Komplexe Zahlen Rechnen mit komplexen Zahlen Anwendungen der komplexen Rechnung. Komplexe Zahlen. Fakultät Grundlagen. Juli 2015

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1 Komplexe Zahlen Fakultät Grundlagen Juli 2015 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen

2 Übersicht Komplexe Zahlen 1 Komplexe Zahlen Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen 2 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen 3 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 2

3 Zahlenmengen Komplexe Zahlen Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Menge mögliche Rechenoperationen N +, Z +,, Q +,,, :, Potenzen Q R R C +,,, :, Potenzen Grenzwerte 2, e, π, +,,, :, Potenzen, Wurzeln Grenzwerte 2, e, π, algebraische Gleichungen Zahlen des bürgerlichen Rechnens Darstellung als endliche oder periodische Dezimalbrüche Vervollständigung durch Grenzwerte; jeder Punkt der Zahlengeraden entspricht einer reellen Zahl Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 3 C R Q Z N

4 imaginäre Einheit Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Problem: x = 0 x = ± 1 keine reelle Lösung! Wir führen ein neues Symbol ein und legen fest: 1 = j Formal besitzt damit obige Gleichung die Lösungen x = ±j Wenn wir voraussetzen, dass diese neue Zahlen denselben Rechengesetzen genügen, wie die reellen Zahlen, erhalten wir damit auch Lösungen für andere bisher nicht lösbare Gleichungen x 2 + 2x + 5 = 0 16 ( 1) {}}{ x 1/2 = 2 ± = 2 ± 16 ( 1) 2 = x 1/2 = 1 ± 2j Hier wird benutzt: a b = a b 2 ± 4j 2 Linearkombinationen von alten reellen Zahlen und Vielfachen der neuen Zahl j machen Sinn! Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 4

5 Definition der komplexen Zahlen Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen 1 Der Ausdruck 1 heißt imaginäre Einheit und wird mit j bezeichnet 2 Ausdrücke der Form j y mit y R heißen imaginäre Zahlen 3 Ausdrücke der Form z = x + j y mit x, y R werden als komplexe Zahlen bezeichnet 4 Ist z = x + j y eine komplexe Zahl, so heißen x = Re (z) Realteil von z y = Im (z) Imaginärteil von z 5 Die Menge C = {z = x + j y x, y R} wird als Menge der komplexen Zahlen bezeichnet Bemerkungen: Der Imaginärteil y einer komplexen Zahl z = x + j y ist der Faktor bei j und damit selbst eine reelle Zahl In der Mathematik wird die imaginäre Einheit 1 üblicherweise mit i bezeichnet (Technik: i: Stromstärke) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 5

6 Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Kartesische Darstellung der komplexen Zahlen I Im y z = x + jy Jeder komplexen Zahl z = x + j y entspricht genau ein Punkt P(x, y) in der komplexen Zahlenebene und umgekehrt Re x 1 Die komplexe Zahlenebene wird als Gaußsche Zahlenebene bezeichnet 2 In der Gaußschen Zahlenebene heißen die Achsen des kartesischen Koordinatensystems reelle Achse bzw imaginäre Achse Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 6

7 Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Kartesische Darstellung der komplexen Zahlen II 1 Wir beschriften die imaginäre Achse hier in der Form j, 2j, 3j wie dies in der Elektrotechnik üblich ist (und nicht 1, 2, 3, ) Das bedeutet, dass auf dieser Achse nicht der Imaginärteil y, sondern die imaginäre Zahl jy dargestellt wird 2 Für manche Anwendungen ist es hilfreich, eine komplexe Zahl nicht als Punkt P(x, y) in der Gaußschen Zahlenebene zu veranschaulichen, sondern stattdessen den zugehörigen Ortsvektor zu betrachten: ( ) x z = x + j y z = y jy Im z Re x In diesem Fall spricht man von z als einem komplexen Zeiger Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 7

8 Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Polardarstellung der komplexen Zahlen I Neben der oben eingeführten Im kartesischen Darstellung z = x + j y kann eine komplexe z = x + jy jy Zahl auch entsprechend der neben stehenden Skizze durch r ihren Abstand r vom Koordinatenursprung und den Winkel ϕ Re ϕ eindeutig festgelegt werden x Zusammenhang zwischen den Koordinaten (x, y) und (r, ϕ): x = r cos ϕ r = x bzw 2 + y 2 y = r sin ϕ tan ϕ = y x Der Zusammenhang zwischen dem Quotienten y x und dem Winkel ϕ [0, 2π) ist nicht eindeutig, da die Tangensfunktion π-periodisch ist Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 8

9 Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Polardarstellung der komplexen Zahlen II Trigonometrische Darstellung einer komplexen Zahl z = x + j y = r cos ϕ + j r sin ϕ z = r (cos ϕ + j sin ϕ) Im Folgenden wird der Ausdruck cos ϕ + j sin ϕ sehr häufig auftreten Deshalb führen wir dafür die Abkürzung e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ ein Somit ergibt sich schließlich eine sehr kompakte Darstellung, die sogenannte Exponential-Darstellung einer komplexen Zahl: z = r cos ϕ + j r sin ϕ = r (cos ϕ + j sin ϕ) = re jϕ Bezeichnungen: r = z Betrag von z (Abstand von z zum Koordinatenursprung) ϕ = arg z Argument oder Phase von z Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 9

10 Zusammenfassung Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Darstellungsmöglichkeiten komplexer Zahlen: 1) z = x + jy (kartesische Darstellung) 2) z = r(cos ϕ + j sin ϕ) (trigonometrische Darstellung) 3) z = re jϕ (Exponential-Darstellung) Die Darstellungen 2) und 3) werden unter dem Begriff Polardarstellung zusammengefasst Zusammenhang zwischen den Koordinaten (x, y) und (r, ϕ): x = r cos ϕ r = x bzw 2 + y 2 y = r sin ϕ tan ϕ = y x Vorsicht: Der Zusammenhang zwischen dem Quotienten y x und dem Winkel ϕ [0, 2π) ist nicht eindeutig, da die Tangensfunktion π-periodisch ist Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 10

11 Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Beispiel: arg z für z 1 = 1 + 2j und z 2 = 1 2j tan ϕ 1 = 2 1 = 2 TR ϕ 1 = (6343 o ) ebenso gilt: tan ϕ 2 = 2 1 = 2 Aus der Skizze ergibt sich jedoch, dass sich ϕ 1 und ϕ 2 um π unterscheiden ϕ 2 = ϕ 1 + π Die Gleichung tan ϕ = y x mit x : Realteil, y : Imaginärteil besitzt in [0, 2π) zwei verschiedene Lösungen hat, die sich um den Winkel π unterscheiden Welche dieser Lösungen jeweils die Richtige ist, kann man durch ein Handskizze leicht feststellen z 2 = 1 2j Im j ϕ ϕ z 1 = 1 + 2j Re Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 11

