10 Potenz- und Fourierreihen

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1 10 Potenz- und Fourierreihen 10.1 Konvergenzbegriffe für Funktionenfolgen Im letzten Kapitel soll es noch einmal um eindimensionale Analysis gehen. Speziell werden wir uns mit Folgen und Reihen reeller Funktionen auseinandersetzen. Definition Eine unendliche Folge f 1, f 2, f 3,..., f n,... von Funktionen f n : I R auf einem Intervall I R nennen wir Funktionenfolge auf I. Notation: (f n ) n N oder kürzer (f n ), analog zu Zahlenfolgen. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 823 Punktweise Konvergenz Wir suchen nach geeigneten Konvergenzbegriffen für Funktionenfolgen. Das Naheliegendste ist: Definition Eine Funktionenfolge (f n ) auf I R heißt punktweise konvergent gegen die Funktion f : I R wenn lim f n(x) = f(x) für alle x I, (1) n d. h. wenn für jedes x I die Zahlenfolge (f n (x)) n gegen f(x) konvergiert. Die Funktion f heißt Grenzfunktion von (f n ). Äquivalent zu (1) ist die Aussage, dass f n (x) f(x) 0 für n für alle x I. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 824 Beispiele und Probleme Die Funktionenfolgen f n (x) = nx(1 x) n (links) und f n (x) = x(1 x) n (rechts) konvergieren auf [0, 1] beide punktweise gegen f(x) = 0. 1/e 1/e f 2 f 5 f 2 f 5 f 11 f 11 1/12 1/6 1/3 1 1/12 1/6 1/3 1 Am Beispiel der Funktionenfolge links erkennen wir bereits, dass trotz punktweiser Konvergenz auch für große n nicht alle Funktionswerte von f n beliebig nahe bei Null liegen müssen. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 825

2 Punktweise Konvergenz ist generell eine recht schwache Eigenschaft, z. B. kann auch folgendes passieren: die Grenzfunktion f ist nicht stetig, obwohl es alle Folgenglieder f n sind, die Folge der Integrale I f n(x) dx konvergiert, aber nicht gegen das Integral I f(x) dx über die Grenzfunktion. Illustrieren Sie dies an folgenden Beispielen: f n : [0, 1] R, f n (x) = x n, f n : [0, 1] R, { n 2 x, 0 x < 1 f n (x) = n ; 1 0, n x 1. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 826 Gleichmäßige Konvergenz Die Problemfälle von S. 826 haben gemeinsam, dass die Funktionswerte f n (x) auch für große n nicht gleichmäßig nahe bei f(x) liegen. Wir formulieren daher einen strengeren Konvergenzbegriff: Definition Eine Funktionenfolge (f n ) auf einem Intervall I R heißt gleichmäßig konvergent gegen f : I R, wenn sup f n (x) f(x) 0 für n. (2) x I Erinnerung: Das Supremum sup M einer beschränkten Menge M R ist deren kleinste obere Schranke. Falls das Maximum existiert, gilt sup M = max M. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 827 Beispiel Die Funktionenfolge f n (x) = sin x + 1 n sin(3x + n) konvergiert auf R gleichmäßig gegen f(x) = sin x, denn 1 sup f n (x) f(x) = sup x R x R n sin(3x + n) = 1 n 0 (n ). Gezeichnet sind einige Glieder der Funktionenfolge sowie deren Grenzfunktion. Man beachte, dass ab einem bestimmten n (hier z. B. n 5) alle Funktionsgraphen komplett innerhalb eines beliebig dünnen ε-schlauchs um die Grenzfunktion f verlaufen (blau gestrichelt). Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 828

