Da der Nenner immer positiv ist, folgt. g (x) > 0 2x(2 x) > 0 0 < x < 2 g (x) < 0 2x(2 x) < 0 x < 0 oder x > 2
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- Clara Rothbauer
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1 Da der Nenner immer positiv ist, folgt g (x) > 0 x( x) > 0 0 < x < g (x) < 0 x( x) < 0 x < 0 oder x > Also ist g auf (0,) streng monoton wachsend sowie auf (,0) und auf (, ) strengmonotonfallend.außerdemistg (0) = 0 = g ()unddiessinddieeinzigen Nullstellen von g (x). An dieser Stelle ist Vorsicht geboten, denn es gibt Funktionen, die auf einem Intervall streng monoton wachsend sind, obwohl die Ableitung dort nicht überall positiv ist. Beispiel 5.10 Die Funktion f(x) = x 3 ist streng monoton wachsend auf R, aber die Ableitung f (x) = 3x ist nicht überall positiv. Wenn eine Funktion von wachsend in fallend übergeht, so liegt dort ein lokales Maximum vor. 74
2 Lokale/Globale Extremwerte: Sei f : D R eine Funktion. Dann hat f an der Stelle x 0 D ein lokales (relatives) Maximum (bzw. lokales (relatives) Minimum), wenn eine kleineumgebungvonx 0 nochimdefinitionsbereichvonf liegtundf(x 0 )mindestens so groß(bzw. klein) ist wie alle anderen Funktionswerte in dieser Umgebung von x 0. Genauer: wenn es ein ε > 0 gibt, so dass gilt (x 0 ε, x 0 +ε) D und f(x 0 ) f(x) für alle x 0 ε < x < x 0 +ε bzw. f(x 0 ) f(x) für alle x 0 ε < x < x 0 +ε. 75
3 Die Funktion f hat an der Stelle x 0 ein globales Maximum (bzw. globales Minimum), falls f(x 0 ) f(x) (bzw. f(x 0 ) f(x)) für alle x D. Gilt dabei in den Ungleichungen nur für x 0 Gleichheit, so sprechen wir von isolierten lokalen oder globalen Maxima und Minima. DieStellex 0 heißtinalldiesenfällenlokale(bzw.globale)minimalstelle oder Maximalstelle oder einfach Extremalstelle. Der Punkt (x 0,f(x 0 )) auf dem Graphen heißt lokales (bzw. globales) Minimum oder Maximum oder einfach Extremum. Beispiel A: Die Überlegungen zum Monotonieverhalten zeigen, dass x 0 = 0 eine isolierte lokale Minimalstelle und x 1 = eine isolierte lokale Maximalstelle ist. Zugehöriges Minimum und Maximum sind die Punkte (0,g(0)) = (0, 1), (,g()) = (,1). Beispiel Die Funktion f : [0,1] R mit f(x) = x hat in x 0 = 1 ein isoliertes globales Maximum aber kein lokales Maximum, denn es gibt kein ǫ > 0 mit (1 ǫ,1+ǫ) [0,1]. 76
4 . Die konstante Funktion f : R R mit f(x) = 5 hat an der Stelle x 0 = ein lokales Maximum, aber kein isoliertes lokales Maximum. Ebenso hat sie an jeder anderen Stelle ein lokales Maximum, welches kein isoliertes lokales Maximum ist. Die gleichen Aussagen gelten auch, wenn man Maximum durch Minimum ersetzt. 3. Die Funktion f(x) = x 3 x x+ x hat ein lokales Maximum zwischen 1 und 0 sowie ein lokales Minimum zwischen 1 und. Die genauen Werte lassen sich (manchmal) über die Ableitung bestimmen. 77