12 Arcustangens Komplexe Zahlen Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Wird zur Berechnung von ϕ ein Rechner benutzt, so liefert dieser in der Regel zunächst einen Winkel ψ = arctan y x mit π 2 ψ π 2 Der gesuchte Winkel ϕ = arg z ergibt sich dann gegebenenfals durch Addition eines Korrekturwinkels = ±π; abhängig vom Quadranten, in dem die komplexe Zahl z liegt f (x) = arctan x π 2 π 4 y 1 x x arctan x 0 π 6 π 4 3 π 3 π 2 0 o 30 o 45 o 60 o 90 o Ferner gilt: arctan( x) = arctan x Für Punkte auf der Imaginärachse ist die Bestimmungsgleichung ψ = arctan y x nicht anwendbar; hier ergibt sich der Winkel aus der Lage in der Gaußschen Zahlenebene Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 12

13 Beispiele I z 1 = 1 + 2j Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Radius und Winkel? 2j Im r ϕ 1 1 z 1 = 1 + 2j Re 1 Quadrant r 1 = = 5 ϕ 1 = arctan = 1, = 1, 1 (= 63, 4 o ) z 1 = 5 e 1,1j = 5 [cos(11 ) + j sin(11 )] Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 13

14 Beispiele II z 2 = 2 2j Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Im j ϕ 2 1 r 2 z 2 = 2 2j Re Radius und Winkel? 4 Quadrant r 2 = ( 2) 2 + ( 2) 2 = 8 = 2 2 ϕ 2 = arctan = π 4 + 2π = 7π 4 (= 315 o ) z 2 = 2 2 e 7π 4 j = 2 2 [ cos( 7π 4 ) + j sin( 7π 4 )] Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 14

15 Konjugiert komplexe Zahl I Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen Bei der Lösung einer quadratischen Gleichung mittels komplexer Zahlen ergab sich stets ein Ausdruck der Gestalt x 1,2 = a ± jb x 2 + 4x + 20 = 0 x 1,2 = 4 ± = 2 ± 4j Zu einer gegebenen komplexen Zahl z = x + j y ist die konjugiert komplexe Zahl definiert durch z = x jy y Im r ϕ ϕ x z = x + j y Re In der Gaußschen Zahlenebene erhält man z indem man die Zahl z an der reellen Achse spiegelt y r z = x j y Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 15

16 Konjugiert komplexe Zahl II Erweiterung des Zahlbegriffs Definition Darstellung komplexer Zahlen In der Polardarstellung ergibt sich entsprechend: z = r(cos ϕ + j sin ϕ) z = r(cos( ϕ) + j sin( ϕ)) bzw z = r e jϕ z = r e j( ϕ) = r e jϕ Beispiele: z = 2 3j z = 1 + 2j = r(cos ϕ j sin ϕ) z = 2 + 3j z = 1 2j z = 2 [cos( π 4 ) + j sin( π 4 )] z = 2 [cos( π 4 ) + j sin( π 4 )] = 2 [cos( π 4 ) j sin( π 4 )] z = 2e 3π 4 j z = 2e 3π 4 j Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 16

17 Gleichheit zweier komplexer Zahlen Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Zwei Zahlen sind dann als gleich anzusehen, wenn die entsprechenden Punkte bzw Zeiger in der Gaußschen Zahlenebene zusammen fallen bzw x 1 + jy 1 = x 2 + jy 2 x 1 = x 2 und y 1 = y 2 r 1 e jϕ 1 = r 2 e jϕ 2 r 1 = r 2 und ϕ 1 = ϕ 2 + 2πk, (k = 0, ±1, ) Hierbei ist die Mehrdeutigkeit der Winkelangaben zu beachten! Bemerkung: Eine Gleichung mit komplexen Zahlen besitzt denselben Informationsgehalt wie zwei Gleichungen mit reellen Zahlen Dies ist besonders für Gleichungen in der Komponentenform deutlich (vgl Vektorrechnung!) Es ergeben sich stets zwei Gleichungen für Real- und Imaginärteil Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 17

18 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen I Addition und Subtraktion ergeben sich aus den entsprechenden Rechenoperationen für reelle Zahlen, indem man die üblichen Rechengesetze anwendet und das Symbol j wie eine reelle Zahl behandelt z 1 = x 1 + jy 1 z 2 = x 2 + jy 2 z 1 + z 2 = (x 1 + jy 1 ) + (x 2 + jy 2 ) = x 1 + x 2 + j(y 1 + y 2 ) z 1 z 2 = (x 1 + jy 1 ) (x 2 + jy 2 ) = x 1 x 2 + j(y 1 y 2 ) Beispiel: z 1 = 3 + j, z 2 = 1 + 2j z 1 + z 2 = (3 + j) + (1 + 2j) = 4 + 3j, z 1 z 2 = (3 + j) (1 + 2j) = 2 j Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 18

19 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Addition und Subtraktion zweier komplexer Zahlen II Die Addition von komplexen Zahlen entspricht in der Gaußschen Zahlenebene der Addition der entsprechenden komplexen Zeiger im Sinne der Vektoraddition für Vektoren Entsprechendes gilt für die Differenz von komplexen Zahlen Es gelten die Parallelogrammregeln 1 Im z 2 z 1 + z 2 z 1 Re 1 Im 1 z 2 z 1 Re 1 z 2 z1 z 2 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 19

20 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Multiplikation zweier komplexer Zahlen I Wir gehen von der Gültigkeit der Klammerregel aus und beachten j 2 = 1 z 1 = x 1 + jy 1, z 1 z 2 = (x 1 + jy 1 ) (x 2 + jy 2 ) z 2 = x 2 + jy 2 = x 1 x 2 + jy 1 x 2 + x 1 jy 2 + j 2 y }{{} 1 y 2 = 1 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + j(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) Beispiel: z 1 z 2 = (x 1 x 2 y 1 y 2 ) + j(x 1 y 2 + x 2 y 1 ) 1 z 1 = 3 + j, z 2 = 1 + 2j z 1 z 2 = (3+j) (1+2j) = 3+j+6j+2j 2 = 3+7j+2 ( 1) = 1+7j 2 z 1 = 4 2j, z 2 = 2 + j z 1 z 2 = (4 2j) ( 2 + j) = 8 + 4j + 4j 2j 2 = 8 + 8j + 2 = 6 + 8j Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 20

