17 Logarithmus und allgemeine Potenz

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1 7 Logarithmus und allgemeine Potenz 7. Der natürliche Logarithmus 7.3 Die allgemeine Potenz 7.4 Die Exponentialfunktion zur Basis a 7.5 Die Potenzfunktion zum Exponenten b 7.6 Die Logarithmusfunktion zur Basis a 7.7 Cauchyscher Verdichtungssatz Bisher kennen wir als stetige Funktionen über R die Polynome, die Exponentialfunktion und hieraus mittels Rechenregeln zusammengesetzte Funktionen wie z.b. x 3 exp(x 2 ) + x 9 (exp(x)). Als Funktionen, die auf R \ E mit endlichen E definiert sind, kennen wir die rationalen Funktionen. Auch sie sind in jedem Punkte ihres Definitionsbereiches stetig. Insbesondere mit Hilfe des Satzes über die Umkehrfunktion stetiger Funktionen werden wir nun weitere Klassen von stetigen Funktionen kennenlernen: () Die Logarithmusfunktionen als stetige Funktionen auf R +. (2) Die Exponentialfunktion a x zur Basis a R + als stetige Funktion auf R. (3) Die Potenzfunktion x b (für b R) als stetige Funktion auf R Der natürliche Logarithmus Die Exponentialfunktion exp : R R ist streng monoton wachsend und stetig. Sie bildet R bijektiv auf R + ab. Die Umkehrfunktion ln : R + R der Exponentialfunktion ist streng monoton wachsend und stetig. Sie bildet R + bijektiv auf R ab und heißt der natürliche Logarithmus, in Zeichen ln. Es gilt die Funktionalgleichung ln(a b) = ln(a) + ln(b) für a, b R +. (iii) Für den natürlichen Logarithmus ln gilt ferner: ln() = 0, ln(e) =, ln(t) < 0 für t ]0, [, ln(t) > 0 für t ], [, ln(/t) = ln(t) für t R +. (iv) lim t 0 ln(t) = und lim t ln(t) =. C [7]

2 Kapitel III Stetige Funktionen Beweis. Nach 4.5 ist exp stetig. Ferner ist: () exp(t) > 0 für jedes t R. 0.3 Nach Definition der Exponentialfunktion gilt ferner: (2) exp(t) = n=0 tn n! + t > für t > 0. Ist nun t < t 2, also t 2 t > 0, so gilt: exp(t 2 ) = exp(t )exp(t 2 t ) > exp(t ), 0.2 (),(2) d.h. exp ist streng monoton wachsend. Es ist exp(r) R + nach (). Ist umgekehrt r R +, dann gibt es t < t 2 mit exp(t ) < r < exp(t 2 ) (siehe 6.4). Da f := exp [t, t 2 ] stetig ist, gibt es nach dem Zwischenwertsatz (siehe 5.2) ein t ]t, t 2 [ mit exp(t ) = f(t ) = r. Also ist exp eine surjektive Abbildung von R auf R +. Als streng monotone Abbildung ist exp auch injektiv, also ist exp eine bijektive Abbildung von R auf R +. Mit folgt aus 5.6, daß ln : R + R streng monoton wachsend und stetig ist. Da exp eine bijektive Abbildung von R auf R + ist, ist ln eine bijektive Abbildung von R + (= exp(r)) auf R. Zum Beweis der Funktionalgleichung: Setze (3) s := ln(a) und t := ln(b). Dann ist nach Definition der Umkehrfunktion (4) a = exp(s) und b = exp(t). Also folgt aus der Funktionalgleichung der Exponentialfunktion (siehe 0.2): a b = (4) exp(s)exp(t) = 0.2 exp(s + t). Wiederum nach Definition der Umkehrfunktion gilt daher s + t = ln(a b) und somit ln(a b) = s + t = (3) ln(a) + ln(b). (iii) Aus exp(0) = und exp() = e (siehe 0.3(iii)) folgt ln() = 0 und ln(e) =, da ln(x) die Umkehrfunktion von exp(x) ist. Da ln nach streng monoton wachsend auf R + ist, folgt aus ln() = 0 : ln(t) < 0 für t ]0, [ und ln(t) > 0 für t ], [. Ferner ist nach für t R + also ln(/t) = ln(t). 0 = ln() = ln(t /t) = ln(t) + ln(/t), (iv) Da ln monoton wachsend ist und da ln weder nach unten noch nach oben beschränkt ist, folgt aus 6.: lim t 0 ln(t) = 6. inf{ln(t) : t R + } =, lim t ln(t) = 6. sup{ln(t) : t R + } =. [7] 2 C

