Vektorräume und Lineare Abbildungen

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1 Lineare Algebra Kapitel 9. Vektorräume Der Körper der reellen Zahlen Der Vektorraumbegriff, Beispiele Rechnen in Vektorräumen Linearkombinationen und Erzeugendensysteme Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit Basisbegriff Standardbasis des R n Dimension eines Vektorraums Unterräume; Summe und Durchschnitt Lineare Hülle

2 Vektorräume und Lineare Abbildungen Die angesprochene Thematik macht den Kern dieser Veranstaltung aus. Lineare Techniken sind zentral für weite Bereiche mathematischen Argumentierens. Durch in der Analysis thematisierte Lineare Approximation reduzieren wir komplizierte Probleme auf lineare Probleme. Die linearen Probleme, hinwiederum, reduzieren sich typischerweise auf das Lösen Linearer Gleichungssysteme, deren Lösungstechnik in dieser Vorlesung einen entsprechend großen Stellenwert hat. Zunächst behandeln wir den Körper der reellen Zahlen. Dann führen wir den Begriff des Vektorraums ein und untersuchen eine Fülle von Beispielen. 1

3 Der Körper der reellen Zahlen In diesem Abschnitt beschreiben wir die algebraischen Eigenschaften der Menge R aller reellen Zahlen, d.h. wir befassen uns mit den Eigenschaften der Addition und Multiplikation. Wir haben also eine Menge mit zwei Abbildungen ( Verknüpfungen ) gegeben: + : R R R : R R R (x, y) x + y (x, y) x y genannt Addition genannt Multiplikation Diese genügen den folgenden Anforderungen: 2

4 Axiome der Addition (A1) Assoziativität: (x + y) + z = x + (y + z) (A2) Kommutativität: x + y = y + x (A3) Existenz der Null: Es gibt R mit x + = x für alle x R (A4) Existenz eines additiv Inversen: Zu jedem x R gibt es y R mit x + y =. 3

5 Axiome der Multiplikation (M1) Assoziativität: (xy)z = x(yz) (M2) Kommutativität: xy = yx (M3) Existenz einer Eins: Es gibt 1 R mit x 1 = x für alle x R. (M4) Existenz eines multiplikativ Inversen: Zu jedem x R, x, gibt es ein y R mit x y = 1. 4

6 Distributivgesetz Addition und Multiplikation sind verkoppelt durch die (D) Distributivität: (x + y)z = xz + yz für alle x, y, z R. Bemerkung: Aus der Kommutativität folgt natürlich die Distributivität auch auf der anderen Seite. Entsprechendes gilt hinsichtlich der Inversenbildung. 5

7 Der Vektorraumbegriff Wir greifen die beim Rechnen mit Q, R und C isolierten Gesetzmäßigkeiten (A1) (A4), (M1) (M4) erneut auf und definieren in allerdings verändertem Kontext den Begriff eines (abstrakten) Vektorraums durch axiomatische Forderung dieser Bedingungen: Definition Eine Menge V versehen mit zwei Operationen + : V V V, (v, w) v + w : R V V, (a, v) av heißt Vektorraum, genauer reeller Vektorraum oder R-Vektorraum, wenn gilt: 6

8 (A 1) v + w = w + v für alle v, w V. (A 2) u + (v + w) = (u + v) + w für alle u, v, w V. (A 3) Es gibt V mit v + = v = + v für alle v V. (A 4) Zu jedem v V gibt es w V mit v + w = = w + v. (M 1) a(v + w) = av + aw für alle a R, v, w V. (M 2) (a + b)v = av + bv für alle a, b R, v V. (M 3) (a b)v = a(bv) für alle a, b R, v V. (M 4) 1v = v für alle v V. Elemente aus V heißen Vektoren, die aus R Skalare. 7