21 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Multiplikation zweier komplexer Zahlen II Spezialfall: Es sei z = x + jy eine beliebige komplexe Zahl und z die zu z konjugiert komplexe Zahl Dann gilt für das Produkt: z z = (x + jy)(x jy) = x 2 + jxy jxy (jy) 2 = x 2 ( y 2 ) = x 2 + y 2 z z = x 2 + y 2 = r 2 = z 2 bzw z = z z Insbesondere ist der Ausdruck z z stets reell und nichtnegativ Beispiel: z = 2 3j z z = (2 3j) (2 + 3j) = = 13 Vorsicht! z 2 = (2 3j) (2 3j) = J = 5 12j Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 21

22 Division zweier komplexer Zahlen Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Spezialfall: Division einer komplexe Zahl durch eine reelle Zahl 4 + 6j 2 = j = 2 + 3j Beweis (2 + 3j) 2 = 4 + 6j Real- und Imaginärteil werden getrennt durch den reellen Faktor dividiert! Die Division von zwei beliebigen komplexen Zahlen kann durch einen kleinen Trick auf diesen Spezialfall zurückgeführt werden 2 + j 3 j =? Idee: Erweitere den Bruch mit 3 + j Nenner wird reell 2 + j (2 + j)(3 + j) j + 2j + j 3 j = = Probe: (3 j)(3 + j) = Beispiel: 1 j 1 2j 6 + 5j + ( 1) 10 = 5 + 5j 10 = j 2 (1 + j) (3 j) = 2 + j 2 (1 j)(1 + 2j) 1 j + 2j 2j = = (1 2j)(1 + 2j) = j + 2 = j = j Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 22

23 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Multiplikation und Division in Polardarstellung I z 1 = r 1 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ), z 2 = r 2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) z 1 z 2 = r 1 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) r 2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) = r 1 r 2 [(cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) +j(cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 )] Additionstheoreme: cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 sin(ϕ 1 + ϕ 2 ) = cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 z 1 z 2 = r 1 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) r 2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) = r 1 r 2 [(cos ϕ 1 cos ϕ 2 sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) +j(cos ϕ 1 sin ϕ 2 + sin ϕ 1 cos ϕ 2 )] = r 1 r 2 [cos(ϕ 1 + ϕ 2 ) + jsin(ϕ 1 + ϕ 2 )] Regel: Die Radien werden multipliziert und die Winkel addiert Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 23

24 Additionstheoreme Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen cos(α + β) = cos α cos β sin α sin β sin(α + β) = cos α sin β + sin α cos β sin(α + β) α cos α sin β sin α cos β β α cos(α + β) cos α cos β sin α sin β Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 24

25 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Multiplikation und Division in Polardarstellung II Die Division lässt sich durch Erweiterung mit dem konjugiert komplexen Nenner auf das Multiplikationsproblem zurückführen z 1 z 2 = r 1(cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) r 2 (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) = r 1 = r 1 r2 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) (cos ϕ 2 j sin ϕ 2 ) = r 1 r2 [(cos ϕ 1 cos ϕ 2 + sin ϕ 1 sin ϕ 2 ) +j(sin ϕ 1 cos ϕ 2 cos ϕ 1 sin ϕ 2 )] = r 1 r2 [cos(ϕ 1 ϕ 2 ) + jsin(ϕ 1 ϕ 2 )] r2 (cos ϕ 1 + j sin ϕ 1 ) (cos ϕ 2 j sin ϕ 2 ) (cos ϕ 2 + j sin ϕ 2 ) (cos ϕ 2 j sin ϕ 2 ) }{{} =cos 2 ϕ 2 +sin 2 ϕ 2 =1 Regel: Die Radien werden dividiert und die Winkel subtrahiert Additionstheoreme: cos(ϕ 1 ϕ 2 ) = cos ϕ 1 cos ϕ 2 + sin ϕ 1 sin ϕ 2 sin(ϕ 1 ϕ 2 ) = cos ϕ 1 sin ϕ 2 sin ϕ 1 cos ϕ 2 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 25

26 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Multiplikation und Division in Polardarstellung III Benutzen wir die Abkürzung e jϕ = cos ϕ + j sin ϕ, so können wir die Rechenregeln zur Multiplikation und Division kürzer schreiben: z 1 z 2 = r 1 e jϕ1 r 2 e jϕ 2 = r 1 r 2 e jϕ 1+jϕ 2 = r 1 r 2 e j(ϕ 1+ϕ 2 ) z 1 z 2 = r 1e jϕ 1 r 2 e jϕ = r 1 2 r2 e jϕ1 e jϕ 2 = r 1 r2 e jϕ 1 jϕ 2 = r 1 r2 e j(ϕ 1 ϕ 2 ) Die Regeln für die Multiplikation und Division von komplexen Zahlen in Polardarstellung zeigen, dass sich der zunächst als reine Abkürzung eingeführte Ausdruck e jϕ tatsächlich wie eine Exponentialfunktion verhält Zusammenfassung: Produkt z 1 z 2 : z 1 z 2 = r 1 r 2 e j(ϕ 1+ϕ 2 ) (Produkt der Beträge, Summe der Argumente) z 1 Quotienten z 1 z 2 : z 2 = r 1 (Quotient der Beträge, Differenz der Argumente) r2 e j(ϕ 1 ϕ 2 ) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 26

27 Potenzen komplexer Zahlen z n = z z z }{{} n Faktoren Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen z = r e jϕ = z n = (r e jϕ ) n = r n e jnϕ Regel:Bilde die n-te Potenz von r = z und multipliziere ϕ = arg z mit n In der trigonometrischen Darstellung erhalten wir entsprechend: z = r(cos ϕ + j sin ϕ) = z n = r n [cos(nϕ) + j sin(nϕ) ] z = 1 + j = 2 e j π 4 z 2 = 2 2 e j π 2 z 3 = ( 2) 3 e j 3π 4 = 2j = 2 2( j = 2 + 2j 2 2 ) z 4 = ( 2) 4 e jπ = 4 ( 1) = 4 z4 Rechnung in kart Darstellung zur Kontrolle! Im z3 z2 j z Re 1 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 27

28 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiel z 3 = 8 I Wir suchen wie im Reellen eine Zahl, die entsprechend oft mit sich selber multipliziert die Ausgangszahl ergibt Neu Exponentialdarstellung z = re jϕ z 3 = ( re jϕ) 3 = r 3 e j3ϕ! = 8 = 8e iπ Gleichheit = Radius und Winkel müssen übereinstimmen! r 3 = 8, 3ϕ = π Erfüllt für r = 2 und ϕ = π 3! Damit ist z = 2e j π 3 = 1 + 3j eine Lösung Frage: Wo bleibt die aus dem Reellen bekannte Lösung z = 2? 8 lässt sich in Polarkoordinaten auch noch formal anders darstellen: z 3 = ( re jϕ) 3 = r 3 e j3ϕ! = 8 = 8e j3π Dies liefert r = 2, ϕ = π und damit z = 2e jπ = 2 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 28

