Gruber, Erfolg im ABI, Pflichtteil. matheskript B STOCHASTIK WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG STATISTIK PFLICHTTEIL ÜBUNGEN Klasse.

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1 matheskript B STOCHASTIK WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG STATISTIK PFLICHTTEIL ÜBUNGEN Klasse Jens Möller

2 INHALTE Baumdiagramme Ziehen mit und ohne Zurücklegen Binomialverteilungen Erwartungswerte Musteraufgaben ACHTUNG Der Pflichtteil muss ohne TR und ohne Formelsammlung bewältigt werden, d.h. insbesondere elementare Bruchrechenregeln müssen beherrscht werden.

3 BAUMDIAGRAMME UND PFADREGELN ZIEHEN MIT ZURÜCKLEGEN 1. In einem Behälter befinden sich 3 weiße und 7 rote Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind beide Kugeln gleichfarbig? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel weiß ist. 2. Eine Urne enthält 4 rote, 3 weiße und 2 gelbe Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man eine weiße und eine gelbe Kugel? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man keine weiße Kugel erhält? 3. In einer Urne befinden sich rote und schwarze Kugeln. Es ergibt sich das nebenstehende Baumdiagramm. a) Beschreiben Sie eine Situation, die zu diesem Baumdiagramm passt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln gleichfarbig sind? 4. Ein Gefäß enthält 8 rote, 4 blaue und 2weiße Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man keine rote Kugel? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens eine rote Kugel erhält? 5. Ein Würfel trägt auf einer Seite die Zahl 1, auf vier anderen Seiten die Zahl 2 und auf einer Seite die Zahl 3. Er wird zweimal nacheinander geworfen und die Ergebnisse als zweistellige Zahl notiert. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist das Ergebnis kleiner als 20? Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass das Ergebnis eine Primzahl ist. 6. In einem Behälter befinden sich 3 rote und 5 gelbe Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln gelb ist

4 Wie viele gelbe Kugeln hätten sich in dem Behälter befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine gelbe Kugel zu ziehen, 0,91 betragen hätte? 7. Eine Urne enthält 4 blaue und 6 rote Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine Kugel blau ist. Wie viele blaue Kugeln hätten sich in der Urne befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, höchstens eine blaue Kugel zu ziehen, 0,64 betragen hätte? 8. In einem Hut befinden sich 4-mal der Buchstabe A und 8-mal der Buchstabe B. Es werden 2 Buchstaben mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens einmal der Buchstabe B gezogen wird. Wie viele Buchstaben A müssten sich in dem Hut befinden, damit die Wahrscheinlichkeit, höchstens einmal den Buchstaben B zu ziehen, 0,96 beträgt? 9. Ein Behälter enthält 6 rote, 3 blaue und 1 gelbe Kugel. Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man keine blaue Kugel? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass alle drei Kugeln verschiedenfarbig sind. 10. In einer Urne befinden sich rote und schwarze Kugeln. Es ergibt sich das nebenstehende Baumdiagramm. a) Beschreiben Sie eine Situation, die zu diesem Baumdiagramm passt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel rot ist? 11. In einem Behälter befinden sich 5 Kugeln mit den Zahlen 1 bis 5. Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass erst im dritten Zug eine gerade Zahl gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Zahl gerade ist? - 2 -

5 12. Ein Fertigungsteil durchläuft mehrmals dieselbe Kontrolle, da mit einer Wahrscheinlichkeit von 20% ein Fehler übersehen wird. a) Bestimmen Sie mit Hilfe eines Baumdiagramms die Wahrscheinlichkeit, dass ein vorhandener Fehler zweimal übersehen und beim 3. Mal erkannt wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein vorhandener Fehler spätestens beim 3. Mal erkannt wird? LÖSUNGEN 1. a) P Kugeln gleichfarbig P w w P r r / / 58% P mindestens eine weiße Kugel 1 P r / r1 51% oder P w / r P r / w P w / w 51% a) P eine weiße und eine gelbe Kugel Pw / g Pg / w P keine weiße Kugel Pw / w 3. a) Zum Baumdiagramm passt folgende Situation: In einer Urne liegen 3 rote und 2 schwarze Kugeln. Es werden zwei Kugeln mit Zurücklegen gezogen PKugeln gleichfarbig Pr / r Ps / s 4. a) Pkeine rote Kugel Pr / r P höchstens eine rote Kugel1 Pr / r oder Pr/ rpr/ rpr/ r

6 5. a) 2/0 1/1 1/2 1/3 P Ergebnis kleiner als P P P /1 1/3 2/3 3/1 P Ergebnis ist Primzahl P P P P a) P mindestens eine gelbe Kugel1 Pr / r oder P r / g Pg / rp g / g 64 1 Pr / r 0,91 1 Pr/ r P mindestens eine gelbe Kugel 3 3 0,91 1 n3 n3 9 0,09 n n 3 2 n 3 10 n 7 und n 13 entfällt a) P höchstens eine blaue Kugel1 Pb / b1 1 84% oder P r / rp b / rp r / b 84% Pb / b 0, 64 1 Pb/ b P höchstens eine blaue Kugel n n 0,64 1 n6 n6 2 n 0,36 2 n 6 n 0,6 n 6 0,6 ( n 6) n n1 9 Fallunterscheidung 0,6 ( n 6) n n2 2, 25 entfällt