3 Eigenschaften gleichmäßig konvergenter Funktionenfolgen Satz Konvergiert eine Funktionenfolge (f n ) auf einem Intervall I gleichmäßig gegen f, dann konvergiert sie auch punktweise gegen f. Gleichmäßige Konvergenz ist also stärker als punktweise. Satz Konvergieren zwei Funktionenfolgen (f n ) und (g n ) auf einem Intervall I gleichmäßig gegen f bzw. g, so konvergieren die Funktionenfolge (f n ± g n ) gleichmäßig gegen f ± g, die Funktionenfolge (λf n ), λ R, gleichmäßig gegen λf. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 829 Die gleichmäßige Konvergenz behebt auch die Mängel von S. 826: Satz Ist (f n ) eine auf dem Intervall I gleichmäßig konvergente Folge stetiger Funktionen, so ist auch die Grenzfunktion f auf I stetig. Satz Ist (f n ) eine auf dem Intervall [a, b] gleichmäßig konvergente Folge integrierbarer Funktionen, so ist auch die Grenzfunktion f integrierbar, und es gilt b a f(x) dx = lim n b a f n (x) dx. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 830 Schließlich formulieren wir noch ein Ergebnis für die Ableitung bei gleichmäßiger Konvergenz: Satz Ist (f n ) eine auf dem Intervall [a, b] gleichmäßig konvergente Folge differenzierbarer Funktionen mit Grenzfunktion f, und ist die abgeleitete Funktionenfolge (f n) auf [a, b] ebenfalls gleichmäßig konvergent, so ist f differenzierbar mit f (x) = lim n f n(x) (für alle x [a, b]). Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 831

4 Funktionenreihen Wie bei Zahlenfolgen kann man zu einer Funktionenfolge (f n ) n 0 eine Partialsummenfolge definieren: f 0, f 0 + f 1, f 0 + f 1 + f 2,..., n f k,... Diese Partialsummenfolge nennen wir auch Reihe der Funktionen f k. Die Funktionen f k heißen Glieder der Funktionenreihe. Notation: f k oder f k(x), sowohl für die Reihe selbst als auch für deren Grenzwert, genau wie bei reellen Reihen. Beispiel: Bereits bekannt ist die Funktionenreihe e x = xk k!. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 832 Gliedweises Integrieren und Differenzieren Da Funktionenreihen spezielle Funktionenfolgen sind, kann man unsere Konvergenzbegriffe wie auch die Sätze direkt übertragen. Sei f k gleichmäßig konvergent auf [a, b] mit f k = f. Dann gelten: Sind alle Reihenglieder f k stetig, so ist auch die Summenfunktion f stetig, und es gilt b [ b ] b f(x) dx = f k (x) dx = f k (x)dx. a a Sind alle f k differenzierbar, und konvergiert die abgeleitete Reihe f k gleichmäßig auf [a, b], dann ist auch die Summe f differenzierbar und [ f (x) = f k (x)] = f k (x). Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 833 a 10.2 Potenzreihen Bei diesen Funktionenreihen wählt man als Glieder Funktionen vom Typ f k (x) = a k (x x 0 ) k. Als Partialsummen entstehen Polynome n-ten Grades: s n (x) = n a k(x x 0 ) k. Definition Eine Reihe der Form a k (x x 0 ) k (x, x 0, a k R) (3) heißt Potenzreihe mit Entwicklungspunkt x 0 und Koeffizienten a k. Die berühmteste Potenzreihe kennen Sie bereits: e x = 1 k! xk. Sie hat den Entwicklungspunkt x 0 = 0, die Koeffizienten a k = 1 k! und konvergiert für alle x R. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 834

