Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Kapitel 4-6. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014
|
|
|
- Lennart Abel
- vor 7 Jahren
- Abrufe
Transkript
1 Mathematik für Kapitel 4-6 Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014
2 Kapitel 4 1. Extremwerte 2. Lokale Optimalpunkte 3. Wendepunkte 2
3 Kapitel 4.1 EXTREMWERTE 3
4 Extrempunkte und Extremwerte 4
5 Strikte Extrempunkte 5
6 Maximierungs- und Minimierungsprobleme 6
7 Nützliches Resultat zur Bestimmung der Extrempunkte 7
8 Extrempunkte in Abbildung 8
9 Extrempunkte in Abbildung 9
10 Globale Extrempunkte 10
11 Verhalten der Steigung vor und nach einem Maximumpunkt 11
12 Verhalten der Steigung vor und nach den Minimumpunkt 12
13 Test der ersten Ableitung auf Maximum und Minimum 13
14 Vorzeichen der Ableitung und Steigungsverhalten 14
15 Vorzeichen der 2. Ableitung und Steigungsverhalten der 1. Ableitung 15
16 Konvexe und konkave Funktionen 16
17 Vorzeichen der 2. Ableitung und Steigungsverhalten der 1. Ableitung 17
18 Extremwertsatz 18
19 Wie findet man Maxima und Minima? 19
20 Rezept zum Auffinden von Extremwerten 20
21 Kapitel 4.2 LOKALE OPTIMALPUNKTE 21
22 Lokales Maximum und Minimum 22
23 Abbildung 1 23
24 Anmerkungen 24
25 Wie findet man lokale Extrempunkte? 25
26 Untersuchung der ersten Ableitung 26
27 Untersuchung der zweiten Ableitung 27
28 Notwendige Bedingungen für lokale Extrempunkte 28
29 Kapitel 4.3 WENDEPUNKTE 29
30 Übergang Konvex in Konkav = Wendepunkt 30
31 Definition mit der zweiten Ableitung 31
32 Untersuchung auf Wendepunkte 32
33 Aufgabe: Bestimmen sie mögliche Wendepunkte 33
34 Lösung 34
35 Funktionen mit mehreren Variablen Kapitel 5 35
36 Kapitel 5 1. Funktionen mit 2 Variablen 2. Partielle Ableitungen 3. Darstellungen von Funktionen im Raum 4. Allgemeine Kettenregel und Homogenität 5. Optimierung multivariater Funktionen 6. Lokale Optimal- und Sattelpunkte 36
37 Kapitel 5.1 FUNKTIONEN MIT 2 VARIABLEN 37
38 Definitionen 38
39 Beispiel 1: Cobb-Douglas-Funktion 39
40 Beispiel 1: Cobb-Douglas-Funktion 40
41 Beispiel 1: Cobb-Douglas-Funktion; Fortsetzung der Lösung 41
42 Definitionsbereich 42
43 Kapitel 5.2 PARTIELLE ABLEITUNGEN 43
44 Notation für partielle Ableitungen 44
45 Interpretation der partiellen Ableitungen 45
46 Beispiel 1: Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 46
47 Aufgabe: Bestimmen Sie die partiellen Ableitungen 47
48 Lösung 48
49 Andere Notationen für die partiellen Ableitungen 49
50 Weitere Bemerkungen 50
51 Formale Definition der partiellen Ableitungen 51
52 Partielle Ableitungen höherer Ordnung 52
53 Beispiel: 53
54 Andere Notationen für partielle Ableitungen zweiter Ordnung 54
55 Kapitel 5.3 DARSTELLUNGEN VON FUNKTIONEN IM RAUM 55
56 Koordinatensystem im Raum 56
57 Abbildung 1 und 2: Koordinatensystem 57
58 Koordinatenebenen 58
59 Koordinaten eines Punktes im Raum 59
60 Der Graph einer Funktion von zwei Variablen 60
61 Der Graph einer Funktion von zwei Variablen 61
62 Höhenlinien 62
63 Illustration zur Konstruktion einer Höhenlinie 63
64 Beispiel: 64
65 Graph und Isoquanten der Cobb-Douglas-Funktion 65
66 Geometrische Interpretation der partiellen Ableitungen 66
67 Kapitel 5.4 ALLGEMEINE KETTENREGEL UND HOMOGENITÄT 67
68 Kettenregel bei zwei Variablen 68
69 Kettenregel 69
70 Beispiel 1: Bestimmen Sie die totale Ableitung, wenn 70
71 Zwei Variablen, die von zwei Variablen abhängen 71
72 Kettenregel: Zwei Variablen, die von zwei Variablen abhängen 72
73 Beispiel: 73
74 Der allgemeine Fall 74
75 Anmerkungen zur allgemeinen Kettenregel 75
76 Beispiel: Produktionsfunktion aus der Landwirtschaft 76
77 Beispiel; Fortsetzung: 77
78 Definition 78
79 Beispiel 1: 79
80 Beispiel 1: 80
81 Kapitel 5.5 OPTIMIERUNG MULTIVARIATER FUNKTIONEN 81
82 Einführung 82
83 Stationäre Punkte 83
84 Stationäre Punkte 84
85 Notwendige Bedingungen für innere Extrempunkte 85
86 Abbildung: 86
87 Wiederholung: Extrempunkte für konkave Funktionen 87
88 Hinreichend: Konkave Funktion 88
89 Abbildung: 89
90 Kapitel 5.6 LOKALE OPTIMAL- UND SATTELPUNKTE 90
91 Definition: Lokaler Maximumpunkt 91
92 Lokaler Minimumpunkt 92
93 Notwendige Bedingungen (erster Ordnung) für lokale Extrempunkte 93