7 8. a) P mindestens einmal B1 PB / B1 PA / A oder P A / BP B / APB / B 9 1Pzweimal B 0,96 1 PB/ B P höchstens einmal B 8 8 0,96 1 n8 n8 64 0,04 kreuzweise multiplizieren n 2 n n 8 40 n840 n1 32 Fallunterscheid. n 8 40 n2 48 entfällt. 9. a) C P alle Kugeln verschieden3! P r / b / g 6 10,8% Anm : 3Farben werden permutiert 3! 6 Möglichkeiten der Anordnung 10. a) Zum Baumdiagramm passt folgende Situation: In einer Urne liegen 5 rote und 3 schwarze Kugeln. Es werden drei Kugeln mit Zurücklegen gezogen / / Pmindestens eine rote Kugel P keine rote P s s s 11. a) Perst im 3. Zug eine gerade Zahl Pu / u / g Pmindestens eine gerade Zahl P u u u / /

8 12. a) PFehler erst beim 3 Mal erkannt Pe e e. / / 0,20,20,8 3,2% PFehler spätestens beim 3 Mal erkannt Pe e e. 1 / / 10,20,20,2 99,2% 1.2 ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN 1. In einer Urne befinden sich 2 grüne, 3 rote und 5 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden eine grüne und eine rote Kugel gezogen? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keine blaue Kugel gezogen wird. 2. In einem Gefäß sind 6 rote, 4 blaue und 2 weiße Kugeln. Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln gleichfarbig sind? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist keine Kugel rot? 3. In einer Urne befinden sich rote und schwarze Kugeln. Es ergibt sich folgendes Baumdiagramm: a) Beschreiben Sie eine Situation, die zu diesem Baumdiagramm passt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln gleichfarbig sind? 4. In einem Gefäß sind 6 Kugeln mit den Zahlen I bis 6. Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keine 4 gezogen wird. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die Quersumme kleiner als 7 ist? - 6 -

9 5. In einer Urne sind 7 weiße, 5 schwarze und 3 rote Kugeln. Es werden 3 Kugeln gleichzeitig gezogen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass eine Kugel weiß ist und zwei Kugeln schwarz sind? Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist mindestens eine Kugel weiß? 6. In einer Packung sind 10 Glühbirnen, davon sind zwei defekt. Es werden drei Glühbirnen blind herausgegriffen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind alle drei Glühbirnen in Ordnung? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine Glühbirne defekt ist? 7. In einer Urne sind 6 rote und 4 weiße Kugeln. Es werden nacheinander 5 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass zuerst alle weißen und dann eine rote Kugel gezogen werden? Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden abwechselnd weiße und rote Kugeln gezogen? 8. In einer Urne sind 4 weiße und eine unbekannte Anzahl roter Kugeln. Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Wie viele rote Kugeln waren vorhanden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln weiß sind, 1/6 beträgt? Wie viele rote Kugeln waren vorhanden, wenn die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel weiß ist, 2/3 beträgt? 9. Eine Urne enthält 2 rote und 9 schwarze Kugeln. a) Es werden 2 Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens eine der beiden Kugeln rot ist? Es werden 3 Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zwei Kugeln schwarz sind? 10. In einer Schale sind 5 blaue und 7 rote Kugeln. Es werden 3 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel blau ist. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens 2 Kugeln blau sind? - 7 -

10 LÖSUNGEN 1. a) Pgrüne und rote Kugel Pg / r Pr / g P keine blaue Kugel Pb / b a) PKugeln gleichfarbig Pr / r Pb / b Pw / w P keine rote Kugel Pr / r a) Zum Baumdiagramm passt folgende Situation: In einer Urne befinden sich 3 rote und 2 schwarze Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. PKugeln gleichfarbig Pr / r Ps / s 4. a) P keine 4 P4/4/ ! 1/2/ P Quersumme kleiner als P 5. a) / / / / / / P 1 weiße und 2 schwarze Kugeln P w s s P s w s P s s w P mindestens eine weiße Kugel P keine weiße 6. a) P alle in Ordnung Pd / d / d / / / / / / Pgenau einedefekt Pd d d Pd d d Pd d d - 8 -

11 7. a) P zuerst alle weißen, dann eine rote Kugel Pw / w / w / w / r a) / / / / / / / / P abwechselnd weiße und rote Kugeln P w r w r w P r w r w r Pw / w P beide Kugeln weiß n4 n n n n 2 7n60 0 n 5 und n 12 entfällt P keine weiße 1 Pr/ r P mindestens eine weiße Kugel n 2 n n1 1 3 n4 n3 n n1 1 n4 n3 3 3n n1 n4 n3 n : n 6 und n 1 entfällt a) P höchstens eine rote Kugel Pr r / P höchstens zwei schwarze Kugeln P s s s / / a) 1Pkeine blaue Kugel P mindestens eine blaue Kugel Pr/ r/ r P drei blaue Kugeln P höchstens zwei blaue Kugel Pb/ b/ b