9 Beispiele: Anschauungsraum und R 3 (i) Die Vektoren des Anschauungsraumes bilden mit den Operationen Vektoraddition und Multiplikation mit Skalaren einen R-Vektorraum. (ii) Die Menge R 3 = x 1 x 2 x 3 x 1, x 2, x 3 R bildet mit den Operationen x 1 x 2 x 3 + y 1 y 2 y 3 = x 1 + y 1 x 2 + y 2 x 3 + y 3, a x 1 x 2 x 3 = ax 1 ax 2 ax 3 einen R-Vektorraum. 8

10 Lösungsmenge einer linearen Gleichung (iii) Wir fixieren vier reelle Zahlen a 1, a 2, a 3, b. Dann ist die Menge V = x 1 x 2 x 3 x 1, x 2, x 3 R, a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b bzgl. der Operationen von (ii) genau dann ein R-Vektorraum, wenn b =. 9

11 Unser Standardbeispiel: R n Satz. Für jedes n bildet die Menge mit den Operationen x 1. x n + R n = y 1. y n einen R-Vektorraum. = x 1. x n x 1,..., x n R x 1 + y 1. x n + y n, a x 1. x n = ax 1. ax n Beweis. Koordinatenweises Rechnen in R zeigt die Gültigkeit von (A1) (A4), (M1) (M4). 1

12 Ein Beispiel aus einer anderen Ecke Das folgende Beispiel zeigt die vereinheitlichende Kraft und Denkökonomie des abstrakten Vektorraumbegriffs: Beispiel Sei [, 1] := {x R x 1} und V = {f f : [, 1] R} die Menge aller reellwertigen Funktionen, welche auf dem reellen Einheitsintervall [, 1] = {x x R, x 1} definiert sind. Wir erklären f + g und a.f (a R, f, g V ) durch (f + g)(x) = f(x) + g(x), (a.f)(x) = a f(x). Es ist leicht zu sehen, dass V bzgl. dieser Operationen ein reeller Vektorraum ist. Offensichtliche Variationen: Polynomfunktionen auf [, 1], differenzierbare Funktionen auf [, 1]. 11

13 Wichtige Bemerkung In die Vektorraum-Definition und die nachfolgende Behandlung gehen nur diejenigen Eigenschaften der Addition und Multiplikation der reellen Zahlen ein, die wir zu den Körperaxiomen (A1) (A4), (M1) (M4) und (D) zusammengefasst haben. Wir können daher allgemein Vektorräume über einem Körper K betrachten, also von Vektorräumen über Q, R oder C sprechen. Zum Beispiel ist C n ein Vektorraum über C. Wir werden hierauf später zurückkommen; gleichwohl momentan bei Vektorräumen über R bleiben. 12

14 Beispiele von Körpern (i) Q, R und C sind Körper bzgl. der gewöhnlichen Addition und Multiplikation. Q ist ein Teilkörper von R, und R ist ein Teilkörper von C. (ii) Q( 2) := { a + b 2 a, b Q } ist ein Teilkörper von R. (iii) Q(i) := {a + b i a, b Q}, i = 1, ist ein Teilkörper von C. (iv) Es gibt auch endliche Körper. Derjenige mit zwei Elementen ist für Informatiker besonders interessant. (v) N und Z sind bzgl. der gewöhnlichen Addition und Multiplikation keine Körper. Grund? 13

15 Das Rechnen in Vektorräumen I (1) Das Nullelement V ist eindeutig bestimmt. Beweis. Seien und Nullelemente von V, dann gilt = + =. (2) Das additive Inverse zu x ist eindeutig bestimmt. Beweis. Seien x + y = und x + y =. Dann folgt y = y + = y + (x + y ) = (y + x) + y = (x + y) + y = + y = y Schreibweise: y = x. 14

16 Das Rechnen in Vektorräumen II Die nächste Eigenschaft werden wir wieder und wieder benötigen: (3) a.x = (a = oder x = ) Beweis. : Es ist a. = a.( + ) = a. + a. und Addition mit (a.) liefert = a.. Entsprechend ist.x = ( + ).x =.x +.x, hier liefert Addition mit (.x) das gewünschte Resultat =.x. a.x = und a impliziert x = 1.x = ( 1 a a).x = 1 a.(a.x) = 1. =. a 15

