Die Dimension eines Vektorraumes

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1 Die Dimension eines Vektorraumes Ist (b 1, b 2,..., b n ) eine Basis des Vektorraums V, so heißt n die Dimension von V. Die Möglichkeit dieser Definition beruht auf dem folgenden nichttrivialen Satz. Je zwei Basen (b 1, b 2,..., b n ) und (c 1, c 2,..., c m ) ein und desselben Vektorraums V haben dieselbe Mitgliederzahl, es gilt also m = n. Wie wir später untersuchen, ist durch Kenntnis seiner Dimension n ein Vektorraum V weitgehend bestimmt. Schreibweise: dim R V = n. 1

2 Vorschau Unterräume Die in der Praxis mit weitem Abstand wichtigsten Vektorräume sind die Unterräume des R n. Unterräume eines Vektorraums sind ihrerseits wieder Vektorräume. Zu den Unterräumen des R n zählt insbesondere der Vektorraum R n selbst (n = 0, 1, 2,...), aber viele weitere. Wir untersuchen anschließend den Unterraumbegriff und beschäftigen uns mit Verfahren, Unterräume herzustellen. 2

3 Definition von Unterräumen Vektorräume treten häufig als Unterräume eines gegebenen Vektorraums, in der Praxis vor allem als Unterräume eines R n auf. Aus gegebenen Vektorräumen entstehen durch Bilden von Unterräumen somit weitere Vektorräume. Eine Teilmenge U eines R-Vektorraums V heißt Unterraum von V, wenn gilt: (U 1) 0 U. (U 2) U + U U, d.h. x, y U = x + y U. (U 3) R.U U, d.h. x U, a R = a.x U. 3

4 Unterräume sind ihrerseits Vektorräume Der Name Unterraum ist gerechtfertigt, denn ein Unterraum U von V ist bzgl. der Verknüpfungen wieder ein Vektorraum. + : U U U, (u, v) u + v. : R U U, (a, u) a.u Beweis. Wegen (U2) und (U3) machen beide Verknüpfungen Sinn (sind wohldefiniert, wie man sagt). Ferner sind (A1), (A2) offensichtlich erfüllt, (A3) ist wegen (U1) erfüllt. Wegen (U3) ist insbesondere U U, d.h. x U = x U. Somit gilt auch (A4). Der Nachweis von (M1) (M4) ist schließlich Routine. 4

5 Beispiele von Unterräumen (a) Für jeden Vektorraum V sind stets V selbst und {0} Unterräume von V. (b) Ist V ein Vektorraum und v V so ist R.v := {a.v a R} ein Unterraum von V. (c) V sei der Anschauungsraum. Die nur aus 0 bestehende Teilmenge {0}, eine Gerade G durch 0 oder eine Ebene E durch 0 sind Beispiele für Unterräume von V. Im Zusammenhang mit der Diskussion des Dimensionsbegriffs werden wir später sehen, dass jeder Unterraum U des Anschauungsraumes (gleichbedeutend des R 3 ) einer der in (c) genannten Fälle ist. 5

6 Systematische Konstruktion von Unterräumen: Die Lineare Hülle Unterräume eines R-Vektorraums V können wir uns nach folgendem Muster verschaffen: Satz Sind v 1, v 2,..., v t V, so bildet die Menge aller Linearkombinationen v 1, v 2,..., v t := {a 1.v a t.v t a 1, a 2,..., a t R} einen Unterraum von V, welchen wir die lineare Hülle von v 1, v 2,..., v t oder {v 1, v 2,..., v t } nennen. Es ist auch die Bezeichnung von v 1, v 2,..., v t aufgespannter Unterraum üblich. 6

7 Die Lineare Hülle ist ein Unterraum Beweis. Sei H = v 1, v 2,..., v t. Es ist klar, dass 0 = 0.v v v t in H liegt und daher (U1) erfüllt ist. Ferner ist H wegen (a 1.v a t.v t ) + (b 1.v b t.v t ) = (a 1 + b 1 ).v (a t + b t ).v t a. (a 1.v a t.v t ) = (aa 1 ).v aa t ).v t gegen die Bildung Summen und von Produkten mit Skalaren abgeschlossen, es gelten somit auch (U2) und (U3). Folglich ist H = v 1, v 2,..., v t ein Unterraum von V. 7