3 Logarithmus und allgemeine Potenz Zur Vorbereitung der Einführung der allgemeinen Exponentialfunktion benötigen wir noch einen Satz, der von eigenem Interesse ist. 7.2 Stetige Funktionen sind durch ihre Werte auf Q eindeutig bestimmt Seien f, g : R R stetige Funktionen mit f(t) = g(t) für alle t Q. Dann ist f = g, d.h. f(t) = g(t) für alle t R. Beweis. Sei r R. Dann gibt es eine Folge (q n ) n N in Q mit q n r (siehe 7.23). Da f und g stetig sind, folgt () f(q n ) f(r) und g(q n ) g(r). Da f(q n ) = g(q n ) nach Voraussetzung gilt, folgt f(r) = g(r) aus (), da der Grenzwert einer Folge eindeutig bestimmt ist. 7.3 Die allgemeine Potenz Sei a R + und b R. Setze a b := exp(b ln(a)). Wegen ln(e) = ist also insbesondere e b = exp(b). Es ist a b R +, und es gilt für a, a, a 2 R + und b, b 2 R a b +b 2 = a b a b 2; (a a 2 ) b = a b ab 2 ; (iii) a b b 2 = (a b ) b 2; (iv) a b = /a b und (/a) b = /a b (v) a b b 2 = a b /a b 2; (vi) (a /a 2 ) b = a b /ab 2. (vii) Es ist a = a, a n+ = a n a für n N und a 0 = sowie a n = /a n für n N. Also stimmt die vor 3.8 und in 3.4 gegebene Definition der Potenz a m für m Z mit der jetzigen Definition überein. Ist nun m Z und 2 n N, dann ist a m/n = n a m. Also stimmt insgesamt die in 4.0 gegebene Definition von a q für q Q mit der jetzigen Definition überein. Beweis. a b +b 2 = exp((b + b 2 ) ln(a)) = exp(b ln(a) + b 2 ln(a)) = 0.2 exp(b ln(a)) exp(b 2 ln(a)) = a b a b 2. (a a 2 ) b = exp(b ln(a a 2 )) = 7. exp(b ln(a ) + b ln(a 2 )) = exp(b ln(a )) exp(b ln(a 2 )) = a b 0.2 ab 2. C [7] 3

4 Kapitel III Stetige Funktionen (iii) Es gilt (a b ) b 2 = exp(b 2 ln(a b )) und a b b 2 = exp(b b 2 ln(a)). Somit reicht es für b R zu zeigen: ln(a b ) = b ln(a). Dies folgt aus: ln(a b ) = ln(exp(b ln(a))) = b ln(a). (iv) a 0 = a b+( b) = a b a b. Wegen a 0 = exp(0 lna) = folgt a b = /a b. b = (a /a) b = a b (/a) b. Wegen b = exp(b ln()) = folgt (/a) b = /a b. (v) a b b 2 = a b a b 2 = (iv) a b /a b 2. (vi) (a /a 2 ) b = a b (/a 2) b = (iv) a b /ab 2. (vii) Es ist a = exp( lna) = exp(ln(a)) = a und a n+ = a n a = a n a. Wegen (iv) gilt auch a n = /a n. Somit ist also gezeigt, daß die in 7.3 gegebene Definition von a m für m Z mit der früheren Definition übereinstimmt. Wir zeigen nun () a /n = n a, also (wegen a /n R + ) die Gleichung (a /n ) n = a. Dies folgt aus. Ist nun m Z und n N, dann gilt für die in 7.3 definierte Potenz a m/n : a m/n = a m /n = (iii) (a m ) /n = () n a m. Satz 7.3 sagt aus, daß die allgemeine Definition der Potenz a b den bisherigen Potenzbegriff a q von rationalem q auf beliebiges reelles b fortsetzt. Ist eine andere vernünftige Fortsetzung von a q für q Q auf a b für b R möglich? Ist b R \ Q, so gibt es eine Folge (q n ) n N in Q mit q n b. Eine vernünftige Forderung ist, daß a b = lim n a qn sein sollte. Dies ist, wie der Satz 7.4 zeigt, in der Tat der Fall und legt darüber hinaus auch eindeutig die Ausdehnung von a q für q Q auf a r für r R fest. Die Antwort auf die eingangs gestellte Frage lautet daher nein. 7.4 Die Exponentialfunktion zur Basis a Sei a R +. Dann heißt die Funktion, die jedem b R den Wert a b = exp(b ln(a)) zuordnet, die Exponentialfunktion zur Basis a. Man bezeichnet sie mit a x. Also ist a x = exp (x ln(a)) =: exp(x ln(a)). Insbesondere ist daher e x = exp x = exp(x). Die Exponentialfunktion zur Basis a ist die einzige stetige Funktion f : R R mit f(q) = a q für alle q Q. Ist a =, so ist a x konstant gleich. Ist a R + \ {}, so ist a x (R) = R +, und es ist a x streng monoton wachsend (fallend) für a > (a < ). Insbesondere bildet also a x für a die Menge R bijektiv auf R + ab. [7] 4 C

