Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung Mathematik. (Schwerpunktfächer: F/ G / I / L / M / S / W / Z )

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1 Gymnasium Muttenz Maturitätsprüfung 2006 Mathematik (Schwerpunktfächer: F/ G / I / L / M / S / W / Z ) Kandidatin / Kandidat Name Vorname:... Klasse:... Hinweise - Die Prüfung dauert 4 Stunden. - Jede Aufgabe ergibt maximal 10 Punkte. - Es werden die vier bestgelösten Aufgaben bewertet. - Erlaubte Hilfsmittel: Taschenrechner (nicht programmierbar) Formelsammlung der Kantonsschule Zelgli (Aarau) Klassen / Examinatoren / Experten Klasse Examinator Experte/Expertin 4FIW 4LZ 4MR 4S 4Wa 4Wb Bewertung (Details siehe Lösungen) Aufgabe Punkte (möglich) Punktsumme der vier bewerteten Aufgaben Punkte (erreicht) NICHT bewertet wird die folgende Aufgabe Benotung Note = Punktsumme , gerundet auf halbe Noten

2 Aufgabe 1 Gegeben ist die Funktion f : x a y = 5x2 3 x Zeigen Sie, dass der Graph von f punktsymmetrisch bezüglich des Ursprungs ist. (1 P) 1.2. Diskutieren Sie die Funktion f (Definitionsbereich, Polstellen, Nullstellen, Hoch-, Tief- und Wendepunkte, Verhalten für x ± ) und skizzieren Sie den Graphen im kartesischen Koordinatensystem (Einheit 2 Häuschen). (6 P) 1.3. Bestimmen Sie eine Zahl c > 1 so, dass der Flächeninhalt zwischen dem Graphen von f und der x-achse im Intervall [1;c] den Wert 1 annimmt. (3 P)

3 Aufgabe 2 Gegeben sind die Punkte A(-2 6 1), B(1 6 4), C(1 9 1) und D(-4 5 3). Wir betrachten ein dreiseitiges, schiefes Prisma mit den Ecken ABCDEF, mit der Grundfläche ABC, der Deckfläche DEF und den Seitenkanten AD, BE und CF Erstellen Sie ein Schrägbild eines solchen schiefen Prismas und beschriften Sie dieses. (0.5P) 2.2. Weisen Sie rechnerisch nach, dass es sich beim Dreieck ABC um ein gleichseitiges Dreieck handelt Berechnen Sie die Koordinaten der Ecken E und F der Deckfläche Berechnen Sie die Koordinatengleichung der Grundfläche ABC. (1.5P) 2.5. Berechnen Sie den Neigungswinkel einer Seitenkante gegenüber der Grundebene des Prismas Berechnen Sie die Länge der Höhe und den Inhalt der Grundfläche des Prismas. (3P)

4 Aufgabe 3 Bei einem kantonalen Eignungstest muss ein Kandidat A einen Fragebogen mit 10 Fragen beantworten, wobei zu jeder Frage 4 Antworten (1 richtige und 3 falsche) angegeben sind. Der Kandidat A antwortet rein zufällig. Im Test müssen alle Fragen beantwortet werden. Der Test gilt als bestanden, wenn beim Kandidaten mehr richtige als falsche Antworten vorliegen Wie viele verschiedene Möglichkeiten gibt es, die 10 Fragen zu beantworten? (0.5P) 3.2. Mit welcher Wahrscheinlichkeit werden vom Kandidaten A genau 6 Fragen richtig beantwortet? 3.3. Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass Kandidat A mindestens eine Frage richtig beantwortet? 3.4. Mit welcher Wahrscheinlichkeit besteht Kandidat A die Prüfung? (2.5P) 3.5. Wie viele Tests muss Kandidat A mindestens absolvieren, damit er mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 95% mindestens einmal besteht? (2.5P) Ein Kandidat B kennt einen von drei möglichen Fragebogen und kann jede Frage dieses Bogens mit einer Wahrscheinlichkeit von 90% richtig beantworten. Bei den anderen beiden Fragebogen beträgt, dank guter Vorbereitung, die Wahrscheinlichkeit, dass er die einzelnen Fragen richtig beantwortet 60%. Bei Prüfungsbeginn muss er zufällig einen dieser drei Fragebogen ziehen Wie gross ist die Wahrscheinlichkeit, dass er dann alle 10 Fragen richtig beantwortet? (2.5P)

5 Aufgabe 4 In der untenstehenden Abbildung sehen Sie einen Teil der Parabel P : y = 2x 2 + 8x 4.1. Berechnen Sie die Koordinaten des Scheitelpunktes S und die Nullstellen Berechnen Sie den Inhalt der schraffierten Fläche, falls x den Wert 1 besitzt Drücken Sie den Inhalt F der schraffierten Fläche durch x aus Für welches x nimmt F minimalen Wert an? (Mit Nachweis) (3P) 4.5. Für welches x nimmt F maximalen Wert an? Ihre Antwort ist zu begründen! y S x x

6 Aufgabe Kurzaufgabe Dem Rechteck ABCD wird ein Halbkreis einbeschrieben (Mittelpunkt M, Radius MA ), dessen Radius 4 cm beträgt. Die Diagonale AC schneidet den Halbkreis in S. Berechnen Sie die Seitenlängen und die Winkel des Dreiecks ASD. Beschriften Sie in der Skizze deutlich alle verwendeten Punkte und Hilfslinien zum Erhalten Ihrer Lösung. (4P) D C S A M B 5.2. Kurzaufgabe Zeigen Sie, dass die Gerade g : y = 2x + 7, Tangente an den Grafen der Funktion f ist. f : x a y = 1 (x 1) (3P) 5.3. Kurzaufgabe Gegeben ist die rekursive Darstellung einer Zahlenfolge: a 1 = 1, a n+1 = a n + 4n +1, n N Berechnen Sie die Folgeglieder a 1, a 2, a 3, a Finden Sie das Bildungsgesetz für das Glied a n der Zahlenfolge in Abhängigkeit von n.