = 1. Zweiter Schritt: Zweite Ableitung strikt negativ gilt für 2 und 3 aber nicht für 1. Dritter Schritt: Da f( 2 )=f( 3 )ist,sindsowohl 2 als auch 3 mögliche Kandidaten für globale Maima. Vierter Schritt: Für das Randverhalten gilt lim f() = lim 2 ( 2 +2)+4= und lim f() = lim 2 ( 2 +2)+4=. Eine Analyse der (strengen) Monotoniebereiche Mon ++ (f) ={ Df() > 0} und Mon (f) ={ Df() < 0} ist eine alternative Methode zur Bestimmung der lokalen Etrema, die gleich die Analyse des Randverhaltens mit einschließt Optimierung mit Nebenbedingungen Wir betrachten in den folgenden beiden Abschnitten stets Optimierungsprobleme der Form ma f(), A wobei A =[a, ) odera =(,b]odera =[a, b] mit a, b R. Das heißt, der zulässige Bereich A, über dem maimiert wird, ist ein abgeschlossenes Intervall. In diesem Zusammenhang sei daran erinnert, daß z.b. [a, ) eine abgeschlossene aber nicht kompakte da nicht beschränkte Teilmenge der reellen Zahlen ist. Beispiel 11.2: (i) insert picture (ii) insert picture 108

4 Wir erkennen am zweiten Beispiel, daß im Gegensatz zur Optimierung ohne Nebenbedingungen Df(ˆ) = 0 keine notwendige Bedingung für eine Lösung des Optimierungsproblems ma A f() ist. Offenbar braucht diese Bedingung erster Ordnung genau dann nicht erfüllt zu sein, wenn eine Lösung ˆ am Rand A des Intervalls A liegt, also ˆ = a oder ˆ = b ist. Satz 11.2 Sei f : A R zweimal differenzierbar und konkav auf seinem Definitionsbereich Def(f) =A, alsod 2 f() 0 A. Danngilt:Df(ˆ) =0 ˆ ist globales Maimum auf A. Df(ˆ) = 0 ist also hinreichend dafür, daß ˆ das Optimierungsproblem ma A f() löst, falls f konkav auf A ist. Beispiel 11.3: Sei f() = , A =[ 5, 1], B =[ 1, 3] und C =[3, ]. Dann ist Df() = und D 2 f() =6 12, also D 2 f() 0für A. Aus Satz 11.2 folgt also, daß ˆ = 0 das Maimierungsproblem ma A f() löst. Man beachte, daß Satz 11.2 keine notwendige Bedingung angibt, denn ˆ = 0 löst ma B f(), obwohl f nicht konkav auf B ist. Das Maimierungsproblem ma C f() besitzt keine Lösung, während auf das Minimierungsproblem min f() C wieder Satz 11.2 anwendbar ist durch die Umformung in das entsprechende Maimierungsproblem ma C f(). Da Df(4) = 0 und D 2 f() 0für C löst ˆ = 4 das Minimierungsproblem min C f(). Beispiel 11.2 lehrt uns, daß es in der Optimierungstheorie genügt, Maimierungsprobleme zu studieren, da Minimierungsprobleme durch Umkehrung des Vorzeichens der Zielfunktion stets in analoge Maimierungsprobleme umgewandelt werden können Lagrangefunktion und Kuhn-Tucker Bedingungen Beispiel 11.2zeigt, daßsatz11.2nicht befriedigt, dennselbst für konkave Funktionen ist offenbar die Bedingung erster Ordnung Df(ˆ) = 0 nicht notwendig für die Lösung eines Problems vom Typ ma A f(). Die inzwischen 250 Jahre alte Idee 109

5 des 18-jährigen autodidaktischen Joseph-Louis Lagrange ( ) war es, stattdessen eine andere Funktion einer höheren Dimensionalität zu definieren, deren Ableitung stets 0 ist für die Lösung des betrachteten Optimierungsproblems. 1 insert picture Sei für den Moment A =(,b]. Wir betrachten nun das Optimierungsproblem ma A f(), das wir häufig auch schreiben als ma f() u.d.n. b 0, wobei u.d.n. die Abkürzung für unter der Nebenbedingung ist. Definition 11.2 Die Funktion heißt Lagrangefunktion zum Problem L(, λ) =f()+λ(b ) ma f() u.d.n. b 0. Die Variable λ heißt die zur Nebenbedingung b 0 gehörige Lagrangevariable oder Lagrangemultiplikator. Die Lagrangevariable λ wird so bestimmt, daß für eine Lösung ˆ des Optimierungsproblems stets L(, λ) = 0 gilt. Definition 11.3 (Kuhn-Tucker Bedingungen) Die Bedingungen (1) L(, λ) =0 (2) b 0 (4) λ(b ) =0 heißen Kuhn-Tucker Bedingungen (KT) zum Optimierungsproblem ma f() u.d.n. b 0. Falls ˆ die Kuhn-Tucker Bedingungen erfüllt, werden wir abkürzend sagen, ˆ erfüllt KT. 1 Diese Methode des jungen italienischen Mathematikers wurde von seinem berühmten Zeitgenossen Leonard Euler als so bedeutsam eingestuft, daß Lagrange auf dessen Empfehlung kurz darauf als 19-jähriger zum Professor an der Universität Turin ernannt wurde. Später soll Lagrange einmal geäußert haben Wenn ich reich gewesen wäre, hätte ich mich wahrscheinlich nicht der Mathematik gewidmet. 110

