11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION

Transkript

1 11. BASIS, UNTERRAUM, und DIMENSION 1

2 Basen werden zu unterschiedlichen Zwecken benutzt: Um lineare Abbildungen in ihrer Matrixdarstellung zu vereinfachen, um die Dimension von Vektorräumen und ihren Unterräumen zu erfassen, um etwa Schwingungen in ihre Grund- und Obertöne zu zerlegen... 2

3 Beispiel. Die lineare Abbildung L : R 2 R 2 sei durch die Matrix ( ) gegeben. Mit der Standardbasis e 1, e 2 gilt dann ( ) ( ) 3 1 L(e 1 ) = = 3e e 2, L(e 2 ) = = e e 2 3

4 Setzen wir nun b 1 = e 1 + e 2, b 2 = e 1 e 2 e 2 b 1 e 1 b 2 4

5 so folgen die Gleichungen L(b 1 ) = L(e 1 ) + L(e 2 ) = (3e 1 + e 2 ) + (e 1 + 3e 2 ) L(b 2 ) = L(e 1 ) L(e 2 ) = (3e 1 + e 2 ) (e 1 + 3e 2 ) also L(b 1 ) = 4b 1, L(b 2 ) = 2b 2 In Richtung b 1 und b 2 ergibt dies Streckungen verschiedener Größe. 5

6 Man würde also gern die Standardbasis e 1, e 2 durch die neue Basis b 1, b 2 ersetzen. In dieser neuen Basis hat L die Matrixdarstellung ( ) {b 1,b 2 } Man spricht von einer Diagonalmatrix, einer Matrix, deren Einträge außerhalb der Diagonalen alle 0 sind; in ihr zeigt sich besonders deutlich die Wirkung der linearen Abbildung L. Dies funktioniert nicht für jede lineare Abbildung, man denke etwa an Drehungen um 90. Für welche dann aber? 6

7 Basen im R 2. Im R 2 kann man je zwei Vektoren b 1, b 2 0 die nicht Vielfaches voneinander sind, für die also gilt, als Basis benutzen. b 1 λb 2 für alle λ R Für alle x R 2 gibt es also reelle Zahlen λ 1, λ 2 so dass x = λ 1 b 1 + λ 2 b 2 gilt. Die Skalare λ 1, λ 2 sind dabei eindeutig. 7

8 x λ 1 b 1 b 1 λ 2 b 2 b 2 8

9 Mit einem einzigen Vektor b 1 kann man im R 2 nicht alle Vektoren erreichen. Man sagt, b 1 spannt nicht die gesamte Ebene auf. Dagegen spannt eine Basis b 1, b 2 den gesamten R 2 auf. 9

10 Andererseits: Zwar kann man mit drei Vektoren b 1, b 2, b 3, von denen keine zwei Vielfaches voneinander sind, im R 2 jeden Vektor x als Linearkombination darstellen, x = λ 1 b 1 + λ 2 b 2 + λ 3 b 3 aber nun sind die Skalare λ 1, λ 2, λ 3 nicht mehr eindeutig! Man kann z.b. x mit b 1, b 2 darstellen, dann ist λ 3 = 0 zu wählen. Oder man stellt x mit b 1, b 3 dar, dann ist λ 2 = 0, oder... 10

11 Jede Basis besteht im R 2 aus zwei Vektoren b 1, b 2. Man kann sie nach belieben wählen, nur darf der eine Vektor kein Vielfaches des anderen Vektors sein. Wie steht es im R 3? 11

12 Basen im R 3. Zwei Vektoren b 1, b 2 langen für den Raum nicht mehr als Basis, die Linearkombinationen λ 1 b 1 + λ 2 b 2, λ 1, λ 2 R liegen nämlich in einer Ebene. Man sagt, b 1, b 2 spannen einen Unterraum auf. 12

13 13

14 Drei Vektoren b 1, b 2, b 3 im R 3 bilden eine Basis, sofern sie nicht in einer Ebene liegen. 14

15 Definition: In einem Vektorraum V heißt eine Teilmenge B von Vektoren b 1, b 2,... 0 eine Basis, falls gilt: Jeder Vektor x V lässt sich darstellen als (endliche) Linearkombination x = λ 1 b λ k b k mit b 1,..., b k B und Skalaren λ 1,..., λ k. Diese Darstellung von x als Linearkombination von Basisvektoren ist eindeutig (bis auf Summanden, deren Skalarfaktor gleich 0 ist). 15

16 Beispiele: 1. Die Standardbasis B = {e 1,..., e n } im R n. 2. Die Polynome 1, x, x 2, x 3,... vom Grade 0, 1, 2, 3,... bilden eine Basis im Raum aller reellen Polynome. Sie ist unendlich. 3. Auch im Z 4 hat man die Standardbasis e 1, e 2, e 3, e 4 zur Verfügung: Jeder Vektor x Z 4 gestattet die Darstellung x = λ 1 e λ 4 e 4 nun mit λ 1,..., λ 4 = 0 oder 1. Etwa: = 1 e e e e

