Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz 2.2 Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl.

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1 Unterräume und Lineare Hülle Unterräume und Lineare Hülle Definition.1 Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt von V, wenn gilt: Unterraum (U 1) 0 U. (U ) U + U U, d.h. x, y U x + y U. (U ) R.U U, d.h. x U und a R impliziert a.x U. Dabei verwenden wir die folgenden abkürzenden Bezeichnungen: U + U {u 1 + u u 1 U 1 und u U }, R.U {r.u r R und u U }, U { u u U }. Donnerstag, 11. Dezember 03 Satz. Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn jeder Unterraum U von V ist bzgl. der Verknüpfungen wieder ein Vektorraum. + : U U U, (u, v) u + v. : R U U, (a, u) a.u Beweis. Wegen (U 1) und (U ) machen beide Verknüpfungen Sinn, sie sind also wie man sagt wohldefiniert. Die Bedingungen (A 1), (A ) eines Vektorraums sind offensichtlich und (A 3) ist wegen (U 1) erfüllt. Wegen (U 3) ist insbesondere U U, d.h. x U impliziert x U. Somit gilt auch (A 4). Schließlich gelten (M 1) (M 4) in U, da sie im umfassenden Vektorraum V gelten. Beispiele.3 (a) Für jeden Vektorraum V sind stets V selbst und {0} Unterräume von V. (b) Ist ferner v ein beliebiger Vektor aus V, so ist R.v : {a.v a R} ein Unterraum von V. Wir nennen ihn den von v erzeugten Unterraum. (b) V sei der Anschauungsraum. Die nur aus 0 bestehende Teilmenge {0}, eine Gerade G durch 0 oder eine Ebene E durch 0 sind Beispiele für Unterräume von V. Im Zusammenhang mit der Diskussion des Dimensionsbegriffs werden wir später sehen, dass mit dieser Aufzählung alle Unterräume U des Anschauungsraumes (gleichbedeutend des R 3 ) erfasst sind. Weitere Unterräume eines R-Vektorraums V können wir uns nach folgendem Muster verschaffen:

2 60 Kapitel III: Vektorräume und Lineare Abbildungen Satz.4 Sind v 1, v,..., v t V, so ist v 1, v,..., v t : {a 1.v a n.v n a 1, a,..., a n R} ein Unterraum von V, welchen wir den von v 1, v,..., v t aufgespannten 6 Unterraum oder auch die lineare Hülle von v 1, v,..., v t oder {v 1, v,..., v t } nennen. Beweis. Es ist klar, dass 0 0.v v v t in H v 1, v,..., v t liegt und dass H ferner wegen (a 1.v a t.v t ) + (b 1.v b t.v t ) (a 1 + b 1 ).v (a t + b t ).v t a. (a 1.v a t.v t ) (aa 1 ).v aa t ).v t gegen Bildung von Summen und von Produkten mit Skalaren abgeschlossen ist. H ist somit ein Unterraum von V. Satz.5 Es ist v 1, v,..., v t der bezüglich Inklusion kleinste Unterraum von V, welcher v 1, v,..., v t enthält. Beweis. Wir wissen schon, dass H v 1, v,..., v t ein Unterraum ist. Da v i 0.v v i v t gilt, liegen die Elemente v 1, v,..., v t sämtlich in H. Ist nun U irgendein Unterraum von V, welcher v 1, v,..., v t enthält, so liegen alle Linearkombinationen a 1.v a t.v t ebenfalls in U, woraus H U folgt. Für spätere Verwendung notieren wir noch: Satz.6 Sind U 1 und U Unterräume von V, so auch ihr Durchschnitt U 1 U {u u U 1 und u U } und ihre Summe U 1 +U {u 1 + u u 1 U 1, u U }. Beweis. Wir zeigen, dass U U 1 U ein Unterraum von V ist. Da 0 V sowohl in U 1 als auch in U liegt, so folgt 0 V U und (U 1) ist erfüllt. Seien nun x und y Elemente aus U. Insbesondere sind dann x und y Elemente von U 1 und folglich liegt auch ihre Summe x + y in U 1. Entsprechend liegt x + y in U. Es folgt, dass x + y in U liegt und somit (U ) erfüllt ist. Seien schließlich r ein Skalar und u ein Mitglied von U. Dann liegt mit u auch r.u in U 1. Entsprechend folgt r.u U, folglich liegt r.u in U, womit auch (U 3) gezeigt ist. Mit analogen Argumenten behandelt man den Fall U 1 + U. Bemerkung.7 Es seien U 1 und U Unterräume von V. Im allgemeinen ist die Vereinigung U 1 U nicht wieder ein Unterraum 7 von V. Beispielsweise sind im R die Koordinatenachsen U 1 {(x, 0) x R} und U {(0, y) y R} Unterräume, aber ihre Vereinigung U 1 U ist kein Unterraum des R. 6 Auch die Bezeichnung von v 1, v,..., v t erzeugter Unterraum ist gebräuchlich. 7 Genauer gilt hier: Die Vereinigung U 1 U ist genau dann ein Unterraum, wenn U 1 U oder U U 1 gilt.