94 Sattelpunkt 94
95 Abbildung
96 Beispiel 1: 96
97 Beispiel 1: Lösung 97
98 Einteilung der stationären Punkte 98
99 Untersuchung der zweiten Ableitung 99
100 Untersuchung der zweiten Ableitung 100
101 Untersuchung der zweiten Ableitung 101
102 Untersuchung der zweiten Ableitung auf lokale Extrema 102
103 Anmerkungen zu den Bedingungen zweiter Ordnung 103
104 Beispiel 2: 104
105 Beispiel 2: Klassifizierung der stationären Punkte 105
106 Theorem : Extremwertsatz 106
107 Das Auffinden der Maxima und Minima 107
108 Abbildung
109 Optimierung unter Nebenbedingungen Kapitel 6 109
110 Optimierung unter Nebenbedingungen: Einführungsbeispiel 110
111 Weiter: Einführungsbeispiel 111
112 Kapitel 6.1 LAGRANGE-METHODE 112
113 Lagrange-Funktion; Lagrange-Multiplikator 113
114 Notwendige Bedingungen 114
115 Beispiel 1: Maximierung einer Nutzenfunktion unter Nebenbedingung 115
116 Beispiel 1: Alternative Lösung durch Substitution 116
117 Methode des Lagrange-Multiplikators 117
118 Methode des Lagrange-Multiplikators 118
119 Theorem von Lagrange 119
120 Beispiel 2: 120
121 Beispiel 2: 121
122 Beispiel 2: 122
123 Beispiel 2: 123
124 Beispiel 3: Maximaler Nutzen unter Budgetbeschränkung 124
125 Beispiel 3: Fortsetzung der Lösung 125
126 Kapitel 6.2 MEHRERE NEBENBEDINGUNGEN 126
127 Mehrere Nebenbedingungen 127
128 Beispiel 4: 128
Mikroökonomik Prof. Dr. Stefan Klonner SoSe Übungsblatt 1
1 Funktionen Definition 1 (Funktion). Übungsblatt 1 Eine Funktion f(x) einer reellen Variable x mit Definitionsbereich D ist eine Regel, die jeder Zahl x in D eine reelle Zahl f(x) eindeutig zuordnet.
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler. Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014
Mathematik für Universität Trier Wintersemester 2013 / 2014 Inhalt der Vorlesung 1. Gleichungen und Summen 2. Grundlagen der Funktionslehre 3. Rechnen mit Funktionen 4. Optimierung von Funktionen 5. Funktionen
Kapitel 12. Lagrange-Funktion. Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 1 / 28. f (x, y) g(x, y) = c. f (x, y) = x y 2
Kapitel 12 Lagrange-Funktion Josef Leydold Mathematik für VW WS 2017/18 12 Lagrange-Funktion 1 / 28 Optimierung unter Nebenbedingungen Aufgabe: Berechne die Extrema der Funktion unter der Nebenbedingung
Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57
Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5
Mathematik I Herbstsemester 2018 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung
Mathematik I Herbstsemester 2018 Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/ farkas 1 / 55 4. Anwendungen der Differentialrechnung Monotonie Krümmung Linearisierung einer Funktion Extremwerte
Mathematik für. Wirtschaftswissenschaftler. Basiswissen mit Praxisbezug. 4., aktualisierte und erweiterte Auflage
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 4., aktualisierte und erweiterte Auflage Knut Sydsaeter Peter Hammond mit Arne Strom Übersetzt und fach lektoriert durch Dr. Fred Böker
Klausur Mathematik, 1. Oktober 2012, A
Klausur, Mathematik, Oktober 2012, Lösungen, A 1 Klausur Mathematik, 1. Oktober 2012, A Die Klausureinsicht ist Do, 8.11.2012 um 18:00 in MZG 8.136. Die Klausur ist mit 30 Punkten bestanden. Falls Sie
Outline. 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen. 2 Grenzwert und Stetigkeit. 3 Partielle Ableitungen. 4 Die verallgemeinerte Kettenregel
Outline 1 Funktionen von mehreren Veränderlichen 2 Grenzwert und Stetigkeit 3 Partielle Ableitungen 4 Die verallgemeinerte Kettenregel 5 Das totale Differential 6 Extremstellen Roman Wienands (Universität
16. FUNKTIONEN VON MEHREREN VARIABLEN
16. FUNKTIONEN VON MEHREREN VARIABLEN 1 Reelle Funktionen auf dem R 2 Wir betrachten Funktionen f(x 1, x 2 ) von zwei reellen Variablen x 1, x 2, z.b. f(x 1, x 2 ) = x 2 1 + x2 2, g(x 1, x 2 ) = x 2 1
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Knut Sydsæter Peter Hammond mit Arne Strøm Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 4., aktualisierte Auflage Übersetzt und fachlektoriert durch Dr. Fred Böker Professor für
Konvexe Menge. Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, d.h.
