Lineare vs. nichtlineare Zusammenhänge

Transkript

1 Nicht lineare Zusammenhänge Lowess und Potenzleiter Partialkorrelation Thomas Schäfer SS 29 1 Lineare vs. nichtlineare Zusammenhänge Was Sie schon wissen: Zusammenhänge sind die Grundlage der Methodenlehre alle Unterschiedsfragestellungen lassen sich als Zusammenhangsfragestellungen ausdrücken es geht immer um Varianzaufklärung das ALM bildet die mathematische Grundlage für die Untersuchung von Zusammenhängen ausdem ALM folgt direkt die (Multiple) Regression Voraussetzung: die Zusammenhänge müssen linear sein Problem: Was macht man bei nicht linearen Zusammenhängen? Thomas Schäfer SS

2 Lineare vs. nichtlineare Zusammenhänge lineare Zusammenhänge Y Y Abweichungsquadrat X Thomas Schäfer SS 29 3 X Lineare vs. nichtlineare Zusammenhänge Zunächst: nicht lineare Zusammenhänge sind anhanddes des Korrelationskoeffizienten nicht zu entdecken! dieser lässt sich immer berechnen und setzt eine lineare Korrelation voraus Verletzungen der Linearität sind immer visuell zu prüfen daherimmer die Streudiagramme ansehen Thomas Schäfer SS

3 Beispiele Explizite Religiosität Spiritualität Generativität Naturverbundenheit Soziales Engagement Gesundheit Selbsterkenntnis Individualismus Herausforderung Entwicklung Macht Freiheit it Kreativität Wissen Leistung Vernunft Tradition Moral Bodenständigkeit Gemeinschaft Spaß Liebe Harmonie Wellness Fürsorge Bewusstes Erleben Funktion des Zusammenhangs von Sinnerfüllung mit der Breite der Lebensbedeutungen Solche Zusammenhänge kann man noch mit Hilfe einer Rangkorrelation beschreiben, da die Kurven monoton steigen Thomas Schäfer SS 29 5 Lineare vs. nichtlineare Zusammenhänge Wie findet man heraus, ob Zusammenhänge linear sind? Streudiagramm(matrix) Lowess Kurve Streudiagramme Thomas Schäfer SS

4 Lineare vs. nichtlineare Zusammenhänge Streudiagramm Matrix Thomas Schäfer SS 29 7 LOWESS LOcally WEighted Scatterplot Smoother Wie sieht ein bivariater Zusammenhang tatsächlich aus? Prinzip: Jedem Punkt wird eine neue Position zugewiesen, und zwar so, dass der Punkt sich besser in das Muster seiner Nachbarpunkte einfügt. Das Ergebnis ist eine geglättete (smoothed) Linie, die den Zusammenhang der Variablen widerspiegelt. Thomas Schäfer SS

5 LOWESS Schritt 1 ein Wert f wird festgelegt, der darüber entscheidet, wie viele Nachbarpunkte in die Glättung einbezogen werden sollen ein großer f Wert führt zu einer starken Glättung der Kurve f wird mit der Anzahl aller Punkte multipliziert, um die Anzahl relevanter Nachbarpunkte zu erhalten hier: f =.5.5 x 2 = 1 1 Nachbarpunkte werden berücksichtigt (incl. dem Ausgangspunkt) das Beispiel zeigt die Glättung dieses Punktes Thomas Schäfer SS 29 9 LOWESS Schritt 2 eine Gewichtungsfunktion weist jedem Nachbarpunkt ein Gewicht zu, mit dem er auf die neue Position des Punktes Einfluss nimmt nahe Punkte haben einen großen, ferne Punkte einen schwachen Einfluss Gewichtungsfunktion um den Ausgangspunkt herum Thomas Schäfer SS

