Natürliche, ganze und rationale Zahlen

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1 3 Natürliche, gaze ud ratioale Zahle Die Existez der reelle Zahle setze wir vo u a voraus. Jetzt geht es darum, uter diese die atürliche, gaze, ud ratioale Zahle zu idetifiziere. Die atürliche Zahle sid us vo frühester Kidheit durch das Zähle vo Objete vertraut: 1 Õ 1, 2 Õ 1 + 1, 3 Õ , ud so weiter... : vo eier atürliche Zahl gelage wir zur ächste, idem wir 1 addiere, ad ifiitum. Auch wisse wir, dass 1 < 2 < 3 <.., i Übereistimmug mit de Aordugsaxiome. Dies gilt übriges i jedem ageordete Körper, de wir brauche ja ur die Iformatio, dass 0 < 1. Daraus ergibt sich, dass jeder ageordete Körper seie eigee Versio der atürliche Zahle ethält. Die additiv Iverse zu de atürliche Zahle zuzüglich der Null ergebe de Rig der gaze Zahle. Die Brüche aus alle gaze Zahle ergebe da de Körper der ratioale Zahle. (c)-machobs: 3.1

2 52 3 Natürliche,gazeudratioaleZahle 3-a Natürliche Zahle Um das ud so weiter der Kostrutio der atürliche Zahle mathematisch zu präzisiere, führe wir folgede Begriff ei. Defiitio Eie Teilmege N vo R heißt idutiv, we gilt: (i) 1 2 N. (ii) Ist a 2 N, so ist auch a N. œ Bemerug Ma a auch 0 2 N statt 1 2 N forder. Dies ist allei eie Frage der Kovetio ud mathematisch uerheblich. «.Ò Beispiele a. Die Mege {m + /3 : m, 2 N} ist idutiv. b. Die Mege Z, Q ud R sid idutiv. c. Die Mege P aller Primzahle ist icht idutiv. apple/ Der Durchschitt zweier ud sogar beliebig vieler idutiver Mege ist wieder eie idutive Mege, de i jeder dieser Mege sid die Bediguge (i) ud (ii) erfüllt. Die leiste solche Mege erhält ma, idem ma die Schittmege aller idutive Teilmege der reelle Zahle bildet. Dies charaterisiert die atürliche Zahle als Teilmege der reelle Zahle. Defiitio Die Mege N der atürliche Zahle ist der Durchschitt aller idutive Teilmege vo R. œ Die Mege N ethält also geau diejeige Elemete vo R, die i jeder idutive Teilmege vo R ethalte sid. 1 Idutiossatz Ist N eie idutive Teilmege vo N, so ist N N. œ Nach Voraussetzug ist N N. Es ist aber auch N N, da N eie idutive Mege ist ud N als Durchschitt aller idutive Teilmege vo R defiiert ist. Also gilt N N. iiiii Vollstädige Idutio Der Idutiossatz bildet die Grudlage der vollstädige Idutio, die ebefalls zu de fudametale Beweistechie der Mathemati zählt. Die eifachste ud am häufigste gebrauchte Form ist das folgede 3.2 (c)-machobs: ~16:39