Konvexe Menge Eine Menge D R n heißt konvex, wenn für zwei beliebige Punkte x, y D auch die Verbindungsstrecke dieser Punkte in D liegt, dh Kapitel Extrema konvex: h x + h y D für alle h [0, ], und x,
a,b,c a,b,d a,d,e b,c,e c,d,e ( ) ( ) ( ) ( ) ( )
Klausur, Mathematik, Juli 2012, A 1 [ 1 ] Bestimmen Sie Y und C in dem makroökonomischen Modell Y = C + Ī C = a + by mit a = 300, b = 0.7 und Ī = 600. Y = C = [ 2 ] Die folgenden Aussagen befassen sich
1 Einstimmung 2. 2 Die Reduktionsmethode 5. 3 Die Methode der Lagrange-Multiplikatoren 6. 4 *Ergänzungen und Verallgemeinerungen* 10
Universität Basel 9 Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Abteilung Quantitative Methoden Mathematik 1 Dr. Thomas Zehrt Extremwertprobleme mit Nebenbedingung Inhaltsverzeichnis 1 Einstimmung 2 2 Die Reduktionsmethode
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Fred Böker Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Das Übungsbuch 2., aktualisierte Auflage Higher Education München Harlow Amsterdam Madrid Boston San Francisco Don Mills Mexico City Sydney a part of
Wie reagiert Nachfrage nach dem Gut auf Preisänderungen?
1 Albert Ludwigs Universität Freiburg Abteilung Empirische Forschung und Ökonometrie Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Dr. Sevtap Kestel Winter 008 7.7 Warum Ökonomen Elastizitäten benutzen? 7.Oktober
Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung
Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Universität Basel Mathematik für Ökonomen 1 Dr. Thomas Zehrt Extrema von Funktionen mit Nebenbedingung Literatur: Gauglhofer, M. und Müller, H.: Mathematik für Ökonomen,
Alte Klausuraufgaben zu Kapitel 8
1 Alte Klausuraufgaben zu Kapitel 8 (WS 2002/03 - III 2013) von Prof. Dr. Fred Böker Institut für Statistik und Ökonometrie Universität Göttingen Platz der Göttinger Sieben 5 37073 Göttingen Tel. 0551-394604;
Monotonie, Konkavität und Extrema
Kapitel 8 Monotonie, Konkavität und Extrema Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 8 Monotonie, Konkavität und Extrema 1 / 55 Monotonie Eine Funktion f heißt monoton steigend, falls x 1
Monotonie, Konkavität und Extrema
Kapitel 8 Monotonie, Konkavität und Extrema Josef Leydold Auffrischungskurs Mathematik WS 2017/18 8 Monotonie, Konkavität und Extrema 1 / 55 Monotonie Eine Funktion f heißt monoton steigend, falls x 1
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Knut Sydsaeter Peter HammondJ Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 2., aktualisierte Auflage Inhaltsverzeichnis Vorwort 13 Vorwort zur zweiten Auflage 19 Kapitel 1 Einführung,
Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen
Mathematik I Internationales Wirtschaftsingenieurwesen Funktionen mit mehreren reellen Variablen 18.11.08 Beispiel: Funktionsgebirge Das Beispiel zeigt die Funktion z = y sin(x 2 ) Schnittkurven: Beispiel
Eigenschaften von Funktionen
Eigenschaften von Funktionen Mag. Christina Sickinger HTL v 1 Mag. Christina Sickinger Eigenschaften von Funktionen 1 / 48 Gegeben sei die Funktion f (x) = 1 4 x 2 1. Berechnen Sie die Steigung der Funktion
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Fred Böker Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug Das Übungsbuch ein Imprint von Pearson Education München Boston San Francisco Harlow, England Don Mills, Ontario Sydney
Die Tangentialebene. {(x, y, z) z = f(x 0, y 0 )+ f x (x 0, y 0 )(x x 0 )+ f. y (x 0, y 0 )(y y 0 )}
Die Tangentialebene Der Graph der linearen Approximation ist Tangentialebene an den Graph der Funktion. In Symbolen: Es sei D R 2. Es sei f : D R, (x, y) f(x, y) differenzierbar. Dann ist {(x, y, z) z
