Einiges zu den Potenzfunktionen. Exponentialfunktionen

Transkript

1 Einiges zu den Potenzfunktionen Es sind zunächst zwei Arten der Potenzfunktionen zu unterscheiden. Erstens die eigentlichen Potenzfunktionen, bei denen die Variable x als Basis von Potenzen vorkommt. Diese Potenzfunktionen haben etwa die Form f ( x) = ax 5 + bx 4 + cx 3 + dx 2 + ex + f mit den entsprechenden Koeffizienten a, b, c, d, e und f. Der höchste Exponent, im Beispiel 5, gibt den Grad der Potenzfunktion vor. Hier ist es eine Funktion fünften Grades. Dieser Funktionstyp ist eine Verallgemeinerung der linearen und quadratischen Funktionen, kann also ähnlich behandelt werden. Später wird über die Behandlungsmethoden mehr zu sagen sein. Als zweites gibt es die Exponentialfunktionen, bei denen die Variable x im Exponenten der Potenz vorkommt. Dieser Typ hat im Allgemeinen die Form Um diesen zweiten Typ soll es hier gehen. y = b a c x + d + e Ein großes Thema...aber wir fangen klein an. Exponentialfunktionen Zunächst einmal: Was sind Exponentialfunktionen? Alle Funktionsgleichungen, in denen die Variable x als Exponent vorkommt, nennt man Gleichungen von Exponentialfunktionen. Also z.b.: y = b a c x + d + e Hier kommt schon fast alles drin vor, was besprochen werden muss. Zunächst schauen wir uns den Teil mit dem x an: y = a x Wenn wir ein bestimmtes a festlegen, können wir wie bei den anderen Funktionen (lineare, quadratische oder Potenzfunktionen) für jedes x ein eindeutiges y finden. Beispiele: Graphen von Exponentialfunktionen mit dem Parameter a = 3; 2; 1,5; 1,25 Einige Funktionswerte: x = 0 x = 1 x = 2 a = a = a = 1,5 1 1,5 2,25 a = 1,25 1 1,25 1,5625

2 Graphen von Exponentialfunktionen mit dem Parameter a = 2; 2/3; 0,5; 0,25 Einige Funktionswerte: x = 0 x = 1 x = 2 a = a = 2/3 1 2/3 4/9 a = 0,5 1 0,5 0,25 a = 0,25 1 0,25 0,0625 Ist der Wert für a also größer als Eins (a > 1), verläuft der Funktionsgraph von links nach rechts steigend (Fachausdruck: streng monoton steigend). Wenn a kleiner als Eins aber größer als Null ist (0 < a < 1), verläuft der Funktionsgraph von links nach rechts fallend (Fachausdruck: streng monoton fallend). Es gilt: a > 0; a 1 Die Besonderheit bei dieser Form ist, dass alle Funktionsgraphen durch den Punkt (0 / 1) verlaufen. Eine weitere Besonderheit ist, dass der Graph niemals die x-achse durchstößt. Entweder kommt er aus der Nähe der x-achse, oder er nähert sich immer mehr der x-achse an. Weiterhin gilt die strenge Monotonie, d.h. das der Funktionswert eines bestimmten x- Wertes immer unterschiedlich ist zu dem Funktionswert irgendeines anderen x-wertes. Warum kann a nicht kleiner als Null sein? Potenziert man eine negative Zahl, etwa -2 mit 2, ergibt das 4. Potenziert man sie mit 3, ergibt das -8. Der Funktionswert würde also immer von der positiven Seite der x-achse auf die negative Seite springen und umgekehrt. Das allein ist schon seltsam. Was passiert aber, wenn der Exponent 3/2 ist? Zunächst kann man sich behelfen, indem man den Exponenten aufteilt, einmal 3 und dann noch ½. Die Potenz (-2) 3 = -8 (s.o.). Der Exponent ½ bedeutet aber, die Wurzel zu ziehen. Die Wurzel aus -8 ist nicht definiert... Um diesen ganzen Schwierigkeiten und Sonderregelungen, die man noch treffen könnte, aus dem Weg zu gehen, hat man die Exponentialfunktionen einfach nur für positive a definiert.