29 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiel z 3 = 8 II Nun gibt es noch eine dritte Möglichkeit für die Darstellung der Zahl 8: z 3 = ( re jϕ) 3 = r 3 e j3ϕ! = 8 = 8e j5π Damit erhalten wir schließlich als dritte Lösung r = 2, ϕ = 5π 3 z = 2e j 5π 3 = 1 3j Addieren wir nochmals 2π hinzu, so ergibt sich die Ausgangslösung: z 3 = ( re jϕ) 3 = r 3 e j3ϕ! = 8 = 8e j7π r = 2, ϕ = 7π 3 = 2π + π 3 z = 2e j π 3 = 1 + 3j Generelle Mehrdeutigkeit des Wurzelbegriffs im Komplexen! Im Reellen nur bei Quadratwurzeln aus positiven Zahlen! Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 29

30 Wurzeln komplexer Zahlen Exponential-Darstellung: z = re jϕ a = Ae jα Dann gilt: z n = r n e jnϕ! = A e jα = a Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen z n = a z = n a r n = A r = n A bzw nϕ = α ϕ = α n Somit ist z 0 = n A e j α n eine Lösung der Gleichung z n = a Die Winkel α und α + 2πk ergeben denselben Punkt in der Gaußschen Ebene e j(α+2πk) = e jα = a Daher erhalten wir weitere Lösungen von z n = a durch z k = n A e j α+2πk n (z k ) n = A e j(α+2πk) = Ae jα = a Nur für k = 0, 1,, n 1 ergeben sich verschiedene Zahlen, denn z n = n A e j α+2πn n = n A e j α n +2π = z 0 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 30

31 Wurzeln komplexer Zahlen Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen z n = a z = n a Die Gleichung z n = a = Ae jα (A > 0) besitzt genau n verschiedene komplexe Lösungen (Wurzeln) z k = re jϕ k = r(cos ϕ k + j sin ϕ k ) mit r = n A, ϕ k = α + 2πk n ; k = 0, 1,, n 1 Diese liegen in der Gaußschen Zahlenebene auf einem Ursprungskreis vom Radius r = n A und bilden die Eckpunkte eines regelmäßigen n-ecks Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 31

32 Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiele I Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen z = 4 1 z 4 = 1 = 1 e j0 Im z k = 4 1 e j 0+2πk 4 k = 0, 1, 2, 3 z 0 = 1 e j0 = 1 z 1 = 1 e j 2π 4 = 1 e j π 2 = j z 2 = 1 e j 4π 4 = 1 e jπ = 1 z 3 = 1 e j 6π 4 = 1 e j 3π 2 = j z 2 z 1 z3 r = 1 z 0 Re Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 32

33 Wurzeln komplexer Zahlen; Beispiele II Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen z = 3 j z 3 = j = 1 e j π 2 z k = 3 1 e j( π 6 + 2πk 3 ) k = 0, 1, 2 z 0 = 1 e j π 6 = 1 2 ( 3 + j) z 1 = 1 e j 5π 6 = 1 2 ( 3 + j) z 2 = 1 e j 9π 6 = e j 3π 2 = j z 1 Im z2 r = 1 z 0 Re Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 33

34 Wurzeln: Komplexe Zahlen komplex reell Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Bemerkung: Im Reellen erhielten wir beim Wurzelziehen mit einem ungeraden Exponenten nur eine Lösung, bei geradem Wurzelexponenten ergaben sich (soweit überhaupt im Rellen lösbar) stets zwei Lösungen Wie ist diese Beobachtung mit den obigen Resultaten verträglich? Wie wir erkannt haben, liegen sämtliche komplexen Wurzeln einer Zahl auf den Ecken eines regelmäßigen Vielecks mit Mittelpunkt im Ursprung Bei ungerader Eckenzahl kann nur eine Ecke auf der reellen Achse liegen Liegt bei gerader Eckenzahl eine Ecke auf der reellen Achse, so stets auch eine zweite Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 34

35 Fundamentalsatz der Algebra Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Das Polynom p n (x) = a n x n + a n 1 x n a 1 x + a 0 = 0 besitzt im Reellen höchstens n Lösungen Die Gleichung z n a = 0 besitzt in C genau n Lösungen; allgemein: p n (z) = a n z n + a n 1 z n a 1 z + a 0 = 0 besitzt in der Menge der komplexen Zahlen stets genau n Lösungen z 1, z 2, z n p n (z) lässt sich daher komplett in (komplexe) Linearfaktoren zerlegen: p n (z) = a n (z z 1 ) (z z 2 ) (z z n ) Bemerkung: Dies ist ein reiner Existenzsatz Explizite Lösungsformeln existieren nur für einfache Gleichungen Neben der bekannten Mitternachtsformel für quadratische Gleichungen existieren nur noch für Gleichungen der Ordnung drei und vier explizite Lösungsformeln Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 35

36 Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Quadratische Gleichung az 2 + bz + c = 0, mit a, b, c C z 1/2 = b ± b 2 4ac 2a Mitternachtsformel Sind die Koeffizienten a, b und c reelle Zahlen, so hängt die Art der Lösungen vom Vorzeichen der (reellen) Diskriminante b 2 4ac ab a) b 2 4ac > 0 zwei reelle Lösungen b) b 2 4ac = 0 eine (doppelte) reelle Lösung z 1,2 = b 2a c) b 2 4ac < 0 ein Paar konjugiert komplexer Lösungen Vieta: Im Fall c) z 1,2 = b ± b 2 4ac 2a = b ± j (4ac b 2 ) 2a = b ± (4ac b 2 )( 1) 2a Sind z 1, z 2 Lösungen der Gleichung z 2 + pz + q = 0, so gilt: p = (z 1 + z 2 ), q = z 1 z 2 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 36

37 Quadratische Gleichung; Beispiel Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen z 2 8z + 25 = 0 z 1,2 = 8 ± = 4 ± 3j Kontrolle mit Satz von Vieta: z 1 + z 2 = (4 + 3j) + (4 3j) = 8 = p z 1 z 2 = (4 + 3j) (4 3j) = 25 = q Zerlegung in (komplexe) Linearfaktoren: p 2 (z) = [z (4 + 3j)] [z (4 3j)] = z 2 [(4 + 3j) z + (4 3j) z] + (4 + 3j) (4 3j) = z 2 8z + 25 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 37