Ein Buch. Für Anwendungen des Stoffs in den Wirtschaftswissenschaften: Knut Sydsæter, Peter Hemmond: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Ein Buch Für Anwendungen des Stoffs in den Wirtschaftswissenschaften: Knut Sydsæter, Peter Hemmond: Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler (Aber bei der Mathematik ein bisschen aufpassen!) 4 Extremstellen
Multivariate Analysis
Kapitel Multivariate Analysis Josef Leydold c 6 Mathematische Methoden I Multivariate Analysis / 38 Lernziele Funktionen in mehreren Variablen Graph und Niveaulinien einer Funktion in zwei Variablen Partielle
Inhaltsverzeichnis. Vorwort Kapitel 1 Einführung, I: Algebra Kapitel 2 Einführung, II: Gleichungen... 57
Vorwort... 13 Vorwort zur 3. deutschen Auflage... 17 Kapitel 1 Einführung, I: Algebra... 19 1.1 Die reellen Zahlen... 20 1.2 Ganzzahlige Potenzen... 23 1.3 Regeln der Algebra... 29 1.4 Brüche... 34 1.5
Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Leseprobe - Abschnitt 6.5 (das agraökonomische Schaf )
Mathematische Grundlagen für Wirtschaftswissenschaftler Leseprobe - Abschnitt 65 (das agraökonomische Schaf ) Sascha Kurz Jörg Rambau 25 November 2009 2 66 Die Karush-Kuhn-Tucker-Methode Die Erkenntnisse
von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hochschule Emden/Leer
von Prof. Dr. Ing. Dirk Rabe Hochschule Emden/Leer Überblick Tangentensteigung einer Funktion Extremstellen Sattelstellen Extremstellen: notwendige und hinreichende Bedingung lokale bzw. relative und absolute
Mathematik I ITB. Funktionen mit mehreren reellen Variablen. Prof. Dr. Karin Melzer
Funktionen mit mehreren reellen Variablen 11.05.09 Beispiel: Funktionsgebirge Das Beispiel zeigt die Funktion z = y sin(x 2 ) Schnittkurven: Beispiel Kegelschnitte Schnittkurve: Kurve, die aus dem Schnitt
Optimieren unter Nebenbedingungen
Optimieren unter Nebenbedingungen Hier sucht man die lokalen Extrema einer Funktion f(x 1,, x n ) unter der Nebenbedingung dass g(x 1,, x n ) = 0 gilt Die Funktion f heißt Zielfunktion Beispiel: Gesucht
Differentialrechnung. Mathematik W14. Christina Sickinger. Berufsreifeprüfung. v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 1 / 79
Mathematik W14 Christina Sickinger Berufsreifeprüfung v 1 Christina Sickinger Mathematik W14 1 / 79 Die Steigung einer Funktion Wir haben bereits die Steigung einer linearen Funktion kennen gelernt! Eine
Mathematische Methoden der VWL
Mathematische Methoden der VWL Kapitel 1: Maximierung ohne Nebenbedingungen Till Stowasser Klaus Schmidt, 2001 / Till Stowasser, 2014 LMU, Wintersemester 2014/2015 1 / 30 Syllabus Syllabus 1.1 Funktionen
TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Semestrale (Wiederholung) HÖHERE MATHEMATIK 3 für Chemieingenieurwesen
................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
f(x) f(x 0 ) lokales Maximum x U : gilt, so heißt x 0 isoliertes lokales Minimum lokales Minimum Ferner nennen wir x 0 Extremum.
Fabian Kohler Karolina Stoiber Ferienkurs Analsis für Phsiker SS 4 A Extrema In diesem Abschnitt sollen Extremwerte von Funktionen f : D R n R diskutiert werden. Auch hier gibt es viele Ähnlichkeiten mit
Aufgabensammlung zum UK Mathematische Optimierung
Aufgabensammlung zum UK Mathematische Optimierung Mehrdimensionale Analysis Stetigkeit. Man bestimme den natürlichen Definitionsbereich D f der folgenden Funktionen f: a) f(x, y) = ln(x y ) b) f(x, y)
Berechnung von Extrema
KAPITEL 2 Berechnung von Extrema 1. Partielle Ableitungen Definition 2.1 (partielle Ableitung). Sei U R n offen und e j der j-te Einheitsvektor. Eine Funktion f : U R ist in x u partiell differenzierbar
Anwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 5 Anwendungen der Differentialrechnung 5.1 Maxima und Minima einer Funktion......................... 80 5.2 Mittelwertsatz.................................... 82 5.3 Kurvendiskussion..................................