5 Logarithmus und allgemeine Potenz Beweis. Es ist a x als Komposition der stetigen Exponentialfunktion mit der stetigen Funktion x ln(a) stetig. Die Eindeutigkeitsaussage folgt aus 7.2. Wegen ln() = 0 ist 7.(iii) x = exp(x ln()) =. Ist a > (a < ), so ist ln(a) > 0 (ln(a) < 0) nach 7.(iii). Ist a >, so wird daher R durch x ln(a) streng monoton wachsend und bijektiv auf R abgebildet. Also ist a x = exp(x ln(a)) als Komposition zweier streng monoton wachsender Funktionen streng monoton wachsend mit Bild R + (vgl. 7.). Ist a <, so wird R durch x ln(a) streng monoton fallend und bijektiv auf R abgebildet. Die Aussage folgt daher für a < wieder aus 7.. Hält man in der Definition der allgemeinen Potenz b fest und betrachtet a b als Funktion von a R +, so gelangt man zu den allgemeinen Potenzfunktionen. 7.5 Die Potenzfunktion zum Exponenten b Sei b R. Dann heißt die Funktion, die jedem a R + den Wert a b = exp(b ln(a)) zuordnet, die Potenzfunktion zum Exponenten b. Man bezeichnet sie mit x b. Also ist x b = exp (b ln(x)) =: exp(b ln(x)). (iii) (iv) Die Potenzfunktion ist stetig. Ist b = 0, so ist x b auf R + konstant gleich. Ist b R \ {0}, so ist x b (R + ) = R +, und es ist x b streng monoton wachsend (fallend) für b > 0(b < 0). Insbesondere bildet also x b für b 0 die Menge R + bijektiv auf R + ab. Ist b 0, so ist die nach auf R + existierende Umkehrfunktion von x b durch x /b gegeben. Für b R + setzt man 0 b := 0. Mit dieser Festsetzung ist dann für b R + x b : [0, [ [0, [ stetig. Ferner ist x b streng monoton wachsend auf [0, [. Die Umkehrfunktion auf [0, [ ist wieder durch x /b gegeben. Beweis. Nach 7. ist ln(x) und somit b ln(x) eine stetige Abbildung von R + in R. Da auch exp : R R stetig ist, ist x b als Komposition der stetigen Exponentialfunktion mit der stetigen Funktion b ln(x) selbst stetig. t 0 = exp(0 ln(t)) = exp(0) = für t R +. Ist b > 0(b < 0), so ist b ln(x) eine streng monoton wachsende (fallende) Abbildung von R + auf R (siehe 7.). Da exp eine streng monoton wachsende Abbildung von R auf R + ist, folgt nach Definition von x b, daß x b für b > 0(b < 0) eine streng monoton wachsende (fallende) Abbildung von R + auf R + ist. (iii) Zu zeigen ist x /b x b = x R +, d.h. für t R + ist nachzuweisen: (t b ) /b = t. Diese Gleichung folgt unmittelbar aus 7.3(iii). C [7] 5

6 Kapitel III Stetige Funktionen (iv) Nach Festsetzung und ist die erweiterte Funktion eine Abbildung von [0, [ in [0, [. Zur Stetigkeit reicht es wegen, die Stetigkeit in 0 zu beweisen (benutze auch 4.7). Somit reicht es zu zeigen (wende 6.5 auf f D = x b R + an), daß t b n 0 für 0 < t n 0 gilt. Dies folgt aus ln(t n ) wegen b > 0 mit 7.(iv) t b n = exp(b ln(t n )) Da x b :]0, [ ]0, [ eine streng monoton wachsende Abbildung für b > 0 nach ist, macht die Festsetzung 0 b := 0 die Funktion x b zu einer streng monoton wachsenden Abbildung von [0, [ in [0, [. Die Aussage über die Umkehrfunktion folgt aus und der Festsetzung 0 b := Die Logarithmusfunktion zur Basis a Für a R + \ {} sei log a (x) : R + R die Umkehrfunktion von a x. Dann ist log a (x) = ln(x) ln(a), und ist somit eine bijektive und stetige Abbildung von R + auf R. Für a > ist log a streng monoton wachsend und für a < streng monoton fallend. Es gilt die Funktionalgleichung: log a (b c) = log a (b) + log a (c) für b, c R +. (iii) log a (b c ) = c log a (b) für b R +, c R. Beweis. Nach 7.4 folgt, daß die Umkehrfunktion von a x eine bijektive Abbildung von R + auf R ist., Für t R + gilt nach Definition von log a : b = log a (t) a b = t 7.3 exp(b ln(a)) = t 7. b ln(a) = ln(t) b = ln(t) ln(a). Also gilt log a (t) = ln(t) ln(a) für t R +, d.h log a (x) = ln(x) ln(a). Der Rest von und folgt aus dieser Gleichung zusammen mit 7. und den nach 7.(iii) gültigen Beziehungen ln(a) < 0 für a < sowie ln(a) > 0 für a >. (iii) Dies folgt wegen aus ln(b c ) = 7.4 ln(exp(c ln(b))) = c ln(b). [7] 6 C