12 BINOMIALVERTEILUNG Ein Zufallsexperiment, das genau zwei mögliche Ausgänge hat, heißt Bernoulliexperiment. Bernoulliketten sind Versuchsreihen, bei denen das gleiche Bernoulliexperiment mehrmals hintereinander durchgeführt wird. Bernoulliketten sind charakterisiert durch ihre Länge n (= Anzahl der Versuche) und durch die sogenannte Trefferwahrscheinlichkeit p. Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung gibt an, mit welchen Wahrscheinlichkeiten eine Zufallsvariable X die möglichen Werte annimmt. Immer dann, wenn das einer Zufallsvariable zugrunde liegende Zufallsexperiment eine Bernoullikette ist, liegt eine Binomialverteilung vor. Ist X Zufallsvariable für die Anzahl der Treffer bei insgesamt n Bernoulli-Versuchen, so wird die Wahrscheinlichkeit P eines Ereignisses mit genau k Treffern mit der Trefferwahrscheinlichkeit p und der Kettenlänge n (Anzahl der Durchführungen des Experiments) mit folgender Formel berechnet: n P X k p p k k 1 n k BEISPIEL A 1 Eine verbeulte Münze mit P Zahl wird fünfmal geworfen. Um die Wahrscheinlichkeit, 3 dass genau zweimal Zahl erscheint, zu berechnen, legt man die Kettenlänge n = 5 und die 1 Trefferwahrscheinlichkeit p fest. Damit gilt: 3 P X Manchmal ist es auch geschickt oder hilfreich, mit dem Gegenereignis zu rechnen; dies ist vor allem (aber nicht immer) bei den Signalwörtern mindestens oder höchstens der Fall. Ist A ein Ereignis und A das zugehörige Gegenereignis, so gilt für die entsprechenden Wahrscheinlichkeiten: PA1 PA

13 BEISPIEL B 3 Eine verbeulte Münze mit P Zahl wird viermal geworfen. Um die Wahrscheinlichkeit, 4 dass mindestens einmal Zahl erscheint, zu berechnen, legt man die Kettenlänge n = 4 und die 3 Trefferwahrscheinlichkeit p fest. Damit erhält man mit Hilfe des Gegenereignisses: 4 PX 11PX 0 P mindestens einmal Zahl 1 P keinmal Zahl Oft ist auch von Interesse, mit welcher Wahrscheinlichkeit eine Zufallsvariable einen Wert kleiner oder größer als ein vorgegebenes k erzielt. Dafür müssen die einzelnen Wahrscheinlichkeiten addiert werden: MERKE P X k P X P X P X P X P X k bzw. 1 P X k P X k BEISPIEL C 2 Eine verbeulte Münze mit P Zahl wird viermal geworfen. Um die Wahrscheinlichkeit, 3 dass höchstens zweimal Zahl erscheint, zu berechnen, legt man die Kettenlänge n = 4 und die 2 Trefferwahrscheinlichkeit p fest. Damit gilt: 3 PX 2 PX 0PX 1PX 2 P höchstens zweimal Zahl P keinmal Zahl P einmal Zahl P zweimal Zahl

14 BERNOULLIKETTEN 1. Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 10 und p = 0,4. P ( X = k ) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, k a) Berechnen Sie P X 1. Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise P X und PX Von einer großen Ladung Apfelsinen sind 20% verdorben. Es wird eine Stichprobe von 5 Stück entnommen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in der Stichprobe genau eine Apfelsine verdorben ist? Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, welches durch folgenden Ausdruck 5 0, 2 0,8 10, 2 3 beschrieben wird: PA PB Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 20 und p = 0,2. a) Berechnen Sie PX 2. Bestimmen Sie einen Rechenausdruck für P X und P X Eine ideale Münze (Wappen / Zahl) wird fünfmal geworfen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass genau zweimal Zahl auftritt. Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, so dass gilt: PB P A

15 5. Ein idealer Würfel wird dreimal geworfen. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau einmal eine Sechs erscheint? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass höchstens zweimal Sechs erscheint. 6. Eine Blumenzwiebel keimt mit einer Wahrscheinlichkeit von 90%. Es werden 20 Zwiebeln gekauft. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass alle 20 Zwiebeln keimen? Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, welches durch folgenden Ausdruck beschrieben wird: P A P B ,9 0,1 0,9 0,1 0, , Ein Sportschütze trifft erfahrungsgemäß mit einer Wahrscheinlichkeit von 75% das Ziel. Er schießt viermal. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass er genau zweimal trifft? Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass er höchstens zweimal trifft. 8. Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = l0 und p = 0,6 und hat folgende Wahrscheinlichkeitsverteilung: HISTOGRAMM P(X=k) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, k a) Berechnen Sie P X 10. Bestimmen Sie näherungsweise P X und P X