8 Erzeugendensystem und Lineare Hülle Satz. V sei ein Vektorraum und v 1, v 2,..., v t sei ein System von Vektoren aus V. Dann gilt: (v 1, v 2,..., v t ) ist genau dann ein Erzeugendensystem von V, wenn V gleich der linearen Hülle v 1, v 2,..., v t ist. Beweis. (a) Falls (v 1, v 2,..., v t ) ein EZS von V ist, so ist jeder Vektor von V eine Linearkombination von v 1, v 2,..., v t, somit V = v 1, v 2,..., v t. (b) Falls V = v 1, v 2,..., v t, so ist jeder Vektor aus V in v 1, v 2,..., v t gelegen, daher eine Linearkombination von v 1, v 2,..., v t. 8

9 Beispiele von Unterräumen I (1) Sei V = R 3 und v 1 = H := v 1, v 2, v 3 = ein Unterraum des R , v 2 = x 1 x , v 3 = 1 1 0, so ist x 1, x 2 R = R2 {0} Es bilden v 1 und v 2 eine Basis (v 1, v 2 ) von H. Grund? Folglich hat H die Dimension 2. 9

10 Beispiele von Unterräumen II Wir fixieren a 1, a 2, a 3 R und setzen voraus, dass a 1 0 gilt. U := x 1 x 2 x 3 R 3 a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 ist dann ein 2-dimensionaler Unterraum des R 3. Behauptung: Es bilden v 1 = a 2 a von U. Folglich hat U die Dimension 2. und v 2 = a 3 a eine Basis 10

11 Wie kommt man/frau auf diese Basis von U? Jedes v = x 1 x 2 x 3 U genügt der Beziehung a 1 x 1 +a 2 x 2 +a 3 x 3 = 0, die wir wegen a 1 0 nach x 1 auflösen können: Es folgt somit für jedes v U v = x 1 x 2 x 3 = a 2 x 1 = a 2 a 1 x 2 a 3 a 1 x 3. a x 1 2 a 3 x 2 x 3 a 1 x 3 = x 2 a 2 a x 3 a 3 a somit U = v 1, v 2. Die lineare Unabhängigkeit von v 1, v 2 ist klar., 11

12 Die Funktion der linearen Hülle Satz Die lineare Hülle H := v 1, v 2,..., v t ist der bezüglich Inklusion kleinste Unterraum von V, welcher v 1, v 2,..., v t enthält. Beweis. Wir wissen schon, dass H = v 1, v 2,..., v t ein Unterraum ist, welcher v 1, v 2,..., v t umfasst. Ist nun U irgendein Unterraum von V, welcher v 1, v 2,..., v t enthält, so liegen alle Linearkombinationen a 1.v a t.v t ebenfalls in U, woraus H U folgt. In diesem Sinn ist H der kleinste v 1, v 2,..., v t umfassende Unterraum. 12

13 Summe und Durchschnitt von Unterräumen Aus gegebenen Unterräumen U 1 und U 2 ergeben sich durch Summen und Durchschnittsbildung weitere: Satz. Sind U 1 und U 2 Unterräume von V, so auch Durchschnitt und Summe U 1 U 2 = {x V x U 1 und x U 2 } U 1 + U 2 = {x 1 + x 2 x 1 U 1 und x 2 U 2 }. Beweis. durch direktes Nachrechnen. Achtung: Die Vereinigung U 1 U 2 ist im allgemeinen nicht wieder ein Unterraum. 13