17 Subtraktion in Vektorräumen Verabredung: x y := x + ( y) Rechenregeln: ( x) = x (1) (x + y) = ( x) + ( y) (2) (x y) = y x (3) (4) Die Gleichung x + b = c (b, c V gegeben) ist eindeutig lösbar mit Lösung x = c b. (5) ( a).x = (a.x) = a.( x). 16

18 Linearkombinationen und Erzeugendensysteme V sei ein Vektorraum. Ein Element v V der Form v = a 1.v a n.v n, heißt Linearkombination der Elemente v 1, v 2,..., v n V mit den Koeffizienten a 1, a 2,..., a n R. (a) (v 1, v 2,..., v n ) heißt Erzeugendensystem von V, wenn sich jedes v V als Linearkombination v = a 1.v a n.v n, mit geeigneten Skalaren a 1,..., a n schreiben lässt. 17

19 Lineare Abhängigkeit und Unabhängigkeit (b) Ein System (v 1, v 2,..., v n ) von Vektoren aus V heißt linear abhängig, wenn es Skalare (a 1, a 2,..., a n ) (,..., ) gibt mit a 1.v 1 + a 2.v a n.v n =. Andernfalls heißt (v 1, v 2,..., v n ) linear unabhängig. Dies bedeutet: mindestens ein a i ist ungleich. Wir werden üblichem Sprachgebrauch folgend davon sprechen, dass die Vektoren v 1, v 2,..., v n linear abhängig (bzw. linear unabhängig) sind, obwohl dies missverständlich ist: Sind sämtliche v i, so ist v 1, v 2,..., v n ein System von Vektoren, die einzeln jeweils linear unabhängig sind, aber als Folge v 1, v 2,..., v n durchaus linear abhängig sein können. 18

20 Der Basisbegriff Ein System (b 1, b 2,..., b n ) von n Vektoren aus V heißt eine Basis von V, falls b 1, b 2,..., b n zugleich in V linear unabhängig und ein Erzeugendensystem von V ist. Wenn wir eine Basis von V besitzen, kennen wir V vollständig: Es ist dann nämlich V die Menge aller Linearkombination der Basiselemente. Im allgemeinen wird ein Vektorraum mehrere, zumeist sogar unendlich viele Basen haben. Es macht daher keinen Sinn, von der Basis von V zu sprechen. (Häufiger Fehler, der offenbart, dass Wesentliches nicht verstanden wurde!) 19

21 Die Standardbasis des R n Im R n ist das System e 1 = 1., e 2 = 1.,..., e n =. 1 ein Erzeugendensystem, denn a 1 a 2. a n 1 a n = a 1. + a a n = a a a n Aus der obigen Formel folgt zugleich die lineare Unabhängigkeit von e 1, e 2,..., e n. (Weshalb?) 2. 1.

22 Nochmals: Standardbasis Folglich ist (e 1, e 2,..., e n ) eine Basis von R n, welche wir die Standardbasis des R n nennen. Neben der Standardbasis (e 1, e 2,..., e n ) gibt es viele weitere Basen, z.b. ist für jede Wahl von a R auch (e 1 + a.e 2, e 2, e 3,..., e n ) ebenfalls eine Basis von R n. Wir erhalten mit dieser Konstruktion somit unendlich viele Basen des R n. Wie diskutiert, gibt es die Basis eines R-Vektorraums V nicht, somit auch nicht die Basis des Vektorraums R n, n 1, da es in jedem dieser Fälle mehrere (sogar unendlich viele) Basen gibt. Der bestimmte Artikel für die Bezeichnung der Standardbasis des R n macht dagegen Sinn! 21

23 Die Funktion einer Basis Satz Ist (v 1, v 2,..., v n ) eine Basis von V, so besitzt jeder Vektor v V eine eindeutige Darstellung v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n als Linearkombination von v 1, v 2,..., v n mit skalaren Koeffizienten a 1, a 2,..., a n. Beweis. (1) Die Existenz einer solchen Linearkombination v = a 1 v 1 + a 2 v a n v n folgt, weil v 1, v 2,..., v n ein Erzeugendensystem von V ist. Wir müssen uns daher noch von der Eindeutigkeit einer solchen Darstellung überzeugen. 22