16 LÖSUNGEN P X 1 0, 4 0,6 40,6 0,04 4% ( die Schlussrechnung geht nur mit TR) 1 a) P 3 X 6 P X 4 P X 5 0, 25 0, 20 0, 45 ( Werte laut Histogramm) P X P X P X P X P X 0,04 0,010,00 0,00 0,05 ( Werte laut Histogramm) 2. a) 1 X ist binomialverteilt mit n 5 und p 0,2 und k 1 5 P X PA PX , 2 0,8 3 0, 2 0,8 0, 05 5% c) Ereignis A: In einer Stichprobe von 5 sind mit einer Wahrscheinlichkeit von 5% genau 3 verdorbene Apfelsinen enthalten. P B P X wobei P X ist , ,2, d. h. alle Apfelsinen sind verdorben. Ereignis B ist das Gegenereignis von alle Apfelsinen sind verdorben. Ereignis B besagt also, dass bei einer Stichprobe von 5 mindestens eine Apfelsine nicht verdorben ist P X 2 0,2 0,8 40,6 1900,2 0,8 13,67% (mit TR) 2 a) P X 2 P X 0 P X 1 0,2 0,8 0,2 0,8 6,9%( mittr) P X P X mittr 1 c) ,2 0, ,8 94,2%( )

17 4. a) PX P A P X P X P X Damit lautet das Ereignis A: höchstens einmal Zahl bekommen c) P B P X 0 P X 1 Damit lautet das Ereignis B: mindestens einmal Zahl (oder Wappen) bekommen 5. a) P genau ein Treffer P X P X 3 P höchstens zwei Treffer PX 21PX a) PX ,9 0,1 1 0,9 1 0,9 12,15% (mit TR) P A P X P X P X ,9 0,1 0,9 0,1 0,9 P X Damit lautet das Ereignis A: mindestens 18 Zwiebeln keimen c) PB10, ,9 0 0,1 20 1PX 0 PX 1 Damit lautet das Ereignis B: mindestens 1 Zwiebel keimt

18 7. a) PX ,75 0, P X P X P X P X P X 10 0,6 0, 4 0,6 0,006 0,6% ( vergleich mit Histogramm) 10 a) Am Histogramm kann man folgende Näherungswerte ablesen: P X k k Damit ergibt sich: ,11 0, 25 0, 22 0,12 0, 04 0, P X P X P X P X P X P X 0,25 0,22 0,12 0,04 0,01 0, PX 4 P X 10,11 0,

19 ERWARTUNGSWERTE l. Bei einem Glücksspiel sind in einer Urne 10 Kugeln: 1 weiße, 1 rote und 8 schwarze. Es wird eine Kugel gezogen. Der Einsatz beträgt 50 Cent. Bei weiß erhält man 4 Euro, bei rot 8 Euro und bei schwarz nichts. Bestimmen Sie den Erwartungswert für den Gewinn. 2. Aus einer Urne mit 2 weißen und 8 roten Kugeln werden nacheinander ohne Zurücklegen so lange einzelne Kugeln entnommen, bis die erste rote Kugel auftritt. Wie oft muss man durchschnittlich ziehen? 3. Ein Händler behauptet, dass etwa 4% der von ihm gelieferten Glühbirnen defekt sind. Wie viele defekte Glühbirnen kann man bei einer Entnahme von 150 Glühbirnen durchschnittlich erwarten? (Bernoulli-Kette) 4. Die Zufallsgröße X sei binomialverteilt. (Bernoulli-Kette) a) Bestimmen Sie den Erwartungswert von X für n = 80 und p = 0,3. Berechnen Sie die Trefferwahrscheinlichkeit p für n = 50 und Erwartungswert E (X) = 20 c) Bestimmen Sie die Kettenlänge n für p = 0,6 und Erwartungswert E(X) = Bei einem Glücksspiel wird nebenstehendes Glücksrad verwendet. Die Mittelpunktswinkel betragen 180, 120 und 60. Als Einsatz bezahlt man zwei Euro. Das Glücksrad wird einmal gedreht. Man erhält den Betrag ausbezahlt, in dessen Sektor der Zeiger zu stehen kommt. Berechnen Sie den Erwartungswert für den Gewinn Es wird folgendes Spiel vereinbart: Zwei ideale Würfel werden gleichzeitig geworfen und ihre Augensumme betrachtet. Beträgt sie 2, werden 4 Euro ausgezahlt, beträgt sie 3 oder 4, wird 1 Euro ausgezahlt, in allen anderen Fällen erfolgt keine Auszahlung. Wie viel Geld wird durchschnittlich ausgezahlt? 7. In einer Urne sind 10 Kugeln: 4 weiße, 4 rote und 2 schwarze. Es wird eine Kugel gezogen. Der Einsatz beträgt 1 Euro. Man erhält bei weiß 1 Euro, bei rot 2 Euro und bei schwarz nichts. Bestimmen Sie den Erwartungswert für den Gewinn. Ist das Spiel fair?