6 LOWESS Schritte 3 und 4 durch alle beteiligten Punkte wird eine Regressionsgerade gelegt, und zwar nicht nach dem Prinzip der kleinsten Quadrate, sondern nach dem Prinzip der der gewichteten kleinsten Quadrate (weighted least squares WLS) der Ausgangspunkt wird nun auf die Gerade geschoben und erhält so seine neue Position der Ausgangspunkt erhält eine neue Position und liegt nun weiter oben Thomas Schäfer SS LOWESS Ergebnis der Punkt hat eine neue Lage in der ursprünglichen Punktewolke diese Prozedur wird für alle Ausgangspunkte wiederholt im Ergebnis liegen alle Punkte auf eine ungefähren Linie neue Position des Punktes Thomas Schäfer SS

7 LOWESS Behandlung der äußeren Werte: Kann die Gewichtungsfunktion nicht symmetrisch zu beiden Seiten des Punktes aufgespannt werden, nimmt man auf der einen Seite entsprechend mehr Punkte hinzu (hier: die 9 Punkte links vom betreffenden Punkt) Thomas Schäfer SS LOWESS das Ergebnis linear f =.3 f =.9 Thomas Schäfer SS

8 LOWESS in SPSS Streudiagramm doppelklicken Anpassungslinie einfügen Lowess wählen f Wert einstellen f Wert Thomas Schäfer SS LOWESS das Ergebnis nach dem Anschauen der Lowess Kurve muss man entscheiden, ob man den Zusammenhang noch als hinreichend linear durchgehen lassen kann wenn nicht, muss der Zusammenhang gerade gebogen werden, bevor man eine Korrelation berechnen kann Potenzleiter Thomas Schäfer SS

9 Potenzleiter: Wie biege ich eine Kurve gerade? x potenz hinauf: potenz > 1, z. B. x 2, x 3... hinunter: potenz < 1, z.b. x,5, log x, x,5, x 1, x 2... Graphische Darstellung der Potenzleiter. Für jedes der vier Kreissegmente zeigen die zwei dazugehörigen Pfeile an, in welche Richtung der Potenzleiter die X und die Y Variablen verändert werden müssen, um eine lineare Beziehung zwischen beiden Variablen zu erreichen. So müsste beispielsweise für die Art der unter a) gezeigten Krümmung entweder die Potenz der Y Variable erhöht oder/und die der X Variable erniedrigt werden. Thomas Schäfer SS Potenzleiter riable Y-Var 1,,9,8,7,6,5,4,3,2,1, X hinunter X-Variable Y-Variable 1,,9,8,7,6,5,4,3,2,1, 1, 1,5 2, 2,5 3, 3,5 Y-Variable 1,,9,8,7,6,5,4,3,2,1,,,5 1, 1,5 2, 2,5 X^,5 (Wurzel aus X) Logarithmus von X (ln) Thomas Schäfer SS

10 Potenzleiter iable Y-Var X hinauf X-Variable Y-Variable Y-Variable X zum Quadrat X hoch 3 Thomas Schäfer SS Potenzleiter Alternative zur Potenzleiter per Hand: Kurvenanpassung in SPSS allerdings nur für vordefinierte Kurven möglich nur für Regression, nicht für Korrelation Thomas Schäfer SS

11 Beispiel zu LOWESS & Potenzleiter 7 ) "Knowledge Rating" Nennungen in NY-Times Zusammenhang zwischen Häufigkeit der Nennung eines Landes in der New York Times und der Einschätzung des eigenen Wissens über dieses Land ( Knowledge rating ) ursprünglicher Zusammenhang mit Regressionsgerade (r 2 =,49) Thomas Schäfer SS Beispiel zu LOWESS & Potenzleiter "Knowledge e Rating" Rating" "Knowledge Demonstration des Prinzips der Potenzleiter mit Hilfe der LOWESS Prozedur a) Originalwerte b) Exponent:, ng" "Knowledge Ratin ng" "Knowledge Ratin c) Exponent:,25 d) Exponent: (ln) Thomas Schäfer SS