5 Notwendiges Kriterium für lokale Extrema: Sei f : D R differenzierbar, und sei x 0 D eine lokale Extremalstelle von f. Dann gilt: f (x 0 ) = 0. DieNullstellenvonf heißenkritische Punkteoderauchstationäre Punkte von f. In Beispiel ist f (x) = 3x 4x 1. Die Nullstellen sind gegeben durch ,55, 7 3 0,. An diesen Stellen liegen daher die beiden lokalen Extrema. Dies bestätigt auch der Graph. Die Koordinaten von Maximum und Minimum sind ( 7 3 (+ 7 3, ) ( 0.,.11). 7, ) (1.55, 0.63) 7 78
6 Die Umkehrung der obigen Aussage gilt nicht, siehe Beispiel Um sicher zu sein, ob eine Nullstelle der Ableitung zu einem lokalen Extremum gehört, muss man auch noch die weiteren Ableitungen auswerten. Hinreichendes Kriterium für lokale Extrema: Sei f : (a,b) R eine n-mal differenzierbare Funktion und sei x 0 (a,b). Weiterhin gebe es ein m N mit m n, so dass f (x 0 ) = f (x 0 ) = = f (m 1) (x 0 ) = 0 f (m) (x 0 ). Ist m gerade, dann besitzt f an der Stelle x 0 ein isoliertes lokales Extremum und zwar ein isoliertes lokales Maximum falls f (m) (x 0 ) < 0 ein isoliertes lokales Minimum falls f (m) (x 0 ) > 0 Ist m ungerade, so hat f in x 0 kein isoliertes lokales Extremum; der Punkt (x 0,f(x 0 )) heißt in diesem Fall Sattelpunkt. Beispiel 5.1 Sei f(x) = x n. 1. Ist n = 3, so ist f (x) = 3x, f (x) = 6x, f (x) = 6. Daher ist der Punkt 79
7 (0,0) ein Sattelpunkt von f. Dies gilt ebenso für alle ungeraden n, da stets f (n 1) = n! x und f (n) = n!. Istn = 4,soistf (3) = 4! xundf (4) = 4! = 4.Somitist(0,0)einisoliertes lokales Minimum von f. Dies gilt ebenso für alle anderen geraden n. Beispiel A: Nach der Quotientenregel ist Also ist g (x) = (4 4x)(x x+) (x x+) 4 + (x x+)(x )(4x x ) (x x+) 4 = 4(x3 3x +) (x x+) = 4(x 1)(x x ) 3 (x x+) 3 g (0) = 1 > 0, g () = 1 < 0. Auf Seite 74 hatten wir bereits g (0) = g () = 0 festgstellt. Folglich hat g an der Stelle x 0 = 0 ein isoliertes lokales Minimum und an der Stelle x 1 = ein isoliertes lokales Maximum, was wir auch schon auf Seite 76 festgestellt hatten. 80
8 Beispiel 5.13 Sei f(x) = (x 3 x)ex. Zur Bestimmung eventueller lokaler Extrema bestimmen wir die erste Ableitung f (x) = (x 3 )ex +(x 3 x)ex Folglich sind die kritischen Punkte Mit der zweiten Ableitung = (x + 1 x 3 )ex = (x 1) ( x+ 3 x 0 = 1 und x 1 = 3. ) e x f (x) = (x+ 1 )ex +(x + 1 x 3 )ex = (x + 5 x 1)ex erhalten wir f (1) = 5 e > 0, f ( 3) 5 = e 3 < 0. AlsoliegteinisolierteslokalesMinimumanderStellex 0 = 1vorundeinisoliertes lokalesmaximumanderstellex 1 = 3.DieungefährenKoordinatenderisolierten Extrema sind (1, 1.36) und ( 1.5, 1). 81
9 Man erkennt außerdem f (x) > 0 für x (1, ) oder x (, 3 ), f (x) < 0 für x ( 3,1). Damit ist die Funktion f auf (1, ) sowie (, 3 ) streng monoton wachsend und auf ( 3,1) streng monoton fallend. Hier ist der Graph x So wie wir es gerade getan haben, lassen sich allgemein die kritischen Punkte anhand des Vorzeichenverhaltens der ersten Ableitung klassifizieren. 8