24 (2) Zum Nachweis der Eindeutigkeit einer solchen Darstellung nehmen wir an, dass v = a 1.v 1 + a 2.v a n.v n v = b 1.v 1 + b 2.v b n.v n zwei Darstellungen von v als Linearkombination von v 1, v 2,..., v n sind. Bilden der Differenz führt zur Gleichung = (a 1 b 1 ).v 1 + (a 2 b 2 ).v (a n b n ).v n, woraus die lineare Unabhängigkeit von v 1, v 2,..., v n berücksichtigend das Verschwinden aller Koeffizienten, also a 1 b 1 =, a 2 b 2 =,..., a n b n = folgt. Wir haben damit a 1 = b 1, a 2 = b 2,..., a n = b n und folglich die Eindeutigkeit der Darstellung gezeigt. 23

25 Wichtige Kommentare Kommentar 1. Ist v 1, v 2,..., v n eine Basis von V, so ist die Abbildung ϕ : R n V, x 1. x n n i=1 x i.v i bijektiv, d.h. zu jedem v V gibt es genau ein x R n mit ϕ(x) = v. Wir haben daher bei fixierter Basis eine ein-eindeutige Entsprechung zwischen den Vektoren v aus V einerseits und Mitgliedern des R n andererseits. Die letzteren können wir relativ zur fixierten Basis als Koordinaten von v auffassen. 24

26 Kommentar 2. (a) Die Vektoren einer Basis (b 1, b 2,..., b n ) sind immer paarweise verschieden. Ferner kommt es für die Basiseigenschaft nicht auf die Reihenfolge an, in der die Vektoren einer Basis aufgezählt werden. Immer, wenn es daher bequem ist, werden wir anstelle von (b 1, b 2,..., b n ) von der Basis B = {b 1, b 2,..., b n } sprechen. (b) In R ist jedes x eine Basis. (c) Im R 2 bilden ( a1 a 2 ), ( b1 b 2 genau dann eine Basis, wenn a 1 b 2 a 2 b 1 gilt. ) 25

27 Die Dimension eines Vektorraums Ist (b 1, b 2,..., b n ) eine Basis des Vektorraums V, so heißt n die Dimension von V. Die Möglichkeit dieser Definition beruht auf dem folgenden nichttrivialen Satz. Je zwei Basen (b 1, b 2,..., b n ) und (c 1, c 2,..., c m ) ein und desselben Vektorraums V haben dieselbe Mitgliederzahl, es gilt also m = n. Wie wir später untersuchen, ist durch Kenntnis seiner Dimension n ein Vektorraum V weitgehend bestimmt. Schreibweise: dim R V = n. 26

28 Vorschau Unterräume Die in der Praxis mit weitem Abstand wichtigsten Vektorräume sind die Unterräume des R n. Unterräume eines Vektorraums sind ihrerseits wieder Vektorräume. Zu den Unterräumen des R n zählt insbesondere der Vektorraum R n selbst (n =, 1, 2,...), aber viele weitere. Wir untersuchen anschließend den Unterraumbegriff und beschäftigen uns mit Verfahren, Unterräume zu konstruieren. 27

29 Definition von Unterräumen Vektorräume treten häufig als Unterräume eines gegebenen Vektorraums, in der Praxis vor allem als Unterräume eines R n auf. Aus gegebenen Vektorräumen entstehen durch Bilden von Unterräumen somit weitere Vektorräume. Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt Unterraum von V, wenn gilt: (U 1) U. (U 2) U + U U, d.h. x, y U = x + y U. (U 3) R.U U, d.h. x U, a R = a.x U. 28