6 2 Fälle: insert picture Die Mathematiker Harold Kuhn und Albert Tucker haben ca. 200 Jahre später die Idee von Lagrange verallgemeinert und notwendige und hinreichende Bedingungen für die Lösung von Optimierungsproblemen mit Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen formuliert. 2 Da rationales ökonomisches Verhalten meistens auf genau diese Art von Problem reduzierbar ist, spielen diese Bedingungen ein zentrale Rolle für Wirtschaftswissenschaftler. Bemerkenswerterweise sind vereinfachte und dadurch falsche Versionen dieser für Wirtschaftswissenschaftler so zentralen Theorie hartnäckig bis heute Bestandteil des üblichen ökonomischen Curriculums und der entsprechenden Literatur. In diesem Abschnitt werden diese Bedingungen für Funktionen einer Veränderlichen studiert. Da dies eine gute Vorbereitung für die allgemeine Formulierung darstellt, behandeln wir hier den eindimensionalen Fall aus didaktischen Gründen getrennt von der allgemeineren mehrdimensionalen Formulierung. 3 Satz 11.3 (Notwendige Bedingungen) Sei eine Lösung des Optimierungsproblems ma f() u.d.n. b 0. Dann eistiert ein λ, so daß (,λ ) die KT erfüllt. (1) L(, λ) =0 (2) b 0 (4) λ(b ) =0 Die Umkehrung benötigt wie im Fall ohne Nebenbedingungen mehr Voraussetzungen. Das folgende Bild zeigt, daß auch ein lokales Minimum die KT erfüllen kann. insert picture 2 Man beachte, daß Nebenbedingungen in Form von Gleichungen stets durch die doppelte Anzahl von Nebenbedingungen in Form von Ungleichungen ersetzbar ist. Z.B. gilt g() = 0 g() 0 g() 0. Da umgekehrt Ungleichungsnebenbedingungen nicht durch Gleichungen repräsentierbar sind, ist die Formulierung auf Basis von Ungleichungen allgemeiner. 3 Es ist häufig nicht schwierig, oder sogar einfacher, im eindimensionalen Fall Lösungen zu bestimmen, ohne auf KT zurückzugreifen. Da der Rand des Optimierungsbereiches A nur aus höchstens zwei Elementen besteht, ist durch Bestimmung der lokalen Maima in A und der Funktionswerte an den Rändern ein direkter Vergleich sehr einfach. 111

7 Satz 11.4 (Hinreichende Bedingungen) Sei f konkav auf A =(,b] und (,λ ) erfülle die KT (1) L(, λ) =0 (2) b 0 (4) λ(b ) =0. Dann löst das Optimierungsproblem ma f() u.d.n. b 0. Statt der 4.) KT Bedingung λ(b ) = 0 kann man auch schreiben L(,λ )= f( ). Analoge Aussagen zu den Sätzen 11.3 und 11.4 gelten offenbar für A = [a, ) odera =[a, b]. Die Lagrangefunktion für A =[a, ) ist L(, λ) =f()+λ( a) und die KT sind (1) L(, λ) =0 (2) a 0 (4) λ( a) =0. Für A =[a, b] ist die Lagrangefunktion L(, λ 1,λ 2 )=f()+λ 1 (b )+λ 2 ( a) und es müssen zwei Ungleichungen erfüllt sein. Die Zahl der KT erhöht sich entsprechend: (1) 1,λ 2 )=0 (2) b 0 und a 0 (3) λ 1 0 und λ 2 0 (4) λ 1 (b ) = 0 und λ 2 ( a) =0. Beispiel 11.4: Betrachte das Optimierungsproblem ma f() u.d.n. b 0 für f() =2 2. (i) Sei zunächst b = 1. Die Lagrangefunktion ist dann L(, λ) =2 2 + λ(1 ) 112

8 und die KT sind (1) L(, λ) = 2 λ =0 (2) b =1 0 (4) λ(b ) =λ(1 ) =0. Da f konkav ist, löst wegen Satz 11.4 eine Lösung der KT auch das Optimierungsproblem. Betrachte dazu zwei Fälle: (i) λ > 0 = 1führt zu einem Widerspruch, denn es muß gelten 2 1 λ = 0. Daher kann nur gelten (ii) λ =0 =0.Lösung des Optimierungsproblems ist also =0. (ii) Sei nun b = 1. Also L(, λ) =2 2 + λ( 1 ), und die KT (1) 2 λ =0 (2) 1 0 (4) λ( 1 ) =0. Hier führt (ii) λ = 0 zum Widerspruch denn dies impliziert = Umgekehrt ist (i) λ > 0 = 1 2 ( 1) = λ = 2. Lösung des Optimierungsproblems ist also = 1. (iii) Betrachte zuletzt b = 0.Also L(, λ) =2 2 λ, und die KT sind (1) 2 λ =0 (2) 0 (4) λ =0. (i) λ>0 =0 λ = 0 Widerspruch, also (ii) λ =0 =0.Lösung des Optimierungsproblems ist also =0. Für das Verständnis allgemeiner mehrdimensionaler Optimierungstheorie ist es hilfreich, sich folgende Zusammenfassung zu globalen Maima von Funktionen einer Variablen einzuprägen. 1.) Ohne Nebenbedingungen löst ma R f() f ist konkav Df( )=0. 113

9 2.) Mit Nebenbedingungen löst ma A f() f ist konkav (,λ )löst KT. Offenbar ist 1.) in 2.) enthalten. Statt Konkavität genügt auch Quasikonkavität als schwächere Annahme für die hinreichenden Bedingungen. 114