3 Natürliche Zahle 3-a 53 2 Idutiosprizip Sei A() eie Aussageform, für die gilt: (1) A(1) ist wahr. (2) Ist A() wahr für ei 2 N, so ist auch A( + 1) wahr. Da ist A() für alle 2 N wahr. œ Sei N Õ{ 2 N : A() ist wahr}. Da ist 1 2 N wege (1), ud gilt 2 N, so gilt auch N wege (2). Also ist N eie idutive Teilmege vo N. Aufgrud des Idutiossatzes 1 ist somit N N. iiiii Um eie Aussage A() für alle atürliche Zahle mithilfe der vollstädige Idutio zu beweise, ist also Folgedes zu tu. 1. Idutiosafag: Zeige, dass A(1) wahr ist. 2. Idutiosschritt: Nehme a, dass A() für ei beliebiges 1 wahr ist. Folgere daraus, dass auch A( + 1) wahr ist. Da ist die Aussage A() für alle 2 N bewiese. Das Idutiosprizip bereitet erfahrugsgemäß afags Schwierigeite, hat es doch de Aschei, als würde ma sich ach dem Müchhauseprizip am eigee Schopf aus dem Sumpf ziehe. De im Idutiosschritt immt ma ja a, dass A() wahr ist, also geau das, was doch eigetlich erst och zu beweise ist.... Dem ist jedoch icht so. Der Idutiosschritt geht ur vo der Hypothese aus, dass A() wahr ist, ud leitet daraus ab, dass auch A( + 1) wahr ist. Das ist etwas völlig aderes als die Behauptug, dass A() wahr ist. Diese Argumetatio wird auch erst durch de Idutiosafag vollstädig. Er ist zwar oft trivial, aber trotzdem uetbehrlich. Ohe ih wäre ichts bewiese. Eie gere gebrauchte Metapher für die vollstädige Idutio ist das Erlimme eier Leiter. Weiß ma, wie ma die erste Sprosse eier Leiter erlimmt, ud weiß ma weiter, wie ma vo eier beliebige Sprosse zur ächste gelagt, so a ma jede och so hohe Leiter erlimme... zumidest ei Mathematier a das. Die vollstädige Idutio versteht ma am Beste ahad vo Beispiele. Daher zuächst zwei eifache Beispiele. 3 Satz Für alle 1 gilt ( + 1). œ 2 (c)-machobs: ~16:39 3.3

4 54 3 Natürliche,gazeudratioaleZahle Idutiosafag: Für 1 reduziert sich die Behauptug auf , ist also richtig. Idutiosschluss: Für ei beliebiges 1 setzte wir jetzt voraus, dass die behauptete Gleichug gilt. Da erhalte wir für die ächste Sprosse der Leiter ( + 1) ( ) + ( + 1) ( + 1) 2 + ( + 1) ( + 1)( + 2). 2 Also gilt die behauptete Gleichug auch für + 1, ud wir sid fertig. iiiii 4 Beroullische Ugleichug Für alle reelle Zahle x 1 ud alle 2 N gilt 1 (1 + x) 1 + x. œ Idutiosafag: Für 1 ist (1 + x) x x. Dies gilt sogar für alle reelle x. 2 Idutiosschluss: (1 + x) 1 + x, x 1. Für ei beliebiges 1 setze wir jetzt voraus, dass Zusamme mit 1 + x 0 hier brauche wir erst die Aahme x der offesichtliche Ugleichug x 2 0 erhalte wir da 1 ud (1 + x) +1 (1 + x)(1 + x) (1 + x)(1 + x) 1 + x + x + x x + x 1 + ( + 1)x, wobei die Idutiosaahme ach der erste Zeile zur Awedug ommt. iiiii 1 Die -te Potez wird auf Seite?? formal erlärt. 2 Übriges gilt dies auch für (c)-machobs:

5 Natürliche Zahle 3-a 55 I mache Fälle ist es erforderlich, die Idutio icht bei 1, soder später zu begie. 5 Modifiziertes Idutiosprizip Sei A() eie Aussageform, für die gilt: (i) A( 0 ) ist wahr für ei 0 2 N. (ii) Ist A() wahr für irgedei 0, so ist auch A( + 1) wahr. Da ist A() für alle atürliche Zahle 0 wahr. œ Ma setzt N Õ{2N : A( + 0 1) ist wahr} ud zeigt wie beim Idutiosprizip 2, dass N eie idutive Teilmege vo N ist. Also ist N N, ud das etspricht der Behauptug, iiiii.ò Es gilt 2 2, î 3. Für 1 ud 2 verifiziert ma dies diret, für 4 führt ma eie Idutiosbeweis. apple/ Recheregel Es folge eiige elemetare Tatsache über die atürliche Zahle. 6 Recheregel Für alle, m 2 N gilt: (i) 1, (ii) + m 2 N, m 2 N, (iii) 1 _ 1 2 N, (iv) m< ) m 2 N, (v) <m + 1 ) m + 1. œ (i) Die Mege { 2 N : 1} ist eie idutive Teilmege vo N. Aufgrud des Idutiossatzes 1 ist sie gleich N. (ii) Fixiere m 2 N ud betrachte die Aussage Ia: Es gilt A(1), da m 2 N, also auch m N. Is: Gilt A(), so ist also + m 2 N. Da ist auch ( + 1) + m ( + m) N ud damit A( + 1) wahr. Somit gilt A() für alle 2 N. Da m 2 N beliebig war, ist die Aussage für alle, m 2 N bewiese. Die zweite Behauptug wird aalog bewiese. (iii) Betrachte A() : 1 _ 1 2 N. Ia: A(1) ist sicher wahr. Is: Ageomme, A() ist wahr. Im Fall 1 ist da (+1) N. Aderfalls folgt ebeso (+1) 1 ( 1)+1 2 N. Also ist auch A( + 1) wahr, ud die Aussage ist für alle 2 N bewiese. (c)-machobs: 3.5

6 56 3 Natürliche,gazeudratioaleZahle (iv) Betrachte hierzu die Aussage A() : m 2 N für alle m 2 N mit m <. Ia: A(1) ist wahr, de wege (i) gibt es ei m 2 N, für das wir die Behauptug prüfe müsse. Is: Es gelte A(). Zu zeige ist, dass ( + 1) m 2 N für alle m 2 N mit m<+ 1. Für m 1 ist dies lar. Ist dagege m>1, so ist 1 m 1 < wege (iii), ud ach Idutiosaahme ist da auch (m 1) 2 N. Das ist aber äquivalet mit ( + 1) m 2 N. (v) Sei <m + 1. Da ist m 1. Aus (iv) folgt aber m 2 N ud damit m 1 wege (i). Also ist m 1. iiiii Die letzte Aussage bedeutet, dass es zwische ud + 1 eie weitere atürliche Zahl gibt. Gilt also beispielsweise <A für eie Mege A N, so gilt auch + 1 A. Satz vom Miimum Die atürliche Zahle sid i R ach ute beschrät. Jede ichtleere Teilmege A N besitzt deshalb ei Ifimum ierhalb der reelle Zahle. I diesem Fall ist dieses Ifimum sogar ei Elemet vo A selbst. Ma spricht da vo eiem miimale Elemet, a dem das Ifimum ageomme wird. 7 Satz vom Miimum Jede ichtleere Teilmege A N besitzt ei miimales Elemet. Das heißt, es existiert ei m 2 A mit m A. œ Wege 1 N ist A ach ute beschrät. Da A icht leer ist, existiert somit die reelle Zahl m if A. Zu zeige ist, dass m 2 A. Aufgrud des Approximatiossatzes 2.11 existiert zu m + 1 ei a 2 A mit m a<m+ 1. Wäre m<a, so folgt mit demselbe Satz die Existez eies weitere b 2 A mit m b<a<m+ 1. Wege b<aud a, b 2 N wäre da a b eie atürliche Zahl 6 mit a b<m+ 1 b m+ 1 m 1, was umöglich ist. Also muss m a gelte, ud a ist das gesuchte miimale Elemet i A. iiiii 8 Korollar Es gibt eie uiteressate atürliche Zahle. œ 3.6 (c)-machobs:

7 Natürliche Zahle 3-a 57 Ageomme, die Mege U { 2 N : ist uiteressat} ist icht leer. Da besitzt U ei miimales Elemet m, die leiste uiteressate atürliche Zahl. Das ist atürlich eie iteressate Zahl Widerspruch. iiiii Das Archimedische Prizip Alles i diesem Abschitt Gesagte gilt i jedem ageordete Körper, de bisher habe wir das Vollstädigeitsaxiom icht beötigt. Somit gibt es i jedem ageordete Körper K eie Teilmege N, die als leiste idutive Teilmege defiiert ist ud die wir us als eie Versio der atürliche Zahle 1 < 2 < 3 <.. vorstelle öe. Da diese Folge immer weiter wächst, scheit die Mege N i R ubeschrät zu sei. Doch auch diese scheibar offesichtliche Tatsache erfordert eie Beweis. Ud wie sich herausstellt, erfordert dieser das Vollstädigeitsaxiom. 9 Prizip des Archimedes Die Mege der atürliche Zahle ist i de reelle Zahle ach obe ubeschrät. œ Wäre N beschrät, so existierte b sup N 2.9 i R. Zu b 1 <b existiert da aufgrud des Approximatiossatzes 2.11 ei 2 N mit b 1 < b. Aber da ist b<+ 1, ud wege N ist b doch eie obere Schrae vo N ei Widerspruch. iiiii Aus dem Prizip des Archimedes ergebe sich zwei wichtige Folgeruge. 10 Korollar Zu jeder reelle Zahl ">0 existiert ei 2 N mit 0 < 1 <", ud zu zwei positive reelle Zahle x ud h existiert geau ei 2 N mit ( 1)h x < h. œ Aufgrud des Prizips des Archimedes gibt es ei 2 N mit >1/". Für dieses gilt da die erste Behauptug. Aus dem selbe Grud ist die Mege {m 2 N : x/h < m} icht leer, besitzt also wege des Satzes vom Miimum 7 ei miimales Elemet. Für dieses gilt 1 x/h <. Multipliatio mit h > 0 ergibt die Behauptug. Die Eideutigeit vo folgt aus der Eideutigeit des Miiums. iiiii (c)-machobs: 3.7

8 58 3 Natürliche,gazeudratioaleZahle 11 Satz vom Maximum Jede ichtleere, beschräte Teilmege A N besitzt ei maximales Elemet. Das heißt, es existiert ei m 2 A mit A m. Aufgrud der Beschrätheit vo A ud des Archimedische Prizips 9 ist die Mege B Õ{ 2 N : A } icht leer. Nach dem Satz vom Miimum 7 besitzt B somit ei miimales Elemet m. Zu zeige ist, dass m 2 A. Ageomme, es ist m A. Da ist A<m ud damit auch A m 1. Da A icht leer ist, ist 1 A<m ud damit auch m Also ist auch m Widerspruch. iiiii œ 1 eie atürliche Zahl. 1 2 B, ud m war doch icht miimales Elemet vo B ei Der Beweis des archimedische Prizips stützt sich auf die Existez eies Supremums 2.9, also auf die Vollstädigeit der reelle Zahle. Ma öte meie, dass dies ur der Bequemlicheit geschuldet ist, de Vollstädigeit vo R ud Ubeschrätheit vo N habe auf de erste Blic weig miteiader zu tu. Dem ist aber icht so. Es gibt ageordete Körper, i dee das archimedische Prizip icht gilt. Reursio Auf dem Prizip der vollstädige Idutio beruht auch das Prizip der reursive Defiitio. Zuächst eiige Beispiele. Die Faultät eier atürliche Zahl ist reursiv defiiert durch 1 Õ 1, Õ ( 1), 2. Der Wert vo wird also für >1 durch de Wert vo ( edlich viele Schritte ist auf 1 zurücgeführt: 1) erlärt. Nach , , : ( 1) Außerdem defiiert ma 0 Õ 1. Die Reursiosformel gilt damit ab 0: 0 Õ 1, Õ ( 1), 1. Die Poteze a eies Elemetes a eies beliebige Körpers K sid reursiv defiiert durch a 0 Õ 1, a Õ aa 1, 1. Mit Idutio beweist ma die übliche Potezgesetze a a m a +m, (a ) m a m,, m (c)-machobs:

9 Natürliche Zahle 3-a 59 Die allgemeie Summe vo Elemete a 1,..,a schreibt ma als a a 1 + a a. Dere reursive Defiitio ist 0 a Õ 0, 1 a Õ a + a, 1. Etspreched erlärt ma das allgemeie Produt Y a a 1 a 2 a. Da i eiem Körper Additio ud Multipliatio assoziativ ud ommutativ sid, sid Klammer etbehrlich ud die Reigefolge uerheblich. Dies spielt erst eie Rolle bei Reihe, also uedliche Summe..Ò Beispiel Es gilt a a, a Bemeruge Y a, Y. apple/ a. Als Summatiosidex a ma jedes Symbol verwede. Ebeso a ma umummeriere. So ist beispielsweise a a i i1 1 1 a a l+1. l0 b. Allgemeier erlärt ma q a Õ 8 < a p a q für p q, a Õ : 0 für p>q. p p q c. Etsprechedes gilt atürlich auch für Produte. «12 Satz I eiem Körper gilt a + b sowie m a b l l1 (a + b ), a b 1 1 l m a b l, ab wobei sich die Doppelsumme über alle mögliche Kombiatioe der Idizes ud l mit 1 ud 1 l m, also m Summade umfasst. œ (c)-machobs: 3.9

10 60 3 Natürliche,gazeudratioaleZahle Wir zeige ur (iii) mit Idutio über. Für 1 ist die Aussage äquivalet mit (ii). Für + 1 astelle vo habe wir +1 m a l1 b l m a + a +1 b l l1 m m a b l + a +1 b l. Ist die Gleichug wahr für ud alle m 1, so folgt +1 m a b l l1 1 1 l m a b l l m a b l Also gilt sie auch für + 1 ud alle m 1. iiiii l m l1 a b l. Etspreched werde adere Sätze verallgemeiert. Beispielsweise lautet die allgemeie Dreiecsugleichug a a. Mit diese Recheregel lasse sich viele Summe ud Produte ohe explizite Rücgriff auf die vollstädige Idutio bestimme. Ei Beispiel ist die 13 Geometrische Summe Für jedes reelle q ud alle 0 gilt (1 q)(1 + q q ) 1 q +1. Für q î 1 gilt also isbesodere q 1 q+1 1 q. œ l1 Es ist 1 + q q P q ud damit (1 q) q 1 + q q +1 1 q q +1 q +1. Schreibe wir + 1 l, so wird 1 q +1 q l l1 q. Dies gilt auch für de Fall 0. Die beide mittlere Terme hebe sich somit auf, ud die Behauptug folgt. iiiii 3.10 (c)-machobs:

11 Etwas Kombiatori 3-b 61 3-b Etwas Kombiatori Die vollstädige Idutio ist auch das Mittel der Wahl, um elemetare Sätze aus der Kombiatori zu beweise, beispielsweise Sätze über die Azahl vo Teilmege, Permutatioe, Auswahlmege ud so weiter. Ei wesetliches Ergebis für us ist hierbei die allgemeie biomische Formel. Defiitio Eie Mege M hat Elemete, geschriebe M, we es eie Bijetio {1,..,}M gibt. œ Mit adere Worte, wir öe die Elemete vo M durchummeriere ud M {a 1,..,a } schreibe. 14 Satz Eie -elemetige Mege M besizt geau 2 verschiedee Teilmege: P(M) 2 M. œ Idutiosafag: Dies gilt bereits für 0, also M ;, de ; 0, P(;) {;} Für 1 rechet ma dies geau so ach: Für M {;} ist M 1 ud P(M) {;, {;}} Idutiosschluss: Der Satz gelte für jede -elemetige Mege M. Sei M + M [{+} eie + 1-elemetige Mege, also + M. Da gilt P(M + ) P + [ P, wobei P + alle Teilmege vo M + umfasst, die + ethalte, ud P die übrige, die dieses Elemet icht ethalte. Diese beide Familie sid also disjut. Außerdem öe wir P umittelbar mit der Potezmege vo M idetifiziere. Dasselbe gilt für P +, de jede Mege i P + etsteht durch Hizuahme vo + zu eier Teilmege vo M. Daher gilt mit der Idutiosaahme P(M + ) P + + P P(M) + P(M) Damit sid wir fertig. iiiii Als Nächstes betrachte wir die Azahl aller mögliche Bijetioe eier -elemetige Mege auf sich. Dies ist gleichbedeuted mit der Frage, wieviele Vertauschuge der Elemete eies -Tupels es gibt. (c)-machobs: 3.11

