5.2 Moralisches Risiko & Prinzipal-Agenten Modell

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1 Mikroökonomik B Informationsökonomik 5.2 Moralisches Risiko & Prinzipal-Agenten Modell Paul Schweinzer 2. Juli / 60

2 Literaturangaben Jehle, G. und P. Reny (2001), Kapitel 8.2 Varian, H. (2007), Kapitel 36 Bolton, P. & M. Dewatripont (2005), Contract Theory, MIT Press Bester, H. (2007), Vorlesungsnotizen zur Informationsökonomie, FU Berlin. 2 / 60

3 Themen So die Zeit ausreicht, werden wir folgende Themen behandeln a Einführung b Prinzipal-Agenten Paradigma c Risikoneutraler Agent d Risikoneutraler Prinzipal e Beispiel & Anwendung 3 / 60

4 In dieser Diskussion gilt immer Der Prinzipal (Firma) ist die uninformierte Partei. Er kann Nutzen erzeugende Handlungen nicht selbst treffen, sondern nur versuchen, die unbeobachtbaren Handlungen des Agenten durch einen Anreizmechanismus zu beeinflussen. Der Agent (Arbeiter) ist die über ihre Handlungen informierte Partei (es gibt keine Typen). Er muß Handlungen setzen, die sowohl seinen eigenen Nutzen als auch den des Prinzipals beeinflussen. Unter moralischem Risiko verstehen wir Situationen in denen ein Agent eine durch den Prinzipal nicht beobachtbare Handlung durchführt. Dies entspricht konzeptionell dem (realistischeren) Kriterium daß der Prinzipal eine beobachtete Handlung nicht gerichtlich ahnden oder verifizieren kann. 4 / 60

5 Mark Twain, Adventures of Huckleberry Finn Well, then, says I, what s the use you learning to do right when it s troublesome to do right and ain t no trouble to do wrong, and the wage is just the same? 5 / 60

6 Moralisches Risiko Unter Adverser Selektion analysierten wir Situation mit versteckter (privater) Information, unter moralischem Risiko betrachten wir Situationen mit versteckten (privaten) Handlungen. Der Begriff kommt aus dem Versicherungswesen. Dort werden zwei Konzepte unterschieden objektives Risiko: das unvermeidbare Risiko eines Blitzschlages, einer Krebserkrankung, eines Unfalls, &c moralisches Risiko: jenes Risiko, das der Versicherte durch seine Handlungen beeinflussen kann. Das leitende Beispiel ist der Agent der sein Haus abbrennen läßt nachdem er eine Feuerversicherung abgeschlossen hat. Generell scheint es Versicherern wohlbekannt zu sein, daß ein vollständig Versicherter keinerlei Anreize hat den Schadensfall (durch für ihn kostspielige Handlungen) abzuweisen. 6 / 60

7 Versicherungen Def. Eine Versicherung heißt aktuarisch fair, wenn der Barwert der erwarteten Zahlungen der Versicherung dem Barwert der erwarteten Einzahlungen entspricht. Wir werden theoretisch Bestätigungen für folgende reale Institutionen finden bei nachgewiesenem Fehlverhalten der Versicherten nichts zu zahlen ( Ausschlußklausel ), keine volle Versicherungsdeckung anzubieten ( Selbstbehalt ), volle Versicherungsdeckung nur zu einem überhöhten Preis, dh nicht aktuarisch fair, anzubieten. Probleme der Versicherer Ausschlußklausel: Die Versicherung kann das Verhalten des Versicherten nicht perfekt kontrollieren (Kosten). Selbstbehalt: Je größer die Selbstbeteiligung, umso größer das Risiko des Versicherten (unattraktiv). 7 / 60

8 Was halten sie von der Idee einer Lebensversicherung Bei ihrer erstmaligen Einführung im 19. & 20. Jahrhundert fand die Öffentlichkeit derartige Kontrakte unmoralisch. Warum? Man setzt einen Preis für sein Leben fest und schließt gleichzeitig eine Wette über den Todeszeitpunkt ab. Was sind die Anreize in einem derartigen Vertrag? A contract of insurance upon a life in which the insured has no interest is a pure wager that gives the insured a sinister counter interest in having the life come to an end. (US Supreme Court, 1911) 8 / 60

9 Einige Fakten Wußten sie, daß die Anzahl der Unfälle bei Leihwagen höher ist, wenn diese Vollkasko-versichert sind? There s a lot of debate about which kind of car handles best. Some say front-engined car; some say rear-engined car. I say rented car. Nothing handles better than a rented car. You can go faster, turn corners sharper, and put the transmission into reverse while going forward at a higher speed in a rented car than in any other kind. (P.J.O Rourke) Wußten sie, daß besonders sichere Autos gefährlicher gefahren werden als nicht besonders sichere Fahrzeuge? Wußten sie, daß die Anzahl der Arztbesuche von der Höhe der Selbst- beteiligung abhängt? 9 / 60