38 Konjugiert komplexe Nullstellen Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Viele der bei quadratischen Gleichungen festgestellten Eigenschaften finden sich auch bei Problemen höherer Ordnung Sind alle Koeffizienten a 0, a 1,, a n von p n (z) reell, so treten komplexe Nullstellen stets als Paare konjugiert komplexer Zahlen auf Ist z 0 Lösung von p n (z 0 ) = a n z n a 1z 0 + a 0 = 0, so gilt auch p n (z0 ) = a n (z0 ) n + a n 1 (z0 ) n a 1 (z0 ) + a 0 = a n (z0 n ) ( ) + a n 1 z n a1 (z 0 ) + a 0 = (a n z0 n ) + ( a n 1 z0 n 1 ) + + (a1 z 0 ) + (a 0 ) = (p n (z 0 )) = 0 = 0 z 0 ist ebenfalls Nullstelle Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 38

39 Abspalten von Linearfaktoren Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Ist z 0 Lösung von p n (z) = 0, so gilt: p n (z) = (z z 0 ) q n 1 (z), wobei q vom Grad (n 1) ist Existiert ein Paar konjugiert komplexer Nullstellen, so ergeben diese beiden Linearfaktoren ausmultipliziert stets ein quadratisches Polynom mit reellen Koeffizienten Es gilt (z z 0 )(z z 0 ) = z 2 z(z 0 + z 0 ) + z 0 z 0 = z 2 2Re (z 0 ) z + z 0 2 z 0 + z 0 = (x 0 + jy 0 ) + (x 0 jy 0 ) = 2x 0 = 2Re (z 0 ) z 0 z 0 = (x 0 + jy 0 ) (x 0 jy 0 ) = x y 2 0 = z 0 2 Jedes Polynom mit reellen Koeffizienten ist zerlegbar in Linearfaktoren und quadratische Polynome mit reellen Koeffizienten Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 39

40 Beispiel I Komplexe Zahlen Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Bestimme sämtliche Lösungen von z 3 z 2 + 4z 4 = 0 Raten: z 1 = 1 Polynomdivision z 3 z 2 + 4z 4 : (z 1) = (z 2 + 4) z = 0 z 2 = 4 z 2/3 = ± 4 = ±2j Faktorzerlegung z 3 z 2 + 4z 4 = (z 1)(z 2j)(z + 2j) = (z 1) (z 2 + 4) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 40

41 Beispiel II Komplexe Zahlen Grundrechenarten Potenzen und Wurzeln komplexer Zahlen Lösen algebraischer Gleichungen Bestimme sämtliche Lösungen von z 4 4z 3 + 6z 2 4z + 5 = 0 Raten: z 1 = j z 2 = z 1 = j Abspalten von (z j)(z + j) = z Polynomdivision: z 4 4z 3 + 6z 2 4z + 5 : (z 2 + 1) = (z 2 4z + 5) z 2 4z + 5 = 0 z 3/4 = 4 ± = 2 ± j Komplexe Faktorzerlegung: z 4 4z 3 + 6z 2 4z + 5 = (z z 1 ) (z z 2 ) (z z 3 ) (z z 4 ) = [(z j) (z + j)] [(z 2 j) (z 2 + j)] = (z 2 + 1) (z 2 4z + 5) In R, d h für z = x, so erhalten wir die reelle Faktorzerlegung p(x) = x 4 4x 3 + 6x 2 4x + 5 = (x 2 + 1) (x 2 4x + 5) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 41

42 x = x(t) = A cos(ωt + ϕ) Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise ϕ ω A x(t) = A cos (ωt + ϕ) t x(t) beschreibt z B: mechanische Schwingungen, elektrische Schwingkreise, etc T = 2π ω A: Amplitude (Maximalauslenkung) der Schwingung (A > 0) ω: Kreisfrequenz (ω > 0) ω = 2πf = 2π T ; f= T 1 ϕ: Nullphasenwinkel Winkel zur Zeit t = 0 (x(0) = A cos ϕ) Gilt ϕ > 0, so bedeutet dies, dass die durch x(t) beschriebene harmonische Schwingung der Funktion cos (ωt) um ϕ voraus eilt Die zugehörige Kurve ist um ϕ ω nach links verschoben Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 42

43 x = x(t) = A sin(ωt + ψ) Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Harmonische Schwingungen lassen sich auch mittels der Sinusfunktion als Grundfunktion darstellen Durch eine Phasenverschiebung um π 2 geht diese in die Kosinus-Darstellung über x(t) = A sin(ωt + ψ) = A cos(ωt + ψ π }{{ 2 ) = A cos (ωt + ϕ) } ϕ d h ψ = ϕ + π 2 bzw ϕ = ψ π 2 Hier machen wir bevorzugt von der Kosinus-Darstellung Gebrauch! Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 43

44 x = x(t) = a cos(ωt) + b sin(ωt) Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Eine harmonische Schwingung lässt sich auch als Summe von reinen Kosinus- und Sinusfunktionen darstellen Mit Hilfe der Additionstheoreme erhalten wir den Zusammenhang: x(t) = A cos (ωt + ϕ) = A [cos ϕ cos(ωt) sin ϕ sin(ωt)] = A cos ϕ cos(ωt) A sin ϕ sin(ωt)! = a cos(ωt) + b sin(ωt) a = A cos ϕ b = A sin ϕ bzw A = a 2 + b 2 tan ϕ = b a Bei der Bestimmung des Phasenwinkels ist wieder eine Quadrantenbetrachtung notwendig Der richtige Phasenwinkel ergibt sich dabei aus den Gleichungen für die Koeffizienten a und b Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 44

45 Beispiel: x(t) = cos(t) 3 sin(t) x(t) = a cos(ωt)+b sin(ωt) Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise! = cos(t) 3 sin(t) A = = 2, tan ϕ = 3 1 ϕ 1 = π 3, ϕ 2 = π 3 + π = 4π 3 Welcher Winkel ist der Richtige? ω = 1 a = 1 b = 3 A cos ϕ 1 = 2 cos π 3 = 1 A sin ϕ 1 = 2 sin π 3 = 3 A cos ϕ 2 = 2 cos 4π 3 = 1 A sin ϕ 2 = 2 sin 4π 3 = 3 Damit ist ϕ 1 der richtige Phasenwinkel und es gilt: x(t) = cos t ( 3 sin t = 2 cos t + π ) 3 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 45