20 8. Bei der Produktion von Computerchips sind in der Regel 5% der Chips defekt. Wie viele funktionierende Chips sind bei einer Entnahme von 80 Chips zu erwarten? (Bernoulli-Kette) 9. Ein Glücksrad hat die Sektoren A, B und C mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung: Sektoren A B C Wahrscheinlichkeiten 0,3 0,5 0, 2 Das Glücksrad wird für folgendes Glücksspiel verwendet: Der Spieler zahlt einen Einsatz von 4 Euro. Dann wird das Glücksrad zweimal gedreht. Sind die zwei ermittelten Buchstaben gleich, erhält der Spieler l0 Euro. Sonst erhält er nichts. Ist das Spiel fair? l0. Von einer großen Ladung Tomaten sind 20% verdorben. Wie viele verdorbene Tomaten kann man bei einer Entnahme von 30 kg erwarten? (Bernoulli-Kette) 11. Bei Elektrogeräten zeigen Qualitätskontrollen, dass der Anteil an defekten Sicherungen durchschnittlich 3% beträgt. Wie viele funktionierende Elektrogeräte sind bei einer Kontrolle von 1200 Geräten zu erwarten? (Bernoulli-Kette) 12. Für ein Glücksspiel wird ein Würfel verwendet, der auf einer Seite die Zahl 1, auf vier Seiten die Zahl 2 und auf einer Seite die Zahl 3 trägt. Der Einsatz beträgt 1,50 Euro. Der Würfel wird dreimal nacheinander geworfen. Sind die drei Zahlen verschieden, bekommt der Spieler 9 Euro ausbezahlt. Erscheint dreimal die 1, erhält der Spieler 108 Euro. Sonst erhält er nichts. Ist dieses Spiel fair? LÖSUNGEN 1. Zufallsvariable : X Auszahlungen Glücksspiel Ereignisse Farben weiß rot schwarz Auszahlungen X k Wahrscheinlichkeiten P X k Erwartungswert EX , E Gewinn E Auszahlung Einsatz 1, 2 0, 5 0, 7 ERGEBNIS Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt 0,70 pro Spiel

21 2. URNE Vorbetrachtungen Pr und Pw / r und Pw / w / r Zufallsvariable : X Anzahl der Ziehungen, bis rot erscheint Ereignisse rot weiß / rot weiß / weiß / rot Anzahl der Ziehungen k PX k Erwartungswert E X , 2 Ziehungen ERGEBNIS Man benötigt durchschnittlich 1,2 Züge, um eine rote Kugel zu bekommen. 3. n 150 und p 0, 04 E( X ) np 1500, 04 6 ERGEBNIS Bei einer Entnahme von 150 Glühbirnen hat man durchschnittlich mit 6 defekten Glühbirnen zu rechnen. 4. a) c) n 80 und p 0,3 gesucht : E( X ) E( X) n p 800,324 E( X ) 20 und n 50 gesucht : p 20 EX ( ) np p 0,4 40% 50 E( X ) 12 und p 0,6 gesucht : n E( X) n p n 20 0, Zufallsvariable : X Auszahlungen Glücksrad Ereignisse Sektoren Auszahlungen X k Wahrscheinlichkeiten P X k

22 Erwartungswert EX E Gewinn E Auszahlung Einsatz Cent 6 6 ERGEBNIS Der Erwartungswert für den Gewinn beträgt circa 0,17 pro Spiel. 6. Zufallsvariable : X Auszahlungen Glücksspiel Ereignisse Augensummen bis 12 Auszahlungen X k Wahrscheinlichkeiten P X k Erwartungswert EX E Auszahlung 0, 25 ERGEBNIS Der Erwartungswert für die Auszahlung beträgt 0,25 pro Spiel. 7. Zufallsvariable : X Auszahlungen Glücksspiel Ereignisse Farben weiß rot schwarz Auszahlungen X k Wahrscheinlichkeiten P X k , 4 0, 4 0, 2 Erwartungswert E X 1 0, 42 0, 40 0, 20, 4 0, 8 1, 2 E Gewinn E Auszahlung Einsatz 1, 2 1, 0 0, 20 ERGEBNIS Der Erwartungswert beträgt 0,20, d.h. der Spieler wird begünstigt. Das Spiel ist daher nicht fair. 8. n 80 und p 0,95 gesucht : E( X ) E( X) n p 800,95 76 ERGEBNIS Bei einer Entnahme von 80 Chips sind 76 funktionierende Chips zu erwarten

23 9. P A/ A 0,30,30,09 Vorbetrachtungen : P B / B 0,50,5 0,25 P C / C 0,20,20,04 Ereignisse Sektoren zwei gleiche sonst Auszahlungen X k 10 0 Wahrscheinlichkeiten P X k 0, 09 0, 25 0, 04 0,38 10,38 0, 62 Erwartungswert E X 10 0, 380 0, 623, 8 E Gewinn E Auszahlung Einsatz 3, 8 4, 0 0, 2 ERGEBNIS Der Erwartungswert beträgt 0, 20, d.h. der Spieler wird benachteiligt. Das Spiel ist nicht fair. 10. n 30 und p 0,2 gesucht : E( X ) E( X) n p 300,26 ERGEBNIS Bei einer Entnahme von 30kg Tomaten sind durchschnittlich 6kg verdorbene zu erwarten. 11. n 1200 und p 10,03 0,97 gesucht : E( X ) E( X) n p 12000, ERGEBNIS Bei einer Kontrolle von 1200 Geräten kann man durchschnittlich 1164 funktionierende Geräte erwarten. 12. Vorbetrachtungen : P 1/1/ P drei verschiedene3! Ereignisse Zahlen alle verschieden 1/1/1 Auszahlungen X k Wahrscheinlichkeiten 1 1 P X k Erwartungswert E X , E Gewinn E Auszahlung Einsatz 1, 50 1, 50 0 ERGEBNIS Der Erwartungswert beträgt Null. Das Spiel ist also fair