10 Moralisches Risiko Unter Präsenz von moralischem Risiko entsteht das Problem mit asymmetrischer Information nachdem der Vertrag unterzeichnet wurde. Zur Milderung dieses Problemes kann die uninformierte Seite (Prinzipal, Firma) einen anreizkompatiblen Vertrag anbieten. Dieser Vertrag muss die informierte Seite (Arbeiter, Agent) dazu anregen, die vom Prinzipal gewollte, aber für ihn nicht beobachtbare Handlung zu setzten. Gibt es hier keine Typen oder private Information! Alle Agenten sind gleich, es geht um unbeobachtbare Handlungen dieser Agenten. Als Anreizstruktur wird der Prinzipal typischerweise eine Auswahl ( Menu ) von Verträgen anbieten, dh mehrere Paare bestehend aus (Handlung, Anreiz) unter denen die Agenten auswählen können. 10 / 60

11 Prinzipal-Agenten Paradigma Das Prinzipal-Agenten Modell (PAM) ist das Paradigma zur Analyse von Problemen mit moralischem Risiko. Im PAM geht es generell um Informationsasymmetrien die nach dem Unterzeichnen eines Vertrages auftreten. Dh PAM eignen sich zur Untersuchung von Problemen mit moralischem Risiko. Derartige Verträge können nur für beobachtbare Variablen geschrieben (implementiert, durchgesetzt) werden. Alle Kosten in PAM s sind Beobachtungskosten (für nichtbeobachtbare Variable ). 11 / 60

12 Motivationsbeispiel: Feuerversicherung Ein risikoaverser Versicherungsnehmer mit vn-m Nutzen U( ) kann sich gegen einen Brandschaden S versichern. Es gibt viele risikoneutrale Versicherer (perfekte Konkurrenz). Die Wahrscheinlichkeit eines Brandes p, hängt von den Brandschutzanstrengungen des Versicherten a [0, ) ab. Dh, pr(s) = p(a),p (a) < 0,p (a) > 0. Der Versicherungsnehmer kann sich zu einer maximalen Schadenszahlung von X im Versicherungsfall versichern. Dafür hat er Prämienzahlungen von π zu leisten. Das Vermögen des Versicherten ist also W1 = W 0 a π mit Wahrscheinlichkeit 1 p(a), W2 = W 0 a π S +X mit Wahrscheinlichkeit p(a). 12 / 60

13 First-Best Die Versicherung kann a beobachten und die Prämie ist auf a und X konditionierbar. Dann gilt: π(a,x) = p(a)x = E[X]. Welchen Vertrag (π, a, X) würde der Versicherungsnehmer unter diesen Umständen abschließen? Sein Ziel ist die Maximierung von E[U] = (1 p(a))u(w 1 )+p(a)u(w 2 ) = (1 p(a))u(w 0 a p(a)x)+p(a)u(w 0 a p(a)x S +X) durch geeignete Wahl von a und X. Die BEO bez X lautet E[U] X = (1 p(a))( p(a))u (W 1 )+p(a)(1 p(a))u (W 2 ) = 0. bzw W 1 = W 2 oder X = S, dh der Agent kauft volle Versicherung. 13 / 60

14 Die BEO bez a ist: E[U] a = p(a) U(W 1 )+(1 p(a))( 1 p(a) X)U (W 1 ) +p (a)u(w 2 )+p(a)( 1 p(a) X)U (W 2 ) = 0. Für X = S folgt daraus 1 = Sp (a). Beachten Sie, daß diese Lösung effizient ist, denn: a. die risikoaverse Partei wird vollständig versichert b. der Versicherte investiert in Schadensvermeidung, bis die Grenzkosten der Vermeidung gleich ihrem Grenznutzen sind. Hier betrifft (b.) die Höhe des Risikos und (a.) dessen Allokation. 14 / 60

15 Effiziente Risikoallokation Für die Risikoallokation gilt das folgende allgemeine Prinzip: Soll ein Risiko zwischen mehreren Parteien aufgeteilt werden und ist eine dieser Parteien risikoneutral, alle anderen aber risikoavers, so verlangt die effiziente Risikoallokation, dass das gesamte Risiko von der risikoneutralen Partei getragen wird. 15 / 60

16 Second-Best Aber die Versicherung kann a nicht beobachten und somit kann sie die Prämie nicht auf a konditionieren. Dh π( ) ist unanbhängig von a. Nehmen wir der Einfachheit halber an, daß der Versicherungsnehmer vollständig versichert ist (X = S). Welches a wird er wählen? Der Versicherungsnehmer maximiert E[U] = (1 p(a))u(w 1 )+p(a)u(w 2 ) durch geeignete Wahl von a. Da W 1 = W 2 = W 0 a π und somit E[U] = U(W 0 a π). Da dies aber streng monoton fallend in a ist E[U] = U (W 0 a π) < 0, a wird der voll versicherte Versicherungsnehmer immer a = 0 wählen. 16 / 60

17 Im Gw antizipieren dies die Versicherungen. Auf einem perfekten Versicherungsmarkt verlangen daher alle Versicherungen die höchstmögliche Prämie π = p(0)s und machen Nullgewinne. Der Nutzen des Versicherten bei vollständiger Versicherung ist somit E[U] = U(W 0 p(0)s). Diese Situation ist ineffizient der effiziente Ausgleich zwischen den Kosten a und p(a)s findet nicht statt. 17 / 60

