4.3 Statistik des radioaktiven Zerfalls

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1 4.3 Statstk des radoaktve Zerfalls Stchworte: Radoaktvtät, -, -, -Strahlug, Geger-Müller-Zählrohr, Statstk, Posso- ud Gauß-Vertelug, Stadardabwechug, Rehetszahl, statstsche Aalyse. Theoretsche Grudlage De radoaktve Umwadlug vo Atomkere folgt statstsche Gesetze. Des bedeutet, dass cht der geaue Zetpukt des ezele radoaktve Zerfalls vorhersagbar st, soder ur, dass er mt eer Wahrschelchket vo 5% erhalb der Halbwertszet T / legt. Da de Zerfallseregsse eer Strahlugsquelle kee Korrelatoe utereader bestze, sd se zetlch zufällg vertelt. Abb verdeutlcht, dass dese zufällge zetlche Vertelug de Ursache für de Varato der beobachtete Eregszahle be glecher Messzet T st. De mathematsch exakte Vertelug der Eregszahle für de Erwartugswert sd Posso-Verteluge P (, ). Für geht de Posso- ee Gauß-Vertelug G(, ) über. lm P, lm! exp( ) exp G, Abb Mathematsche Smulato eer Zetvertelug mt Zerfallseregsse (sekrechte Marke) eem Zettervall vo 3 s. De mttlere Zerfallsrate beträgt 3,33 s -. I Messzete vo s erwartet ma m Mttel 4 Zerfallseregsse. De zufällg ausgewählte Messzettervalle T T s ethalte m vorlegede Fall 49 ud 3 Eregsse. Abb Posso-Verteluge für Erwartugswerte,...,. Für klee sd de Verteluge schefsymmetrsch, je größer, um so mehr äher se sch symmetrsche Glockekurve a (vergl. ). Abb Verglech vo Posso- (P() ud Gauß-Vertelug G() für ud 4. Für st ee akzeptable Überestmmug gegebe. Wege der güstgere mathematsche Egeschafte verwedet ma der Strahlugsmesstechk vorzugswese de Gauß-Verteluge.

2 De Varaz der Posso-Vertelug st mt. De Stadardabwechug st de Wurzel aus der Varaz ( ). De Gauß-Vertelug ka mt Hlfe vo folgeder Form geschrebe werde: G (,, ) exp st e Maß für de Brete der Glockekurve. De Fläche (Itegral) zwsche ud beträgt 68,3% der Gesamtfläche, de auf % ormert st. Zur Prüfug eer expermetelle Häufgketsvertelug ka dese etweder drekt mt der Gauß-Vertelug G() oder als Häufgketssummevertelug mt der Itegralfukto W() verglche werde. De Häufgketssummeverteluge werde dabe zweckmäßgerwese auf Wahrschelchketspaper aufgetrage, da de Gaußsche Itegralfukto W() deser Darstellug eer Gerade etsprcht. Abb Darstellug der Gauß- Vertelug G() ud hrer Itegralfukto W() für ud. Der Berech etsprcht 68,6 % des Gesamttegrals. Für st der etsprechede Wert 95,44 %, für 3 etsprcht er 99,7 %. Zechet ma de Itegralfukto auf Wahrschelchketspaper, ergbt sch ee Gerade. Msst ma wederholt de Strahlugstestät ees radoaktve Präparates mt lager Halbwertszet, so erhält ma kostate Messzete T uterschedlche Impulszahle. Der Erwartugswert ka be Ezelmessuge durch de Mttelwert abgeschätzt werde: Der Stadardabwechug etsprcht äherugswese der emprsche Stadardabwechug s: s, ud der Stadardabwechug des Erwartugswertes de Stadardmessuscherhet u ( ) s u.

3 Be eer edlche Messrehe glt äherugswese oder als (grobe) Schätzug. De Stadardabwechug des Erwartugswertes ka als abgeschätzt werde. De Bezehug st be praktsche Messaufgabe ützlch, da se efach ud schell ee Abschätzug für de zu erwartede Streuug der Impulszahle ermöglcht. Tabelle : Absolute ud relatve Stadardabwechuge als Fukto der Impulszahle Azahl der Impulse Stadardabwechug absolut Stadardabwechug relatv 3, 3 % % 3 3, % % Als Rehetszahl RZ defert ma das Verhälts aus der emprsche Stadardabwechug s ud s der ach der Posso-Statstk erwartete Stadardabwechug, RZ. We de Rehetszahl der ähe vo legt, beruht de Streuug der Ezelmessuge auf re statstsche Eflüsse. Be eer größere Abwechug mt RZ ka ee Beeflussug durch wetere Parameter ageomme werde. Aufgabe Bestmmug der ullrate (Utergrudrate) ohe radoaktves Präparat. Auf der Bass vo ca. Ezelmessuge der Impulszahl mt eem radoaktve Präparat soll de Rehetszahl RZ ermttelt werde ud de beobachtete Häufgketsvertelug mt der Gauß-Vertelug verglche werde. Ma erstelle berets währed des Laborversuchs ee (vorläufge) graphsche Darstellug der Häufgketsvertelug. Ma trage de Häufgketssummevertelug auf Wahrschelchketspaper auf ud ermttle de Itegralfukto der Gauß-Vertelug W() als Ausglechsgerade. Bestmme Se de utzrate als der Dfferez vo Messrate ud ullrate. 3 Erforderlche Geräte De Messaordug besteht aus eem Geger- Müller-Detektor (GM) mt achweselektrok (E) ud eem radoaktve Präparat (Q) mt eem Abschrmugsbehälter (A) (vom Assstete beretgestellt). Das Präparat ethält e ukld (Isotop: 9 Sr) mt sehr lager Halbwertszet (T / = 8,6 a), das -Strahlug (Elektroe) aussedet. De Messbedguge (Abstad Präparat Detektor, Hochspaug am Detektor, Messzet) müsse kostat gehalte werde. (Hwes: DeAktvtät der Quelle st gerg ud de Rechwete der ß-Strahlug begrezt. Be eem Abstad vo mehr als cm trtt kee eeswerte Strahlugsdoss auf.) Abb GM Q A Expermeteller Aufbau E 3