5 Konvergenzverhalten Wir untersuchen nun das Konvergenzverhalten von (3) in Abhängigkeit von x, während a k und x 0 fest gehalten werden. Satz (von Cauchy-Hadamard ). Zu jeder Potenzreihe a k(x x 0 ) k gibt es einen Konvergenzradius R [0, ) {} mit folgenden Eigenschaften: Die Potenzreihe konvergiert (absolut) für x (x 0 R, x 0 + R). Die Potenzreihe konvergiert gleichmäßig auf jedem abgeschlossenen Intervall I (x 0 R, x 0 + R). Die Potenzreihe divergiert außerhalb [x 0 R, x 0 + R] (nur sinnvoll für R ). Jacques Hadamard, , französischer Mathematiker Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 835 Prinzipskizze zum Konvergenzverhalten Divergenz?? Konvergenz Divergenz x 0 R x 0 x 0 +R Anmerkungen Das Intervall (x 0 R, x 0 + R) wird auch Konvergenzintervall der Potenzreihe genannt. Das Konvergenzverhalten an den kritischen Punkten x 0 R und x 0 + R muss immer gesondert untersucht werden. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 836 Berechnung des Konvergenzradius Satz Sei a k(x x 0 ) k eine Potenzreihe mit Konvergenzradius R. Dann gilt: R = lim a k, k a k+1 falls fast alle ak von Null verschieden sind, und dieser Grenzwert existiert, R = 1 lim k k ak, falls der Grenzwert im Nenner existiert. Dabei sind die Konventionen 1 = 0 und 1 0 = zu treffen. Beweisidee: Quotienten- bzw. Wurzelkriterium für Zahlenreihen. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 837

6 Beispiel Der Konvergenzradius von e x = xk k! ist. Tatsächlich ergibt sich mit dem erstgenannten Kriterium R = lim a k k = lim (k + 1)! = lim (k + 1) =. k k! k a k+1 Untersuchen Sie das Konvergenzverhalten der Potenzreihen k k x k, k=1 x k k + 1, x k 2 k. Vergessen Sie nicht, die Randpunkte des Konvergenzintervalls zu untersuchen. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 838 Gliedweises Differenzieren und Integrieren Die Ergebnisse von S. 833 gelten natürlich auch für Potenzreihen: Satz Die Potenzreihe a k(x x 0 ) k besitze den Konvergenzradius R > 0. Die Funktion f : (x R, x + R) R, f(x) = a k (x x 0 ) k hat dann folgende Eigenschaften: f ist stetig. f ist auf jedem abgeschlossenen Teilintervall von (x R, x + R) integrierbar, wobei a k f(x) dx = k + 1 (x x 0) k+1 + C. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 839 Fortsetzung Satz f ist beliebig oft differenzierbar mit f (x) = ka k (x x 0 ) k 1, f (x) = k=1 k(k 1)a k (x x 0 ) k 2, k=2 usw. Insbesondere ist f (k) (x 0 ) = k! a k. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 840

7 Beispiel Aus der Summenformel für die geometrische Reihe erhält man für f : ( 1, 1) R, f(x) = 1 1 x die Potenzreihendarstellung f(x) = 1 1 x = x k = 1 + x + x 2 + x Durch gliedweises Differenzieren (Satz 10.12, Punkt 3) erhält man für die Ableitung die Darstellung f 1 (x) = (1 x) 2 = kx k 1 = (k+1)x k = 1+2x+3x 2 +4x k=1 Wie lautet die Potenzreihendarstellung zu F (x) = ln(1 x) (x 0 = 0, x < 1)? Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 841 Darstellbarkeit durch Potenzreihen Es stellt sich die Frage, wann z. B. eine unendlich oft differenzierbare Funktion als Potenzreihe geschrieben ( in eine Potenzreihe entwickelt ) werden kann. Aus der Formel in letzten Zeile von Satz ergibt sich, dass für die Koeffizienten immer a k = f (k) (x 0 ) k! gelten muss. Die aus Abschnitt 4.6 bekannte Taylor-Reihe f (k) (x 0 ) (x x 0 ) k k! ist also der einzige Kandidat für eine mögliche Potenzreihendarstellung von f. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 842 Warnungen Leider gibt es unendlich oft differenzierbare Funktionen, die man nicht als Potenzreihen schreiben kann. Es kann vorkommen, dass die Taylor-Reihe den Konvergenzradius R = 0 besitzt, d. h. nur für x = x 0 konvergiert. die Taylor-Reihe durchaus konvergiert (R > 0), aber nicht gegen die Funktion f (!!). Ein prominentes Beispiel ist die Funktion { f(x) = e 1 x 2, für x 0; 0, für x = 0, für die f (k) (0) = 0 für alle k N gilt. Die Taylorreihe ist somit die konstante Funktion f = 0 und hat mit f nichts zu tun. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 843