18 Konsequenzen für den Versicherungsmarkt Wenn der Versicherungsnehmer vollständig versichert ist und die Versicherung seine Anstrengungen zur Schadensvermeidung nicht beobachten kann, dann hat der Versicherungsnehmer keinerlei Anreiz, den Schaden zu vermeiden. Die Versicherung macht in beiden Situationen Nullgewinne. Die Ineffizienz geht also vollständig zu Lasten des Versicherten. Er wäre besser gestellt, wenn ihn die Versicherung perfekt beobachten könnte, weil das seine Prämie senken würde. Aber gegeben, daß der Versicherer dies nicht kann, hat der Versicherte Anreize seine Schadensvermeidungsanstrengungen zu senken. 18 / 60

19 Bilaterale PAM Arbeitsmarkt Ein einzelner Prinzipal stellt einen einzelnen Agenten für eine bestimmte Aufgabe ein. Der (einzelne) Agent kann eine nicht-beobachtbare Arbeitsanstrengung a [0, ) unternehmen, welche sich auf die beobachtbare Produktion q auswirkt. Dem Prinzipal geht es nur um die Produktion q (netto allfälliger Lohnzahlungen w). Die Arbeitsanstrengung a ist unangenehm (kostspielig) für den Agenten und ohne Kompensation wird der Agent diese Anstrengung nicht leisten. 19 / 60

20 2 Output-Niveaus, a [0, ), allgemeine Nutzen Hier kann output q nur einen von zwei möglichen Werten {q L,q H }, q L < q H annehmen wenn q hoch ist, dann war das Projekt erfolgreich und andernfalls nicht. Die Erfolgswahrscheinlichkeit p(a) = pr(q = q H a) ist streng monoton steigend (und konkav) in der Arbeitsanstrengung des Agenten. Inada Annahmen: p(0) = 0, p( ) = 1,p (0) > 1. Der Nutzen des Prinzipals ist gegeben durch V(q w), mit V ( ) > 0, V ( ) 0 Der Nutzen des Agenten ist gegeben durch u(w) ψ(a), mit u ( ) > 0, u ( ) 0 und allgemein ψ ( ) > 0, ψ ( ) 0. Wir nehmen der Einfachheit halber an, daß ψ( ) = a. 20 / 60

21 Lagrange / Kuhn-Tucker Jargon Ein Lagrange / Kuhn-Tucker Multiplikator (Nebenbedingung) heißt Bindend ( binding ), wenn die entsprechende Nebenbedingung mit Gleichheit hält. Im Fall einer bindenden Nebenbedingung ist der entsprechende Multiplikator ungleich Null. Locker ( slack ), wenn die entsprechende Nebenbedingung mit Ungleichheit hält. Im Fall einer lockeren Nebenbedingung ist der entsprechende Multiplikator gleich Null. 21 / 60

22 Individuelle Rationalität (IR) Sklavenhaltung wurde in letzter Zeit unpopulär. Deshalb gilt, daß der Agent seinen Arbeitsvertrag freiwillig unterzeichnet. Formell bedeutet dies, daß u(w) ψ(a) ū zumindest einen Reservationsnutzen ( Arbeitslosenzahlung ) von ū erreichen muß. Wir setzen diesen Wert meist ohne Beschränkung der Allgemeinheit Null. Dh, ein Arbeiter nimmt an unserem Spiel teil, wenn u(w) ψ(a) 0. Diese Bedingung heißt Individuelle Rationalität (IR), oder Partizipationsbedingung (PC). Im First-Best Optimum muß (IR) binden. Warum? 22 / 60

23 Anreizkompatibilität (IC) Sollte der Prinzipal mehrere Verträge anbieten, so kann der uninformierte Prinzipal einem Agenten nicht verbieten, den falschen Vertrag zu wählen: Dies bedeutete im Aussiebemodell (dh für unterschiedliche Typen), daß der Prinzipal einen bestimmten Typ θ H nur dadurch abhalten konnte einen θ L -Vertrag zu wählen, daß u(w,t θ H ) u(w,t θ L ). Diese Bedingung heißt Anreizkompatibilität (IC) und ist nur unter asymmetrischer Information nützlich (bzw nötig). 23 / 60

24 Anreizkompatibilität (IC) im PAM Im PAM, in dem es nur identische Agenten gibt, bedeutet dies für einen Prinzipal der unter zwei Anstrengungsniveaus a H > a L implementieren möchte, daß u(w a H ) u(w a L ), dh p(a H )u(w H )+(1 p(a H ))u(w L ) ψ(a H ) (1 p(a L ))u(w L )+p(a L )u(w H ) ψ(a L ). In unserem allgemeineren PAM muß ein Prinzipal, der die effiziente Arbeitsanstrengungen a implementieren möchte, die Löhne w L und w H so wählen, daß a argmax ã p(ã)u(w H )+(1 p(ã))u(w L ) ψ(ã). Im Second-Best Optimum wird auch diese (IC) binden. 24 / 60