7 Logarithmus und allgemeine Potenz Ist n N, so ist n α für jedes α R definiert, und es ist n α R + (siehe 7.3). Da ln(n) R + für n 2 ist, ist (ln(n)) α R +. Also sind die folgenden Reihen bildbar: n= n α, n=2 n (ln(n)) α. Ihre Konvergenz oder Divergenz in Abhängigkeit von α läßt sich nun leicht mit Hilfe des folgenden Satzes von Cauchy beweisen. 7.7 Der Cauchysche Verdichtungssatz Sei n= a n eine Reihe mit nicht-negativen Gliedern a n. Ferner sei (a n ) monoton fallend. Dann ist n= a n genau dann konvergent, wenn die verdichtete Reihe n= 2n a 2 n konvergent ist. Beweis. : Sei n= a n eine konvergente Reihe mit Summe s. Dann gilt, da alle a n nicht-negativ und (a n ) monoton fallend ist: s a + a 2 + (a 3 + a 4 ) + (a a 8 ) (a 2 n a 2 n) a 2 + 2a 4 + 4a n a n. Also ist 2a 2 + 4a 4 + 8a n a 2 n 2s, daher ist n= 2n a 2 n 2a 2 + 4a 4 + 8a konvergent nach dem Monotoniekriterium für Reihen (siehe 9.5). : Sei nun umgekehrt n= 2n a 2 n konvergent mit Summe t. Dann gilt für k mit 2 k n a a n a + (a 2 + a 3 ) + (a a 7 ) (a 2 k a 2 k+ ) a + 2a 2 + 4a k a 2 k t + a. Das Monotoniekriterium liefert wiederum die Konvergenz von n= a n. 7.8 Anwendung des Cauchyschen Verdichtungssatzes Es ist n= Es ist n=2 n α für α divergent und für α > konvergent. n (ln(n)) α für α divergent und für α > konvergent. Beweis. Sei zunächst α. Es ist n= /n divergent (siehe Beispiel 9.3). Da n α n (siehe 7.4) ist, erhält man /n α /n. Also ist nach dem Minorantenkriterium (siehe 0.) auch n= /nα divergent. Sei nun α >. Dann ist n n α monoton wachsend (siehe 7.5) und n /n α daher monoton fallend. Nach 7.7 reicht es, die Konvergenz von n= 2n (/(2 n ) α ) zu beweisen. Nun ist 2 n 2 nα = 7.3(iv) 2 nα 2 = = n ( ) n. (α )n 7.3(iii) 2 α Wegen α > ist < 2 α und somit q := /2 α <. Die Konvergenz von n= 2n (/(2 n ) α ) n= folgt daher aus der Konvergenz der (2 α ) n geometrischen Reihe n= qn (siehe Beispiel 9.3). C [7] 7

8 Kapitel III Stetige Funktionen Wir zeigen zunächst die Divergenz für α =. Es ist 0 n ln(n) für n 2 2 monoton fallend. Nun ist n 2 n ln(2n ) = n ln(2), also ist 2 n n=2 2 n ln(2 n ) divergent und daher auch n=2 n ln(n) (siehe 7.7). Wegen n (ln(n)) α n ln(n) für α und n 3 (siehe 7.4 und beachte ln(n) > für n 3) folgt die Divergenz von n=2 /(n (ln(n))α ) nach dem Minorantenkriterium. Sei α >. Dann ist 0 n(ln(n)) α 7.7 die Konvergenz von n=2 (n 2) monoton fallend. Es bleibt nach 2 n 2 n (ln(2 n )) α nachzuweisen. Diese folgt, wegen (ln(2 n )) α = n α (ln(2)) α, aus der Konvergenz von n=2 /nα (siehe ). Ergänzung: Die für s > definierte Funktion ζ(s) := heißt die Riemannsche Zetafunktion. Spezielle Werte für s = 2 und s = 4 sind erstmals von Euler im Jahre 736 berechnet worden. Wir werden in Analysis III mit Hilfe der Theorie der Fourier-Reihen ebenfalls eine Reihe von Werten der Riemannschen Zetafunktion bestimmen können. n= n s (Literatur: Walter, Analysis I: Seite 83 und 327) [7] 8 C

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