10 Sei f : D R differenzierbar, und sei x 0 D mit f (x 0 ) = 0. Gibt es ein ε > 0 mit { f > 0 für x 0 ε < x < x 0, (x) < 0 für x 0 < x < x 0 +ε, so besitzt f in x 0 ein isoliertes lokales Maximum. Ist { f < 0 für x 0 ǫ < x < x 0, (x) > 0 für x 0 < x < x 0 +ǫ. so besitzt f in x 0 ein isoliertes lokales Minimum. Besitzt die Ableitung f keinen Vorzeichenwechsel im Punkt x 0, dann hat f an der Stelle x 0 kein isoliertes lokales Extremum. Zur Bestimmung der globalen Extrema einer Funktion f : I R, wobei I ein abgeschlossenes oder halboffenes Intervall ist, ist es immer notwendig, die Funktionswerte an den Intervallgrenzen zu bestimmen und mit den Werten an den lokalen Extrema vergleichen. Beispiel Sei f : [ 4,] R mit f(x) = x + x. Dann ist f( 4) = 10 und f() = 4. Außerdem ist f (x) = x + 1, also x 0 = 1 ein kritischer Punkt. Wegen f (x) = > 0 für alle x liegt an der Stelle x 0 83
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12 ein isoliertes lokales Minimum mit den Koordinaten ( 1, 9 4). Dies muss dann auch ein globales Minimum (auf [ 4,]) sein, denn an den Rändern sind die Funktionswerte größer und weitere lokale Minima gibt es nicht. Die Funktion hat keine isolierten lokalen Maxima. Ein globales Maximum liegt am linken Rand x 1 = 4 vor.. Die Funktion f : (0, ) R mit f(x) = 1 x und kein globales Minimum. hat kein globales Maximum 4. Krümmungsverhalten und Wendepunkte Das Krümmungsverhalten einer Funktion liefert Aussagen darüber, wie stark sich das Wachstum auf einem Intervall ändert. Beispiel A: Wir wissen bereits, dass die Funktion g zwischen 0 und wachsend ist. Der Graph zeigt darüberhinaus, dass er bei 0 ansteigt und irgendwo zwischen 0undamsteilstenistunddanndasWachstumlangsamerwirdumschließlichan der Extremstelle eine waagerechte Tangente zu haben. Dies Phänomen lässt sich auch mit Sekanten an den Graphen beschreiben. Auf einigen Intervallen liegt der Graph von f stets oberhalb von all seinen Sekanten, auf anderen stets unterhalb. 84
13 Konvex, Konkav, Wendepunkt: Sei f : D R eine Funktion und sei I D ein Intervall. Gilt für alle x 1,x I f ( x1 +x ) f(x 1)+f(x ), dann heißt f konvex (linksgekrümmt) in I. Gilt für alle x 1,x I f ( x1 +x ) f(x 1)+f(x ), dann heißt f konkav (rechtsgekrümmt) in I. Die Funktion f heißt konvex bzw. konkav, wenn diese Bedingung für I = D erfüllt ist. Ein Punkt x 0 D heißt Wendestelle von f, wenn die Funktion an diesem Punkt ihr Konvexitätsverhalten ändert, d.h. es gibt ein ε > 0, so dass f in [x 0 ε,x 0 ] konvex (aber nicht konkav) ist, und in [x 0,x 0 +ε] konkav (aber nicht konvex) ist, bzw. umgekehrt. Der Punkt (x 0,f(x 0 )) heißt dann Wendepunkt von f. Im Falle einer zweimal differenzierbaren Funktion lässt sich das Krümmungsverhalten anhand der zweiten Ableitung feststellen. 85
14
15 Konvexitätsverhalten: Es sei f : D R eine zweimal differenzierbare Funktion und sei I D ein Intervall. Dann ist f in I genau dann konvex (bzw. konkav), wenn gilt f (x) 0 (bzw. f (x) 0) für alle x I. Gibt es eine ungerade Zahl m N mit m 3 und f (x 0 ) = f (3) (x 0 ) = f (m 1) (x 0 ) = 0 f (m) (x 0 ), dann besitzt die Funktion f an der Stelle x 0 einen Wendepunkt. Beispiel A: Die zweite Ableitung von g hatten wir bereits berechnet: g (x) = 4(x 1)(x x ) (x x+) 3. Nun ist wegen x x > 0 für alle x g (x) = 0 x 1 = 0 oder x x = 0 x = 1 oder x = 1+ 3 oder x =