25 Lösungsstrategie First-Best Angenommen, es gäbe keine Informationsprobleme und die Handlungen des Agenten könnten vertraglich kontrolliert werden. Welche Aktion des Agenten und welche Lohnfunktion w(a) würde dann den erwarteten Gewinn des Prinzipals maximieren unter der Nebenbedingung, dass der Agent wenigstens seinen Reservationsnutzen ū erhalten muss? Wir gehen in zwei Schritten vor 1. Wir bestimmen zunächst für jede mögliche Aktion das optimale Lohnschema das dem Prinzipal erlaubt, diese Aktion zu minimalen Kosten zu implementieren. 2. Gegeben diese Kosten fragen wir im zweiten Schritt, welche Aktion der Prinzipal implementieren möchte. 25 / 60

26 First-Best Wenn der Prinzipal die Arbeitsanstrengung des Agenten a beobachten kann, dann wird er sein Lohnangebot nur von a abhängig machen. Dies ist die zentrale Einsicht, die wir als Ergebnis aus dem folgenden gemeinsames Maximierungsproblem mit outputabhängigen Verträgen w(q) herleiten wollen: max w i (q),a p(a)v(q H w H )+(1 p(a))v(q L w L ) s.t. (IR) p(a)u(w H )+(1 p(a))u(w L ) a ū = 0. Eine maximierende Firma überlässt dem Agenten keine Rente. Indem wir den Multiplikator λ auf IR setzen, erhalten wir die optimale Borch sche Ko-Versicherungsregel als BEO für w i, i {L,H} u (w L ) u (w H ) = λ = V (q L w L ) V (q H w H ). (1) 26 / 60

27 Interpretation der Borch schen Regel V (q H w H ) u = λ = V (q L w L ) (w H ) u. (w L ) Optimale Ko-Versicherung: Die Raten der marginalen Nutzen des Prinzipals und des Agenten sind über alle (Produktions) Zustände konstant und gleich. Stellen sie sich die Aussage der Borch schen Regel in einer Edgeworth-Box vor. Da wir den gleichen Anstieg in beiden Zuständen erlangen, sind wir an einem Tangentenpunkt, dh auf der Vertragskurve, dh in einer Pareto-effizienten Allokation. 27 / 60

28 Als First-Best beo für a erhalten wir p (a)[v(q H w H ) V(q L w L )]+λp (a)[u(w H ) u(w L )] = λ. Ohne konkrete Annahmen über V( ), u( ) ist es schwierig, allgemeine Aussagen über diese Bedingung zu machen. In zwei einfachen Fällen erhalten wir aber intuitive Aussagen. Risikoneutraler Prinzipal: V(x) = x impliziert V = konstant, dh λ = 1 und aus der Borch schen Regel folgt wegen u (w L )/u (w H ) = 1, daß w = w L = w H. Die Löhne sind also produktionsunabhängig u(w ) = a und p (a ) = 1 q H q L. Risikoneutraler Agent: u(x) = x impliziert λ = 1 und es gilt wh w L = q H q L und p (a 1 ) = q H q L was wir als Grenzkosten = Grenznutzen interpretieren. 28 / 60

29 Lösungsstrategie Second-Best In diesem Fall ist der First-Best Vertrag unmöglich, weil nicht auf a konditioniert werden kann. Wenn der Prinzipal dem Agenten dennoch einen fixen Lohn anbieten würde, dann würde der Agent immer a = 0 wählen. Daher muß der Prinzipal w(q) anbieten. Wir gehen wieder in zwei Schritten vor. 1. Für jede mögliche Aktion bestimmen wir den optimalen Lohnvertrag, der diese Aktion zu minimalen Kosten unter Berücksichtigung von (IR) und (IC) implementiert. 2. Dann fragen wir, welche Aktion der Prinzipal implementieren will. Beachten sie, daß hohe Anstrengung nicht notwendigerweise besser ist als niedrige, da der Prinzipal den Agenten dafür entlohnen muß. 29 / 60

30 Second-Best Da die Arbeitsanstrengung a nun nicht beobachtbar ist, kann der Agent nur auf Basis von q entlohnt werden. Der Prinzipal hat folgendes Maximierungsproblem zu lösen max w(q) p(a)v(q H w H )+(1 p(a))v(q L w L ) s.t. (IR) p(a)u(w H )+(1 p(a))u(w L )) a ū = 0 (IC) a argmax p(ã)u(w H )+(1 p(ã))u(w L ) ã. ã Die BEO des Maximierungsproblem des Agenten unter IC ist p (a)(u(w H ) u(w L )) = 1 (2) welche unter unseren Annahmen über u( ) eine eindeutige Lösung hat. Wir können also (IC) durch (2) ersetzen. 30 / 60

31 BEO-Ansatz ( foc-approach ) Die eben verwandte Technik des Ersetzens von (IC) durch dessen BEO heißt BEO-Ansatz. Es handelt sich dabei um eine raffinierte Methode; sie kann im allgemeinen Fall für q [q L,q H ] allerdings nicht verwendet werden. In diesem Fall braucht man weitergehende Annahmen ( MLRP ). In den von uns betrachteten einfachen Fällen haben wir aber keine Schwierigkeiten. Wir wissen, daß der Arbeiter in IC nur ein einziges Optimierungsproblem zu lösen hat das sicher stellt, daß er nicht die niedrige Anstrengung der hohen Anstrengung vorzieht. Weiters folgt aus dem Umstand, daß wir nur ein einziges Optimierungsproblem zu lösen haben, daß (IC) binden muß; andernfalls könnte die Firma den Lohn w H geringfügig senken und ihren Profit vergrößern. 31 / 60