8 Wann genau eine unendlich oft differenzierbare Funktion f durch ihre Taylor-Reihe dargestellt wird, ist schwierig zu charakterisieren. Wir begnügen uns mit einer hinreichenden Bedingung: Satz Die Funktion f : I = (x 0 r, x 0 +r) R sei unendlich oft differenzierbar. Gilt r k lim k k! max f (k+1) (x) = 0, x I so besitzt die Taylor-Reihe f (k) (x 0) k! (x x 0 ) k den Konvergenzradius R r, und es gilt f (k) (x 0 ) f(x) = (x x 0 ) k für alle x I. k! Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 844 Man bestimme die Taylorreihe zu f(x) = sin x (x 0 = 0). Wie verhält es sich mit der Konvergenz? Könnte man diese Potenzreihe auch aus der Formel e ix = cos x + i sin x erhalten? Die Funktion f(x) = sin x und einige ihrer Taylorpolynome T n(x) = n f (k) (0) x k. k! Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 845 Rechnen mit Potenzreihen Schließlich kann man Potenzreihen gliedweise addieren und in Produkten von Potenzreihen wie bei endlichen Summen ausmultiplizieren: Satz Für Summe und Produkt zweier Potenzreihen a k(x x 0 ) k und b k(x x 0 ) k gilt im gemeinsamen Konvergenzbereich: a k (x x 0 ) k + b k (x x 0 ) k = (a k + b k )(x x 0 ) k bzw. ( ) ( ) a k (x x 0 ) k b k (x x 0 ) k = c k (x x 0 ) k mit c k = a 0 b k + a 1 b k a k b 0. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 846

9 Beispiel e x sin(x) = ] ] [1 + x + [x x2 2! + x3 3! + x3 3! + x5 5! + = x + x 2 + x3 3 x5 30 x6 90 x x Bestätigen Sie mindestens die ersten vier Summanden durch detaillierte Rechnung. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 847 Division von Potenzreihen Will man die Koeffizienten von c k (x x 0 ) k = a k(x x 0 ) k b k(x x 0 ) k berechnen, formt man zunächst um: ( ) ( ) c k (x x 0 ) k b k (x x 0 ) k = und führt dann einen Koeffizientenvergleich durch. Mit Hilfe von a k (x x 0 ) k sin x = x x3 3! + x5 5! x7 x2 + und cos x = 1 7! 2! + x4 4! x6 6! + berechne man die ersten fünf Koeffizienten der Potenzreihe zu tan x = sin x cos x (x 0 = 0). Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg Fourier-Reihen Im letzten Abschnitt suchen wir nach Reihendarstellungen für periodische Funktionen, speziell für 2π-periodische Funktionen. Als Reihenglieder verwenden wir Funktionen, die selbst 2π-periodisch sind: Definition Eine Reihe der Bauart a (a j cos(jx) + b j sin(jx)) j=1 mit reellen Konstanten a 0, a 1, a 2,... und b 1, b 2, b 3... heißt trigonometrische Reihe. Ist a j = 0 (j N 0 ), spricht man von einer Sinusreihe. Ist b j = 0 (j N), spricht man von einer Kosinusreihe. Joseph Fourier, , französischer Mathematiker und Physiker Zur Erinnerung: Das bedeutet f(x + 2π) = f(x) für alle x R. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 849