3 Wie wirkt es sich aus, wenn wir die Form ändern in y = b a x? Der Einfachheit halber setzen wir den Wert für a = 2 fest und variieren diesen nicht. Wir verändern nur den Parameter b. Blau: b = 1 Orange: b = 2 Hellblau: b = 3 Grün: b = 0,5 Im Vergleich zu y = a x multiplizieren wir für den selben x-wert den Funktionswert mit dem Faktor b und erhalten y = b a x. Diese Multiplikation des Funktionswertes ist gleichbedeutend mit einer Verschiebung parallel zur x-achse um den Wert log a b. Näheres zu den Logarithmen an der entsprechenden Stelle. Für unser Beispiel: Die Funktion y = 3 2 x, in der Abbildung hellblau gezeichnet, hat an der Stelle x = -1 den Funktionswert y = = 1,5. Die Funktion y = 2 x kommt auf den selben Funktionswert an der Stelle x = 0,585. Hier gilt: 2 x = 1,5 log 2 1,5 = x log 10 1,5 log 10 2 = x 0,176 0,301 = 0,585 Es gibt also eine Verschiebung in positiver x-richtung um x = 1,585. Es gilt also: 3 2 x = 2 x + 1,585

4 Wie kann man das verstehen? Der Term 2 x + 1,585 kann auch so gelesen werden: 2 x 2 1,585 Damit ergibt sich zwangsläufig: 2 x 2 1,585 2 x 3 bzw. 3 2 x Potenzgesetz:Werden Potenzen mit gleicher Basis multipliziert, werden die Exponenten addiert bei gleichbleibender Basis. Für den Parameter b gilt: Ist b < 1, verschiebt sich der Funktionsgraph nach rechts, ist b > 1 verschiebt er sich nach links. Für negative b gilt: Der Graph wird durch den Betrag von b verschoben und durch das negative Vorzeichen an der x-achse gespiegelt Vor allem aber gilt: b 0 Erweitern wir die Funktion zu dem Typ y = b a c x + d Die Parameter a = 2 und b = 1 bleiben konstant. Wie sich der Parameter d auswirkt, haben wir eigentlich schon gesehen: Der Graph der Funktion wird um d nach links verschoben. Hier wird d = 0 gesetzt. Was passiert bei einer Variation von c? Blau: c = 1 Orange: c = 2 Rot: c = -2 Grün: c = 0,5

5 Man sieht, dass die Funktion mit steigendem c immer steiler verläuft. Negative c-werte bedeuten eine Spiegelung an der y-achse. Der Funktionswert wird um c potenziert: y = 2 c x = 2 x c = (2 x ) c Potenzregel: Wird eine Potenz potenziert, multipliziert man die Exponenten bei gleich bleibender Basis. Im Gegensatz zur Multiplikation des Funktionswerts durch den Parameter b, was gleichbedeutend ist mit einer Verschiebung entlang der x-achse, wird hier tatsächlich der Funktionsverlauf steiler, bzw. flacher. Es gilt: c 0 d R Bleibt noch die Variation von e: Wir wählen die Form y = b a c x + d + e, mit b = 1, a = 2, c = 1, d = 0. Durch den Parameter e wird der Graph parallel zur y-achse verschoben. Es gilt: e R

6 Zusammenfassung: Funktionen der Form y = b a c x + d + e nennt man Exponentialfunktionen. Durch die Parameter a, b, c, d und e wird der Verlauf des Funktionsgraphen bestimmt. Es gelten folgende Voraussetzungen für die Parameter: a > 0; a 1 b 0 c 0 d R e R a > 1: streng monoton steigend, 0 < a < 1: streng monoton fallend Multiplikation des Funktionswerts mit einem konstanten Faktor Negatives b: Spiegelung an der x-achse Potenzierung des Funktionswerts, negatives c: Spiegelung an der y-achse c > 1: Graph wird steiler, c < 1: Graph wird flacher Verschiebung entlang der x-achse d > 0: Verschiebung nach links, d < 0: Verschiebung nach rechts Verschiebung entlang der y-achse e > 0: Verschiebung nach oben, e < 0: Verschiebung nach unten