32 Damit verwandelt sich das allgemeine Second-Best Problem in max w(q) p(a)v(q H w H )+(1 p(a))v(q L w L ) s.t. (IR) p(a)u(w H )+(1 p(a))u(w L )) a ū = 0 (IC) beo p (a)(u(w H ) u(w L )) = 1. Wir vergeben die Multiplikatoren λ für (IR) und μ für (IC) und lösen das Lagrange Problem L nach folgenden BEOs L =0 V (q H w H ) w H u (w H ) = λ+μ p (a) p(a), und L =0 V (q L w L ) w L u = λ μ p (a) (w L ) 1 p(a). 32 / 60

33 V (q H w H ) u (w H ) = λ+μ p (a) p(a) und V (q L w L ) u (w L ) = λ μ p (a) 1 p(a). Wir vergleichen dies mit der First-Best Borch schen Regel (1) V (q H w H ) u (w H ) = λ = V (q L w L ) u (w L ) und stellen fest, wenn μ > 0 (siehe Folie 26), daß q H wh SB < q H wh FB und somit wsb H > wfb H q L w SB L > q L w FB L und somit w SB L < w FB L. 33 / 60

34 Die Versicherung des Agenten verschlechtert sich Da wh SB > wfb H und wsb L < wl FB: Verglichen mit dem First-Best Vertrag, verschlechtert sich die Versicherung des Agenten im Second-Best Vertrag der Unterschied zwischen den Löhnen vergrössert sich, wenn die Löhne von der Produktion abhängen (müssen). 34 / 60

35 Verkauf des Projektes an den Manager Einem risikoneutralen Agenten kann der Prinzipal ein Kompensationsschema der Form w(q) = q α, mit q = p(a)q H +(1 p(a))q L mit konstantem Lohn α anbieten. Dies wird allgemein als Verkauf des Projektes an den Manager interpretiert, da es dem Agenten den vollen Ertrag des Projektes q für eine konstante Vorabzahlung sichert. Wie zuvor erhalten wir als Lösung für den First-Best Fall (Seite 28) p (a)(q H q L ) = / 60

36 Risikoneutraler Agent Das Second-Best Problem ist max w(q)=q α V(q w(q)) s.t. (IR) p(a)q H +(1 p(a))q L a = α (IC) a argmax p(ã)q H +(1 p(ã))q L ã α. ã mit BEO in (IC) p (a)(q H q L ) = 1! Es besteht kein Interessenkonflikt die beiden Probleme haben die gleiche BEO! Wir können also First-Best Ergebnisse mit risikoneutralen Agenten erreichen. Aber beachten sie, daß der Agent das gesamte Risiko trägt. 36 / 60

37 Risikoneutraler Prinzipal & risikoaverser Agent Betrachten sie das gleiche Modell wie zuvor, aber der Nutzen des Prinzipals ist V(x) = x, wir betrachten bloß zwei Anstrengungsniveaus a {a L,a H }. Angenommen der Prinzipal möchte a H implementieren indem er max w(q) p(a H )(q H w H )+(1 p(a H ))(q L w L ) s.t. λ](ir) p(a H )u(w H )+(1 p(a H ))u(w L )) a H ū = 0 μ](ic) p(a H )u(w H )+(1 p(a H ))u(w L ) a H p(a L )u(w H )+(1 p(a L ))u(w L ) a L. Wie zuvor ergibt der Lagrange-Ansatz für Δp = p(a H ) p(a L ) 1 u (wh SB ) = λ+μ Δp p(a) H und 1 u (w SB L ) = λ μ Δp 1 p(a H ). 37 / 60

38 Nach Umformung ergeben sich die folgenden Multiplikatoren λ = p(a H) u (wh SB) + 1 p(a H) u (wl SB) > 0 μ = p(a H)(1 p(a H )) Δp ( 1 u (wh SB) 1 u (w SB L ) ) > 0. Beachten sie, daß somit sowohl (IR) als auch (IC) binden (positive Multiplikatoren). Darüber hinaus ist die Borch sche Regel verletzt: u (w SB L ) u (w SB H ) > 1, und volle Versicherung für die Agenten ist unmöglich. Dh volle Versicherung und optimale Arbeitsanreize schließen einander aus! 38 / 60

39 Die Haupteinsicht aus dem PAM Das Ergebnis ist ineffizient. Obwohl der Agent risikoavers und der Prinzipal risikoneutral ist, wird der Agent nicht vollständig versichert! Wenn eine hohe Anstrengung implementiert werden soll, dann kann der Agent nicht vollstandig versichert werden. Darum versucht der Prinzipal, den Agenten durch eine Beteiligung am Gewinn zur Wahl des effizienten Arbeitseinsatzes zu bringen und gleichzeitig die Risikoprämie so niedrig wie möglich zu halten. Der Second-Best Vertrag schafft die bestmögliche Abwägung zwischen optimaler Risikoallokation und optimalen Anreizen. Für risikoaverse Agenten können unter moralischem Risiko Anreize und Versicherung nicht miteinander in Einklang gebracht werden. 39 / 60