14 Nachweis für Summe; Warnung für Vereinigung Nachweis Die Summe U 1 + U 2 zweier Unterräume von V Unterraum. ist ein Wir haben die Unterraumeigenschaften (U1) (U3) zu zeigen. Wegen 0 = U 1 + U 2 ist (U1) erfüllt. Sind x = x 1 + x 2 und y = y 1 + y 2 mit x i, y i U, so folgt dass x + y = (x 1 + x 2 ) + (y 1 + y 2 ) = (x 1 + y 1 ) + (x 2 + y 2 ) in U 1 + U 2 liegt, was (U2) zeigt. Schließlich ist mit obigen Bezeichnungen a.x = a(x 1 + x 2 ) = a.x 1 + a.x 2 in U 1 + U 2 gelegen, womit (U3) bewiesen ist. Warnung: Es sind U 1 = R {0} und U 2 = {0} R Unterräume von R R, aber U 1 U 2 ist kein Unterraum von R R. Es liegt nämlich (1, 1) = (1, 0) + (0, 1) nicht in U 1 U 2. 14

15 Anwendung des Durchschnitts: System linearer Gleichungen Es seien reelle Zahlen a 1, a 2, a 3, b 1, b 2, b 3 gegeben. Die Menge aller x 1 Lösungen x 2 R 3 des Gleichungssystems x 3 bildet einen Unterraum des R 3. a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 = 0 b 1 x 1 + b 2 x 2 + b 3 x 3 = 0 Beweis. Jede der beiden Gleichungen hat als Lösungsmenge einen Unterraum U 1 bzw. U 2. Die Lösungsmenge insgesamt ist gerade U 1 U 2, damit wieder ein Unterraum. 15

16 Wichtige Bemerkung zu linearen Gleichungen Wir werden später lineare Gleichungssysteme und ihr Lösungsverhalten systematisch studieren. Um ihr Lösungsverhalten gut zu verstehen, ist es entscheidend, auf die Begriffe Basis, Dimension, Unterraum und Erzeugendensystem eines Vektorraums zurückgreifen zu können. Beim gerade diskutierten Beispiel von zwei (homogenen) linearen Gleichungen in drei Unbekannten, kann je nach Vorgabe von a 1, a 2, a 3 und b 1, b 2, b 3 der Lösungsraum die Dimension 1, 2 oder 3 haben. Es ist wichtig, entscheiden zu können, wann welcher Fall vorliegt. Wir kennen diesen Lösungsraum, sobald wir eine Basis desselben kennen. 16

17 Vorschau: Lineare Abbildungen Wer Vektorräume studiert, muss sich zugleich mit linearen Abbildungen zwischen ihnen auseinander setzen. Erst lineare Abbildungen ermöglichen es, verschiedene Vektorräume wirklich miteinander zu vergleichen. Zugleich bilden sie eine sprudelnde Quelle zur Bildung und Analyse von Unterräumen. 17

18 Definition linearer Abbildungen Definition Es seien V und W Vektorräume über R (oder allgemeiner über einem Körper K). Eine Abbildung f : V W heißt linear, wenn gilt: (L1) f(v 1 + v 2 ) = f(v 1 ) + f(v 2 ) für alle v 1, v 2 V. (L2) f(a.v) = a.f(v) für alle v V und a R (bzw. a K.) Wir können die Bedingungen (L1) und (L2) zu einer einzigen Bedingung zusammenfügen: (L) f(a 1.v 1 + a 2.v 2 ) = a 1.f(v 1 ) + a 2.f(v 2 ) für alle a 1, a 2 R (bzw. K) und alle v 1, v 2 V. 18

19 Eigenschaften linearer Abbildungen Sei f : V W eine lineare Abbildung. Dann gilt: (1) f(0 V ) = 0 W (2) f( v) = f(v) (3) f(a 1.v a t.v t ) = a 1.f(v 1 ) + + a t.f(v t ). Diese Eigenschaften ergeben sich unmittelbar aus (L1) und (L2). Insbesondere überführt (3) eine lineare Abbildung f : V W die Menge v 1, v 2,..., v t der Linearkombinationen der v 1, v 2,..., v t in die Menge f(v 1 ),..., f(v t ). Somit f( v 1, v 2,..., v t ) = f(v 1 ),..., f(v t ). Diese Redeweise unterstellt, dass V und W Vektorräume sind. 19

