2 Lineare Operatoren. T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T linear, so heißt

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1 2 Linere Opertoren Im Folgenden seien X,Y, Z stets normierte Räumen über dem selben Körper K = C oder K = R Definition. () Eine Abbildung T : X Y heißt liner, flls T(αx + βy) = αtx + βty x,y X, α, β K. (b) Ist T liner, so heißt kert := {x X : Tx = } der Kern von T imt := {y Y : x X, y = Tx} ds Bild von T (c) Linere Abbildungen heißen (linere) Opertoren Stz. Sei T : X Y ein linerer Opertor. Äquivlent sind () T ist stetig; (b) T ist stetig in ; (c) T ist beschränkt, d.h. M mit Tx M x für lle x X; (d) T ist gleichmäßig stetig. Beweis. Die Impliktionen () (b) und (d) () sind trivil. (b) (c): Stetigkeit heißt insbesondere, dss ein δ > existiert mit TB X (,δ) B Y (, 1), lso gilt Tx Y 1 für jedes x B X (,δ). Aus der Homogenität folgt Tx Y 1 δ x X für lle x X. (c) (d): Sei x X. Nch Vorussetzung gilt Tx Ty Y M x y X. Ist x y X ε/m, folgt Tx Ty Y ε, lso die gleichmäßige Stetigkeit Definition. Sei T : X Y beschränkt (lso stetig). Setze T := inf{m > : Tx M x x X} Bemerkung. Die folgende Aussgen sind us den Definitionen leicht nchweisbr. () Tx T x. Tx (b) T = sup x x = sup Tx = sup Tx. x =1 x 1 (c) Bezeichnung: L (X, Y ) := {T : X Y, liner und stetig}, L (X) := L (X, X). Mit den Opertionen (S + T)x := Sx + Tx und (αt)x := α Tx ist L (X,Y ) ein Vektorrum Beispiel. () Ein isometrischer Isomorphismus J : X Y ist stetig, und es gelten ker J = {}, im J = Y gelten. (b) Sei X normierter Vektorrum, E X bgeschlossener Unterrum. Dnn ist q : X X/E stetig mit kerq = E und imq = X/E. 11

2 12 2. LINEARE OPERATOREN (c) Flls X endlich-dimensionl und T : X Y liner ist, folgt sofort T L (X, Y ) Stz. Seien X, Y normierte Vektorräume und Y vollständig, D X ein dichter Unterrum und T : D Y ein beschränkter linerer Opertor. Dnn gilt: T ht eine eindeutige stetige Fortsetzung uf X. Beweis. Übung Stz. () T ist eine Norm uf L (X,Y ), die so gennnte Opertornorm. (b) Ist Y ein Bnchrum, dnn ist L (X,Y ) uch ein Bnchrum. (c) Sind T L (X, Y ), S L (Y, Z), so gilt ST L (X,Z) und ST S T. Beweis. () Die Homogenität und die Dreiecksungleichung sind klr. Sei T =. Dnn Tx x, lso Tx = und T =. (b) Sei (T n ) L (X, Y ) eine Cuchyfolge. Sei x X. Es gilt dnn T n x T m x T n T m x ε x flls n,m N, wobei N N unbhängig von x ist. Dies zeigt, dss (T n x) Y eine Cuchyfolge ist, lso nch Vorussetzung uch konvergent gegen ein T(x). Es ist leicht zu zeigen, dss x T(x) liner ist. Zu ε > existiert ein n N mit Tx T m x ε x für lle m n. Dmit folgt T T m. D Tx Tx T m x + T m x (1 + T m ) x für m groß genug, gilt T L (X, Y ). (c) Sei x X. Es gilt STx S Tx S T x Bemerkung. () L (X) ist eine normierte Algebr, d.h. T,S L (X) impliziert ST L (X) und ST S T (submultipliktive Norm). Ist X vollständig, dnn ist L (X) eine Bnchlgebr. (b) Sei X ein Bnchrum und ( n ) K mit r := lim sup n n 1/n. Für T L (X) mit T < 1/r konvergiert die Reihe n T n. n= Ist f : C C eine holomorphe Funktion, so definert mn f(t) durch die Potenzreihe von f. Bemerkung: () Im obigen Beweis vom Stz 2.7 hben wir uch ds Folgende gesehen. Ist T n T, so gilt uch T n T strk, d.h., T n x Tx für jedes x X. (b) Die Umkehrung ist nicht whr! Sei X = C (R + ), und L : X X der Links-Shift: (Lf)(t) = f(t + 1). Dnn ist L n = 1 für jedes n N, und L n strk. (c) Sei Y vollständig, D X dicht, T n L (X,Y ) mit T n M. Nehme n, dss für jedes x D T n x Tx und T n M gilt, so folgt T L (X, Y ) und T n x Tx für jedes x X. Dies ist im Wesentlichen ein Korollr von Stz 2.6, denn T n x M x und somit Tx M x.