40 Optimaler Vertrag Als theoretische Einsicht erlangen wir den optimalen nicht-linearen Vertrag für risikoneutralen Prinzipal und risikoaversen Agenten 1 u (w (q)) = }{{} λ + μ }{{} Mult (IR) Mult (IC) 1 pr(q a L) pr(q a H ). } {{ } LR(q) Bem. Der μ-term repräsentiert moralisches Riskio. Die Likelihood-Rate wird typischerweise zur statistischen Inferenz benutzt hier gibt es aber nichts zu lernen! Wir wissen, daß der Agent die hohe Anstrengung a geleistet hat da μ > 0! 40 / 60

41 Interpretation der Likelihood-Rate pr(q a L) pr(q a H ) Die Likelihood-Rate zeigt die Präzision an, mit der ein Ergebnis q ein Anstrengungsniveau a H signalisiert. Eine niedrige Likelihood- Rate bedeutet, daß pr(q a H ) hoch ist im Verhältnis zu pr(q a L ) und gegeben q, a H wahrscheinlicher ist als a L. 2 2 Beispiel: q L = 10, pr(q L a H ) = 0.2, pr(q L a L ) = 0.8 q H = 100, pr(q H a H ) = 0.8, pr(q H a L ) = 0.2 LR(q L ) = pr(q L a L ) pr(q L a H ) = 4; LR(q H) = pr(q H a L ) pr(q H a H ) = 1 / 4. Bezüglich a H ist q H informativer als q L weil es die niedrigere Likelihood-Rate hat. 41 / 60

42 Monotone Likelihood-Rate Eine niedrige Likelihood-Rate sollte also höheren Lohn w(q) implizieren, dh die Likelihood-Rate sollte monoton sein. Dies ist aber wie das folgende Beispiel und die Verteilungen auf der kommenden Seite suggerieren nicht immer der Fall! pr(q a H ) pr(q a L ) pr(q a L )/pr(q a H ) q 1 0,2 0,4 2 q 2 0,1 0,4 4 q 3 0,7 0,2 2 / 7 Ein nicht-monotoner Lohn ist ökonomisch nicht überzeugend, da der Agent sonst Output zerstören könnte um seine Lohnerwartung zu verbessern. Da eine monoton fallende Likelihood-Rate monoton steigenden Lohn impliziert, ist es daher üblich, eine monoton fallende Likelihood-Rate (MLRP) anzunehmen. 42 / 60

43 Verletzung von MLRP & resultierendes Lohnschema w(q) pr(q a) = f(q a) LR(q) w(q) p(q a H ) p(q a L ) q q L q H q q q q L q H q q Die grüne Kurve zeigt die Likelihood-Rate LR(q) = p(q a L) p(q a H ) für kontinuierliche Produktionsniveaus. Sie sollte monoton fallen. 43 / 60

44 Zusammenfassung Die wesentlichen Einsichten aus dem einfachsten PAM sind: Der Prinzipal kann das Projekt an einen risikoneutralen (und nicht Budget-beschränkten) Agenten verkaufen; dies macht First-Best Ergebnisse möglich. Ein risikoaverser Agent muss Risiko ausgesetzt werden um eine hohe Arbeitsanstrengung zu tätigen. Dies ist kostspielig für den Prinzipal: er muss dem Agenten einen Risikozuschlag zahlen. Je risikoaverser der Agent, desto teurer werden Arbeitsanreize für den Prinzipal. Der optimale Vertrag ist sowohl für Prinzipal als auch Agenten optimal, da er den gemeinsamen Kuchen maximiert. 44 / 60

45 2 2 Beispiel Ein Prinzipal stellt einen Agenten ein und kompensiert ihn mit w > 0. Der Nutzen des Agenten ist separabel in Anstrengung a und Lohn w u(w,a i ) = v(w) g(a i ), i {1,2} wobei v( ) der vn-m Nutzen des Agenten von Geld ist und g(a i ) die Nutzenkosten der Anstrengung a i darstellt. 45 / 60

46 Modell Der Agent kann zwischen a {a 1,a 2 }, a 1 > a 2, mit Nutzenkosten g(a 1 ) = 5 / 3, und g(a 2 ) = 4 / 3 wählen. Es gibt zwei Produktionszustände q {q L,q H } = {0,10}. Gegeben a 1, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit pr(q H a 1 ) = 2 / 3 und pr(q L a 1 ) = 1 pr(q H a 1 ) = 1 / 3. Gegeben a 2, ist die Erfolgswahrscheinlichkeit pr(q H a 2 ) = 1 / 3 und pr(q L a 2 ) = 1 pr(q H a 2 ) = 2 / 3. Der Prinzipal ist risikoneutral und maximiert den Erwartungswert der Produktion minus der Lohnkosten. Der Agent ist risikoavers mit v(w) = w 1 / 2 und Reservationsnutzen von Null. 46 / 60