12 62 3 Natürliche,gazeudratioaleZahle 15 Satz Es gibt geau verschiedee Permutatioe vo Objete. œ Idutiosafag: Für ei eiziges Objet gibt es geau eie Möglicheit der Aordug, die Azahl ist also 1 1. Idutiosschluss: Habe wir + 1 Objete, so habe wir für die Wahl des erste Elemets der Aordug geau + 1 Möglicheite. Daach bleibe us och Elemete für die weitere Aordug. Wede wir hierauf die Idutiosaahme a, so erhalte wir als Gesamtzahl der Aordugsmöglicheite ( + 1) ( + 1) wie behauptet. iiiii Schließlich frage wir ach der Zahl aller mögliche m-elemetige Teilmege eier -elemetige Mege. 16 Satz Eie -elemetige Mege besitzt geau Õ m m( m) m-elemetige Teilmege, wobei 0 m. œ lasse, ist Die Gesamtzahl aller m-tupel, die sich aus melemete bilde ( 1) ( m + 1) ( m), de suzessive öe wir aus, 1,..., m + 1 Elemete für die ächste Kompoete auswähle. Da es bei Mege aber icht auf die Reihefolge der Elemete aommt, müsse wir och durch die Azahl aller mögliche Permutatioe vo m Elemete dividiere. Somit ist die Azahl aller m-elemetige Teilmege gleich 1 m ( m) m.ò Beispiel Es gibt also iiiii Möglicheite, 6 aus 49 zu spiele. apple/ Die im voragehede Satz auftretede Ausdrüce heiße Biomialoeffiziete ud trete i viele Fragestelluge der Kombiatori ud Statisti auf. Für us spiele sie vor allem eie Rolle i der biomische Formel ud der 3.12 (c)-machobs:

13 Etwas Kombiatori 3-b 63 Abb 1 Das Pascalsche Dreiec Produtregel der Differeziatio. Zuächst die grudlegedste Eigeschafte dieser Koeffiziete. 17 Satz Für alle 0 m gilt 1, 0 m m sowie für 1 m œ m m 1 m Die letzte Aussage ist eie direte Rechug: + m 1 m (m 1)( m + 1) + m( (m 1)( m) m) 1 m m (m 1)( m) + 1 m( m + 1) ( + 1) m( m + 1) + 1. Alles adere ist och eifacher. iiiii Aus der letzte Formel ergibt sich, dass bei Aordug der Biomialoeffiziete im Pascalsche Dreiec wie i Abbildug 1 mit m a der m-te Stelle i der -te Zeile, mit der Zählug begied bei Null jedes Elemet die Summe der beide diret über ihm stehede Elemete ist. (c)-machobs: 3.13

14 64 3 Natürliche,gazeudratioaleZahle 18 Biomische Formel Für alle reelle Zahle a ud b ud alle 0 gilt (a + b) a b. œ Idutiosafag: Für 0 reduziert sich die Behauptug auf 1 1, ud für 1 gilt 1 1 a 1 b a 1 b 0 + a 0 b 1 a + b (a + b) 1. Idutiosschluss: 1 a, so folgt Nehme wir die Gültigeit der Formel für irgedei (a + b) +1 (a + b)(a + b) (a + b) a +1 b + Nach Umummerierug + 1 wird a b +1 a +1 b + a 0 b +1, 1 währed Mit 1 a +1 b a +1 b erhalte wir also (a + b) +1 a +1 b 0 + was der Behauptug für + 1 etspricht. iiiii a b a b +1. a +1 b. + 1 a +1 b + a 0 b Korollar Für alle 1 gilt 2, ( 1) 0. œ (1 1) 0. iiiii a +1 b, Dies ist ichts aderes als die biomische Formel für (1 + 1) 2 ud 3.14 (c)-machobs:

15 Gaze ud ratioale Zahle 3-c 65 3-c Gaze ud ratioale Zahle Defiitio ud Satz Die Mege Z Õ{m :, m 2 N} heißt Mege der gaze Zahle. Es gilt Z { : 2 N}[{0}[N, also Z Œ{.., 2, 1, 0, 1, 2,..}. œ Sei für de Momet Z {.., 2, 1, 0, 1, 2,..}. Da gilt Z Z, de jedes Elemet vo Z a als Differez zweier atürlicher Zahle geschriebe werde. Um auch Z Z zu zeige, sei m 2 Z. Ist m, so ist m 0 2 Z. Ist m >, so ist m 2 N Z. Ist aber m <, so ist mit demselbe Argumet (m ) 2 N ud damit m ebefalls Elemet vo Z. Da damit alle Möglicheite erfasst sid, gilt auch Z Z. iiiii 20 Satz I der Mege Z gelte alle Axiome eies ageordete Körpers mit Ausahme der Existez eies multipliative Iverse. Isbesodere ist die Gleichug + x m i Z immer eideutig lösbar, ud zwar mit x m. œ Ma sagt, die gaze Zahle bilde eie Rig mit Eis. Der Beweis dieses Satzes ist Routie. Die Sätze vom Miimum 7 ud Maximum 11 gelte i Z etspreched. Der eizige Uterschied ist, dass Teilmege vo Z a priori icht ach ute beschrät sid. Der folgede Satz wird auf die etsprechede Sätze für atürliche Zahle zurücgeführt. 21 Satz vom Miimum & Maximum I Z besitzt jede ach ute beschräte Mege ei Miimum ud jede ach obe beschräte Mege ei Maximum. œ.ò Die Futio [ ] : R Z, x, [x] Õ max { 2 Z : x} weist jeder reelle Zahl x die größte gaze Zahl m x zu ud wird als Gaußlammer bezeichet. Zum Beispiel ist [ ] 3 ud [ ] 4. apple/ Defiitio ud Satz Die Mege Q Õ{/m : 2 Z ^ m 2 N} (c)-machobs: 3.15

16 66 3 Natürliche,gazeudratioaleZahle Abb 2 Graph der Gaußlammer 1 1 x heißt Mege der ratioale Zahle. Mit der vo R iduzierte totale Ordug bildet Q eie ageordete Körper. I ihm ist auch die Gleichug mx, m î 0, immer eideutig lösbar, ud zwar mit x /m. œ Auch der Beweis dieses Satzes ist Routie. Es ist im Wesetliche ur zu zeige, dass alle Operatioe icht aus Q herausführe. Die ratioale Zahle bilde eie echte Teilmege der reelle Zahle. Sie liege aber dicht i R, wie der folgede Satz zeigt. 22 Satz Zu zwei beliebige reelle Zahle a<b existiert immer eie ratioale Zahl r mit a<r <b. œ Es ist b a>0. Dazu existiert 10 eie atürliche Zahl m 2 N mit 0 < 1/m < b a. Dies ist äquivalet mit am + 1 <bm. Für die ach dem Satz vom Miimum 21 existierede gaze Zahl Õ mi 2 Z : > am gilt da am < < bm. Divisio durch m>0 ergibt a < /m < b. Die ratioale Zahl r /m hat also die gewüschte Eigeschaft. iiiii 3.16 (c)-machobs: