11 Logarithmus und allgemeine Potenzen

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1 Logarithmus und allgemeine Potenzen Bevor wir uns mit den Eigenschaften von Umkehrfunktionen, und insbesondere mit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion ep : R R + beschäftigen, erinnern wir an den Begriff der strengen Monotonie. Definition.. Eine Funktion f : D R auf einer Menge D R heißt (i) (streng) monoton wachsend, falls für alle, y D mit < y gilt f() f(y) (bzw. f() < f(y) im streng monoton wachsenden Fall), (ii) (streng) monoton fallend, falls für alle, y D mit < y gilt f() f(y) (bzw. f() > f(y) im streng monoton fallenden Fall), (iii) (streng) monoton, falls sie (streng) monoton wachsend oder fallend ist. Streng monotone Funktionen f : D R sind immer injektiv. Für stetige Funktionen auf abgeschlossenen, endlichen Intervallen gilt auch die Umkehrung. Satz.2. Seien a, b R mit a < b. Eine stetige Funktion f : [a, b] R ist streng monoton genau dann, wenn sie injektiv ist. Beweis. Zum Beweis der nicht trivialen Richtung setzen wir voraus, dass f injektiv ist. Wir wollen zeigen, dass f streng monoton ist. Es genügt, den Fall f(a) < f(b) zu betrachten. Denn mit f ist auch f injektiv bzw. streng monoton. Sei also f(a) < f(b). Wir nehmen an, dass f nicht streng monoton ist. Dann gibt es, y [a, b] mit < y und f() f(y). Wegen der vorausgesetzten Injektivität von f ist f() > f(y). Wäre f(y) < f(a), so gäbe es wegen f(y) < f(a) < f(b) nach dem Zwischenwertsatz (0.) ein t ]y, b[ mit f(t) = f(a) im Widerspruch zur Injektivität von f. Also ist f(a) f(y) < f() und mit dem Zwischenwertsatz würde folgen, dass ein t [a, ] eistiert mit f(t) = f(y). Wegen < y widerspricht auch dies der Injektivität von f. Also war die Annahme, dass f nicht streng monoton ist, falsch. Nach Satz 7.3 ist die Eponentialfunktion ep : R R + streng monoton wachsend und damit injektiv. Im Beweis von Korollar 0.2 haben wir mit dem Zwischenwertsatz gezeigt, dass ep(r) = R + ist. Als bijektive Funktion hat ep : R R + eine Umkehrfunktion ep : R + R, ep (y) =, falls R ist mit ep() = y. Wir schreiben log = ep : R + R 56

2 für die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion. Für a R + und p Z gilt (siehe Satz 7.) a p = ep(log a) p = ep(p log a). Da die rechte Seite für beliebige reelle Zahlen p Sinn macht, kann man umgekehrt versuchen, Potenzen mit beliebigen reellen Eponenten durch die obige Formel zu definieren. Definition.3. (a) Die Umkehrfunktion der Eponentialfunktion log = ep : R + R heißt der (natürliche) Logarithmus. (b) Für a > 0 und R definiert man a = ep( log a). (c) Für a > 0 und q N setzt man (vergleiche Korollar 0.2) q a = a q = ep ( q log a ) Wir hatten die Eulersche Zahl e definiert durch e = ep(). Mit Teil (a) und Teil (b) der obigen Definition folgt daher, dass e = ep( log e) = ep() für alle R gilt. Satz.4. Seien a, b R mit a < b und sei f : [a, b] R stetig und streng monoton wachsend (bzw. fallend). Dann gilt mit A = f(a), B = f(b): (a) f bildet [a, b] bijektiv auf [A, B] (bzw. auf [B, A]) ab. (b) Die Umkehrfunktion f : [A, B] [a, b] (bzw. f : [B, A] [a, b]) ist stetig und streng monoton wachsend (bzw. fallend). Beweis. Der Teil (a) folgt direkt aus der strengen Monotonie und dem Zwischenwertsatz (0.) (siehe auch Korollar 0.5). Da f (y) = ( f) ( y) für alle y f([a, b]) gilt, genügt es, Teil (b) zu beweisen für den Fall, dass f streng monoton wächst. Mit f ist auch f streng monoton wachsend. Denn sind y, y 2 [A, B] mit y < y 2, so würde aus der Annahme, dass (f )(y ) (f )(y 2 ) ist, der Widerspruch y = f(f (y )) f(f (y 2 )) = y 2 folgen. Bleibt noch die Stetigkeit von f zu zeigen. Sei dazu (y n ) n N eine Folge in [A, B], die gegen ein y [A, B] konvergiert. Seien n [a, b] die eindeutigen Zahlen mit f( n ) = y n und f() = y. Es genügt zu zeigen, dass lim n n = ist. Wir nehmen an, dass dies falsch ist. Mit dem Satz von Bolzano-Weierstraß (5.6) und mit Satz 5.7 folgt, dass ( n ) n N einen Häufungspunkt 57