18.2 Implizit definierte Funktionen
18.2 Implizit definierte Funktionen Ziel: Untersuche Lösungsmengen von nichtlinearen Gleichungssystemen g(x) = 0 mit g : D R m, D R n, d.h. betrachte m Gleichungen für n Unbekannte mit m < n, d.h. wir
Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium
Mathematischer Vorbereitungskurs für das MINT-Studium Dr. B. Hallouet b.hallouet@mx.uni-saarland.de SS 2017 Vorlesung 7 MINT Mathkurs SS 2017 1 / 25 Vorlesung 7 (Lecture 7) Differentialrechnung differential
Mathematische Werkzeuge R. Neubecker, WS 2016 / 2017
Mustererkennung Mathematische Werkzeuge R. Neubecker, WS 2016 / 2017 Optimierung: Lagrange-Funktionen, Karush-Kuhn-Tucker-Bedingungen Optimierungsprobleme Optimierung Suche nach dem Maximum oder Minimum
Abb lokales Maximum und Minimum
.13 Lokale Extrema, Monotonie und Konvexität Wir kommen nun zu den ersten Anwendungen der Dierentialrechnung. Zwischen den Eigenschaten einer Funktion, dem Verlau des zugehörigen Graphen und den Ableitungen
2 Funktionen in mehreren Variablen: Differentiation
Satz 2. (Richtungsableitung) Für jede auf der offenen Menge D R n total differenzierbaren Funktion f (insbesondere für f C 1 (D, R) und für jeden Vektor v R n, v 0, gilt: n v f(x) = f(x) v = f xi (x)v
Wirtschaftsmathematik II
WMS: Wirtschaftsmathematik 2 :: WS 2009/10 Wirtschaftsmathematik II Reinhard Ullrich http://homepage.univie.ac.at/reinhard.ullrich Basierend auf Folien von Dr. Ivana Ljubic October 11, 2009 1 Funktionen
MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE
Mathematik und Naturwissenschaften Fachrichtung Mathematik, Institut für Numerische Mathematik MATHEMATIK 2 FÜR DIE STUDIENGÄNGE CHE- MIE UND LEBENSMITTELCHEMIE Differentialrechnung für Funktionen mehrerer
4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion.
4. Anwendung der Differentialrechnung: Kurvendiskussion 4.1. Maxima und Minima einer Funktion. Definition 4.3. Es sei f : R D R eine auf D erklarte Funktion. Die Funktion f hat in a D eine globales oder
Anwendungen der Differentialrechnung
KAPITEL 7 Anwendungen der Differentialrechnung 7.1 Maxima und Minima einer Funktion................. 141 7.2 Mittelwertsatz............................ 144 7.3 Kurvendiskussion..........................
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Basiswissen mit Praxisbezug 4., aktualisierte und erweiterte Auflage Knut Sydsæter Peter Hammond mit Arne Strøm Übersetzt und fachlektoriert durch Dr. Fred Böker
6 Extremwerte mit Nebenbedingungen: Die Lagrange-Multiplikatoren-Methode
6 Extremwerte mit Nebenbedingungen: Die Lagrange-Multiplikatoren-Methode In diesem Kapitel orientieren wir uns stark an den Büchern: 1. Knut Sydsæter, Peter Hammond, Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler,
Wirtschaftsmathematik
Wirtschatsmathematik ür die Betriebswirtschatslehre (B.Sc.) Sommersemester 017 Dr. rer. nat. habil. E-mail: adam-georg.balogh@h-da.de 1 Kurvendiskussion / Analyse von Funktionen Anwendung der Dierentialrechnung
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.4 Anwendungen (Teil 2): Extremwerte
Mathematik II Frühlingsemester 2015 Kap. 9: Funktionen von mehreren Variablen 9.4 Anwendungen (Teil 2): Extremwerte www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/fs2015/other/mathematik2 biol Prof. Dr.