24 ABI-MUSTERAUFGABEN 1. Eine Urne enthält 2 rote und 9 schwarze Kugeln. a) Es werden 2 Kugeln gleichzeitig gezogen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass genau eine der beiden Kugeln rot ist? Es wird eine der 11 Kugeln gezogen, die Farbe festgestellt und die Kugel wieder in die Urne gelegt. Anschließend wird eine weitere Kugel der gleichen Farbe zusätzlich in die Urne gelegt und erneut eine Kugel gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist die zuletzt gezogene Kugel rot? 2. Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,6. HISTOGRAMM a) Berechnen Sie PX 1. Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise P4 X 6 und 5 P X. 3. Ein Glücksrad wird für ein Glücksspiel verwendet. Es wird zweimal gedreht. Das zugehörige Baumdiagramm ist rechts abgebildet. BAUMDIAGRAMM a) Skizzieren Sie ein mögliches Glücksrad. Erscheint zweimal r, erhält man 2 Euro, erscheint zweimal s erhält man 4 Euro und erscheint zweimal b erhält man 8 Euro. Sonst erhält man nichts. Bei welchem Einsatz kann man durchschnittlich mit einem Gewinn von 50 Cent rechnen?

25 4. In einem Behälter befinden sich 7 rote und 5 gelbe Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln gelb ist. Wie viele gelbe Kugeln hätten sich in dem Behälter befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine gelbe Kugel zu ziehen, 51% betragen hätte? 5. Ein Glücksrad wird für ein Glücksspiel verwendet. Ein Spieler stellt hierzu folgende Rechnung auf: EX a) Beschreiben Sie, wie das zugehörige Glücksrad aussehen könnte. Wie hoch müsste der Einsatz des Spielers sein, damit er mit einem durchschnittlichen Gewinn von 75 Cent rechnen kann? 6. In einer Urne befinden sich rote, schwarze und blaue Kugeln. Es ergibt sich folgendes Baumdiagramm: a) Beschreiben Sie eine Situation, die zu diesem Baumdiagramm passt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass beide Kugeln gleichfarbig sind? 7. Bei einem Multiple-Choice-Test gibt es 10 Fragen mit jeweils 3 möglichen Antworten, von den jeweils genau eine richtig ist. Ein Prüfling kreuzt nach dem Zufallsprinzip bei jeder Frage eine Antwort an. a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass die ersten beiden Antworten richtig sind? Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, so dass gilt: PB P A

26 8. Eine Urne enthält 7 rote, 3 blaue und 2 grüne Kugeln. a) Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine Kugel grün ist. Es werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden Kugeln die gleiche Farbe? 9. Zur Premiere eines Films bringt eine Schokoladenfirma Überraschungseier mit Filmfiguren auf den Markt. Die Firma wirbt damit, dass sich in jedem 5. Überraschungsei eine Filmfigur befindet. Für einen Kindergeburtstag werden 20 Überraschungseier gekauft, wobei man davon ausgehen kann, dass die Verteilung der Figuren zufällig ist. a) Erklären Sie, welche Bedeutung in diesem Zusammenhang die folgende Rechnung hat: , Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass sich in keinem Ei eine Filmfigur befindet. 10. Ein Glücksrad besteht aus 4 Kreissektoren, die mit den Zahlen 1, 2, 3 und 4 versehen sind. Die Mittelpunktswinkel der verschiedenen Sektoren haben die Weiten 30, 60, 90 und 180. Nach jeder Drehung gilt diejenige Zahl als gezogen, auf deren Kreissektor der feststehende Pfeil zeigt. Das Glücksrad wird dreimal gedreht. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass keine ungerade Zahl gezogen wird. Das Glücksrad wird für ein Glücksspiel verwendet. Der Einsatz beträgt 1. Es wird zweimal gedreht. Erscheint zweimal die 4, erhält man 2, erscheint zweimal die 3, erhält man 4, erscheint zweimal die 2 erhält man 12 und erscheint zweimal die 1 erhält man 24. Sonst erhält man nichts. Prüfen Sie, ob das Spiel fair ist

27 11. Histogramme P ( X = k ) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, P ( X = k ) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, Abb. 01 k Abb. 02 k P ( X = k ) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 0 Abb k Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = 8 und p = 0,5. a) Berechnen Sie den Erwartungswert von X und begründen Sie, welche der Abbildungen die Verteilung von X beschreibt. Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise P 3 X 6 und P X 4 P ( X = k ) 0,4 0,3 0,2 0,1 0 Abb k. 12. In einem Behälter befinden sich 7 Kugeln mit den Nummern 1 bis 7. Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis eine ungerade Nummer gezogen wird. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird erst im dritten Zug eine ungerade Nummer gezogen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal zieht? 13. Bei einem Tennismatch werden so viele Sätze gespielt, bis einer der beiden Spieler insgesamt zwei Sätze gewonnen hat. Ein Match besteht daher aus mindestens zwei und höchstens drei Sätzen. Eva und Bettina spielen ein Match gegeneinander. Eva gewinnt Sätze jeweils mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,7. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit gewinnt Eva das Match? Die Zufallsvariable X beschreibt die Anzahl der Sätze, die Eva in einem Match gegen Bettina gewinnt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung von X an