46 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Darstellung der Kosinus-Schwingung A cos(ωt) z(t) = A e jωt = A [cos ωt + j sin ωt] komplexe Erweiterung x(t) = A cos ωt = Re {z(t)}, y(t) = A sin ωt = Im {z(t)} In Abhängigkeit von t bewegt sich der komplexe Zeiger auf einem Ursprungskeis mit Radius A Die Projektion von z(t) auf die reelle Achse ergibt die Kosinusfunktion x(t), während man durch die Projektion auf die imaginäre Achse die Sinusfunktion y(t) erhält Man nennt z(t) = Ae jωt die komplexe Zeigerdarstellung einer harmonischen Schwingung A e jωt = z(t) ωt A = z(0) A cos(ωt) A sin(ωt) MATLAB: zeig mov(1,0) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 46

47 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Darstellung der Kosinus-Schwingung A cos(ωt + ϕ) z(t) = A e j(ωt+ϕ) = A[cos(ωt + ϕ) + j sin(ωt + ϕ)] x(t) = A cos(ωt + ϕ) = Re {z(t)} z(t) = A e j(ωt+ϕ) = a e jωt = A}{{ e jϕ } a e jωt Geometrische Deutung: Bewegung der komplexen Zahl a = A e jϕ mit der Winkelgeschwindigkeit ω auf einem Kreis um den Ursprung mit Radius A Die Zahl a wird dabei als komplexe Amplitude bezeichnet z(t) A ωt ϕ a = z(0) MATLAB: zeig mov(1,pi/3) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 47

48 Komplexe Zeiger-Darstellung Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Komplexe Zeiger-Darstellung von Schwingungsvorgängen Die reelle harmonische Funktion x(t) = A cos(ωt+ϕ) und die komplexe Erweiterung z(t) = A e (ωt+ϕ) besitzen denselben Informationsgehalt Bei vorgegebener Kreisfrequenz ω wird eine harmonische Schwingung durch die Amplitude A und den Phasenwinkel ϕ bestimmt Die Funktion x(t) = A cos(ωt + ϕ) kann als Realteil des in der komplexen Zahlenebene mit der Winkelgeschwindigkeit ω rotierenden komplexen Zeigers a = z(0) = A e jϕ betrachtet werden Der Übergang zum Realteil entspricht geometrisch der Projektion auf die reelle Achse Beispiel: x(t) = 3 cos(2t π 4 ) = Re {z(t)} z(t) = 3e j(2t π 4 ) = 3e j π 4 }{{} e j2t wobei a = 3e j π 4 = a [1 j] Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 48

49 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Überlagerung von: x 1 (t) = 2 cos(ωt + π 4 ) und x 2(t) = 2 2 cos(ωt + π) Strategie: Summe der komplexen Ersatzgrößen z 1 (t) = 2e j(ωt+ π 4 ) = 2e j π 4 }{{} e jωt, z 2 (t) = 2 2e j(ωt+π) = 2 }{{ 2e jπ } e jωt a 1 a 2 z(t) = z 1 (t) + z 2 (t) = (2e j π ) 2e jπ e jωt ( = 2( j 2 2 ) + 2 ) 2 ( 1) e jωt = ( 2 + j 2)e jωt a = 2 + j 2 = Ae jϕ A = ( 2) 2 + ( 2) 2 = 2 ϕ = arctan = π 4 + π = 3π 4 z(t) = 2 e j 3π 4 e jωt = 2 e j(ωt+ 3π 4 ) Nun gilt: Re {z(t)} = Re {z 1 (t)} + Re {z 2 (t)} = x 1 (t) + x 2 (t) = x(t) x(t) = Re {z(t)} = 2 cos(ωt + 3π 4 ) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 49

50 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Überlagerung von: x 1 (t) = 2 cos(ωt + π 4 ) und x 2(t) = 2 2 cos(ωt + π) Im a 2 j a a ϕ 1 a 2 1 Re Fazit: Die Addition von zwei harmonischen Schwingungen entspricht der Addition der zugehörigen komplexen Zeiger Dabei kommt dasselbe Konstruktionsprinzip wie bei der Addition zweier ebener Vektoren zur Anwendung a 1 = 2e j π 4, a 2 = 2 2e jπ a = a 1 + a 2 = Ae jϕ A = 2, ϕ = 3π 4 x(t) = 2 cos(ωt + 3π 4 ) Im a2 a j ϕ a 1 1 Re Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 50

51 Addition zweier Kosinus-Schwingungen x(t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) + A 2 cos(ωt + ϕ 2 ) Schritt 1: Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Übergang zu komplexer Schwingungsdarstellung x 1 (t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) z 1 (t) = A 1 e j(ωt+ϕ 1) = A 1 e jϕ1 e jωt = a 1 e jωt x 2 (t) = A 2 cos(ωt + ϕ 2 ) z 1 (t) = A 2 e j(ωt+ϕ 2) = A 2 e jϕ2 e jωt = a 2 e jωt Schritt 2: Addition in komplexer Darstellung z(t) = z 1 (t) + z 2 (t) = (a 1 + a 2 ) }{{} a a 1 + a 2 = a = A e jϕ e jωt z(t) = A e jϕ e jωt = A e j(ωt+ϕ) = ae jωt Schritt 3: Rückkehr zu reeller Schwingungsdarstellung x(t) = Re {z(t)} = A cos(ωt + ϕ) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 51

52 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Addition zweier Kosinus-Schwingungen; Schema Reelle Zahlen Komplexe Zahlen x 1 (t) = A 1 cos(ωt + ϕ 1 ) x 2 (t) = A 2 cos(ωt + ϕ 2 ) a 1 = A 1 e jϕ 1 a 2 = A 2 e jϕ 2 x(t) = x 1 (t) + x 2 (t) = A cos(ωt + ϕ) a 1 + a 2 = a = A e jϕ Bei der Berechnung von Amplitude A und Phase ϕ der resultierenden Schwingung x(t) ist der Zeitfaktor e jωt ohne Bedeutung A und ϕ ergeben sich vielmehr direkt als Betrag und Argument der komplexen Amplitude a = a 1 + a 2 Die Überlagerung der Schwingungen lässt sich somit einfach durch die Summe a = a 1 + a 2 der zugehörigen komplexen Zeiger a 1 und a 2 beschreiben Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 52

53 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise x 1 (t) = 2 cos(ωt π 4 ) und x 2(t) = 4 cos(ωt + π 3 ) Zeichnung: Im Rechnung: a 1 = 2e j π 4 = 2 ( 2 2 j ) 2 2 = 2 j 2 ( ) a 2 = 4e j π 3 = j 3 2 = 2 + j 2 3 a 2 a = a 1 + a 2 a = a 1 +a 2 = ( 2+2)+j(2 3 2) = Ae jϕ A j mit A = ( 2 + 2) 2 + (2 3 2) 2 3, 98 a 2 ϕ Re a 1 1 ϕ = arctan , 54 ( 31 o ) A 4 ϕ 30 o x(t) = x 1(t) + x 2 (t) 3, 98 cos(ωt + 0, 54) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 53