3 2. LINEARE OPERATOREN 13 Konvergenz linerer Opertoren 2.9. Definition. Seien T, T n L (X, Y ) für n N. () T n konvergiert gegen T strk, flls T n x Tx für jedes x X und für n. (b) T n konvergiert gegen T gleichmäßig, flls T n T für n. Kriterien für strke Konvergenz sind sehr wichtig! Ein Beispiel: 2.1. Stz [Korovkin]. Seien L n : C[, 1] C[,1] stetige, linere Opertoren, die uch positiv sind, d.h. für f gilt L n f. Nehmen wir n, dss L n 1 1, L n id id und L n id 2 id 2 gleichmäßig uf [, 1]. Dnn gilt L n f f für jedes f C[, 1]. Beweis. Bemerke zunächst, dss f, g C[, 1] und f g die Ungleichung L n f L n g, L n f L n f impliziert. Drus folgt L n f f L n 1 M f. Sei f C[, 1], dnn ist f uf [,1] gleichmäßig stetig. Sei ε > beliebig und δ > so, dss x y δ die Ungleichung f(x) f(y) impliziert. Für beliebiges x,y [,1] gilt f(x) f(y) 2 f. Dher können wir f(x) f(y) ε + 2 f x y 2 schreiben. Drus können wir ds Folgende schliessen: id y1 2 δ 2, oder ws gleich ist, f f(y) ε1 + 2 f δ 2 L n f f(y)1 εl n f δ 2 L n (id y1) 2 = εl n f ( Ln δ 2 id 2 2yL n id + y 2 L n 1 ). Dies gilt für lle y [, 1]. Jetzt können wir die Funktionen in der obigen Ungleichung n einer festen Stelle y [, 1] uswerten (L n f f(y)1 )(y) ε(l n 1)(y) + 2 f ( (Ln δ 2 id 2 )(y) 2y(L n id)(y) + y 2 (L n 1)(y) ) Mε + 2 f ( id 2 δ 2 (y) 2yid(y) + y 2 1(y) ) = Mε, }{{} = wobei die gleichmäßige Konvergenz us den Vorusstezungen folgt. Nun schreiben wir (L n f)(y) f(y) (L n f)(y) L n f(y)1 + f(y)(l n 1)(y) f(y)1(y) Mε + f(y)(l n 1)(y) f(y)1(y). Hierbei konvergiert der zweite Term wieder nch Vorussetzung gegen, lso (L n f)(y) f(y) (M + 1)ε für großes n N und für lle y [,1] Beispiel [Opertoren uf Räumen stetiger Funktionen]. () Es sei X = C([, 1]), T : f f(), T : X K. Dnn ist T stetig mit T = 1. (b) X = C 1 ([,1]), T : X K, Tf := f() + f (1). Dnn gilt T = 1. (c) X = C 1 ([,1]), versehen mit äquivlenter Norm f := mx{ f, f }, T : X K, Tf := f() + f (1). Dnn gilt: T = 2.

4 14 2. LINEARE OPERATOREN (d) X = C([, 1]), T : X K Dnn T = 1. Tf := f(t) dt. (e) Allgemeiner: X = C([, 1]), T : X K, g C([, 1]) Dnn T = g(t) dt. Tf := f(t)g(t) dt. Beweis. () Es gilt: Tf = f() sup f(x) = f = T 1 x [,1] Betrchte f = 1: f(x) = 1, x [, 1], gilt 1 = 1 = T1 = T = 1. (b) Es gilt: Tf = f() + f (1) f() + f (1) f + f = f C 1, d.h T 1. Andererseits gilt 1 C 1 = 1 und T1 = 1, lso folgt T = 1. (c) Es gilt Tf = f() + f (1) f() + f (1) f + f 2 f, d.h. T 2. Andererseits betrchte f(x) := (x 1/2) 2 + 3/4, dnn f = 1 und Tf = 2 (d) s. (e) (e) Es gilt Andererseits gilt für Tf = f(t)g(t) dt f f(x) = sign g(x) := g(t) dt. { 1 g(x) 1 g(x) < Tf = g(t) dt. Im Allgemeinen gilt ber f / C([,1]), lso pproximiere f mit (f n) C([, 1]), f n = 1 und f n f für n. (Achtung: f n f ist nicht möglich!) Beispiel [Opertoren uf Folgenräumen]. () T : c K, Tx := lim n x n. Dnn T = 1.