3 besitzt. Nach Satz 4.3 hat ( n ) n N eine konvergente Teilfolge ( kn ) n N mit Limes. Da f stetig in ist, erhalten wir f( ) = lim f( k n ) = lim y k n = y = f() n n im Widerspruch zur Injektivität von f. Also konvergiert (f (y n )) n N = ( n ) n N gegen = f (y). Damit ist die Stetigkeit von f gezeigt. Als Anwendung erhalten wir insbesondere die Stetigkeit der Umkehrfunktion der Eponentialfunktion. Satz.5. Der natürliche Logarithmus log : R + log() = 0 und R ist stetig und streng monoton wachsend mit (i) log(y) = log + log y für alle, y > 0, (ii) lim 0 log =, lim log =, (iii) log für alle > 0. Beweis. Aus Satz 7.3 folgt, dass R + = ]ep( n), ep(n)[. n= Da die Stetigkeit nach Bemerkung 0.7 (b) eine lokale Eigenschaft ist, genügt es zum Beweis der Stetigkeit des Logarithmus zu zeigen, dass log : [ep( n), ep(n)] R stetig ist für alle n N. Die Stetigkeit dieser Funktionen folgt aber direkt aus Satz.4. Es genügt diesen Satz anzuwenden auf die stetigen streng monoton wachsenden Funktionen ep : [ n, n] R. Das gleiche Argument zeigt auch, dass der Logarithmus streng monoton wächst. Teil (i) folgt wegen der Injektivität der Eponentialfunktion aus der Beobachtung, dass für alle, y > 0 gilt ep(log + log y) = ep(log ) ep(log y) = y = ep(log(y)). Zum Beweis des ersten Teils von (ii) fiieren wir eine Folge ( n ) n N in R + mit lim n n = 0. Würde (log n ) n N nicht gegen konvergieren, so gäbe es ein R > 0 mit log n R für unendlich viele n N. Hieraus würde folgen, dass n = ep(log n ) ep( R) > 0 wäre für unendlich viele n N im Widerspruch zur Voraussetzung, dass ( n ) gegen 0 konvergiert. Also gilt lim 0 log =. Völlig analog folgt, dass lim log = ist. Für den Beweis der Ungleichungen in (iii) dürfen wir voraussetzen, dass ist. Sei > und sei y =. Dann ist: e = + ( ) + n=2 ( ) n!. 58

4 Da log monoton wächst, folgt = log(e ) log. Wegen > ist y ], 0[ und e y y n ( ) ( ) y 2 = + y + n! = + y + y 3 y 4 + y y > 0. 2! 3! 4! 5! Folglich gilt und daher n=2 e = e y + y = = log e ( ) log. Damit sind für > beide Ungleichungen in (iii) gezeigt. Für 0 < < ist > und daher = ( ) log = log =. Damit ist auch in diesem Fall die Gültigkeit beider Ungleichungen bewiesen. Satz.6. (Allgemeine Potenzen) Es gilt: (a) Für a > 0 ist die Funktion R R, a stetig. (b) Für R ist die Funktion R + R, a a stetig. (c) Für, y R und a, b > 0 gilt a a y = a +y, (a ) y = a y, ( ) a b = (ab), = a = a a. Beweis. Da nach Satz 9.2 (c) Kompositionen stetiger Funktionen stetig sind, folgen die Teile (a) und (b) aus der Stetigkeit von Eponentialfunktion und Logarithmus und der Darstellung a = ep( log a). Zum Beweis von (c) beachte man, dass für, y R und a > 0 gilt a a y = ep( log a) ep(y log a) = ep(( + y) log a) = a +y. Wegen a = ep( log a) ist log(a ) = log a und daher Für a, b > 0 und R folgt mit Satz.5 (i), dass (a ) y = ep(y log(a )) = ep(y log a) = a y. a b = ep( log a) ep( log b) = ep((log a + log b)) = ep( log(ab)) = (ab) 59

5 und ( ) ( = ep log ) = ep(( ) log a) = a = a a ep( log a) = a. Damit sind alle Teile von Satz.6 bewiesen. Wir beenden diesen Abschnitt mit der Berechnung einiger wichtiger Grenzwerte. e Wichtige Grenzwerte.7. (a) Für alle k N ist lim =. k Beweis. Für > 0 gilt e k+ ( ) k (k+)!. k (b) Für alle k N ist lim k e = 0. Beweis. Es gilt k e = /(e / k ) ( ) 0 nach Teil (a). (c) Für jedes α R + gilt lim 0 α = 0 und lim 0 α =. Beweis. Mit der Kettenregel für Grenzwerte (Satz 9.9) erhält man 0 < α = ep(α log ) ( 0) 0, denn nach Satz.5 ist lim 0 (α log ) = und nach Satz 7.3 gilt lim ep = 0. Die zweite Behauptung folgt aus der ersten (d) Für jedes α R + gilt lim log α = 0. Beweis. Wir schreiben log α = α α = α ( 0). mit f : R + R, f() = α log und h : R R, h() = lim f() = und lim aus der Kettenregel für Grenzwerte (Satz 9.9). (e) Für jedes α R + ist lim 0 ( α log ) = 0. α log ep(α log ) = α h(f()) ep(). Dann folgt die Behauptung wegen (b) h() = 0 Beweis. Die Behauptung folgt aus der Kettenregel (Satz 9.9) unter Benutzung von Teil (d) e (f) Es gilt lim 0 =. 0 Beweis. Nach Satz 7.3 (iv) gilt für 0 < e α log = log( ) ( )α ( 0) 0. e ( 0) 0. 60

6 (g) Es ist lim n n n =. Beweis. Dies folgt aus Teil (d), denn n n = ep ( n log n ) (n ) ep(0) =. (h) Für jede reelle Zahl c > 0 gilt lim n n c =. Beweis. Für c > 0 ist lim n n c = lim n ep ( n log c) = ep(0) =. log (i) Es gilt lim =. Beweis. Nach Teil (iii) in Satz.5 gilt für alle > 0. Folglich gilt für > und für (0, ) log log log. Wegen lim = erhalten wir die Behauptung zunächst für die einseitigen Grenzwerte log lim = = lim log. Mit dem ɛ-δ-kriterium für Grenzwerte (Satz 0.6 (a)) folgt hierhaus leicht die Behauptung. 6