47 Überblick { a1, Zwei Arbeitsanstrengungen a a 2 } mit a 1 > a 2 mit induzierten Kosten g(a) { g(a1 ) = 5 / 3, g(a 2 ) = 4 / 3 also g(a 1 ) > g(a 2 ). { } ql, Zwei Produktionszustände q mit q H > q L und Erfolgswahrscheinlichkeiten q H { pr(qh a pr(q a 1 ) 1 ) = 2 / 3, pr(q L a 1 ) = 1 / 3 & pr(q a 2 ) { pr(qh a 2 ) = 1 / 3, pr(lq L a 2 ) = 2 / / 60

48 Mikro B Moralisches Risiko (a) Die Arbeitsanstrengung des Agenten ist beobachtbar. Betrachten wir einen Lohnvertag, der die gewollte Anstrengung a spezifiziert und produktionsabhängig {w H,w L } ist. Wir wollen zeigen, daß derartige Verträge {(q H,w H ),(q L,w L )} unter beobachtbaren a i nicht optimal sind, dh daß optimalerweise w H = w L = w. First-Best Da der Agent risikoavers und der Prinzipal risikoneutral ist, impliziert optimale Risikoaufteilung, daß der Prinzipal das gesamte Risiko trägt. Wenn der Agent ungewolltem Risiko ausgesetzt wird, dann muss er dafür durch höheren erwarteten Lohn kompensiert werden. Das Maximierungsproblem des Prinzipals entspricht dem Minimieren der bezahlten Löhne. 48 / 60

49 Der Prinzipal wählt für die gewollte Anstrengung a i produktionsabhängige Löhne {w H,w L } um min w H,w L,a pr(q H a i )w H +(1 pr(q H a i ))w L s.t.(ir i ) pr(q H a i )v(w H )+(1 pr(q H a i ))v(w L ) g(a i ) = 0. Wir lösen das Problem durch den Lagrange Ansatz L = pr(q H a i )w H +(1 pr(q H a i ))w L λ[pr(q H a i )v(w H )+(1 pr(q H a i ))v(w L ) g(a i )] und erhalten die BEO L = 0 1 w L λ = v (w L ) und L = 0 1 w H λ = v (w H ). 49 / 60

50 Daher gilt v (w L ) = 1 λ = v (w H ) was für konkave v (zb v(x) = x) nur durch w L = w H = w erfüllbar ist. Daher sind im Falle beobachtbarer Anstrengungen die optimalen Löhne für jedes Anstrengungsniveau a i konstant über alle Produktionsniveaus. Sie werden also nur von den Anstrengungen a i abhängen. 50 / 60

51 Mikro B Moralisches Risiko First-Best b) Die Arbeitsanstrengung des Agenten ist beobachtbar. Welcher Lohn w implementiert a i, i {1,2}? Welches Anstrengungsniveau soll der Prinzipal wählen? Wir wissen von (a), daß First-Best Verträge von der beobachtbaren Arbeitsanstrengung abhängen müssen, dh {(a 1,w 1 ), (a 2,w 2 )} i {1,2} und nicht vom realisierten Produktionsergebnis {q L,q H }. Also maximiert der Prinzipal für i {1,2} max (w i (a)) ω {L,H} pr(ω a i )(q ω w i ) s.t.(ir i ) v(w i ) g(a i ) = u 0 = 0. v(w i ) = g(a i ) w i = v 1 (g(a i )) w i = g(a i ) 2. (3) 51 / 60

52 Damit ist der Profit des Prinzipals durch zwei Lotterien gegeben, unter denen der Agent durch seine (beobachtbare) Arbeitsanstrengung auswählt { a1 L a i = 1 = { 10 : 2 / 3 ;0 : 1 } / 3 E[L1 ] = 20 / 3, a 2 L 2 = { 10 : 1 / 3 ;0 : 2 } / 3 E[L2 ] = 10 / 3. Dh wir erhalten für w i = g(a i ) 2 1. hohe Anstrengung a 1 : w 1 = 5 / 3 w 1 = 25 / 9 Profit des Prinzipals: E[L 1 ] w 1 = 20 / 3 25 / 9 π(a 1 ) = 35 / niedrige Anstrengung a 2 : w 2 = 4 / 3 w 2 = 16 / 9 Profit des Prinzipals: E[L 2 ] w 2 = 10 / 3 16 / 9 π(a 2 ) = 14 / 9. Da π(a 1 ) > π(a 2 ), wählt der Prinzipal die Implementierung von a / 60

53 Mikro B Moralisches Risiko (c) Wir nehmen nun an, daß a i nicht beobachtbar ist. Damit muss Second-Best ein Lohnvertrag von der realisierten Produktion abhängig gemacht werden. Welche Verträge {(q H,w H ),(q L,w L )} wird der Prinzipal anbieten um a 1 in diesem Fall zu implementieren? allgem: max w ω s.t. (IR i ) (IC i ) ω {L,H} ω {L,H} ω {L,H} ω {L,H} pr(ω a i )(q ω w ω ) pr(ω a i )v(w ω ) g(a i ) = u 0 = 0, und pr(ω a i )v(w ω ) g(a i ) pr(ω a j )v(w ω ) g(a j ). mit i = 1,2, j = 3 i; das Programm erfüllt also je zwei IR & IC. 53 / 60