30 Unterräume sind ihrerseits Vektorräume Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn ein Unterraum U von V ist bzgl. der Verknüpfungen wieder ein Vektorraum. + : U U U, (u, v) u + v. : R U U, (a, u) a.u Beweis. Wegen (U2) und (U3) machen beide Verknüpfungen Sinn (sind wohldefiniert, wie man sagt). Ferner sind (A1), (A2) offensichtlich erfüllt, (A3) ist wegen (U1) erfüllt. Wegen (U3) ist insbesondere U U, d.h. x U = x U. Somit gilt auch (A4). Der Nachweis von (M1) (M4) ist schließlich Routine. 29

31 Beispiele von Unterräumen (a) Für jeden Vektorraum V sind stets V selbst und {} Unterräume von V. (b) Ist V ein Vektorraum und v V so ist R.v := {a.v a R} ein Unterraum von V. (c) V sei der Anschauungsraum. Die nur aus bestehende Teilmenge {}, eine Gerade G durch oder eine Ebene E durch sind Beispiele für Unterräume von V. Im Zusammenhang mit der Diskussion des Dimensionsbegriffs werden wir später sehen, dass jeder Unterraum U des Anschauungsraumes (gleichbedeutend des R 3 ) einer der in (c) genannten Fälle ist. 3

32 Systematische Konstruktion von Unterräumen: Die Lineare Hülle Unterräume eines R-Vektorraums V können wir uns nach folgendem Muster verschaffen: Satz Sind v 1, v 2,..., v t V, so bildet die Menge aller Linearkombinationen v 1, v 2,..., v t := {a 1.v a t.v t a 1, a 2,..., a t R} einen Unterraum von V, welchen wir die lineare Hülle von v 1, v 2,..., v t oder {v 1, v 2,..., v t } nennen. Es ist auch die Bezeichnung von v 1, v 2,..., v t aufgespannter Unterraum üblich. 31

33 Die Lineare Hülle ist ein Unterraum Beweis. Sei H = v 1, v 2,..., v t. Es ist klar, dass =.v 1 +.v v t in H liegt und daher (U1) erfüllt ist. Ferner ist H wegen (a 1.v a t.v t ) + (b 1.v b t.v t ) = (a 1 + b 1 ).v (a t + b t ).v t a. (a 1.v a t.v t ) = (aa 1 ).v aa t ).v t gegen die Bildung Summen und von Produkten mit Skalaren abgeschlossen, es gelten somit auch (U2) und (U3). Folglich ist H = v 1, v 2,..., v t ein Unterraum von V. 32

34 Erzeugendensystem und Lineare Hülle Satz. V sei ein Vektorraum und v 1, v 2,..., v t sei ein System von Vektoren aus V. Dann gilt: (v 1, v 2,..., v t ) ist genau dann ein Erzeugendensystem von V, wenn V gleich der linearen Hülle v 1, v 2,..., v t ist. Beweis. (a) Falls (v 1, v 2,..., v t ) ein EZS von V ist, so ist jeder Vektor von V eine Linearkombination von v 1, v 2,..., v t, somit V = v 1, v 2,..., v t. (b) Falls V = v 1, v 2,..., v t, so ist jeder Vektor aus V in v 1, v 2,..., v t gelegen, daher eine Linearkombination von v 1, v 2,..., v t. 33

35 Beispiele von Unterräumen I (1) Sei V = R 3 und v 1 = H := v 1, v 2, v 3 = ein Unterraum des R 3. 1, v 2 = x 1 x 2 1, v 3 = 1 1, so ist x 1, x 2 R = R2 {} Es bilden v 1 und v 2 eine Basis (v 1, v 2 ) von H. Grund? Folglich hat H die Dimension 2. 34

36 Beispiele von Unterräumen II Wir fixieren a 1, a 2, a 3 R und setzen voraus, dass a 1 gilt. U := x 1 x 2 x 3 R 3 a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = ist dann ein 2-dimensionaler Unterraum des R 3. Behauptung: Es bilden v 1 = a 2 a 1 1 von U. Folglich hat U die Dimension 2. und v 2 = a 3 a 1 1 eine Basis 35

