Über eine Eigenschaft einer Gammafunktion mit einer Potenz als Argument

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1 Über eine Eigenschaft einer Gammafunktin mit einer Ptenz als Argument Autr(en): Eggenberger, J. Objekttyp: Article Zeitschrift: Mitteilungen der Naturfrschenden Gesellschaft in Bern [aus dem Jahre] Band (Jahr): - (1895) Heft PDF erstellt am: Persistenter Link: Nutzungsbedingungen Die ETH-Biblithek ist Anbieterin der digitalisierten Zeitschriften. Sie besitzt keine Urheberrechte an den nhalten der Zeitschriften. Die Rechte liegen in der Regel bei den Herausgebern. Die auf der Plattfrm e-peridica veröffentlichten Dkumente stehen für nicht-kmmerzielle Zwecke in Lehre und Frschung swie für die private Nutzung frei zur Verfügung. Einzelne Dateien der Ausdrucke aus diesem Angebt können zusammen mit diesen Nutzungsbedingungen und den krrekten Herkunftsbezeichnungen weitergegeben werden. Das Veröffentlichen vn Bildern in Print- und Online-Publikatinen ist nur mit vrheriger Genehmigung der Rechteinhaber erlaubt. Die systematische Speicherung vn Teilen des elektrnischen Angebts auf anderen Servern bedarf ebenfalls des schriftlichen Einverständnisses der Rechteinhaber. Haftungsausschluss Alle Angaben erflgen hne Gewähr für Vllständigkeit der Richtigkeit. Es wird keine Haftung übernmmen für Schäden durch die Verwendung vn nfrmatinen aus diesem Online-Angebt der durch das Fehlen vn nfrmatinen. Dies gilt auch für nhalte Dritter, die über dieses Angebt zugänglich sind. Ein Dienst der ETH-Biblithek ETH Zürich, Rämistrasse 101, 8092 Zürich, Schweiz,

2 J. Eggenb erger. über eine Eigenschaft einer Gammafunktin mit einer Ptenz als Argument. (Eingereicht im Januar 1895.) Das Euler'sche ntegral L Galtung sei definiert durch ö e"x xy_1 dx. (e Basis der nat. Lgarithmen. Substituiert man darin x durch az, s flgt ) Weil aber nach 1) : s ergibt sich aus 2): fc e"az zy_1 dz und für y 1 e'az / dz. 0 / e"x dx 1, a=rra J e dz. Multipliziert man diese Gleichung mit da und integriert beider seits zwischen 1 und a, s wird r e-z - P/az A 3) lg a dz.

3 9 Durch n - m a i 1 g e Multiplikatin dieser Gleichung mit da und ntegratin zwischen den Grenzen 0 und a, erhalten wir rechts: lg a da a lg a a un /-»a /ia /a lg a da a lg a da la da a2 a2 a2 Tlga-T--T j(3) lg a da j 0r lg a-\ 2 'da -^T gaf(0, a4 a4 a4 a4 lg a 3! 3! 3 3! 2 3! da = lg 4! 4! 4 4! 3 4! 2 4! a) und links: " lg a A a a da - lg a n! nnl (n l)n! (n 2)n! /f) an 3 n 2 n n! a nï 1^a-^[1+W+- + n4l +i] an n x==n 1 "lgada^-lga-^^t 0 x=l jy^fcil_jv+-ç_4.)i 0 /a /», n e-z e"az, r /a2e-z e"az,1 a \dz z dzda=j V^ì z^+^-vjt Bern. Mitteil Nr

4 1 fiî 0 0 fi! 0 0 fi! 0 0 CO -z -J e e c -z -az e e CO -z -1 e e dz da dz da -A 0 -A 0 /c / 10 a -z -az a* e e z8 z3 ^ X2 a2 \ dz 2 z / z z4 ^ z4 z3 + a8 a \ dz 2!z2 3! z/ z e; 5 -z -az e e + - L 4- A 5! ^ ~ z5 z5 z4 a- a a4 \ dz 01,3 ~t~ ' 2! z3 3! l z2,2 4 z / z fi^fi»c -z -az a e ß ~e dzda \n-l 1 Nii-2 2 re / u (-ir'e-ffi (-l)n / 1 \n"1 /.ik 2 / 4\3 n-3 /.,s2,n-2 (!_) a i ( 1) a i i ( 1) a ( 1) a n-l "T" nl n-2 " ",_ ON _3 ~T 2! z" (n 3)! z3 (n 2)! l 4) ga n! -A a"'1 _1_ a"'2 1 (n 1)! z ~"~ (n 2)! z2 n-i dz (n 1)! z/ z (- f2 a2 (- l)-1 (-lf (-l)n+1 -az 1 dz zn"2 2 1 z"- z Aus den Gleichungen a) und ß) flgt: x=n n! (n 1)1 z (n 2)!z2 n-l f-l)n-v (-ir!a (-1)" l)n+1 e az] dz zn"2 + 2 f^ + za J z Setzt man in Gleichung 4) der Reihe nach a 1, 2, 3 a 2, a 1 und addiert sämtliche Gleichungen, s ergibt sich, wenn man zur Abkürzung

5 11 1". 22". 38\ (a - 2)(a"2)n (a-lf-1)n F(aan) als neue Funktin setzt: x=a-l x=n x=a-l lg T(a x=i x=l x=l x=a-l x=a-l 2 x "x 2*n"2 x=l x=l -r- T ^ STTT2 r- (n l)!z ' (n 2)!z x=a-l x=a-l «=a-l (-ir22x2 (-irx2x (-1)D (-Dn+12e"ßzi 2zn-2 x=l x=l a=\ dz zn-l zn Jz Ebens für ein um die Einheit kleineres Argument: x=a-2 x=n x=a-2 2 X"2t r0 '"e " ^*" lgr((a-l)(a-ir)= S x=lx x^i ' n n! ' x=a-2 2»" ^ rr-4 *- n x a-2 2x11"2 X=l X=l -p (n + rn OM l)!z,2 + ' (n 2)1 z x=a-2 x=a-2 «=a-2 (-un-22*2 (-ir2x (-Dn+12e"ßz n i i x=i x=l ( 1)" «=i dz ^ 2!z*-2 + z11"1 "^ zn ^ zn Jz' Durch Subtraktin der Gleichung 6) vn 5) und unter Berück sichtigung flgender Thatsachen : ß=a-l -(a-l)z

6 alt man : «=a-l K=a-2 2e"KZ «=i f(=a «- - 2e"KZ e"(a-1)z «=1 «=i x=a-l x=a-2 1_e-(a-2)z ez 1 2»' -2^" (a - 1)" x=l x=l c-ir-24- lg r(aa lg r((a - if"1* )_ x=i x n n n e"z (a-ir1 (a - if2 J L n! (n 1)! z ' (n 2)! z2 (-l) -2(a-l)2 (-if-^a-l) (-f (-lf+v^ldz - zn.22! "t" zn-l t" zn und 1" f J Nach Gleichung 4) ist aber die rechte Seite vn Gleichung 7) (a-l)nlg(a-l) n! Diesen Ausdruck substituiert, ergibt : der lg r(aa") _ lgr((a-lf-1)n) (a- 1)" lg (a - 1) n! n! n! 9) r(aa ) (a- l)(a-1)n r((a-l)(a-nd). Für n flgt aus dieser Gleichung die bekannte Beziehung: r(a) (a - 1) ta - 1). Die in Gleichung 5) gegebene Funktin genügt smit der ersten Eigenschaft einer Gammafunktin. Der -Punkt ist für dieselbe ein Unstetigkeilspunkt.

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