10 Konvergenz und Eigenschaften der Grenzfunktion Wir gehen zunächst von einer gegebenen trigonometrischen Reihe aus und bemerken: Satz Ist die trigonometrische Reihe a0 2 + j=1 (a j cos(jx) + b j sin(jx)) für alle x R konvergent, so ist f(x) = a (a j cos(jx) + b j sin(jx)) (4) j=1 eine auf R definierte 2π-periodische Funktion. Es macht also umgekehrt nur für 2π-periodische Funktionen Sinn, nach Darstellungen der Form (4) zu suchen. Für Funktionen wie g(x) = x 2 oder h(x) = e x ist dies dagegen zwecklos. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 850 Der folgende Satz liefert u. a. den Schlüssel zur Berechnung der gesuchten Reihendarstellungen: Satz Sind die Reihen j=0 a j und j=1 b j absolut konvergent, konvergiert die trigonometrische Reihe a0 2 + j=1 (a j cos(jx) + b j sin(jx)) punktweise auf ganz R. Die Summenfunktion f(x) := a (a j cos(jx) + b j sin(jx)) ist stetig auf R, und es gelten a j = 1 π b j = 1 π π π π π j=1 f(t) cos(jt)dt (j N 0 ), f(t) sin(jt)dt (j N). (5) Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 851 Hintergrund: Orthogonalitätsrelationen in L 2 ([ π, π]) Um die Darstellungen in (5) zu erhalten, versieht man den Raum L 2 ([ π, π]) aller Funktionen f mit π π f(x) 2 dx < mit dem Skalarprodukt f, g = 1 π π π f(x)g(x) dx. Es lässt sich zeigen, dass die Funktionen sin(nx) und cos(mx) (m N 0, n N) diesbezüglich eine Orthonormalbasis bilden, d. h. 1 π sin(nx) sin(mx)dx = 1 { π 0, falls n m, cos(nx) cos(mx)dx = π π π π 1, falls n = m, 1 π sin(nx) cos(mx)dx = 0 (n N, m N 0). π π Die Darstellung (5) der Koeffizienten ergibt sich damit wie in Satz 6.29 aus a j = f( ), cos(j ) und b j = f( ), sin(j ). Genaugenommen muss man hier den Lebesgueschen Integralbegiff verwenden. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 852

11 Darstellbarkeit durch Fourier-Reihen Wir untersuchen nun für eine vorgegebene 2π-periodische Funktion f, ob sie sich in eine trigonometrische Reihe entwickeln lässt. Definition Sei f : R R eine 2π-periodische, auf [ π, π] integrierbare Funktion. Dann heißen die Zahlen a j = 1 π b j = 1 π π π π π f(t) cos(jt)dt (j N 0 ), f(t) sin(jt)dt Fourier-Koeffizienten von f. Die Reihe heißt Fourier-Reihe von f. (j N). ˆf(x) = a (a j cos(jx) + b j sin(jx)) j=1 Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 853 Anmerkungen Da die Integranden die Periode 2π haben, kann auch jedes andere Intervall der Länge 2π als Integrationsbereich verwendet werden. Das konkrete Rechnen erleichtert häufig: Satz Ist f : R R eine 2π-periodische, in [ π, π] integrierbare, und auf ( π, π) gerade [ungerade] Funktion, dann ist die Fourier-Reihe von f eine Kosinusreihe [eine Sinusreihe]. Man berechne die Fourier-Reihe zum Rechteckpuls { A, für x π/2, f(x) = 0, für π/2 x π. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 854 Wie bei den Taylor-Reihen stellen sich nun folgende Fragen: Wann konvergiert die Fourier-Reihe ˆf(x)? Falls sie konvergiert unter welchen Bedingungen gilt dann auch ˆf(x) = f(x)? Zur Beantwortung brauchen wir einen weiteren Begriff: Definition Eine Funktion f : [a, b] R heißt auf [a, b] stückweise glatt, wenn es eine Unterteilung a = x 0 < x 1 < < x n = b von [a, b] gibt, so dass f auf jedem der Teilintervalle [x i 1, x i ] stetig differenzierbar ist. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 855

