3.2 Potenzreihen und komplexe Taylorentwicklung

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1 40 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe 3.2 Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug Wede wir us u de Reiheetwickluge vo Fuktioe zu Defiitio Uter eier Potezreihe um de Pukt z 0 C versteht ma eie Reihe der Form a (z z 0 wobei (a N eie Folge komplexer Zahle ud z eie komplexe Variable ist. Ma sagt, die Potezreihe kovergiere a der Stelle z C, falls wir durch Eisetze vo z = z eie kovergete Reihe erhalte. Es zeigt sich, dass der Kovergezbereich eier Potezreihe stets die Form eier Kreisscheibe i der komplexe Ebee hat. Das ergibt sich als Kosequez aus dem folgede Lemma: Lemma Die Potezreihe a (z z 0 kovergiere a der Stelle z C, z z 0. Sei r eie reelle Zahl mit 0 < r < z z 0. Dakovergiert die Potezreihe auch für alle z C mit z z 0 r, ud zwar sogar absolut. Beweis. Nach Voraussetzug kovergiert die Reihe a (z z 0. Also bilde die Summade a (z z 0 eie Nullfolge ud sid daher beschräkt, etwa durch die Zahl M R. Das heisst, es gilt Setze wir ausserdem a (z z 0 M für alle N 0. q := so erhalte wir für z K r (z 0 : a (z z 0 = z z 0 z z 0 r z z 0 < a (z z 0 M q. Da q <, ist die geometrische Reihe k=0 q koverget, ud damit auch die Reihe k=0 M q. Also liefert das Majoratekriterium die Behauptug. q.e.d Defiitio Der Kovergezradius R der Potezreihe a (z z 0 ist folgedermasse defiiert: R := sup{r = z z 0 Die Potezreihe kovergiert a der Stelle z C.} Satz Sei a (z z 0 eie Potezreihe mit Kovergezradius R. Da gibt es geau drei Möglichkeite: R = 0, die Reihe kovergiert also ur im Pukt z = z 0.

2 3.2. Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug 4 R =, das heisst die Reihe kovergiert a jeder Stelle z C. 0 < R <. I diesem Fall kovergiert die Potezreihe a jeder Stelle im Iere der Kreisscheibe K R (z 0 ud divergiert a jeder Stelle ausserhalb der abgeschlossee Kreisscheibe. Was aber auf dem Rad der Kreisscheibe passiert, hägt vo der kokret gegebee Reihe ab Beispiele Die Reihe!z hat de Kovergezradius 0. De lim! z = für alle z 0. Also ka i diesem Fall die Folge der Summade keie Nullfolge sei. Die Expoetialreihe hat de Kovergezradius, sie kovergiert für alle z C. Die Begrüdug dafür wird gleich achgeliefert. Diegeometrische Reihe z hat de Kovergezradius R =. Wie bereits bemerkt, divergiert sie für alle z C mit z =. ( + Die Potezreihe = z hat de Kovergezradius R =. Sie kovergiert für alle z C mit z < ud divergiert für alle z C mit z >. A der Stelle z = liegt Kovergez ud a der Stelle z = liegt Divergez vor. Geauer kovergiert die Reihe a jeder Stelle z auf dem Eiheitskreis. Das folgede ützliche Kriterium zur Bestimmug des Kovergezradius lässt sich aus dem Majoratekriterium herleite Bemerkug Sei (a N0 eie Folge komplexer Zahle ugleich Null mit lim a + a = s, wobei s R oder s =. Da hat die Potezreihe a z de Kovergezradius R = s. Hier verabrede wir 0 = ud = 0. Betrachte wir jetzt die durch eie Potezreihe auf ihrem Kovergezbereich defiierte Fuktio geauer Bemerkug Sei a (z z 0 eie Potezreihe um de Pukt z 0 mit Kovergezradius R > 0,udsei r R >0 mit r < R.Dawirddurch dievorschrift f(z := a (z z 0 eie Fuktio f auf dem Iere U der Kreisscheibe K R (z 0 defiiert. Die Folge der Fuktioe f (z := a k (z z 0 k (z U k=0 kovergiert auf K := K r (z 0 gleichmässig gege f. Das heisst, zu jedem ǫ > 0 existiert ei 0 N mit f (z f(z < ǫ für alle z K ud alle 0.

3 42 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe Die Folge der Teilsumme kovergiert also für alle z im Bereich K vergleichbar schell. Beweis. Für z K kovergiert f (z für gege f ud es gilt f (z f(z = k=+ a k (z z 0 k k=+ a k r k. Wege der absolute Kovergez der Potezreihe a der Stelle z = z 0 +r U ka ma zu ǫ eie Idex 0 N fide, so dass k= 0 + a k r k < ǫ. Daraus folgt die Behauptug. q.e.d. Die wichtigste Aussage im Zusammehag mit gleichmässiger Kovergez sid im folgede Satz zusammegefasst Satz Sei f :G C eie Folge stetiger komplexer Fuktioe, die auf der kompakte Teilmege K G gleichmässig gege die Fuktio f kovergiere. Da folgt:. Die Fuktio f ist auf K stetig. 2. Ist γ ei glatter Weg i K, so ist f(zdz = lim f (zdz. γ γ 3. Sid die Fuktioe f auf G komplex differezierbar ud kovergiere die Ableituge f auf K gleichmässig gege g, so ist auch f komplex differezierbar ud f = g. Mithilfe dieser Aussage köe wir zeige, dass jede Potezreihe auf ihrem Kovergezbereich eie holomorphe Fuktio defiiert. Geauer gilt folgedes Satz Sei wie ebe a (z z 0 eie Potezreihe um de Pukt z 0 mit Kovergezradius R > 0, ud bezeiche U das Iere der Kreisscheibe K R (z 0. Die Fuktio f:u C, defiiert durch f(z = a (z z 0, ist holomorph, ud die Ableitug vo f lässt sich auch durch eie Potezreihe um z 0 darstelle, die wiederum de Kovergezradius R hat, ämlich f (z = a (z z 0 für z U. =

4 3.2. Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug 43 Beweis. Zu eiem gegebee Pukt z U köe wir eie abgeschlossee Kreisscheibe K = K r (z 0 U auswähle, die z ethält. Wie ebe bemerkt, kovergiert die Folge der Fuktioe f (z = k=0 a k(z z 0 k für z K ud N auf K gleichmässig gege f. Alle f sid stetig, also gilt dasselbe für de Grezwert f. Wege der Vertauschbarkeit vo Limes ud Wegitegral verschwidet ausserdem das Itegral vo f lägs jede geschlossee Weges. Nach dem Satz vo Morera ist deshalb f holomorph. Die Fuktioe f sid jeweils komplex differezierbar, ud f (z = a kk(z z 0 k. Ma ka zeige, dass die Potezreihe a k k(z z 0 k deselbe Kovergezradius hat wie die ursprügliche Reihe. Also kovergiert auch die Folge der Ableituge f auf K gleichmässig, ud zwar gege f. q.e.d Beispiel Durch die Vorschrift f(z := für z < wird eie ( k+zk k holomorphe Fuktio auf dem Iere der Eiheitskreisscheibe defiiert, weil die etsprechede Potezreihe de Kovergezradius hat (siehe obe. Durch summadeweises Ableite der Potezreihe erhalte wir eie geometrische Reihe, die ebefalls de Kovergezradius hat, ud für alle z C mit z < gilt: f (z = ( k+ z k = k=0 ( z k = +z. DieFuktiof istalsoeiestammfuktioderfuktiog(z = +z,udtatsächlich ist f(z = l( + z für alle z < (wobei l de Hauptzweig des Logarithmus bezeichet Folgerug Auch jede Stammfuktio g vo f lässt sich durch eie Potezreihe um z 0 mit Kovergezradius R darstelle, ud zwar ist g(z = g(z 0 + a + (z z 0 + für z U. Umgekehrt lässt sich jede holomorphe Fuktio lokal i eie Potezreihe etwickel. Ma sagt, die Fuktio sei komplex-aalytisch Satz Ist f:g C holomorph ud ist das Iere U der Kreisscheibe K R (z 0 gaz ethalte i G, so gibt es eie auf U kovergete Potezreihe um z 0, mit der f auf U übereistimmt. Dabei hadelt es sich um die komplexe Tayloretwicklug vo f um de Pukt z 0, ämlich f(z = f ( (z 0 (z z 0.!

5 44 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe Beweis. Zu z U sei r > 0 so gewählt, dass z z 0 < r ud dass die abgeschlossee Kreisscheibe K r (z 0 U. Die Cauchysche Itegralformel für die Kreisscheibe K := K r (z 0 lautet: f(z = 2πi γ f(ζ ζ z dζ, wobei γ die auf übliche Art parametrisierte Kreisliie K r (z 0 bezeichet. Es gilt: De: ζ z = (z z 0 (ζ z 0. + (z z 0 (ζ z 0 = + ζ z 0 ( z z0. ζ z 0 Diese geometrische Reihe kovergiert, weil z z 0 ζ z 0 = z z 0 < ist. Also folgt: r (z z 0 (ζ z 0 = + (ζ z 0 ζ z 0 = (ζ z 0 (z z 0 = ζ z. ( z z 0 Setze wir dies i die Cauchyformel ei, so erhalte wir: f(z = f(ζ 2πi γ (z z 0 (ζ z 0 +dζ. Weil die Folge der Teilsumme i der hier auftretede Reihe auch bezüglich ζ auf dem Rad vo K gleichmässig kovergiert, dürfe wir Itegral ud Summatio miteiader vertausche ud bekomme heraus: f(z = ( 2πi γ f(ζ (ζ z 0 +dζ (z z 0. Damit ist f a der Stelle z als Potezreihe um z 0 dargestellt. Die Koeffiziete dieser Potezreihe stimme gerade mit f( (z 0 überei, wie ei Vergleich mit der! Cauchyformel für die höhere Ableituge vo f zeigt. q.e.d Beispiele Die zu Afag agegebee Reiheetwickluge für Sius ud Cosius ud für die komplexe Expoetialfuktio werde jetzt im achhiei gerechtfertigt. De wie ma direkt achreche ka, sid es gerade die komplexe Tayloretwickluge der jeweilige Fuktioe um de Pukt z 0 = 0. Betrachte wir jetzt die komplexe Logarithmusfuktio auf der geschlitzte Ebee G := {re iϕ r > 0, π < ϕ < π}, gegebe durch l(re iϕ = l(r+iϕ, ud wähle wir als Etwicklugspukt z 0 =. Die grösste offee Kreisscheibe

6 3.2. Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug 45 um z 0, die i G ethalte ist, hat Radius. Die höhere Ableituge der Logarithmusfuktio laute, wie ma durch Iduktio zeigt: d dz l(z = ( (!z für N. Also erhalte wir folgede Reiheetwicklug: l(z = ( (z für z <. = Diese Reihe hat de Kovergezradius, was der Tatsache etspricht, dass die komplexe Logarithmusfuktio i de Nullpukt icht fortgesetzt werde ka. Aalog zu reelle Poteze setze wir für α C ud z C mit z < f(z = (+z α := e αl(+z. Auf diese Weise erhalte wir eie holomorphe Fuktio f auf U := {z C z < }. Für die Ableitug gilt: De ach der Ketteregel ist d dz (+zα = α (+z α. d dz eαl(+z = α +z eαl(+z = α e l(+z e αl(+z = α e (α l(+z. Durch Iduktio folgt für N: d dz (+zα = α(α...(α +(+z α. Ma defiiert ausserdem für N: ( α := α(α...(α +! Mit dieser Kovetio erhält die Tayloretwicklug der Fuktio f um de Pukt z 0 = 0 die folgede Form: ( α f(z = (+z α = z für z <. Wähle wir im vorige Beispiel α =, erhalte wir eie Tayloretwicklug 2 für eie Zweig der Quadratwurzelfuktio, ämlich (für z < : +z = ( 2 z = ( 3 2k 2k. z = + 2 z 8 z2 + 6 z3...

