Verbesserungsheuristiken

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1 Verbesserungsheuristiken Bestandteile der Lokalen Suche Für schwierige Optimierungsaufgaben haben Verbesserungsheuristiken eine große praktische Bedeutung. Sie starten mit Ausgangslösungen, die von z.b. Konstruktionsheuristiken stammen und verbessern diese iterativ. Meist keine Gütegarantien, aber häufig ausgezeichnete Lösungen für die Praxis bei akzeptablen Laufzeiten. Lösungsrepräsentation und Zielfunktion f(x) Initialisierung der Anfangslösung Nachbarschaftsstruktur, d.h. welche Lösungen sind benachbart? Schrittfunktion, d.h. in welcher Reihenfolge wird die Nachbarschaft durchsucht bzw. welche Nachbarlösung wird gewählt? Abbruchbedingung 1 3 Lokale Suche Algorithmus: Lokale Suche Eingabe: eine Optimierungsaufgabe Ausgabe: heuristische Lösung x Variable(n): Nachbarlösung x zu aktueller Lösung x 1: x = Ausgangslösung; 2: wiederhole 3: Wähle x N(x); // leite eine Nachbarlösung ab 4: falls x besser als x dann { 5: x = x ; 6: } 7: bis Abbruchkriterium erfüllt Nachbarschaftsstruktur Eine Nachbarschaftsstruktur ist eine Funktion N : S 2 S, die jeder gültigen Lösung x S eine Menge von Nachbarn N(x) S zuweist. N(x) wird auch Nachbarschaft (von x) genannt. Die Nachbarschaft ist üblicherweise implizit durch mögliche Veränderungen (Züge, Moves) definiert Darstellung als Nachbarschaftsgraph möglich Größe der Nachbarschaft vs. Suchaufwand 2 4

2 2-Opt Lokale Suche für das Symmetrische TSP Zweieraustausch für das symmetrische TSP (2-Opt) (1) Wähle eine beliebige Anfangstour T = {(i 1,i 2 ),(i 2,i 3 ),...,(i n,i 1 )}; sei i n+1 = i 1 (2) Setze Z = {{(i p,i p+1 ),(i q,i q+1 )} T 1 p,q n p+1 < q (q +1) mod n p} (3) Für alle Kantenpaare {(i p,i p+1 ),(i q,i q+1 )} aus Z: Falls c ipi p+1 +c iqi q+1 > c ipi q +c ip+1,i q+1 : setze T = (T\{(i p,i p+1 ),(i q,i q+1 )}) {(i p,i q ),(i p+1,i q+1 )} gehe zu (2) (4) T ist das Ergebnis. 5 7 Schrittfunktion (Auswahl von x ) r-austausch für das Symmetrische TSP (r-opt) (1) Wähle eine beliebige Anfangstour T = {(i 1,i 2 ),(i 2,i 3 ),...,(i n,i 1 )} Random Neighbor: Generiere immer eine zufällige Nachbarlösung aus N(x). (2) Sei Z die Menge aller r-elementigen Teilmengen von T Next Improvement: Durchsuche N(x) in einer definierten Reihenfolge; nimm erste Lösung, die mindestens so gut wie x ist. Best Improvement: Durschuche N(x) vollständig und nimm eine beste Nachbarlösung. (3) Für alle R Z: Setze S = T \R und konstruiere alle Touren, die S enthalten. Gibt es eine unter diesen, die besser als T ist, wird diese das aktuelle T und gehe zu (2). (4) T ist das Ergebnis. 6 8

3 TSP-Lösung der Nearest-Neighbor Heuristik Optimale TSP-Lösung 9 11 TSP-Lösung nach 2-Opt Lokaler Suche TSP-Lösung der Nearest-Neighbor Heuristik 10 12

4 TSP-Lösung nach 2-Opt Lokaler Suche Problem der lokalen Suche (contd.) Ein lokales Minimum in Bezug auf eine Nachbarschaftsstruktur N ist eine Lösung x für die gilt: f(x) f(x ) x N(x). Es kann aber ein x S geben, für das f(x ) < f(x ). Nachbarschaftsstruktur bestimmt welche Lösungen lokale Minima sind globale Minima sind spezielle lokale Minima Problem der lokalen Suche Bemerkungen zum Symmetrischen TSP Die lokale Suche findet im Allgemeinen nur lokal optimale Lösungen: k-optimale Lösung kann nicht mehr durch Austausch von k Kanten verbessert werden 3-Opt Lokale Suche kommt meist bis auf 3-4% an die optimale Lösung heran 3-Opt aber für N 200 bereits zu aufwendig Verbesserung durch andere Nachbarschaftsstrukturen möglich Lin Kernighan Heuristik (1973) kommt meist bis auf 1-2% an das Optimum heran 14 16

5 Simulated Annealing Metropolis Kriterium (Kirkpatrick et al., 1983) Idee: Erweitere die Lokale Suche, indem manchmal auch Verschlechterungen akzeptiert werden Die Akzeptanzbedingung für schlechtere Lösungen Z < e f(x ) f(x) /T wird Metropolis Kriterium genannt. Z: (Pseudo-)Zufallszahl [0, 1) Entkommen aus lokalen Optima wird ermöglicht. Simulated Annealing ist eine von Vorgängen in der Natur inspirierte Metaheuristik Algorithmus: Simulated Annealing Variable(n): Zeit t; aktuelle Temperatur T; Ausgangstemperatur T init ; Nachbarlösung x 1: t = 0; 2: T = T init ; 3: x = Ausgangslösung; 4: wiederhole 5: Wähle x N(x) zufällig; // leite eine Nachbarlösung ab 6: falls x besser als x dann { 7: x = x ; 8: } sonst { 9: falls Z < e f(x ) f(x) /T dann { 10: x = x ; 11: } 12: } 13: T = g(t,t); 14: t = t+1; 15: bis Abbruchkriterium erfüllt 18 Abkühlungsplan Geometrisches Cooling: T init : z.b. f max f min Sind f max bzw. f min nicht bekannt, so werden Schranken bzw. Schätzungen hierfür verwendet. g(t,t) = T α, α < 1 (z.b. 0,999) Adaptives Cooling: Es wird der Anteil der Verbesserungen an den letzten erzeugten Lösungen gemessen und auf Grund dessen T stärker oder schwächer reduziert. 20

6 Bsp.: Quadratic Assignment Problem (QAP) Geg.: n Abteilungen, n Standorte d i,j 0, i,j = 1,...n: Distanzen zwischen Standorten f i,j 0, i,j = 1,...n: Verkehr zwischen Abteilungen Ges.: Zuordnung der Abteilungen zu Standorten, d.h. eine Permutation p : {1,...,n} {1,...,n}, mit minimaler Gesamtwegstrecke n n f(x) = f i,j d p(i),p(j) i=1j=1 Move: Austausch zweier Abteilungen 21