54 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Überlagerung von gleichfrequenten Sinus-Funktionen Die Überlegungen dieses Abschnitts gelten entsprechend für die Überlagerung von zwei gleichfrequenten Sinus-Funktionen y 1 (t) = A 1 sin(ωt + ϕ 1 ) und y 2 (t) = A 2 sin(ωt + ϕ 2 ) In diesem Fall gehen wir bei der Wahl der komplexen Ersatzgrößen von der Beziehung y 1 (t) = Im {z 1 (t)} und y 2 (t) = Im {z 2 (t)} aus und erhalten daher bei der Rückkehr zur reellen Darstellung (Schritt 3): y(t) = Im {z(t)} = A sin(ωt + ϕ) Auf die geometrische Addition der komplexen Zeiger a 1 und a 2 hat diese Änderung des Blickwinkels keine Auswirkung Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 54

55 Potentialdifferenz beim Drehstrom Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise U 1 = U 0 cos(ωt) = z1 (t) = U 0 e jωt a 1 = U 0 U 2 = U 0 cos(ωt + 2π 3 ) = z2 (t) = U 0 e j(ωt+ 2π 3 ) a 2 = U 0 e j 2π 3 U 3 = U 0 cos(ωt + 4π 3 ) = z3 (t) = U 0 e j(ωt+ 4π 3 ) a 3 = U 0 e j 4π 3 a 2 a 1 = U 0 ( 2 1 ) + j 3 2 U 0 = 1 2 U ( ) 0 j 3 3 a 2 a 1 = 1 2 U = U0 3 tan ϕ = 3 3 = 1 ( 3 ϕ 1 = π ) 6, ϕ 2 = 5π 6 a 2 a 1 = U 0 3 e j 5π 6 R S = U 0 3 cos ( ωt + 5π 6 ) a 2 Im 120 o 240 o a 1 a 3 a 2 a 1 Alternative: Kosinussatz Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 55 U 0 Re

56 Ohmsches Gesetz Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Ausgangspunkt ist das Ohmsche Gesetz für Gleichströme U = R I bzw R = U I d h Spannung und Stromstärke sind zueinander proportional Diese Beziehung gilt auch für Wechselstrom: Eine Wechselspannung erzeugt in einem Stromkreis, der nur ohmsche Verbraucher enthält, einen Wechselstrom gleicher Phase Der Quotient zwischen Spannung und Stromstärke von der Zeit unabhängig u(t) i(t) = U 0 cos ωt I 0 cos ωt = R = konstant In Wechselstromkreisen gibt es allerdings darüber hinaus noch weitere Widerstandstypen: Kondensatoren und Spulen Spannung und Stromstärke sind hier gegeneinander phasenverschoben sind Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 56

57 Plattenkondensator I Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise P 1 u(t) = U 0 cos ωt Die Spannung u C zwischen den Kondensatorplatten ist dabei stets proportional zur Ladung q C P 2 P3 P 4 t q C = C u C Eine Veränderung der Spannung bewirkt eine Veränderung der Ladung auf den Kondensator-Platten und damit einen Ladungstransport Die Veränderungsrate (Steigung) der Spannung ist am Punkt P 2 am größten, in der Umgebung von P 1, P 3 gleich Null Dies hat zur Folge, dass die Stromstärke an Nullstellen der Spannungsfunktion Extrema besitzt, während die Extrema der Spannung Nulldurchgänge bei der Stromstärke zur Konsequenz haben Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 57

58 Plattenkondensator II Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Wenn wir die plausible Annahme machen, dass auch die Stromstärke eine harmonische Schwingung darstellt, so müssen die beiden Funktionen u(t) und i(t) eine Phasendifferenz von π 2 haben Die Stromstärke i(t) ist der Veränderung der Ladung q(t) pro Zeiteinheit q(t) = C u(t) i(t) = dq dt = C du dt Wird eine harmonische Schwingung der Form U 0 cos ωt als Spannung angelegt, so ergibt sich für die Stromstärke i(t) die Beziehung: i(t) = C ddt ( [U 0 cos ωt] = ω C U 0 sin ωt = U 0 ω C cos ωt + π ) 2 d h die Stromstärke eilt der Spannung um π 2 voraus Eine ähnliche Betrachtung des induktiven Widerstands einer Spule zeigt, dass dabei die Stromstärke der Spannung um π 2 nacheilt Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 58

59 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Komplexe Ersatzgrößen für Spannung und Strom In Wechselstromkreisen ergibt sich im Allgemeinen eine Phasendifferenz zwischen Spannung und Stromstärke Damit wird jedoch der reelle Quotient von Spannung und Stromstärke abhängig von der Zeit! u(t) i(t) = U 0 cos ωt I 0 cos (ωt + α) = U 0 cos ωt I 0 cos (ωt + α) }{{} zeitabhängig! Ausweg: Einführung komplexer Ersatzgrößen für Spannung und Strom u(t) = U 0 cos ωt u(t) = U 0 e jωt i(t) = I 0 cos(ωt ϕ) i(t) = I 0 e j(ωt ϕ) so ist das Verhältnis von Spannung und Stromstärke zeitunabhängig u(t) i(t) = U 0 e jωt I 0 e ( jωt ϕ) = U 0 e jωt I 0 e jωt e jϕ = U 0 I 0 e jϕ = Z 0 e jϕ = Z Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 59

60 Ohmsches Gesetz für Wechselstromkreise Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise u = Z i, mit u(t) = U 0 e jωt komplexe Spannung i(t) = I 0 e j(ωt ϕ) Z = Z 0 e jϕ Z = Z 0 = U 0 : I 0 arg Z = ϕ: Im Z = R + j X Z 0 X ϕ Re R komplexe Stromstärke komplexer Widerstand (Impedanz) Verhältnis der Scheitelwerte von Spannung und Strom Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom Bezeichnungen: Z 0 = Z : Scheinwiderstand (Impedanz) R = Re Z: X = Im Z: Wirkwiderstand (Resistanz) Blindwiderstand (Reaktanz) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 60

61 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Widerstände in Wechselstromkreisen I (Ohmscher Widerstand) Ausgangspunkt: komplexen Darstellung von Spannung und Strom aus: u(t) = U 0 e jωt bzw i(t) = I 0 e (jωt ϕ) Ohmscher Widerstand R Am Ohmschen Widerstand ist stets die Stromstärke proportional zur Spannung i(t) u(t) Damit gilt: Z Ω = u(t) i(t) Widerstand rein reell = Re j0 keine Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 61