7 46 Kapitel 3. Holomorphe Fuktioe Wird eie komplexe Fuktio f:g C auf dem Iere U der Kreisscheibe K R (z 0 G durch eie Potezreihe mit Kovergezradius R dargestellt, so muss diese Potezreihe bereits mit der Taylorreihe vo f übereistimme. Geligt es, eie passede Reiheetwicklug zu fide, so ka ma die höhere Ableituge a der Stelle z 0 also bereits a der Reihe ablese Beispiele Die Fuktio f(z = (für z ±i wird auf dem +z 2 Bereich z < durch eie geometrische Reihe dargestellt, ämlich f(z = ( z 2. Diese Reihe hat de Kovergezradius, wie wir bereits bemerkt hatte. Weil die Reihe auf jeder abgeschlossee Kreisscheibe im Eiheitskreis gleichmässig kovergiert, köe wir eie Stammfuktio g vo f auf dem Iere des Eiheitskreises duch summadeweises Itegriere bestimme. Wir erhalte g(z = ( z2+ für z <. 2+ Für reelle z ist dies gerade die Tayloretwicklug der Arcustagesfuktio. Also ist g eie komplexe Fortsetzug des Arcustages auf das Iere des Eiheitskreises. Die Fuktio f(z = z 2 für z <, wobei ei passeder Zweig der komplexe Quadratwurzelfuktio ist, hat folgede Potezreiheetwicklug (siehe vorhergehedes Beispiel für α = 2 : f(z = ( z 2 2 = ( 2 ( z 2 für z <. Durch summadeweises Itegriere wird daraus ( ( g(z = 2 ( z2+ 2+ = 2k 2k z für z <. Dies ist für reelle z die Tayloretwicklug der Fuktio Arkussius. Also ist g eie komplexe Fortsetzug des Arkussius. Hier zur Ergäzug och eiige weitere Beispiele für die Bestimmug vo Tayloretwickluge Beispiele Die Tayloretwicklug der Fuktio f(z = (z 0 z um de Pukt z 0 = köe wir am schellste fide, idem wir sie als geometrische Reihe umschreibe: f(z = (z + = ( k (z k. k=0 Der Kovergezradius dieser Reihe ist R =.

8 3.2. Potezreihe ud komplexe Tayloretwicklug 47 Die Fuktio h(z = z 2 (z 0 stimmt (bis auf das Vorzeiche mit der Ableitug vo f überei. Also ergibt sich die Taylorreihe vo h um de Pukt z 0 = aus derjeige vo f durch summadeweise Ableitug: h(z = f (z = ( k+ k(z k für z <. Etspreched erhalte wir die Taylorreihe der Stammfuktio l(z aus derjeige vo f durch summadeweises Itegriere: l(z = ( k=0 k(z k+ k + für z <. Betrachte wir jetzt die Fuktio g(z = l(z (für z <. Wir habe die z beide Faktore, aus dee g gebildet ist, bereits als Potezreihe dargestellt. l(z ((z z = (z 2 (z 3 + ( (z +(z Wege der absolute Kovergez dürfe wir diese Reihe ausmultipliziere ud umorde ud erhalte so die Tayloretwicklug vo g um de Pukt z 0 = : g(z = ( k+ ( k (z k.