20 Die Summe linearer Abbildungen Satz Sind f, g : V W lineare Abbildungen, so auch die Abbildung f + g : V W, v f(v) + g(v). Beweis. Es ist zu zeigen, dass die durch h(v) = f(v) + g(v) (für v V ) erklärte Abbildung linear ist. Nun ist h(x + y) h(a.x) Def. = f(x + y) + g(x + y) linear = (f(x) + f(y)) + (g(x) + g(y)) = (f(x) + g(x)) + (f(y) + g(y)) Def. = h(x) + h(y) Def. = (f(a.x) + g(a.x)) linear = a.f(x) + a.g(x) Def. = a.h(x). 20

21 Skalare Vielfache linearer Abbildungen Satz Ist f : V W eine lineare Abbildung und a R, so ist auch a.f : V W, v a.f(v) eine lineare Abbildung. Beweis. Es ist zu zeigen, dass die durch h(v) := a.f(v) (für v V ) erklärte Abbildung linear ist. Es gilt h(x + y) h(b.x) Def. = a.f(x + y) linear = a.(f(x) + f(y)) (M1) = a.f(x) + a.f(y) Def. = h(x) + h(y) Def. = f(a.(b.x)) (M3) = f((a b).x) ab=ba = f(b.(a.x)) linear = b.f(a.x) Def. = b.h(x). 21

22 Beispiele linearer Abbildungen I (a) Sind V und W Vektorräume, so ist die Nullabbildung f : V W mit f(v) = 0 W für alle v V eine lineare Abbildung. (b) Ist V ein Vektorraum, so ist die identische Abbildung 1 V : V V, v v linear. (c) Sind v 1, v 2, v 3 Vektoren des R-Vektorraums V, so ist die Abbildung f : R 3 V, x 1 x 2 x 3 x 1.v 1 + x 2.v 2 + x 3.v 3 linear. 22

23 Lineare Abbildungen f : R R 3 Satz. Zujeder lineare Abbildung f : R R 3 gibt es einen Vektor v 1 a v 1 v = v 2 R 3, so dass f(a) = a v 2 gilt D.h. f(a) = a.v. v 3 a v 3 Umgekehrt ist jede solche Abbildung linear. Beweis. Wegen (L 2) gilt f(a) = f(a.1) = a.f(1) für alle a R. Mit v := f(1) ist dann die obige Behauptung erfüllt. Bemerkung. Der Satz und sein Beweis gelten ebenfalls für R n anstelle von R 3. Wir diskutieren anschließend den Spezialfall n = 1. 23

24 Spezialfall: Lineare Abbildungen f : R R Vorweg: R ist selbst ein Vektorraum (Spezialfall des R n für n = 1). Es macht daher Sinn, die linearen Abbildungen f : R R zu untersuchen. Satz. Zu jeder linearen Abbildung f : R R gibt es ein v R, nämlich v := f(1), so dass f(a) = a v für jedes a R gilt. Umgekehrt ist jede solche Abbildung linear. Lineare Abbildungen f : R R sind daher durch ein einziges Datum, die Zahl v = f(1), eindeutig bestimmt. Auf der nächsten Folie bestimmen wir allgemeiner die linearen Abbildungen von R 3 nach R. 24

25 Lineare Abbildungen von R 3 nach R Satz. Zu jederlineare Abbildung f : R 3 R gibt es a 1, a 2, a 3 R, x 1 so dass f x 2 = a 1 x 1 + a 2 x 2 + a 3 x 3 gilt. x 3 Umgekehrt ist jede solche Abbildung linear. Beweis =. Sei e 1, e 2, e 3 die Standardbasis des R 3. Wir setzen a 1 := f(e 1 ), a 2 := f(e 2 ), a 3 := f(e 3 ). Aus der Linearität von f folgt: f x 1 x 2 = f (x 1.e 1 + x 2.e 2 + x 3.e 3 ) x 3 = x 1 f(e 1 ) + x 2 f(e 2 ) + x 3 f(e 3 ) = x 1 a 1 + x 2 a 2 + x 3 a 3. Es ist leicht zu sehen, dass für jede Vorgabe von a 1, a 2, a 3 die obige Formel eine lineare Abbildung f definiert. 25