62 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Widerstände in Wechselstromkreisen II (Kondensator) Am Kondensator gilt: q(t) = C u(t) i(t) = dq = C dt du dt Entsprechend erhalten wir für die komplexen Ersatzgrößen: i(t) = C du = C dt ddt [ U0 e jωt] = j ωc U 0 e jωt = j ωc u Für den komplexen Widerstand ergibt sich: Z C = u(t) i(t) = 1 jω C = j 1 ω C = 1 ω C e j π 2 Z C = j 1 ω C Widerstand rein imaginär mit negativem Imaginärteil Blindwiderstand X C = ω 1 C ϕ = arg Z C = π 2 (Strom eilt der Spannung um π 2 voraus) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 62

63 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Widerstände in Wechselstromkreisen III (Spule) Induktionsgesetz: u(t) = L d dt i(t) Entsprechend erhalten wir für die komplexen Ersatzgrößen: u(t) = L [ i(t) = L I0 e ddt ddt j(ωt+α)] = jωl I 0 e j(ωt+α) = j ωl i(t) Somit erhalten wir für den induktiven Widerstand: Z L = u(t) i(t) = jω L = ω L e j π 2 Z L = jωl Widerstand rein imaginär mit positivem Imaginärteil Blindwiderstand X L = ωl ϕ = arg Z L = π 2 (Strom läuft der Spannung um π 2 nach) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 63

64 Kirchoffsche Gesetze Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Die elektrischen Größen in Wechselstromkreisen könnn nach den aus der Gleichstromlehre bekannten Kirchoffschen Gesetzen (Maschenregel, Knotenregel) berechnet werden 1 Bei Reihenschaltung addieren sich die Widerstände Z = Z 1 + Z 2 Z 1 Z 2 2 Bei Parallelschaltung gilt: Z 1 1 Z = 1 Z Z 2 Z = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2 Z 2 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 64

65 Reihenschwingkreis I Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise i(t) R L C u(t) Z = Z L + Z C + Z R = jω L + j ( ω C + R = R + j ω L ω 1 ) C Wirkwiderstand: Re Z = R Blindwiderstand: Im Z = ω L ω 1 C Scheinwiderstand: Z = R 2 + ( ω L 1 ω C Phasenverschiebung: ϕ = arctan ω L 1 ω C R R 0 Z liegt im 1 oder 4 Quadranten Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 65 ) 2

66 Reihenschwingkreis II Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise i(t) R L C u(t) Z(ω) = Z L (ω) + Z C (ω) + Z R = R + j ( ω L ω 1 ) C Im Z(ω) ϕ R ωl 1 ωc Re Resonanzfrequenz Z(ω) = ( ω L 1 ω C! R 2 + = Minimum ) ( ω L ω 1 ) 2 C = 0 ω 0 = 1 LC Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 66

67 Wirkleistung Komplexe Zahlen Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Bei Gleichstrom ergibt sich die Leistung aus dem Produkt von Spannung und Stromstärke i(t) u(t) Z Bei Wechselströmen ist die zeitliche Veränderung und die Phasendifferenz zwischen Spannung und Strom zu berücksichtigen Die Leistung P ist der zeitliche Mittelwert aus dem Produkt der Momentanwerte von Spannung und Strom Liegt an einem Wechselstromkreis mit dem Widerstand Z = R + jx die Spannung u(t) = U 0 cos(ωt) an, so fließt der Strom i(t) = I 0 e j(ωt ϕ) mit U 0 I 0 = Z = R 2 + X 2, tan ϕ = X R bzw cos ϕ = R R2 + X 2 P = 1 T T 0 U 0 cos(ωt) I 0 cos(ωt ϕ) dt = }{{} cos ωt cos ϕ+sin ωt sin ϕ = U 0 I 0 cos ϕ 12 = U eff I eff cos ϕ Die Phasenverschiebung um ϕ reduziert die Wirkleistung P um den Faktor cos ϕ Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 67

68 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Blindstromkompensation beim Elektromotor I Bei vorgegebener Spannung und Leistung fließt bei kleinem cos ϕ (d h großem Winkel ϕ) ein großer Strom, wobei nur ein kleiner Teil für die Wirkleistung relevant ist Große Ströme führen bei den Zuleitungen etc zu Verlusten, und deshalb versucht man durch einen zweiten Blindwiderstand einen Kondensator den Imaginärteil des Gesamtwiderstands möglichst klein zu machen C Z = Z 1 Z 2 Z 1 + Z 2 i(t) u(t) R L Z 1 = R + jωl Z 2 = 1 jωc Z = (R + jωl) 1 jωc (R + jωl) + 1 jωc = = R + j[ωl(1 ω2 LC) ωr 2 C] (1 ω 2 LC) 2 + R 2 ω 2 C 2 Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 68

69 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Blindstromkompensation beim Elektromotor II Wir bestimmen nun C so, dass der Blindwiderstand X = Im {Z} zu Null wird: ω [L(1 ω 2 LC) R 2 C] N = =! = 0 C = C 0 = L R 2 + ω 2 L 2 Gesamtwiderstand Z = R (1 ω 2 LC) 2 + ω 2 R 2 C 2 ( 1 ω 2 L L R 2 + ω 2 L 2 ( R 2 R 2 + ω 2 L 2 ) 2 + R 2 ω 2 ( L R 2 + ω 2 L 2 ) 2 = R C = C0 N ) 2 + ω 2 R 2 L 2 (R 2 + ω 2 L 2 ) 2 = R2 (R 2 + ω 2 L 2 ) (R 2 + ω 2 L 2 ) 2 = R 2 R 2 + ω 2 L 2 Gesamtwiderstand Z = R2 + ω 2 L 2 R rein reell! Phasenwinkel: ϕ = 0 cos ϕ = 1 optimale Blindstrom-Kompensation Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 69

70 Harmonische Schwingungen Überlagerung von gleichfrequenten Schwingungen Wechselstromkreise Blindstromkompensation beim Elektromotor III (Beispiel) U 0 = 230V, R = 10Ω, L = 40mH, ω = 100 π bzw f = 50 Hz benötigte Kapazität: C = L R 2 + (ωl) 2 = [F] + (100 π 004) Gesamtwiderstand: Z = R2 + (ωl) 2 R = (100 π 004) [Ω] Amplitude der Stromstärke des Gesamtstroms: I g = U 0 Z = [A] Leistungsaufnahme: P = U 0 I g = [VA] MATLAB: blindstrom var(10,004,100*pi,230) Fakultät Grundlagen Komplexe Zahlen Folie: 70