28 14. Petra will die Tür zum Klassenzimmer aufschließen. Dazu bekommt sie von ihrem Klassenlehrer einen Schlüsselbund mit fünf gleich aussehenden Schlüsseln. a) Sie merkt sich nach jedem vergeblichen Versuch den Schlüssel, der nicht passte. Damit hat sie spätestens beim fünften Versuch die Tür aufgeschlossen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit öffnet Petra die Tür im zweiten Versuch? X ist die Zufallsvariable, die die Anzahl der benötigten Versuche beschreibt. Geben Sie die Wahrscheinlichkeitsverteilung für X an. Angenommen, Petra verhält sich nicht so klug und merkt sich die bereits probierten Schlüssel nicht. Wie groß ist jetzt die Wahrscheinlichkeit, dass sich die Tür spätestens beim vierten Versuch öffnen lässt? 15. Ein Würfel wird so präpariert, dass die Augenzahl 1 mit der Wahrscheinlichkeit 0,3 und die Augenzahl 6 mit der Wahrscheinlichkeit 0,1 auftritt. Die Augenzahlen 2, 3, 4 und 5 treten jeweils mit der gleichen Wahrscheinlichkeit auf. a) Der Würfel wird einmal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, eine gerade Augenzahl zu erhalten? Nun wird der Würfel dreimal geworfen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass man genau eine Sechs erhält. 16. In einer Geldschachtel sind sechs 50-Cent-Münzen, drei l-euro-münzen und eine 2-Euro-Münze. a) Es wird blind eine Münze entnommen. Mit wie viel Geld kann man durchschnittlich rechnen? Es werden blind zwei Münzen entnommen. Wie viel Geld erhält man jetzt im Durchschnitt?

29 17. In einer Urne sind 3 rote und 3 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln gezogen. a) Prüfen Sie, ob die Wahrscheinlichkeit, dass zwei verschiedenfarbige Kugeln gezogen werden, beim Ziehen mit oder ohne Zurücklegen größer als 50% ist. Wie viele rote Kugeln müsste man in die Urne dazulegen, damit die Wahrscheinlichkeit, dass beim zweimaligen Ziehen ohne Zurücklegen die Wahrscheinlichkeit für zwei verschiedenfarbige Kugeln 50% beträgt? 18. Die Zufallsvariable X ist binomialverteilt mit n = l0 und hat folgende Verteilung: P ( X = k ) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0, k a) Bestimmen Sie die Trefferwahrscheinlichkeit p. Bestimmen Sie mit Hilfe der Abbildung näherungsweise P X und P X

30 LÖSUNGEN 1. URNE a) Pgenau eine rote Kugel Pr / s Ps / r Pletzte Kugel ist rot Pr / r Ps / r 2. HISTOGRAMM a) PX ,6 0, 4 4,8 0, 4 0,0078 P X und P X 4 0,23 5 0,28 P 4 X 6 P X 4 P X 5 0,230,28 0,51 PX P X ,28 0,72 3. GLÜCKSSPIEL a) Zum abgebildeten Baumdiagramm gehört ein Glücksrad mit den drei Sektoren rot, schwarz und blau. Aufgrund der gegebenen Wahrscheinlichkeiten kann das Glücksrad nebenstehendes Aussehen haben: Ereignisse rot / rot schw / schw blau / blau Auszahlungen PX k EX , E Gewinn E( Auszahlung) Einsatz 0,50 1,25 Einsatz Einsatz 0,75 4. URNE a) Pmindestens eine gelbe Kugel Pr r /

31 1 P r / r P mindestens eine gelbe Kugel 7 7 0,51 1 n7 n7 49 0, 49 2 n n n 7 10 n 3 und n 17 ( entfällt) 5. GLÜCKSRAD a) Aufgrund der gegebenen Rechnung hat das Glücksrad 4 Sektoren mit den Wahrscheinlichkeiten , 4, 8und 8. Diese entsprechen den Mittelpunktswinkeln 180, 90, 45 und EX , E Gewinn E( Auszahlung) Einsatz 0,75 2,25 Einsatz Einsatz 1,50 6. URNE a) Zum angegebenen Baumdiagramm passt folgende Situation: In einer Urne befinden sich l2 Kugeln, davon 6 rote, 4 schwarze und 2 blaue Kugeln. Es werden zwei Kugeln ohne Zurücklegen gezogen, da die Wahrscheinlichkeiten beim 2.Zug anders sind als beim l. Zug. / / / P beide Kugeln gleichfarbig P r r P s s P b b MULTIPLE-CHOICE P richtig richtig a) / PA PX Ereignis A: genau 4 Antworten sind richtig PX 0 P B Ereignis B: Keine Antwort ist richtig