16 Damit wechselt g (x) nur an diesen drei Stellen das Vorzeichen. Durch Einsetzen von x-werten aus den 4 Intervallen (, 1 3), (1 3, 1), (1,1+ 3) und (1+ 3, ) erhält man das Vorzeichen von g (x) und damit das Krümmungsverhalten von g auf dem jeweiligen Intervall. Wegen 3 1,7 betrachten wir folgende Werte g ( 1) = 8 15 < 0, g (0) = 1 > 0, g () = 1 < 0, g (3) = 8 15 > 0. Also ist g auf (, 1 3) sowie (1,1 + 3) konkav und auf (1 3, 1) sowie (1+ 3, ) konvex. Die Stellen x 0 = 1 3, x 1 = 1, x = 1+ 3 sind demnach Wendestellen (da wir direkt den Wechsel des Krümmungsverhaltens festgestellt haben, müssen wir nicht mehr die nächste Ableitung überprüfen). Die Wendepunkte haben die Koordinaten ( 1 3, 3 ) ( 3 ), (1,0), 1+ 3, Beispiel 5.15 Wir betrachten wieder die Funktion f(x) = (x 3 x)ex. Die 87
17 zweite Ableitung war in Beispiel 5.13 berechnet worden und ist f (x) = (x + 5 x 1)ex. Lösen der quadratischen Gleichung x + 5 x 1 = 0 liefert die Nullstellen x 0 = ,85, x 1 = ,35. Das sind also mögliche Wendestellen der Funktion f. Da nur an diesen Stellen f (x) das Vorzeichen ändert, könen wir wieder das Vorzeichen von f (x) auf den Intervallen ( ) (, , 5 ) ( 41 4, und , ) durch Einsetzen geeigneter x-werte ermitteln: f ( 3) = 0,5e 3 > 0, f (0) = 1 < 0, f (1) =,5 e > 0. Also ist f auf ( ) (, sowie auf , ) konvex und auf ( ) konkav. Die Wendepunkte habe die ungefähren Koordinaten , (.85, 0.7) und (0.35, 0.57). 88
18 5. Asymptotisches Verhalten Hierunter versteht man das Verhalten des Funktionsgraphen an den Rändern des Definitionsbereichs. Das ist lim f(x) oder lim f(x), x x falls ein Intervall der Form (,a) oder (b, ) im Definitionsbreich von f enthalten ist. Das kann aber auch das Grenzwertverhalten lim f(x) oder lim f(x) xցx 0 xրx0 sein,fallseseinintervall(x 0,b)oder(a,x 0 )imdefinitionsbereichvonf gibt.letzteres trifft typischererweise auf Definitionslücken von f zu. Die Bestimmung solcher Grenzwerte war in Abschnitt.6 behandelt worden. Hierbei können ggf. die Regeln von l Hospital hilfreich sein. Beispiel A: Für die Funktion g ist D(g) = R und es sind nur die Grenzwerte für x ± zu bestimmen. Das liefert in diesem Fall x lim g(x) = lim x x ± x ± 1 x + = 0. x 89
19 Jetzt haben wir genügend viel qualitative Information, um eine Skizze des Funktionsgraphen anzufertigen. Im folgenden Bild sind die Extrema als und die Wendepunkte als eingetragen x Vergleichen Sie noch mal den Verlauf des Graphen mit den gefundenen Monotonieund Krümmungsaussagen. Beispiel 5.16 Istf(x) = ln(x) x 1,soistderDefinitionsbereichD(f) = R +\{1}. 90
bestimmt werden. Allein die Regel (5.4) würde wegen g(x) = 2, folglich erhalten wir den korrekten lim
bestimmt werden. Allein die Regel (5.4) würde wegen f (x) lim x g (x) = lim 2e 2x = lim x e x x 2ex = 0 dengrenzwert0für(5.5)liefern.dasistaberfalsch,dennwegen lim 0 ist lim x g(x) = 2, folglich erhalten
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