3 Einschub: Vollständige Induktion 61 Einschub: Vollständige Induktion Wir werden im folgenden häufig Beweise durch vollständige Induktion führen und schieben daher einen Exkurs über das Prinzip der vollständigen Induktion ein. Wir werden dabei sehen, dass es sich bei demselben um eine besondere Eigenschaft der natürlichen Zahlen handelt, die wir nachfolgend herausarbeiten. Die natürlichen Zahlen Für uns reicht die Vorstellung, dass die natürlichen Zahlen diejenigen sind, die man zum Zählen und daher zur Anzahlbestimmung endlicher Mengen verwendet. Es sind dies also die Zahlen 0, 1,, 3, 4, 5,... Wie schon gelegentlich zuvor, bezeichnet N die Menge aller natürlichen Zahlen. Wir setzen als bekannt voraus, wie man hinsichtlich Addition und Multiplikation mit natürlichen Zahlen umgeht und wie man dieselben der Größe nach vergleicht (m n, m < n). Das Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl Die bei weitem wichtigste Eigenschaft der natürlichen Zahlen ist das sehr anschauliche, und daher hier nicht weiter begründete Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl: Gegeben sei irgendeine nichtleere Menge M von natürlichen Zahlen (M darf dabei endlich oder unendlich sein, muss aber, wie verlangt, mindestens ein Mitglied enthalten). Dann gibt es unter allen Zahlen von M eine kleinste. Formelmäßig ausgedrückt: Falls M N, so existiert eine Element m 0 M mit m 0 m für jedes m M. Die Problemstellung Wir wollen auf einen Streich unendlich viele Behauptungen (Aussagen) zu beweisen. Wir stellen uns dazu vor, dass wir jeder natürlichen Zahl n 1 eine Aussage A(n) zugeordnet haben, etwa die Behauptung A(n) : n. Den Beweis von A(1), A(),... wollen wir mit einem einzigen Beweis erledigen! Dies gelingt mit dem Prinzip der vollständigen Induktion, das wir gleich aus dem Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl gewinnen werden.

4 6 Kapitel III: Vektorräume und Lineare Abbildungen Prinzip der vollständigen Induktion Satz (Vollständige Induktion) Für jede 8 natürliche Zahl n sei eine Behauptung A(n) vorgelegt. Es gelte (I 1) A(0) ist wahr. (I ) Immer, wenn A(n) wahr ist, ist auch A(n + 1) wahr. Dann ist A(n) wahr für jede natürliche Zahl n. Beweis. Wir führen einen sogenannten Widerspruchsbeweis. Dazu nehmen wir an, dass es eine natürliche Zahl m gibt, für die A(m) falsch ist und zeigen anschließend, dass diese Annahme zu einem Widerspruch führt! Nach Annahme ist die Menge V aller Verbrecher v, für die A(v) falsch ist, nicht leer. Sie enthält nämlich mindestens das Element m. Nach dem Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl hat V folglich ein kleinstes Mitglied v 0 ; es gibt somit einen kleinsten Verbrecher. Wegen (I 1) ist v 0 0, somit v 0 > 0. Somit ist n v 0 1 0, also eine natürliche Zahl, die nicht in V liegt. Folglich ist A(n) wahr. Wegen (I ) ist wegen der Richtigkeit von A(n) dann auch die Aussage A(n + 1), wegen n +1 v 0 dann auch die Aussage A(v 0 ) wahr, Widerspruch! Unsere ursprüngliche Annahme ist daher falsch, das Induktionsprinzip damit bewiesen. Anwendungsbeispiel Wir zeigen durch vollständige Induktion, dass für jedes n 1 die Behauptung A(n) : n richtig ist. Induktionsverankerung: Es gilt A(0) 9. Induktionsschritt von n auf n + 1: Wir nehmen an, dass A(n) richtig ist, d.h. wir nehmen an, dass (für dieses n) die Formel n gilt. 8 Es ist auch möglich, die Behauptungen A(n) nur für alle natürlichen n n 0 zu betrachten. In diesem Fall ist (I 1) zu A(n 0 ) ist wahr zu modifizieren. 9 Hier verwenden wir die Vereinbarung, dass eine Summe von null Summanden gleich 0 ist.

5 Einschub: Vollständige Induktion 63 Wir zeigen, dass unter dieser Voraussetzung auch A(n + 1) gilt: ( n) + (n + 1) Dies ist gerade die Aussage A(n + 1). I.V. + (n + 1) + (n + 1) (n + 1)(n + ) Variante des Induktionsprinzips Für praktische Zwecke ist häufig die folgende Fassung des Induktionsprinzips nützlich: Satz 3.1 (Induktion, Variante) Für jede natürliche Zahl n n 0 sei eine Aussage A(n) gegeben. Es gelte (I 1)* A(n 0 ) ist wahr. (I )* Es sei m > n 0. Falls A(k) für alle n 0 k < m wahr ist, so ist auch A(m) wahr. Dann ist A(n) für jedes n n 0 wahr. Beweis. Wir nehmen an, unsere Behauptung sei falsch. Die Menge V aller natürlichen Zahlen (Verbrecher) n n 0, für die A(n) falsch ist, ist dann nicht leer. Nach dem Prinzip der kleinsten natürlichen Zahl hat V ein kleinstes Mitglied v (einen kleinsten Verbrecher). Wegen (I 1)* ist v > n 0. Für alle k mit n 0 k < v ist daher A(k) wahr, wegen (I )* ist dann auch A(v) wahr, Widerspruch! Damit ist unsere ursprüngliche Annahme falsch und die obige Behauptung bewiesen. Rückblick: Widerspruchsbeweis Sie haben bemerkt, dass das generelle Beweisschema beider Induktionsprinzipien ziemlich ähnlich ist: in beiden Fällen haben wir einen Beweis durch Widerspruch geführt. Dasselbe beruht darauf, dass jede Aussage entweder wahr oder falsch ist und ferner sich aus einer wahren Aussage durch zulässige logische Schlüsse stets wieder eine wahre Aussage ergibt. Nehmen wir hypothetisch an, eine zu beweisende Aussage A sei falsch und ferner, dass sich aus dieser Annahme durch zulässige Schlüsse eine Aussage B ergibt, die falsch ist. Dann kann unsere Annahme (A sei falsch) nicht wahr sein; A ist somit wahr.