54 Wir setzen die angegebenen Werte ein und erhalten für a 1 max w ω 2 / 3 (10 w H )+ 1 / 3 (0 w L ) s.t. (IR 1 ) 2 / 3 wh + 1 / 3 wl 5 / 3 = u 0 = 0, und (IC 1 ) 2 / 3 wh + 1 / 3 wl 5 / 3 1 / 3 wh + 2 / 3 wl 4 / 3. (IC 1 ) impliziert w H 1+ w L. Maximierung des Prinzipals impliziert wiederum, dass wir w H = 1+ w L setzen dürfen. Wir ersetzen w H in (IR 1 ) und erhalten 2(1+ w L )+ w L = 5 und wir erhalten (w L = 1,w H = 4) mit assoziiertem Profit von π(a 1 ) = 2 / 3 (10 4)+ 1 / 3 (0 1) = 11 / 3. Da π(a 1 ) > π(a 2 ), wird der Prinzipal auch mit unbeobachtbarer Anstrengung die Implementierung von a 1 wählen. 54 / 60

55 Mikro B Moralisches Risiko (d) Mit nicht beobachtbarer Anstrengung ist also a 1 für den Prinzipal optimal. Wie würde der Prinzipal a 2 implementieren? Wenn der Prinzipal keinerlei Anreize setzt die hohe Anstrengung a 1 zu implementieren, dann wird der Agent nur a 2 leisten. Damit ist es am kostengünstigsten für den Prinzipal, den First-Best Flatrate -Lohnvertrag w2 aus b) zu wählen, der bloß die Partizipation des Agenten sicherstellt. (IR 2 ) 1 2 w + w = 4 / 3 w = 16 / 9 > 1 π(a 2 ) = 14 / / 60

56 Microfinance & Entwicklungsökonomie Die Grameen Bank (Bangladesh) ist eine Microfinance Gemeinschafts-Entwicklungsbank die kleine Kredite ( Microcredit ) an verarmte Bauern ohne Sicherungskapital vergibt. Die Idee ist, daß die Kreditnehmer Kenntnisse & Fertigkeiten besitzen, die von traditioneller Kreditinstiuten nicht ausgeschöpft werden. Der Bank und ihrem Gründer Muhammad Yunus wurde 2006 der Friedensnobelpreis verliehen. 56 / 60

57 Probleme mit Entwicklungskrediten 1. Risiko & Adverse Selektion Typischerweise verlangt eine Bank eine Kreditsicherung um riskante Projekte (θ L ) von sicheren Projekten (θ H ) zu unterscheiden (wobei θ üblicherweise private Typen sind). Wenn kein Sicherungskapital verlangt werden kann, dann sind riskante Projekte wahrscheinlicher als mit Kreditsicherung. Dies erhöht die nötige Zinsrate für die Rückzahlung. 2. Monitoring & moralisches Risiko Ohne Haftung für den Kredit hat der Kreditnehmer geringere Anreize den Kredit zurückzuzahlen. Effektives Monitoring ist für das Kreditinstiut im Verhältnis zur Kreditsumme sehr teuer. Das Eintreiben von Rückzahlungen von fehlgeschlagenen Projekten ist schwierig. 57 / 60

58 Lösung: Microcredit 1. Kreditnehmer bilden kleine Gruppen und stellen ihre Kreditanträge gemeinsam. Die Gruppe ist gemeinsam für alle Rückzahlungen verantwortlich. 2. Dies bedeutet nicht, daß nur ein Projekt finanziert wird. Im Gegenteil betreibt üblicherweise jedes Gruppenmitglied sein eigenes Projekt. 3. Die Kredite werden oft sequentiell finanziert, dh Kredit #n wird aus der Rückzahlung von #n 1 finanziert. In anderen Fällen erhält die Gruppe anfangs einen sehr kleinen Kredit und dieser wird nur bei erfolgreicher Rückzahlung aufgestockt. 58 / 60

59 Joint Liability Lending Institutions Dabei verstärkt Gruppenhaftung ( Joint Liability ) die Rückzahlungsanreize durch Ausnutzung von local information: Mitglieder einer Dorfgemeinschaft wissen häufig mehr über die Situation (Handlungen) einzelner Dorfbewohner als Banken. social capital: eine Hauptquelle von Marktversagen auf Kreditmärkten ist, dass Banken keine finanziellen Sanktionen gegen arme Kreditnehmer verhängen können. Dagegen können Nachbarn in einer Dorfgemeinschaft aber wirksame soziale Sanktionen gegen Dorfmitglieder verhängen. Das theoretische Konzept hinter dieser Einsicht basiert auf korrelierten Typen. 59 / 60

60 Erfolg der Grameen Bank Durch diese Regelungen erzielt die Grameen Bank sehr hohe Rückzahlungsraten (etwa 98%), eine Lösung des individuellen moralischen Risikoproblems durch internalisiertes Gruppenmonitoring. Sie kann damit sehr günstige Kredite vergeben, große internationale Finanzierungsquellen erschließen, effektive Entwicklungsförderung betreiben. Literatur: Ghatak, M. & T. Guinnane, The economics of lending with joint liability: theory and practice, Journal of Development Economics, 60(1), , / 60