32 8. URNE a) Pmindestens eine grüne Kugel P keine grüne Kugel / / / P beide Kugeln gleichfarbig P r r P b b P g g ÜBERRASCHUNGSEIER a) 1 X ist binomialverteilt mit n 20 und p PX 2 0, % Die Rechnung besagt, dass mit 14%-iger Wahrscheinlichkeit bei 20 Eiern genau 2 Eier eine Figur enthalten. Pkeine Figur PX ,15% GLÜCKSRAD a) Vorbetrachtungen P 1, P2, P3, P P gerade P 2P P ungerade P 1P Pgerade / gerade / gerade P keine ungerade Vorbetrachtungen P1/1 P2/2 P3/3 P4/ Ereignisse Auszahlungen P X k 4/4 3/3 2/2 1/

33 EX , E( Gewinn) E( Auszahlung) Einsatz 1,25 1 0,25 ERGEBNIS Das Spiel ist nicht fair. 11. HISTOGRAMME a) E X n p 80,5 4 Abbildung 2 Da der Erwartungswert 4 ist, muss im Histogramm P(X = 4) maximal sein. Näherungswerte P X 3 0,22 P X 4 0,27 P X 5 0,22 41PX 410, 27 0, 73 P 3 X 6 P X 3 P X 4 P X 5 0,71 P X 12. URNE a) P erst im dritten Zug eine ungerade Zahl Pg / g / u P höchstens dreimal ziehen Pu Pg / u Pg / g / u 13. TENNISMATCH / / / / / P Eva gewinnt das Match P E E P E B E P B E E a) 0,7 0,7 0,7 0,30,7 0,30,7 0,7 0, 49 0,147 0,147 0, , 4% ERGEBNIS Eva gewinnt das Match mit einer Wahrscheinlichkeit von 78,4%. Zufallsvariable X Anzahl der Sätze, die Eva gewinnt 0 PB/ B0,30,30,09 20,784 ( sieheteil a) P X P X 1 P E/ B/ B P B/ E/ B 0,7 0,30,3 0,30,7 0,3 0,126 P X Wahrscheinlichkeitsverteilung Anzahl der Sätze P X k 0,09 0,126 0,

34 14. SCHLÜSSELBUND a) 1 Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schlüssel im 1. Versuch passt, beträgt : p 5 1 Ppasst 5 1 Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schlüssel im 2. Versuch passt, beträgt : p Ppasst nicht / passt Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schlüssel im 3. Versuch passt, beträgt : p P passt nicht / passt nicht / passt Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schlüssel im 4. Versuch passt, beträgt : p Ppasst nicht / passt nicht / passt nicht / passt Die Wahrscheinlichkeit, dass der Schlüssel im 5. Versuch passt, beträgt : p P passt nicht / passt nicht / passt nicht / passt nicht / passt Wahrscheinlichkeitsverteilung Anzahl der Versuche PX k WICHTIG : Die Wahrscheinlichkeit ändert sich von Versuch zu Versuch nicht : p 5 P passt spätestens beim P passt P nicht passt P nicht nicht passt P nicht nicht nicht passt 4. Versuch / / / / / /

35 15. WÜRFEL a) ,6 : ,15 P 1 0,3 und P 6 0,1 10,30,10,6 P P P P P P P P P gerade Augenzahl P 2 P 4 P 6 0,4 Bernoullikette mit n 3 und p 0, ,1 0,9 0, P X P genau eine Sechs 16. GELDSCHACHTEL a) Ereignisse 50 Cent Münze 1Euro Münze 2 Euro Münze Auszahlungen 0, PX k EX0, , ERGEBNIS Man kann durchschnittlich 80 Cent erwarten. Werden zwei Münzen gezogen, so handelt es sich um Ziehen ohne Zurücklegen. Es ergibt sich folgendes Baumdiagramm: Ereignisse Auszahlungen P X k 0,5/0,5 0,5/1 1/0,5 1/1 0,5/2 2/0,5 1/2 2/1 1 1,5 1,5 2 2,5 2, EX1 1,5 2 2,5 3 1, ERGEBNIS Man kann durchschnittlich 1,60 Euro erwarten

36 17. URNE a) Ziehen mit Zurücklegen PKugeln verschiedenfarbig Pr / b Pb / r 50% Ziehen ohne Zurücklegen PKugeln verschiedenfarbig Pr / bpb / r 60% 50% ERGEBNIS Beim Ziehen ohne Zurücklegen ist die Wahrscheinlichkeit größer als 50%. Ziehen ohne Zurücklegen 3 blaue Kugeln, n 3 rote Kugeln, insgesamt n 6 Kugeln n3 3 3 n3 P Kugeln verschiedenfarbig P r / bp b / r 0,5 n6 n5 n6 n5 Rechnung n3 3 3 n3 0,5 5 6 n6 n5 n6 n5 n333n30,5n5n6 n n n 12 n36 n5n , n n n n n 2 n n n1 und n2 entfällt ERGEBNIS Man müsste noch 3 rote Kugeln dazu legen, um p = 50% zu erhalten. 18. HISTOGRAMM a) Der Erwartungswert hat laut Histogramm den Wert 6. Da n = 10 bekannt ist, kann p berechnet werden: 6 E X np p 0,6 10 P X 6 0,25 P X 7 0,22 P X 8 0,12 P X 9 0,04 P X 10 0,01 Damit ergibt sich : 61PX 60,75 P X 7 P X 8 P X 9 P X 10 0,17 P X