Kapitel 5: Differentialrechnung
Kapitel 5: Differentialrechnung Stefan Ruzika Mathematisches Institut Universität Koblenz-Landau Campus Koblenz Stefan Ruzika (KO) Kapitel 5: Differentialrechnung 1 / 23 Gliederung 1 Grundbegriffe 2 Abbildungen
2015, MNZ. Jürgen Schmidt. Vorkurs. Mathematik. Ableiten. Tag WS 2015/16
Vorkurs 4. Mathematik Ableiten WS 2015/16 Tag Einführendes Beispiel Vernachlässigen wir den Luftwiderstand, so können wir in hinreichender Näherung für den freien Fall eines Körpers s(t) = 5t 2 als Weg-Zeit-Abhängigkeit
1 Übungsaufgaben zu Kapitel 1
Übungsaufgaben zu Kapitel. Übungsaufgaben zu Abschnitt... Aufgabe. Untersuchen Sie die nachstehend definierten Folgen ( a k ) k und ( b k ) k auf Konvergenz und bestimmen Sie ggf. den jeweiligen Grenzwert:
Kurvendiskussion von Polynomfunktionen
Kurvendiskussion von Polynomfunktionen Theorie: Für die weiteren Berechnungen benötigen wie die 1. f (x) und 2. f (x) Ableitung der zu untersuchenden Funktion f (x). Wir werden viele Gleichungen lösen
Knut Sydsæter Peter Hammond Arne Strøm Andrés Carvajal. Übersetzt und fachlektoriert durch Prof. Dr. Fred Böker
Übersetzt und fachlektoriert durch Prof. Dr. Fred Böker Knut Sydsæter Peter Hammond Arne Strøm Andrés Carvajal Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler - PDF Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)
Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 3/) Kapitel : Optimierung ohne Nebenbedingungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom. Oktober 3) Gliederung
Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 2013/14)
Vorlesung Einführung in die Mathematische Optimierung (Wintersemester 3/4) Kapitel : Optimierung ohne Nebenbedingungen Volker Kaibel Otto-von-Guericke Universität Magdeburg (Version vom. Oktober 3) Gliederung
Mathematik anschaulich dargestellt
Peter Dörsam Mathematik anschaulich dargestellt für Studierende der Wirtschaftswissenschaften 15. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra
Kurvendiskussion von Funktionsscharen
Kurvendiskussion von Funktionsscharen Die Untersuchung von Funktionsscharen unterscheidet sich nicht von der Untersuchung von normalen Funktionen. Einzig die Bestimmung der Ortskurven von Extremstellen
7.11. Extrema unter Nebenbedingungen
7.11. Extrema unter Nebenbedingungen Randextrema Wir haben schon bemerkt, daß die üblichen Tests mit Hilfe von (eventuell höheren) Ableitungen nur Kriterien für (lokale) Extrema im Inneren des Definitionsgebietes
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung
Mathematik I Herbstsemester 2014 Kapitel 4: Anwendungen der Differentialrechnung www.math.ethz.ch/education/bachelor/lectures/hs2014/other/mathematik1 BIOL Prof. Dr. Erich Walter Farkas http://www.math.ethz.ch/
Extrema multivariater Funktionen
Extrema multivariater Funktionen Ist f (x ) ein Minimum (Maximum) einer stetig differenzierbaren skalaren Funktion f auf einer Umgebung U von x, so gilt grad f (x ) = (0,..., 0) t. Extrema multivariater
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Lösung - Serie 6. (n+1)!. Daraus folgt, dass e 1/x < (n+
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger Lösung - Serie 6 1. MC-Aufgaben (Online-Abgabe) 1. Für alle ganzen Zahlen n 1 gilt... (a) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (b) e 1/x = o(x n ) für x 0 + (c)
Inhaltsverzeichnis. 1 Lineare Algebra 12
Inhaltsverzeichnis 1 Lineare Algebra 12 1.1 Vektorrechnung 12 1.1.1 Grundlagen 12 1.1.2 Lineare Abhängigkeit 18 1.1.3 Vektorräume 22 1.1.4 Dimension und Basis 24 1.2 Matrizen 26 1.2.1 Definition einer
Musterlösung zu Blatt 1
Musterlösung zu Blatt Analysis III für Lehramt Gymnasium Wintersemester 0/4 Überprüfe zunächst die notwendige Bedingung Dfx y z = 0 für die Existenz lokaler Extrema Mit x fx y z = 8x und y fx y z = + z
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II
Mathematischer Vorkurs NAT-ING II (02.09.2013 20.09.2013) Dr. Jörg Horst WS 2013-2014 Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite 1 / 252 Kapitel 7 Differenzierbarkeit Mathematischer Vorkurs TU Dortmund Seite
Oberstufenmathematik leicht gemacht
Peter Dörsam Oberstufenmathematik leicht gemacht Band 1: Differential- und Integralrechnung 5. überarbeitete Auflage mit zahlreichen Abbildungen und Beispielaufgaben PD-Verlag Heidenau Inhaltsverzeichnis
Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen. Graphentheorie
Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Graphentheorie Differenzialrechnung für Funktionen mit mehreren unabhängigen Variablen Def.: eine Funktion n f :D mit D,x (x,...x
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger. Serie 6
D-MAVT/D-MATL Analysis I HS 2017 Dr. Andreas Steiger Serie 6 Die erste Aufgabe ist eine Multiple-Choice-Aufgabe (MC-Aufgabe), die online gelöst wird. Bitte schicken Sie Ihre Lösungen zu den Online MC-Fragen
f f(x ɛξ) f(x) 0, d.h. f (x)ξ = 0 für alle ξ B 1 (0). Also f (x) = 0. In Koordinaten bedeutet dies gerade, dass in Extremstellen gilt: f(x) = 0.