4 Ibetrebahme: De Messelektrok wrd a der Rücksete des Gerätegehäuses egeschaltet. Aschleßed muss: () de ETER-Taste ( ), () de Taste uter "Lehre" (3) de Taste uter "GM" gedrückt werde. Es erschet auf dem Dsplay de Iformato: 3(It)mV 55 V T Stop Impulse Für de Messuge muss ur och START/STOP gedrückt werde. 4 Versuchsdurchführug Zuächst bestmme ma de ullrate (etwa Messuge), also de Zählrate, de auch ohe Verwedug ees radoaktve Präparats vom Detektor agezegt wrd. Se etsteht durch atürlche Radoaktvtät de Umgebugsmaterale ud der Luft sowe durch kosmsche Strahlug. Ma messe mal mt dem radoaktve Präparat ( 9 Sr) uter kostate Messbedguge. De Impulszahle für de Messzet vo s sollte m Berech vo 3 5 lege. ach de erste zeh Messuge st e vorläufger Mttelwert zu blde ud e erster Schätzwert für de Stadardabwechug zu bereche:. Im Itervall 3 3 werde praktsch alle Messwerte (99,7 %) erwartet. Deses Itervall tele ma k Klasse, wobe k (für Messuge k ) empfohle wrd. De 6 Klassebrete ergbt sch zu. Ma ka ee gazzahlge äherug verwede. k Währed des Versuchs soll das Etstehe der absolute Häufgketsvertelug Form eer Strchlste beobachtet werde. Dazu trage ma für jede Messwert ee waagerechte Strch de zugehörge Klasse e. Afäglche Usymmetre der Strchlstevertelug werde be wachseder Zahl der Messuge wetgehed verschwde. Be Messuge werde mest (jedoch cht mmer) Verteluge mt Gauß-Kurveform errecht. Abb Strchlstevertelug als äherug für de Vertelugsfukto. Bespel: Alle Impulszahle sd bezoge auf deselbe Messzet (z. B. T= s): Mttelwert = 36 Impulse, Stadardabwechug = 6 Impulse, Gesamtbrete der zeh Klasse = 36 Impulse, Klassebrete = 36 Impulse Klassegreze:. Klasse 34 bs 3456,. Klasse 456 bs 349,... Klasse 3744 bs Auswertug Ma bereche, s, u ( ), ud ud vergleche de Ergebsse. Ma bereche de Rehetszahl RZ. De Messrate st: R M. Se setzt sch zusamme aus der T 4

5 utzrate R ud der ullrate R, RM R R. Bestmme Se R ud R. (Gebe Se vollstädge Ergebsse a, also Ergebsgröße ud (Stadard-)Messuscherhete.) Tele Se de Berech zwsche dem größte ud dem kleste Wert vo k glech große Itervalle (Klasse, Azahl k, wr zuvor.) ud vertele Se de -Messwerte auf de k-klasse. Se erhalte so de absolute Häufgketsvertelug. Dvdert ma dese durch so erhält ma de relatve Häufgketsvertelug, de als Hstogramm zusamme mt eer berechete Gauß-Vertelug G() dargestellt werde ka. Zur ormerug multplzere ma de Gauß-Vertelug mt K. (Begrüdug: Das Itegral der ree Gauß-Vertelug st. De Summe der relatve Häufgketsvertelug st zwar ebefalls, aber be eer Hstogrammdarstellug st de Gesamtfläche K, wobe K de Klassebrete, also glech der Brete der Säule m Hstogramm st). Abb Verglech eer gemessee Häufgketsvertelug (rot) mt eer Gaußvertelug (schwarz), de für 375 ud 6 berechet wurde. Durch Multplkato der Gauß- Vertelug mt dem Faktor K = 36,7 (=Klassebrete)erhalte bede Verteluge de gleche ormerug. Zusätzlch soll e Verglech zwsche der gemessee Häufgketssummevertelug (erster Wert = Ihalt Klasse, zweter Wert = Summe vo Klasse + Klasse,...) mt der Gaußsche Itegralfukto W() (sehe Abb ) durchgeführt werde. Dazu zeche ma de Häufgketssumme auf Wahrschelchketspaper. Ee Gaußsche Itegralfukto W() ergbt bem Auftrage auf Wahrschelchketspaper ee Gerade. We de dskrete Pukte der expermetelle Häufgketssummevertelug ee leare Zusammehag erkee lasse, bestätgt des, dass de Messwerte eer Gaußsche ormalvertelug etspreche ud de Ausglechsgerade st da ee äherug für de der zugehörge Itegralfukto W(). De Auswertug mt Hlfe vo Wahrschelchketspaper betet auch de Möglchket, Erwartugswert ud Stadardabwechug zu bestmme: Dem Ordatewert 5% etsprcht auf der Abszsseachse der Erwartugswert, de Ordatewerte 5,9% ud 84,% etspreche Abszssewerte, dere Dfferez glech der doppelte Stadardabwechug st. Abb Häufgketssummevertelug der Messwerte aus Abb (rot) aufgetrage mt eer Wahrschelchketsordate. De Ausglechsgerade (schwarz) etsprcht der Itegralfukto der Gauß-Vertelug W() ud ka gezegter Wese zur Abschätzug des Erwartugswerts <> ud der Stadardabwechug dee. 5

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