17 Eigenschaften von Basen: 1. Jeder Vektorraum V besitzt eine Basis, und zwei verschiedene Basen besteht aus der gleichen Anzahl von Elementen. Diese Anzahl n = dim(v) heißt die Dimension von V. Sie kann den Wert n = 1, 2, 3,... und auch n = haben. 2. Für eine Basis b 1,..., b n folgt aus 0 = λ 1 b λ n b n aufgrund von Eindeutigkeit λ 1 = = λ n = 0 Diese Eigenschaft heißt lineare Unabhängigkeit von b 1,..., b n. 17

18 Untervektorräume. Definition: Eine Teilmenge U eines Vektorraums V mit Skalarbereich K heißt Unterraum, falls die Addition und Skalarmultiplikation nicht aus U hinausführen, falls also gilt x, y U x + y U x U, λ K λx U U ist also selbst Vektorraum, er erbt seine Struktur von V. Wie jeder Vektorraum hat U eine Dimension dim(u). 18

19 Beispiele: 1. Ein Unterraum U der Dimension 1 im R 2 oder R 3 ergibt eine Gerade durch den Ursprung 0. Er wird durch einen Vektor b 1 aufgespannt: U = {λb 1 λ R} d.h. er besteht aus allen Vielfachen von b 1. Wir schreiben U = L(b 1 ) 19

20 2. Ein Unterraum U der Dimension 2 im R 3 ergibt eine Ebene durch den Ursprung 0. Er wird durch zwei (linear unabhängige) Vektoren b 1, b 2 aufgespannt: U = {λ 1 b 1 + λ 2 b 2 λ R} er besteht also aus allen Linearkombinationen, die man aus b 1, b 2 bilden kann. Wir schreiben U = L(b 1, b 2 ) b 1, b 2 bilden eine Basis von U. 20

21 3. Jede Menge b 1,..., b k von Vektoren in einem Vektorraum V spannen einen Unterraum U auf. Er ist gegeben durch das System aller Linearkombinationen, die man aus b 1,..., b k bilden kann: U = {λ 1 b λ k b k λ 1,..., λ k K} Wir nennen den Raum die lineare Hülle (oder den Spann) von b 1,..., b k und schreiben U = L(b 1,..., b k ) 21

22 L(b 1,..., b k ) ist der kleinste Unterraum, der b 1,..., b k enthält. Falls die Vektoren b 1,..., b k linear unabhängig sind, bilden sie eine Basis des Untervektorraums L(b 1,..., b k ). Dann ist seine Dimension k. Sonst gilt dim(l(b 1,..., b k )) k 22

23 4. Der Raum aller reellen Polynome vom Grade höchstens n bildet einen Untervektorraum aller reellen Polynome. Es handelt sich um den Raum L(1, x,..., x n ) er besitzt die Dimension n

24 5. Der Nullraum N R n einer linearen Abbildung L : R n R m ist ein Untervektorraum. Denn: Für x 1, x 2 N gilt L(x 1 ) = L(x 2 ) = 0 und folglich aufgrund der Linearität L(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) = λ 1 L(x 1 ) + λ 2 L(x 2 ) = 0 also gehört die Linearkombination λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ebenfalls zu N. 24

25 6. Der Bildraum R R m einer linearen Abbildung L : R n R m ist ein Untervektorraum. Denn: Für y 1 = L(x 1 ), y 2 = L(x 2 ) R gilt aufgrund der Linearität λ 1 y 1 + λ 2 y 2 = L(λ 1 x 1 + λ 2 x 2 ) also gehört auch die Linearkombination λ 1 y 1 +λ 2 y 2 zum Bildraum R. Es gilt R = L ( L(e 1 ),..., L(e n ) ) und folglich dim(r) n 25

26 Die Dimensionsformel. Für eine lineare Abbildung L : R n R m und seinen Nullraum N und Bildraum R gilt dim(n ) + dim(r) = n Je größer der Nullraum, umso kleiner der Bildraum. 26

27 Beweisskizze: Sei k die Dimension des Nullraums und r die Dimension des Bildraumes. Zu zeigen ist k + r = n. Wähle eine Basis b 1,..., b r von R. Wähle Vektoren b 1,..., b r R n mit b 1 = L(b 1 ),..., b r = L(b r). Wähle eine Basis b 1,..., b k von N. 27

28 R n R m b r N b k b 1 b r 0 b 1 R b 1 28

29 Zeige, dass b 1,..., b r, b 1,..., b k eine Basis des Grundraumes R n ist, dann folgt r + k = n 29

30 Ist x R n, so ist L(x) R, es gibt also für gewisse λ 1,..., λ r Für L(x) = λ 1 b λ rb r = L(λ 1 b λ rb r) x = x (λ 1 b λ rb r) folgt L(x ) = 0 bzw. x N. Daher gilt für gewisse λ 1,..., λ k und folglich x = λ 1 b λ k b k bzw. x = λ 1 b λ rb r + λ 1 b λ k b k R n = L(b 1,..., b r, b 1,..., b k ) 30

31 Und die lineare Unabhängigkeit von der Basis: Sei Dann folgt λ 1 b λ rb r + λ 1 b λ k b k = 0 0 = L(λ 1 b λ rb r + λ 1 b λ k b k ) = λ 1 b λ rb r also λ 1 = = λ r = 0 (da b 1,..., b r eine Basis ist). Folglich λ 1 b λ k b k = 0 und damit λ 1 = = λ k = 0 (da b 1,..., b l eine Basis ist). Also sind b 1,..., b r, b 1,..., b k linear unabhängig. q.e.d. 31