12 Beispiel zu LOWESS & Potenzleiter 7 6 ting" "Knowledge Rat Nennungen (Exponent:,25) Konstruktion der Regressionsgeraden nach Begradigung des Zusammenhangs mit Hilfe der Potenzleiter (r 2 =.66). Thomas Schäfer SS LOWESS & Potenzleiter Anwendungsmöglichkeiten Bei Nichtlinearität von Variablen, die in linearen Verfahren benutzt werden sollen, wie z.b. Regression, multiple l Regression Faktorenanalyse Strukturgleichungsmodelle Anwendungsvoraussetzung: Monotone Kü Krümmungen, das hiß heißt, für Kurven deren Steigung kontinuierlich zu oder abnimmt und dabei nicht das Vorzeichen (den Trend) wechselt Thomas Schäfer SS

13 Partialkorrelation Korrelationen zwischen zwei Variablen sind selten wirklich rein, meist gibt es weitere Variablen, die diesen Zusammenhang beeinflussen deren Einfluss kann mit Hilfe der Partialkorrelation eliminiert werden die störenden Variablen werden auspartialisiert (bzw. der Zusammenhang wird um den Einfluss der störenden Variable(n) bereinigt) Thomas Schäfer SS Partialkorrelation Korrelationen, die alle Alternativerklärungen ausschließen, finden wir nur bei Experimenten bei nicht experimentellen Designs mit intervallskalierter l UV können Stör bzw. Drittvariablen im nachhinein mit Hilfe der Partialkorrelation statistisch kontrolliert werden (als Alternative zur Kovarianzanalyse bei nominal skalierter UV) wenn nach Auspartialisieren der Drittvariable der Zusammenhang zwischen X und Y kleiner wird, dann kann er durch hdie Di Drittvariable i verursacht gewesen sein wenn nach Auspartialisieren der Zusammenhang nicht kleiner wird, ist die Drittvariable als Ursache ausgeschlossen Thomas Schäfer SS

14 Partialkorrelation r XY.Z Korrelation zwischen den Variablen X und Y, nachdem der lineare Einfluss der Variablen Z entfernt wurde oder (äquivalent): r xy. z = r r xy xz 2 xz r yz 2 yz 1 r 1 r Korrelation zwischen den Residualwerten von X und Y, nachdem X und Y aus Z vorhergesagt wurden Thomas Schäfer SS Partialkorrelation Darstellung als Venn Diagramm (die Flächen repräsentieren die Varianz einer Variable) TV (x) Einfluss von z entfernen Blau schraffiert: Korrelation zwischen TV und Schule Rot schraffiert: Anteil dieser Korrelation, der durch Schicht verursacht wird id Schule (y) r xy. z = r r xy xz 2 xz Schicht (z) r yz 2 yz 1 r 1 r Thomas Schäfer SS

15 Wiederholung Residualwerte nach einer Regression von Y auf X bleiben die Residualwerte übrig sie enthalten Messfehler und den Einfluss anderer Variablen außer X sie werden als neue Variable gespeichert ihre Varianz kann nicht mehr von X beeinflusst sein Thomas Schäfer SS Partialkorrelation alternativ: Korrelation zwischen den Residualwerten von X und Y, nachdem X und Y aus Z vorhergesagt wurden TV (x) Residuen TV (x) Regression Schule (y) Regression Shiht() Schicht (z) Shl Schule (y) () die verbleibende Korrelation kann mit z nichts mehr zu tun haben Thomas Schäfer SS

16 Partialkorrelation Beispiel Korrelation Partialkorrelation Thomas Schäfer SS Partialkorrelation Beispiel Regression von FE auf IQ Residuum FE Regression von SK auf IQ Residuum SK Korrelation derresiduen Thomas Schäfer SS

17 Semipartialkorrelation Bei der Semipartialkorrelation wird x (der Prädiktor) bezüglich einer Drittvariablen z residualisiert und dieses Residuum mit y (dem Kriterium) korreliert Residuum Schule (y) TV (x) die Drittvariable wird also nur aus einer Variable auspartialisiert die verbleibende Korrelation spiegelt den Varianzanteil in y wider, der von x zusätzlich zu z erklärt wird Thomas Schäfer SS