3 Ein wenig Kombinatorik

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1 3 Ein wenig Kombinatori Definition i) Zu jedem n N definiere n Saubere Definition ist indutiv 1! 1 (Konvention: 0! 1) (n +1)!(n +1) ii) Für n N und (N {0}) mit0 n setze!(n )! 1 2 n (n +1) (n +2) n (1 2 )(1 2 (n ) 1 2 Beachte 1, 0 1, n ( ) ( ) n n n Satz 1 i) Es gibt 2 n Teilmengen der Menge {1,2,...,n} ii) Es gibt Anordnungen der Elemente von {1,2,...,n} iii) Es gibt (n )! Anordnungen von Elementen aus {1,2,...,n} iv) Es gibt ( n ) -elementige Teilmengen von {1,2,...,n} 15

2 3 Ein wenig Kombinatori Bemerung Teilmengen sind ungeordnet, demnach {1, 4} {4, 1} Anordnungen sind geordnet, also a, b b, a {1, 2,..., n} ann durch eine beliebige n-elementige Menge ersetzt werden. Die zwei Seiten von N Ordinalzahlen : durchzählen Kardinalzahlen : Mächtigeit von endlichen Mengen (Anzahl der Elemente Mächtigeit) Beweis von Satz 1 i) - iii) Sind anschaulich/heuristisch zu verstehen Wir werden die heuristischen und die auf der vollständigen Indution basierenden rigorosen Argumente geben. zu i) Heuristisch: Bei jedem Element von {1, 2,...,n} ist eine Entscheidung zu treffen: in der Teilmenge nicht in der Teilmenge z.b. bei n 4 1 drin 2 aus 3 aus 4 drin Wie viele Entscheidungen (Kombinationmöglicheiten)? Rigoros: Setze zur Abürzung Z(n) Anzahl der Teilmengen von {1, 2,..., n}. Wir werden zeigen: Z(1) 2 Z(n +1)2 Z(n) Gemäß des Prinzipes der vollständigen Indution liefert das i). Zur Indutionsveranerung, die Teilmengen der Menge {1} sind und {1}, also Z(1) 2 16

3 3 Ein wenig Kombinatori Zum Indutionsschritt, sei M eine Teilmenge von {1, 2,..., n}, dann sind M, M {n +1} (1) Teilmengen von {1, 2,..., n +1}. SeiM eine von M verschiedene Teilmenge von {1, 2,..., n}, dann sind M, M {n +1} (2) Teilmengen von {1,2,...,n+1} und die 4 Teilmengen in (1) und (2) sind paarweise verschieden. Daraus folgt Z(n +1) 2 Z(n) Jede Teilmenge M von {1, 2,..., n +1} ist von der Form M oder M {n +1}, wobei M eine Teilmenge von {1, 2,..., n} Daher gilt Z(n +1) 2 Z(n) zu ii) Dies ist Spezialfall von iii) für n zu iii) Heuristisch: Wie beommen wir eine Anordnung von Elementen aus {1, 2,..., n}? Manwählt suzessive Elemente aus der Menge. Beim ersten Glied hat man n Wahlmöglicheiten, beim zweiten n 1, etc. Insgesamt hat man Kombinationen. n (n 1)... (n +1) n (n 1)... 1 (n )... 1 (n )! Rigoros: Z(n, ) Anzahl der Anordnungen von Elementen aus {1, 2,..., n}, unser Ziel lautet: Z(n, ) (n )! für n N, N, n Dies folgt aus Prinzip der vollständigen Indution nach n aus: Z(n, 1) n Z(n, +1)(n ) Z(n, ) 17

4 3 Ein wenig Kombinatori zu iv) Anzahl der -elementigen Teilmengen von {1, 2,...,n} Z(n, ) Anzahl der Anordnungen von Elementen aus {1, 2,...,n} Z(n, ) (n )! gemäß iii) Anzahl der Anordnungen einer -elementigen Menge Z()! gemäß ii) für n Es gilt Z(n, ) Z(n, ) Z() ( ) und daher Z(n, ) Z(n, ) Z() (n )! 1 Warum gilt ( )? Wie ann man zu einer Anordnung von Elementen aus {1, 2,..., n} gelangen? Durch zwei Schritte: Auswahl einer -elementigen Teilmenge M von {1, 2,..., n} Auswahlmöglichleiten: Z(n, ) Anordnung der Elemente von M Auswahlmöglicheiten: Z() Daher Z(n, ) Z(n, ) Z() 18

