Vorkurs Mathematik für Informatiker Aussagenlogik -- Thomas Huckle Stefan Zimmer Matous Sedlacek,

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1 Vorkurs Mathematik für Informatiker -- 4 ussagenlogik -- Thomas Huckle Stefan Zimmer Matous Sedlacek, 7..2

2 ussagenlogik Rechnen mit Wahrheitswerten: oder, oder Objekte, die wir untersuchen, sind jetzt ussagen. Zur ezeichnung für ussagen nehmen wir Großbuchstaben,, C, Verknüpfung (Kombination) von ussagen liefert neue ussagen. Welche rt von Verknüpfungen kommen in Frage? 2

3 Verknüpfungen - Operatoren Verknüpfungen analog zu +, -, *, / für Zahlen ber hier wesentlich einfacher, da ja nur und zur uswahl. eschreibung der Operatoren durch Tabellen Wahrheitstafeln Einfachste Operation: Negation oder oder falsch wahr wahr falsch 3

4 ndere Operationen auf {, } + Rechnen modulo : Wenn bei einer Operation der zulässige Zahlbereich verlassen wird, dann verschiebt man das Ergebnis wieder in den zulässigen ereich. Für {,} rechnet man praktisch modulo 2 (gerade-ungerade). + 2 modulo 2 Diese rt zu rechnen ist für praktische Probleme meist nicht sehr hilfreich, aber mathematisch sehr nützlich! So hat {,} die gleichen Eigenschaften wie IR (Körper). 4

5 ndere Operationen auf {, } max min Maximum und Minimum als Operator auf {,}: z.. max max(,) min min(,) 5

6 UND und ODER UND -Verknüpfung heißt auch Konjunktion: ODER -Verknüpfung heißt auch Disjunktion: Vgl. *, max und min auf {,}. Vgl. +? 6

7 Implikation und Äquivalenz Implikation: us folgt Äquivalenz: genau dann, wenn Vgl. +? 7

8 Zweistellige Verküpfungen Wieviele zweistellige Verküpfungen gibt es? op a b c d mit a b c d entweder oder. lso Möglichkeiten.,, +, Neben,, NND, NOR, XOR,, max, min, auch noch 8

9 Umformungsgesetze und Rechenregeln I Wiederholte Verknüpfung von mehreren ussagen liefert Funktion von ussagen. Funktionswerte sind Wahrheitswerte für alle auftretenden Fälle Wahrheitstafel. Zwei Funktionen sind gleich, wenn sie identische Wahrheitstafeln haben. eispiel: gleichwertig mit ( ) ( ) ( ) ( ) 9

10 Umformungsgesetze und Rechenregeln II Implikation ist äquivalent zu ( ) : ( ) Frage: Wieviele Operatoren braucht man, um alle logischen Operatoren darstellen zu können?

11 Kommutativität und ssoziativität Zwei Kommutativgesetze: Vgl. a b b a, a+bb+a Zwei ssoziativgesetze: Vgl. (a b) c a (b c) (a+b)+c a+(b+c) ( ) ( ) C C ( ) ( ) C C

12 Distributivgesetze und De Morgan Zwei Distributivgesetze: ( ) C ( C) ( C) ( ) C ( C) ( C) Vgl. (a+b) ca c+b c De Morgan sche Regeln: Vgl.???? ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) ( ) 2

13 Weitere Regeln ( ) nwendung der Regeln als Ersatz für Wahrheitstafeln: ( ) ( ) ( ) ( ) ( ( ) ) ( ) Konjunktive/Disjunktive Normalform. 3

14 4 Halbaddierer Ü S ( ) ( ) ( ) S Ü + :, ), ( ), ( Ü S S Ü

15 5 Volladdierer Ü in S ( ) ( ) ( ) Ü Ü in out S Ü Ü out in ),, ( ),, ( in in out Ü S Ü Ü

16 ddition zweier Zahlen Eingabe: 3 2 und S Ü 2 2 S 2 Ü 2 2 S 3 Ü 3 usgabe: Summe von 3 2 und 3 2 in S 3 S 2 S. 6

17 Mehrwertige Logik Fuzzy Logic etrachte nicht nur und, und, Sondern z.., undetermined und,,.5, und Dreiwertige Logik. llgemeiner: Wahrheitswert a mit a. Definiere dann die Operatoren allgemeiner: a b : a b a : a a b : a + b a b oder a b : min( a, b) a b : max( a, b) Definiere Operatoren so, dass sie für die Standard-Logik übereinstimmen! 7

18 Widersprüche Hans ist Friseur in ubing. Er rasiert jeden Morgen jeden Mann in ubing, der sich nicht selbst rasiert. Rasiert er sich selbst oder nicht? Hans der Friseur sagt: lle Friseure lügen immer. Widerspruch durch Selbstbezüglichkeit. nwendung in der Mathematik und Informatik. llmenge sei die Menge, die alle Mengen enthält. Enthält sich die llmenge dann auch selbst? Vollständigkeit - Widerspruchsfreiheit 8