5 2. LINEARE OPERATOREN 15 (b) Sei c := {x K N : x n für höchstens endlich viele n}. Sei ( ij ) K N N eine unendliche Mtrix. Setze (Tx) i := ij x j, i N, x c. Für Anwendungen interessnt: Mtrizen, welche l 1,l 2,l invrint lssen. j=1 (i) T L (l 1 ) sup j 1 i=1 ij < + (ii) T L (l ) sup i 1 j=1 ij < + (iii) i=1( j=1 ij q ) p /q < + = T L (l p,l p ) (1/p + 1/q = 1) Beispiel [Integrlopertoren]. Sei I = [, b] und k : I I K stetig. Für f C(I) definiere (Tf)(x) := Dnn gilt T L (C(I)) und T = sup x I k(x, y) dy. Folgerung: die Fredholmsche Integrlgleichung f(x) k(x,y)f(y) dy, x I. k(x,y)f(y) dy = g(x), ist lösbr in C(I), flls g im(id T), und es existiert höchstens eine Lösung in C(I), flls ker(id T) = {}. x I Beweis. Wegen der Stetigkeit existiert ds Integrl, es ist sogr Tf C(I), denn Außerdem gilt (Tf)(x) (Tf)(y) k(x,z) k(y, z) f(z) dz f (b )sup k(x,z) k(y,z) z I (Tf)(x) k(x, y) f(y) dz f k(x,y) dy = T sup k(x, y) dy. x I Die Gleichheit T = sup x I k(x,y) dy folgt wie in Bspl. 2.11(e) Beispiel [Differenzilopertoren]. () Sei X = C 1 ([, 1]) und Tf := f. Dnn (i) T : (C 1 ([, 1]), ) (C([, 1]), ) ist nicht stetig. (ii) T : (C 1 ([, 1]), C 1) (C([,1]), ) ist stetig. (b) Im Allgemeinen: Ist Ω R d offen und beschränkt. Für jede Mutiindex α N n setze D α f := α 1... αn f. Ferner sei α = α α d, die Länge von α. x α xαn n Tf := α D α f, f C k (Ω), mit α C(Ω).

6 Dnn ist T ein stetiger Opertor von C k (Ω) nch C(Ω). Wobei der Rum versehen mit C k (Ω) := {f : Ω K : D α f exisitiert uf Ω und D α f C(Ω) für jedes α k} f C k := D α f ein Bnchrum ist. Spezielles Beispiel: Lplce Opertor: := x 2 x 1 2 n Beweis. () (i) Für f n (t) := t n gilt f n = 1, ber Tf n = n. (ii) Es gilt: Tf f C 1. (b) Tf = α D α f α D α f α f C k (Ω) M f C k (Ω) Definition. Sei X ein Vektorrum. () Ein (linerer) Opertor T : X K heißt (lineres) Funktionl. (b) Ist X normiert, so heißt der Rum L (X, K) ller stetigen Funktionle uf X der Dulrum von X und wird mit X bezeichnet. Der Rum X versehen mit ist ein Bnchrum. x := sup x (x) x Stz. Sei ϕ : X K lineres Funktionl, ϕ. Dnn gelten die folgende Aussgen: ) ker ϕ 1-kodimensionl b) Ist ϕ stetig, so ist kerϕ bgeschlossen. c) Ist ϕ unstetig, so ist kerϕ dicht in X. d) ϕ X genu dnn, wenn kerϕ bgeschlossen ist. Beweis. (): Sei x X. Es gibt y X mit ϕ(y) = 1, d ϕ nicht ist. Dher gilt x = (x ϕ(x)y) +ϕ(x)y. }{{} ker ϕ Dies zeigt X = kerϕ + lin{y}. (b): kerϕ = ϕ 1 ({}) und {} ist in K bgeschlossen. (c): D ϕ unstetig ist, gibt es x n X mit x n und ϕ(x n ) = 1. Sei x X beliebig. Setze y n = x ϕ(x)x n. Dnn konvergiert y n gegen x und gilt y n kerϕ. (d): Folgt us (b) und (c) Bemerkung. Die Existenz von nichttrivilen Funktionlen (d.h. nicht ) ist nicht trivil! 16

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