5 3 Ein wenig Kombinatori Korollar 1 i) ii) ( n ) N ( ) ( ) ( ) n n n n 0 1 n }{{} n ( n ) o Beweis von Korollar 1 zu ii) Es gilt und Daher Anzahl -elementige Teilmengen von {1, 2,..., n} gemäß Satz1 2 n Anzahl Teilmengen von {1, 2,..., n} n 0 2 n Satz 2 (Binomischer Satz) (a + b) 3 (a + b)(a + b)(a + b) aaa + aab + aba + abb + baa + bab + bba + bbb a 3 +3a 2 b +3ab 2 + b 3 Wir erennen (a + b) n wobei n Z(n, )a n b 0 Z(n, ) Anzahl der Worte aus {a,b} der Länge n, die genau -mal b enthalten Wir bemeren nun Z(n, ) Anzahl der -elementigen Teilmengen von {1, 2,..., n} Satz1 19

6 3 Ein wenig Kombinatori Diese eineindeutige Beziehung ist gegeben durch: Sei M eine -elementige Teilmenge von {1, 2,...,n}, betrachte das Wort mit i-ter Buchstabe { b wenn i M a sonst mit i 1, 2,..., n Das Pascal sche Dreiec ist ein Algorithmus zur Berechnung der Binomialoeffizienten: ( 3 0 ( 0 ( 1 ) 0) ( 1 ( 0 2 ) ( 2 ) 1) ( 2 ) 0 ( 1 3 ) ( 3 ) 2) ( ) Das Funtionieren dieses Algorithmus drüct sich in folgendem Lemma aus: Lemma 1 Es gilt ( ) ( ) n n Beweis von Lemma 1 ( ) ( ) n n + +1! (n )! + (+1)! (n 1)! ( +1) +(n ) ( +1)! (n )! (n +1) ( +1)! (n )! (n +1)! ( +1)! ((n +1) ( + 1))! ( n +1) +1 20

7 4 Teilbareit und Rationale Zahlen Definition 1 i) Die ganzen Zahlen Z sind definiert als Z N {0} { n n N} {..., 2, 1, 0, 1, 2,...} R ii) Die Rationalen Zahlen Q sind definiert als Q { m m Z,n N} R n Satz 1 Q ausgestattet mit +, aus R genügt den Körperaxiomen und den Anordnungsaxiomen Korollar 1 (aus Satz 2) Es existiert ein r Q mit r 2 2 Satz 2 Seien a, b N. Dann gilt ( a b ) n N a b N Beweis Korollar 1 Angenommen, es gäbe ein r Q mit r 2 2 Nach Definition 1ii) existierendaherb N, a Z mit r a b,also(a b )2 2 Ohne Beschränung der Allgemeinheit sei a>0(a 0 ist ausgeschlossen. Im Falle a<0setze ã a). Also a N 21

8 4 Teilbareit und Rationale Zahlen Gemäß Satz 2 folgt aus ( a b )2 2 a b N Das ist ein Widerspruch, da es ein m N gibt mit m 2 2 Für m 1gilt 1 2 1< 2 Für m>1 gilt m 2, m > 2 Bemerung Aufgrund von Korollar 1 ist Q eine unbefriedigende Beschreibung der Zahlengerade, mit der wir messen wollen. Betrachte ein rechtwinliges, gleichschenliges Dreiec mit der Kantenlänge 1. Der Satz von Pythagoras liefert dann a Aber nach Korollar 1 gibt es ein solches a in Q Definition 2 Seien a, b N. Dann heißt b Teiler (T) von a, falls es ein q N gibt mit a q b Lemma 1 Seien a, b N. Dann existieren q, r N {0} mit a q b + r und 0 r<b 22