Ein Kinderspiel? Manchmal steckt viel mehr dahinter!

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1 C Ein Kinderspiel? Manchmal steckt viel mehr dahinter! Lucian glaubt Irene nicht, dass auch Kinderspiele mathematisch anspruchsvoll sein können. Was meinen Sie dazu? Glauben Sie es auch nicht? Mal schauen, wie Ihre Meinung nach dem Bearbeiten der folgenden Aufgaben aussieht 1 Betrachten Sie das Spiel auf der Farbfolie. Es handelt sich um das Spiel Blumenwürfeln aus einer Spielesammlung für Kinder ab 3 Jahren. Spielregeln Jeder Spieler wählt eines der vier Blumenbeete. Mit dem Farbwürfel wird reihum gewürfelt. Auf dem Würfel sind die fünf Farben der Blumen und die Farbe Grün. Bei Grün passiert nichts. Würfelt man eine Blumenfarbe, so darf man eine gleichfarbige Blume in sein Beet legen. Liegt dort schon so eine, darf man nichts nehmen und der Nächste ist an der Reihe. Gewonnen hat der, der zuerst alle fünf Blumen besitzt. Klingt einfach, oder? 601 Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 1

2 C Finden Sie sich in kleinen Gruppen zusammen und bearbeiten Sie die nachfolgenden Aufgaben. Hierzu haben Sie 2 Möglichkeiten: Entweder Sie probieren es zusammen mit Ihrer Gruppe ohne zusätzliche Hilfestellungen. Oder Sie nutzen eine oder mehrere Karten, die Tipps zum Lösen der Aufgabe bereitstellen und vorne bei Ihrer Lehrkraft bereitliegen (Reihenfolge 1 bis 6). 2 Betrachten Sie das Spiel für eine Person. Hier sucht sich der Spieler eines der vier Beete aus. Die Zufallsvariable X gibt an, wie viele Würfe dieser Spieler durchführt, bis er fünf verschiedenfarbige Blumen auf seinem Beet hat. Für jedes X = n, n {; 6; 7}, ist die Anzahl der Möglichkeiten gesucht, die X = n erfüllen. Listen Sie alle Kombinationen auf und unterscheiden Sie hierbei nur zwischen Treffer: Blumenfarbe, die noch nicht im Beet liegt, wird gewürfelt und Niete: Würfelfarbe, die bereits im Beet liegt, oder Grün wird gewürfelt. 3 Jetzt wissen Sie, wie viele Möglichkeiten es jeweils gibt, wenn das Spiel, 6 oder 7 Würfe lang dauert. Die Frage ist natürlich, wie wahrscheinlich diese Wurfanzahlen sind. Bestimmen Sie daher nun P(X = n) für n {; 6; 7}. 4 Versuchen Sie aus den Ergebnissen aus Aufgabe 3 ein Berechnungssystem zu entwickeln und so eine Vermutung für P(X = 8) abzugeben. Besprechen Sie die Ergebnisse in der Klasse, z. B. auch im Hinblick auf die Berechnung von P(X = 9) und /oder die wahrscheinlichste Wurfanzahl Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

3 601 Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag C

4 C Kopiervorlage: Lösungstipps Lösungstipp 1 Lösungstipp 2 Das Spiel endet mit einem Treffer, d. h., man würfelt zuletzt die Farbe, die noch auf dem Beet gefehlt hat. Zu Beginn ist die Trefferwahrscheinlichkeit, da noch alle fünf 6 Blumenfarben im Beet fehlen. Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete (Farbe Grün) ist zu Beginn 1 6. Lösungstipp 3 Lösungstipp 4 Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (Blumenfarbe würfeln, die noch nicht auf dem Beet liegt) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete (Blumenfarbe würfeln, die entweder grün ist oder schon auf dem Beet liegt) ändern sich immer nach Würfen, die einen Treffer bringen. Berechnen Sie für jede Kombination (siehe Aufgabe 2) einzeln die zugehörige Wahrscheinlichkeit und addieren Sie sie für die Berechnung von P(X = n). Lösungstipp Lösungstipp 6 Beispiel für eine mögliche Kombination für X = 6: Zuerst würfelt man eine Niete (Grün) und danach nur noch Treffer (nacheinander alle fünf benötigten Farben) P(N T T T T T) = = 1 66 Entwickeln Sie für das Berechnen der Wahrscheinlichkeiten der einzelnen Kombinationen eine Systematik. Aufbau in der Form: n {; 6; 7} 6 n Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

5 C Kompetenzprofil Niveau: vertiefend Fachlicher Bezug: Kommunikation: argumentieren; diskutieren; begründen Problemlösen: Probleme erkunden und zerlegen; Lösungsstrategie entwickeln Modellierung: Modell entwickeln Medien: Farbfolie Methode: Gruppenarbeit Inhalt in Stichworten: Zufallsgröße; Kombination; Fakultät; Laplace-Wahrscheinlichkeit Autor: Peter Bunzel Bildnachweis: 2 Jugendliche: Valua Vitaly / Dreamstime.com; Spieleschachtel: Ravensburger Lösung 2 X = Wenn nur fünfmal gewürfelt werden soll, dann muss jeder Wurf ein Treffer (T) sein. Daher gibt es nur die Kombination: T T T T T X = 6 Wenn sechsmal gewürfelt wird, dann muss unter den ersten fünf Würfen eine Niete (N) sein, da jede Kombination mit einem Treffer (T) endet. Es gibt also 1 = Kombinationen: N T T T T T; T N T T T T; T T N T T T; T T T N T T; T T T T N T X = 7 Wenn siebenmal gewürfelt wird, dann müssen unter den ersten sechs Würfen zwei Nieten (N) sein, da jede Kombination mit einem Treffer (T) endet. Es gibt also = Kombinationen: N N T T T T T; N T N T T T T; N T T N T T T; N T T T N T T; N T T T T N T; T N N T T T T; T N T N T T T; T N T T N T T; T N T T T N T T T N N T T T; T T N T N T T; T T N T T N T; T T T N N T T; T T T N T N T; T T T T N N T 601 Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

6 C Vorbemerkungen: Für den Einzelspieler geht die Wurfserie mit einem Treffer zu Ende. Zu Beginn ist die Trefferwahrscheinlichkeit, da noch alle fünf Blumenfarben im Beet fehlen. 6 Die Wahrscheinlichkeit für eine Niete (Farbe Grün) ist zu Beginn 1 6. Die Wahrscheinlichkeit für einen Treffer (Blumenfarbe würfeln, die noch nicht auf dem Beet liegt) und die Wahrscheinlichkeit für eine Niete (Blumenfarbe würfeln, die entweder grün ist oder schon auf dem Beet liegt) ändern sich immer nach Würfen, die einen Treffer bringen. Denn die Farbe, die ein Treffer war, wird zu einer Niete. Die Wahrscheinlichkeiten für Treffer sind hervorgehoben, um die Struktur der Produkte deutlich zu machen. P(X = ) P(X = ) = P(TTTTT) = = 1,4% P(X = 6) P(NTTTTT) = = P(TNTTTT) = = P(TTNTTT) = = P(TTT NTT) = = P(TTTTNT) = = Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

7 C P(X = 6) = = ( ) = 1 3,86% P(X = 7) P(NNTTTTT) = = P(NTNTTTT) = = P(NTTNTTT) = = P(NTTT NTT) = = P(NTTTTNT) = = P(TNNTTTT) = = P(TNTNTTT) = = P(T NTT NTT) = = P(TNTTTNT) = = P(TTNNTTT) = = P(TTNTNTT) = = Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 7

8 C P(TT NTT NT) = = P(TTT N NTT) = = P(TTTNTNT) = = P(TTTTNNT) = = P(X = 7) = [1 ( ) +2 ( ) +3 ( ) ( 4+ ) + ( )] = 140 6,00 % 67 4 Betrachtet werden zunächst die Ergebnisse aus Aufgabe 3: P(X = ) 6 P(X = 6) ) 66 ( P(X = 7) [1 ( ) + 2 ( ) + 3 ( ) (4 + ) + ()] Im Grunde sind die Wahrscheinlichkeiten Laplace-Wahrscheinlichkeiten. Im Zähler steht die Anzahl der günstigen Möglichkeiten und im Nenner die Anzahl aller Möglichkeiten, wie man die entsprechenden Anzahlen von Treffern und Nieten auf n Positionen verteilen kann. Die Anzahl aller Möglichkeiten ist 6 n, denn pro Wurf sind alle 6 Farben des Würfels möglich. Bei X = hat man Würfe, daher 6 usw Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag

9 C Im Zähler gibt die Verteilung der Blumenfarben auf die Positionen an, wenn man zuvor die Positionen der Nieten festgelegt hat. Der Term in den Klammern gibt die Möglichkeiten der Nieten an. Am Beispiel X = 6 lässt sich dies schön erklären: Niete auf Position 1 Summand 1 (nur Farbe Grün) Niete auf Position 2 Summand 2 (Farbe Grün und Trefferfarbe der Position 1) Niete auf Position 3 Summand 3 (Farbe Grün und Trefferfarben der Positionen 1 bis 2) Niete auf Position 4 Summand 4 (Farbe Grün und Trefferfarben der Positionen 1 bis 3) Niete auf Position Summand (Farbe Grün und Trefferfarben der Positionen 1 bis 4) Am Beispiel X = 7 ist dies schon komplizierter, da man hier 2 Nieten auf ihre Plätze verteilen muss: Nieten auf den Positionen 1 und 2 Summand 1 1 (beide Male nur Farbe Grün) Nieten auf den Positionen 1 und 3 Summand 1 2 (anfangs nur Farbe Grün, später auch die Trefferfarbe der Position 2) Nieten auf den Positionen 1 und 4 Summand 1 3 (anfangs nur Farbe Grün, später auch die Trefferfarben der Positionen 2 bis 3) Nieten auf den Positionen 1 und Summand 1 4 (anfangs nur Farbe Grün, später auch die Trefferfarben der Positionen 2 bis 4) Nieten auf den Positionen 1 und 6 Summand 1 (anfangs nur Farbe Grün, später auch die Trefferfarben der Positionen 2 bis ) 601 Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag 9

10 C Diese Überlegung kann man analog für alle Kombinationen von Treffer und Niete weiterführen. X = 8 Wenn achtmal gewürfelt wird, dann müssen unter den ersten sieben Würfen drei Nieten sein, da jede Kombination mit einem Treffer endet. Es gibt also = Kombinationen: Aus den bisherigen Ergebnissen lässt sich folgende Vermutung für P(X = 8) formulieren: P(X = 8) = [1 1 ( ) ( ) (3+ 4+ ) (4+ ) + 1 () ( ) (3+ 4+ ) (4 + ) + 2 () ( ) (4 + ) + 3 () (4 + ) + 4 () + ()] = 100 7,0 % 68 Schlussbemerkung (z. B. für Klassendiskussion): Für X = 9 gibt es 8 ( 4 ) = 70 Kombinationen und für X = 10 gibt es = Kombinationen. An der Größenordnung der Zahlen sieht man schnell, dass eine Auflistung aller Kombinationen nicht mehr zielführend ist. Berechnet man aber nach dem Prinzip aus Aufgabe 4 die Wahrscheinlichkeit P(X = 9), so erhält man: P(X = 9) = 61 7,80 % 69 Diese Wahrscheinlichkeit ist etwas größer als P(X = 8). D. h., man weiß immer noch nicht, welche Wurfanzahl, die man benötigt, um das Beet mit allen Farben zu füllen, am wahrscheinlichsten ist. Mit der Faktorisierung der Faktoren 1, 140, 100 und 61 kommt man auch nicht weiter, denn 61 ist im Gegensatz zu den anderen 3 Zahlen prim. Somit kann man hierüber leider kein einfacheres Berechnungssystem für die Wahrscheinlichkeiten P(X = 10), P(X = 11), P(X = 12) usw. gewinnen Unterrichts-Materialien Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Stark Verlag