Mehrdimensionale Dierenzialrechnung 9 Optimierung 9 Optimierung Definition Seien U R n oen, f : U R, x U x heiÿt lokales Maximum, falls eine Umgebung V U von x existiert mit y V : fx fy x heiÿt lokales
3.6 Verhalten an den Polstellen
44 Kapitel 3. Gebrochen-rationale Funktionen Beispiel 3.5.3. f(x) = 2x2 + 5 2x 1 f(0) = 2 02 + 5 2 0 1 = 5 1 = 5 3.6 Verhalten an den Polstellen Die Polstellen teilen den Graph in mehrere Teile. Da der
Rückblick auf die letzte Vorlesung. Bemerkung
Bemerkung 1) Die Bedingung grad f (x 0 ) = 0 T definiert gewöhnlich ein nichtlineares Gleichungssystem zur Berechnung von x = x 0, wobei n Gleichungen für n Unbekannte gegeben sind. 2) Die Punkte x 0 D
Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler
Extremwerte von Funktionen mehrerer reeller Variabler Bei der Bestimmung der Extrema von (differenzierbaren) Funktionen f : R n R ist es sinnvoll, zuerst jene Stellen zu bestimmen, an denen überhaupt ein
Rückblick auf die letzte Vorlesung
Rückblick auf die letzte Vorlesung 1. Anwendungen des Satzes über implizite Funktionen 2. Stationäre Punkte implizit definierter Funktionen 3. Reguläre Punkte 4. Singuläre Punkte Ausblick auf die heutige
Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler
Einführung in die Mathematik für Wirtschaftswissenschaftler Von David S. Huang Ph. D. Professor für Wirtschaftswissenschaften an der Southern Methodist University, Dallas (Texas) und Dr. Wilfried Schulz
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt
Übungen zur Ingenieur-Mathematik III WS 2012/13 Blatt 9 19.12.2012 Aufgabe 35: Thema: Differenzierbarkeit a) Was bedeutet für eine Funktion f : R n R, dass f an der Stelle x 0 R n differenzierbar ist?
Extrema (Funktionen mit zwei Variablen)
Extrema (Funktionen mit zwei Variablen) Vorzeigeaufgaben: WS04/05 Aufgabe 4 HS11 Aufgabe 4 a) + b) Empfohlene Bearbeitungsreihenfolge: WS05/06 Aufgabe 5 b) WS06/07 Aufgabe 4 HS10 Aufgabe 1 b) + c) HS1
Musterlösung. TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik. Klausur Mathematik für Physiker 3 (Analysis 2) I... II...
................ Note I II Name Vorname 1 Matrikelnummer Studiengang (Hauptfach) Fachrichtung (Nebenfach) 2 3 Unterschrift der Kandidatin/des Kandidaten 4 TECHNISCHE UNIVERSITÄT MÜNCHEN Fakultät für Mathematik
Inhalt 1 GRUNDLAGEN Zahlen Natürliche Zahlen Ganze Zahlen Rationale Zahlen Reelle Zahlen 4
Inhalt 1 GRUNDLAGEN 1 1.1 Zahlen 1 1.1.1 Natürliche Zahlen 1 1.1.2 Ganze Zahlen 2 1.1.3 Rationale Zahlen 3 1.1.4 Reelle Zahlen 4 1.2 Rechnen mit reellen Zahlen 8 1.2.1 Grundgesetze der Addition 8 1.2.2
Übung 5, Analytische Optimierung
Übung 5, 5.7.2011 Analytische Optimierung Aufgabe 5.1 Bei der Herstellung von Konserven werden für Boden und Deckel bzw. für den Konservenmantel verschiedene Materialien verwendet, die g 1 = bzw. g 2 =
(3D-)Extrema unter Nebenbedingungen. Problemstellung (lokale Optimierung)
(3D-)Extrema unter Nebenbedingungen Wir beschränken uns wieder (meistens) auf Funktionen von zwei Variablen x, y. Bei drei oder mehr Variablen x 1,..., x n sind die gleichen Techniken analog anwendbar,
Wenn man den Kreis mit Radius 1 um (0, 0) beschreiben möchte, dann ist. (x, y) ; x 2 + y 2 = 1 }
A Analsis, Woche Implizite Funktionen A Implizite Funktionen in D A3 Wenn man den Kreis mit Radius um, beschreiben möchte, dann ist { x, ; x + = } eine Möglichkeit Oft ist es bequemer, so eine Figur oder
Analysis II 14. Übungsblatt
Jun.-Prof. PD Dr. D. Mugnolo Wintersemester 01/13 F. Stoffers 04. Februar 013 Analysis II 14. Übungsblatt 1. Aufgabe (8 Punkte Man beweise: Die Gleichung z 3 + z + xy = 1 besitzt für jedes (x, y R genau
(a), für i = 1,..., n.