12 Satz Ist die 2π-periodische Funktion f : R R stückweise glatt auf [ π, π], so konvergiert ihre Fourier-Reihe ˆf punktweise auf R. Dabei gilt ˆf(x 0 ) = 1 ( ) lim 2 f(x) + lim f(x) für alle x 0 R. x x 0 x x 0+ Ist f stetig in x 0, so folgt ˆf(x 0 ) = f(x 0 ). Beispiel: A s 1 s 5 A/2 0 s 3 0 pi 2 pi Partialsummen der Fourierentwicklung zum Rechteckpuls, vgl. Bsp. S Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 856 Weiteres Beispiel Für die Sägezahnfunktion f(x) = x ( x π) ergibt sich a j = 0 (j N 0 ), und b j = 2 ( 1)j+1 j Auch hier stellen wir die ersten Partialsummen dar: (j N). pi s 1 s 3 0 pi s 5 0 pi 2 pi Anmerkung: Tabellen wichtiger Fourierentwicklungen findet man in gängigen Tafelwerken, z. B. Merziger et al., S. 78 ff. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 857 Exkurs: Gibbssches Phänomen Wir betrachten die Partialsummen s 29 für Rechteckpuls und Sägezahnfunktion: s 29 pi A s 29 A/2 0 0 pi 0 pi 2 pi 0 pi 2 pi In einer kleinen Umgebung der Sprungstelle überschwingen die Partialsummen s n um etwa 9 % der Sprunghöhe ( overshoot ). Dieses Gibbsche Phänomen verschwindet nicht für n, bewegt sich aber näher an die Sprungstelle. Josiah Willard Gibbs, , US-amerikanischer Physiker Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 858

13 Ein typisches Problem, welches durch Überschwingen verursacht wird, sind Artefakte im JPG-Bildformat in der Nähe scharfer Kanten. Grund ist u. a. die Verwendung einer Kosinustransformation im Kompressionsalgorithmus, die ganz ähnliche Eigenschaften wie die Fouriertransformation aufweist. Insbesondere für qualitativ hochwertige Balkengrafiken und Diagramme ist JPG daher ein denkbar ungeeignetes Format. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 859 Fourier-Entwicklung von Funktionen mit beliebiger Periode Ist f : R R periodisch mit Periode T, bestimmt man die Kreisfrequenz ω 0 = 2π/T und entwickelt wobei a 0 = 2 T sowie f(x) = a [a j cos(jω 0 x) + b j sin(jω 0 x)], s+t s b j = 2 T j=1 f(t) dt und a j = 2 T s+t s f(t) sin(jω 0 t) dt s+t s f(t) cos(jω 0 t) dt, (j N). Man nennt ω 0 die Kreisfrequenz der Grundschwingung und jω 0 (j > 1) die Kreisfrequenzen der harmonischen Oberschwingungen. Die Zahl s R ist beliebig. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 860 Ziele erreicht? Sie sollten nun (bzw. nach Abschluss der Übungen/Tutorien): die Begriffe Funktionenfolge und -reihe gut verstanden haben, zwischen punktweiser und gleichmäßiger Konvergenz unterscheiden können und einfache Funktionenfolgen darauf untersuchen können, über die Konvergenzeigenschaften einer Potenzreihe bescheidwissen und Konvergenzradien sicher bestimmen können, Funktionen in Potenzreihen (Taylorreihen) entwickeln und mit Potenzreihen sicher rechnen können, den Begriff der trigonometrischen Reihe verstanden haben, die Fourierreihen zu stückweise glatten, 2π periodischen Funktionen berechnen können und über deren Konvergenz bescheidwissen. Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 861

14 Das Wort zum Ende... Vielen Dank für Ihre Aufmerksamkeit und Treue und viel Erfolg bei den anstehenden Prüfungen! Und eine erholsame Ferienzeit wo auch immer es Sie hin verschlägt! Funktionenreihen TU Bergakademie Freiberg 862

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