26 Lineare Abbildungen von R 3 nach V V sei ein R-Vektorraum. Wir diskutieren eine Erweiterung des vorangehenden Satzes. Satz. Zu jeder linearen Abbildung f : R 3 V gibt es Vektoren v 1, v 2, v 3 aus V, so dass für jeden Vektor x R 3 mit den Koordinaten x 1, x 2, x 3 die Formel f x 1 x 2 x 3 = x 1.v 1 + x 2.v 2 + x 3.v 3 gilt. Umgekehrt ist für jede Vorgabe von v 1, v 2, v 3 die mit obiger Formel definierte Abbildung f : R 3 V linear. 26

27 Wie finden wir v 1, v 2, v 3? Beweis. (a) f : R 3 V sei als lineare Abbildung gegeben. Wir wenden f auf die Standardbasis e 1, e 2, e 3 von R 3 an und setzen v 1 = f(e 1 ), v 2 = f(e 2 ), v 3 = f(e 3 ). Es folgt dann f x 1 x 2 x 3 Basisdarstellung = f(x 1.e 1 + x 2.e 2 + x 3.e 3 ) f linear = x 1.f(e 1 ) + x 2.f(e 2 ) + x 3.f(e 3 ) Def = x 1.v 1 + x 2.v 2 + x 3.v 3. 27

28 Wie finden wir f? (b) Gegeben sind jetzt irgendwelche Vektoren v 1, v 2, v 3 aus V. Wir definieren f : R 3 V durch die Vorschrift f x 1 x 2 x 3 = x 1.v 1 + x 2.v 2 + x 3.v 3. Es folgt durch einfache Rechnung, dass f linear ist. Wir merken uns: Lineare Abbildungen des R 3 nach V entsprechen eins-zu-eins Tripeln (v 1, v 2, v 3 ) von Vektoren aus V. 28

29 Rückblick und Weiterschau: f : R n V Wenn wir die verwendeten Argumente anschauen ist klar, dass wir den schreibtechnisch bequemen R 3 durch einen Vektorraum R n, für beliebiges n, ersetzen können, und die Aussage entsprechend gilt: Satz Eine lineare Abbildungen f : R n V entspricht umkehrbar eindeutig einem n-tupel (v 1, v 2,..., v n ) von Vektoren aus V. (1) Einer gegebenen linearen Abbildung f wird das n-tupel (f(e 1 ),..., f(e n )) zugeordnet. (2) Einem n-tupel (v 1, v 2,..., v n ) entspricht umgekehrt die Abbildung f mit f(x 1,..., x n ) auf n i=1 x i.v i schickt. Kommentare: (1) Aus platztechnischen Gründen haben wir Vektoren des R n hier in Zeilenform (x 1, x 2,..., x n ) geschrieben. (2) Dieser Satz umfasst alle vorweg diskutierten Spezialfälle. Nur diesen Satz müssen wir uns daher wirklich merken. 29

30 Das Bild einer linearen Abbildung Sei f : V W eine lineare Abbildung. Satz Es gilt: (1) Das Bild f(v ) von f ein Unterraum von W. Bezeichnung: Bild(f) := f(v ). (2) Ist ferner v 1, v 2,..., v t ein Erzeugendensystem von V (zum Beispiel eine Basis von V ) so ist Bild(f) = f(v 1 ),..., f(v t ). (3) Eine lineare Abbildung f : V W überführt daher ein Erzeugendensystem (v 1, v 2,..., v t ) von V in ein Erzeugendensystem (f(v 1 ),..., f(v t )) von Bild(f). Wir begründen diese Aussagen auf der nächsten Folie. 30

31 Bilder von Unterräumen Die Behauptung (1) ist abgedeckt durch folgenden einfach zu beweisenden Satz: Satz Ist f : V W eine lineare Abbildung und U ein Unterraum von V, so ist f(u) = {f(u) u U} ein Unterraum von W. (2) folgt aus der früher gezeigten Aussage f( v 1, v 2,..., v t ) = f(v 1 ),..., f(v t ). (3) ist eine Umformulierung von (2). 31