.4 Extremwerte Definition Sei M R n eine Teilmenge, f : M R stetig, a M ein Punkt. f hat in a auf M ein relatives (oder lokales) Maximum bzw. ein relatives (oder lokales) Minimum, wenn es eine offene Umgebung
Differenzialrechnung. Mathematik-Repetitorium
Differenzialrechnung 5.1 Die Ableitung 5.2 Differentiation elementarer Funktionen 5.3 Differentiationsregeln 5.4 Höhere Ableitungen 5.5 Partielle Differentiation 5.6 Anwendungen Differenzialrechnung 1
Gegeben: Die beiden Funktionen (a x) 2, 0 x < 1
SoSe 216 H-Aufgaben sind weiteres, bunt gemischtes Übungsmaterial, das teilweise auch, wenn die Zeit reicht, in den Tutorien besprochen wird. Im Laufe des Semesters erhalten Sie zu diesen Aufgaben Ergebniskontrollen
Wirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V1.40)
Wirtschaftsmathematik: Formelsammlung (V.40) Grundlagen n! = 2 3... n = 0! = n i für n N, n 0, i= pq-formel Lösung von x 2 + px + q = 0 x /2 = p p 2 ± 2 4 q abc-formel Lösung von ax 2 + bx + c = 0 Binomische
Mathematik 2 für Wirtschaftsinformatik
für Wirtschaftsinformatik Sommersemester 2012 Hochschule Augsburg Hinreichende Bedingung für lokale Extrema Voraussetzungen Satz D R n konvex und offen Funktion f : D R zweimal stetig partiell differenzierbar
3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R
3 Optimierung mehrdimensionaler Funktionen f : R n R 31 Optimierung ohne Nebenbedingungen Optimierung heißt eigentlich: Wir suchen ein x R n so, dass f(x ) f(x) für alle x R n (dann heißt x globales Minimum)
10 Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Variablen
6 Differentialrechnung für Funktionen in mehreren Variablen Die meisten Funktionen in den Naturwissenschaften hängen von mehreren Variablen ab. In diesem Kapitel behandeln wir deshalb Methoden zur Untersuchung
Teil 6. Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher
Teil 6 Differentialrechnung mehrerer Veränderlicher 95 96 6.1 Topologie von Mengen Umgebung ε-umgebung eines Punktes x R n : B ε (x) = {y : y x < ε} Umgebung U von x: Menge, die eine ε-umgebung von x enthält
Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung
TU Bergakademie Freiberg Sommersemester Dr. Gunter Semmler Dr. Anja Kohl Höhere Mathematik II für BWIW, BNC, BAI, BGIP, GTB, Ma Hausaufgaben zum Übungsblatt 5 - Lösung Differentialrechnung für Funktionen
R. Brinkmann Seite
R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 1 1.08.016 Kurvendiskussion Vorbetrachtungen Um den Graphen einer Funktion zeichnen und interpretieren zu können, ist es erforderlich einiges über markante Punkte
Kurvendiskussion. Mag. Mone Denninger 10. Oktober Extremwerte (=Lokale Extrema) 2. 5 Monotonieverhalten 3. 6 Krümmungsverhalten 4
Mag. Mone Denninger 10. Oktober 2004 Inhaltsverzeichnis 1 Definitionsmenge 2 1.1 Verhalten am Rand und an den Lücken des Definitionsbereichs............................ 2 2 Nullstellen 2 3 Extremwerte
Extrempunkte eine Einführung
Extrempunkte eine Einführung Kurzer Überblick Grundsätzlich ist ein Extrempunkt der entweder ein Hochpunkt oder ein Tiefpunkt sein kann ein Punkt am Graphen einer Funktion, dessen Wert (y- Koordinate)
14.4 Warum die Methode der Lagrange-Multiplikatoren funktioniert
14 Optimierung unter Nebenbedingungen 14.4 Warum die Methode der Lagrange-Multiplikatoren funktioniert [1] Lösen sie die folgenden Probleme, indem Sie diese auf ein univariates Problem zurückführen. Zeigen