37 Jedes v = Wie kommt man auf diese Basis von U? x 1 x 2 x 3 U genügt der Beziehung a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 =, die wir wegen a 1 nach x 1 auflösen können: Es folgt somit für jedes v U v = x 1 x 2 x 3 = a 2 x 1 = a 2 a 1 x 2 a 3 a 1 x 3. a x 1 2 a 3 x 2 x 3 a 1 x 3 = x 2 a 2 a x 3 a 3 a 1 1 somit U = v 1, v 2. Die lineare Unabhängigkeit von v 1, v 2 ist klar., 36

38 Die Funktion der linearen Hülle Satz Die lineare Hülle H := v 1, v 2,..., v t ist der bezüglich Inklusion kleinste Unterraum von V, welcher v 1, v 2,..., v t enthält. Beweis. Wir wissen schon, dass H = v 1, v 2,..., v t ein Unterraum ist, welcher v 1, v 2,..., v t umfasst. Ist nun U irgendein Unterraum von V, welcher v 1, v 2,..., v t enthält, so liegen alle Linearkombinationen a 1.v a t.v t ebenfalls in U, woraus H U folgt. In diesem Sinn ist H der kleinste v 1, v 2,..., v t umfassende Unterraum. 37

39 Summe und Durchschnitt von Unterräumen Aus gegebenen Unterräumen U 1 und U 2 ergeben sich durch Summen und Durchschnittsbildung weitere: Satz. Sind U 1 und U 2 Unterräume von V, so auch Durchschnitt und Summe U 1 U 2 = {x V x U 1 und x U 2 } U 1 + U 2 = {x 1 + x 2 x 1 U 1 und x 2 U 2 }. Beweis. durch direktes Nachrechnen. Achtung: Die Vereinigung U 1 U 2 ist im allgemeinen nicht wieder ein Unterraum. 38

40 Nachweis für Summe; Warnung für Vereinigung Nachweis Die Summe U 1 + U 2 zweier Unterräume von V Unterraum. ist ein Wir haben die Unterraumeigenschaften (U1) (U3) zu zeigen. Wegen = + U 1 + U 2 ist (U1) erfüllt. Sind x = x 1 + x 2 und y = y 1 + y 2 mit x i, y i U, so folgt dass x + y = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) = (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 ) in U 1 + U 2 liegt, was (U2) zeigt. Schließlich ist mit obigen Bezeichnungen a.x = a(x 1 + x 2 ) = a.x 1 + a.x 2 in U 1 + U 2 gelegen, womit (U3) bewiesen ist. Warnung: Es sind U 1 = R {} und U 2 = {} R Unterräume von R R, aber U 1 U 2 ist kein Unterraum von R R. Es liegt nämlich (1, 1) = (1, ) + (, 1) nicht in U 1 U 2. 39

41 Anwendung des Durchschnitts: System linearer Gleichungen Es seien reelle Zahlen a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 gegeben. Die Menge aller x 1 Lösungen x 2 R 3 des Gleichungssystems x 3 bildet einen Unterraum des R 3. a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = Beweis. Jede der beiden Gleichungen hat als Lösungsmenge einen Unterraum U 1 bzw. U 2. Die Lösungsmenge insgesamt ist gerade U 1 U 2, damit wieder ein Unterraum. 4

42 Wichtige Bemerkung zu linearen Gleichungen Wir werden später lineare Gleichungssysteme und ihr Lösungsverhalten systematisch studieren. Um ihr Lösungsverhalten gut zu verstehen, ist es entscheidend, auf die Begriffe Basis, Dimension, Unterraum und Erzeugendensystem eines Vektorraums zurückgreifen zu können. Beim gerade diskutierten Beispiel von zwei (homogenen) linearen Gleichungen in drei Unbekannten, kann je nach Vorgabe von a 1, a 2, a 3 und b 1, b 2, b 3 der Lösungsraum die Dimension 1, 2 oder 3 haben. Es ist wichtig, entscheiden zu können, wann welcher Fall vorliegt. Wir kennen diesen Lösungsraum, sobald wir eine Basis desselben kennen. 41