Lineare Algebra I (WS 13/14)

Transkript

1 Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke Alexander Lytchak 1 / 13

2 Wiederholung Der Rang einer linearen Abbildung ist gleich dem Spaltenrang der darstellenden Matrix. Für lineare Abbildungen f : V W zwischen endlich-dimensionalen Vektorräumen gilt dim(v ) = rk(f ) + dim(kern(f )). Es gibt Basen von V und W, so dass die lineare Abbildung f bezüglich dieser Basen folgende Darstellung besitzt: ( ) Er 0 R m n 0 0 Für jede Matrix A R m n gibt es invertierbare Matrizen T 1 R m m und T 2 R n n, so dass T 1 A T 2 die obige Form hat. Alexander Lytchak 2 / 13

3 Homogene lineare Gleichungen und Rang Sei A eine (m n)-matrix in Zeilenstufenform, mit r nicht-veschwindenden Zeilen. Sei A x = 0 die zugehörige homogene lineare Gleichung. Dann gilt ZRang(A) = SRang(A) = r. Die Menge L der Lösungen der Gleichung A x = 0 ist ein Untervektorraum des R n von Dimension n r. Die Lösung der Gleichung A x = 0 in Parameterform ist nichts anderes als ein Koordinatensystem R n r L des Vektorraums L. Folgerung Für alle A R m n gilt ZRang(A) = SRang(A). Der Zeilenrang und der Spaltenrang einer Matrix stimmen überein. Alexander Lytchak 3 / 13

4 Direkte Summen Seien W 1,..., W r reelle Vektorräume. In den Hausaufgaben haben wir gesehen, dass das direkte (=cartesische) Produkt W 1... W r mit der komponentenweisen Addition und Multiplikation mit Skalaren ein Vekotrraum ist. Wir haben es auch direkte Summe der Vektorräume W i genannt und W 1 W 2... W r bezeichnet. Seien nun W i Untervektorräume des Vektorraumes V. Betrachten wir die Abbildung Σ : W 1 W 2... W r V gegeben durch Σ(w 1,..., w r ) = w 1 + w w r V. Die Abbildung Σ : W 1 W 2... W r V ist linear. Das Bild von Σ ist ein Untervektorraum von V, der Summe der W i genant und mit W W r bezeichnet wird. Alexander Lytchak 4 / 13

5 W W r = span(w 1... W r ). Wir sagen, dass die Unterräume W 1,..., W r eine direkte Familie bilden, wenn der Homomorphismus Σ injektiv ist. In diesem Fall schreiben wir W 1 + W W r auch als W 1 W 2... W r und nennen es direkte Summe der Untervektorräume W i Im Skript wird die Bezeichnung nur für Untervektorräume und nicht für abstrakte Vektorräume verwendet. Die von mir benutzten Bezeichnungen sind etwas doppeldeutig aber üblich. Die beiden Vektorräume, die wir mit demselben Symbol W 1... W r bezeichnen sind mittels der kanonischen Abblidung Σ isomorph. Alexander Lytchak 5 / 13

6 Proposition Es seien W 1,..., W r Untervektorräume von V. Dann sind äquivalent: a) Die Familie (W i ) ist direkt. b) Jeder Vektor w W W r besitzt eine eindeutige Darstellung als 1 i r w i mit w i W i. c) Für alle 1 i r gilt W i ( j i W j) = 0 Proposition Der Kern der Abbildung Σ : W 1 W 2 W 1 + W 2 isomorph zu W 1 W 2. Alexander Lytchak 6 / 13

7 Lemma Sind Vektorrräume W 1,..., W r endlich-dimensional, so ist es auch ihre direkte Summe, und es gilt dim(w 1... W r ) = 1 i r (dim(w i)). Proposition Es seien W 1,..., W r V endlich-dimensionale Untervektorräume. Dann ist deren Summe W W r ebenfalls endlich-dimensional, und es gilt die Ungleichung dim(w W r ) dim W dim W r. In dieser Formel tritt genau dann Gleichheit ein, falls die Familie (W 1,..., W r ) direkt ist. Alexander Lytchak 7 / 13

8 Proposition Seien W 1, W 2 V endlich-dimensionale Untervektorräume. Dann gilt die Gleichung dim(w 1 + W 2 ) = dim W 1 + dim W 2 dim(w 1 W 2 ). Definition Es sei V ein reeller Vektorraum und W V ein Untervektorraum. Wir nennen einen Untervektorraum X V ein Komplement von W, falls V = W X. Proposition Ist V endlich-dimensional, so besitzt jeder Untervektorraum von V ein Komplement. Bemerkung Ein Komplement ist fast nie eindeutig. Alexander Lytchak 8 / 13

9 Affine Unterräume Definition Es sei V ein Vektorraum. Ein affiner Unterraum von V ist eine Teilmenge von V der Form v + W := {v + w w W }, wobei v V und W V ein Untervektorraum ist. Der Punkt v V heißt auch Aufhängepunkt des affinen Unterraumes. Bemerkung Ein affiner Unterraum ist in der Regel kein Untervektorraum von V. Dies ist genau dann der Fall, falls 0 v + W, d.h. falls v W. Definition Ist W V ein Untervektorraum und sind v 1, v 2 V, so nennen wir die affinen Unterräume v 1 + W und v 2 + W parallel. Alexander Lytchak 9 / 13

10 Proposition Es sei V ein reeller Vektorraum und Z V ein affiner Unterraum. Schreiben wir Z = v + W mit v V und einem Untervektorraum W V, so ist W durch Z eindeutig bestimmt. Der Vektor v ist eindeutig bestimmt bis auf Addition von Vektoren in W. Alexander Lytchak 10 / 13

11 Definition Es sei Z = v + W V ein affiner Unterraum. Die Dimension von A wird definiert als die Dimension von W (W ist ja durch A eindeutig bestimmt). Affine Unterräume der Dimension 0 heißen Punkte, der Dimension 1 Geraden, der Dimension 2 Ebenen und der Dimension n 1 Hyperebenen in V. Proposition Es sei ein lineares Gleichungssystem durch die erweiterte Koeffizientenmatrix (A b) R m (n+1) gegeben. Es sei L R n die Lösungsmenge dieses linearen Gleichungssysstems. Dann tritt genau einer der folgenden beiden Fälle ein: L =. L R n ist ein affiner Teilraum mit dim L = dim L hom, wobei L hom R n die Lösungsmenge des zugehörigen durch A gegebenen homogenen Systems ist. Alexander Lytchak 11 / 13

12 Bemerkung Ist f : V W linear und b W, so ist das Urbild f 1 ({b}) V entweder leer oder ein affiner Unterraum der Dimension dim ker f. Im zweiten Fall ist f 1 (b) zu ker(f ) parallel. Falls A R m n, so ist f 1 A ({b}) Rn genau die Lösungsmenge des durch (A b) gegebenen linearen Gleichungssysstems. Alexander Lytchak 12 / 13

13 Proposition Es sei Z R n ein affiner Teilraum. Dann existiert ein m N, eine Matrix A R m n und ein Vektor b R m, so dass Z genau die Lösungsmenge des linearen Gleichungssystems mit erweiterter Koeffizientenmatrix (A b) ist. D.h. Z ist die Menge aller Lösungen x der Gleichung Ax = b Alexander Lytchak 13 / 13