Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar 2008"

Transkript

1 GYMNSIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRSSE PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FX 09241/2564 Grundwissen Stochastik Grundkurs 23. Januar Erklären Sie die stochastischen Begriffe (a) Ergebnis, (b) Ergebnisraum sowie (c) Mächtigkeit des Ergebnisraumes und geben Sie ein Zufallsexperiment, an dem Sie die Begriffe verdeutlichen können. (a) Ein Ergebnis ist der mögliche usgang eines stochastischen Experimentes. (b) lle möglichen Ergebnisse werden zu einer Menge (genannt Ergebnisraum) zusammengefasst. (c) Die nzahl der Elemente heißt Mächtigkeit des Ergebnisraumes. Beispiel: Einfacher Würfelwurf Beobachtungsgegenstand: Oberseite des Würfels = {1; 2; 3;4; 5; 6} = 6 2. Erkläre an einem Beispiel die Begriffe (a) Ereignisraum (b) Elementarereignisse (c) sicheres Ereignis (d) unmögliches Ereignis (e) Gegenereignis = {1, 2, 3} (a) Ereignisraum: {, {1}, {2}, {3}, {1, 2}, {1, 3}, {2, 3}, {1, 2,3} } }{{} (b) Elementarereignisse: ω 1 = {1}, ω 2 = {2}, ω 3 = {3} (c) sicheres Ereignisse: (d) unmögliches Ereignisse: (e) Gegenereignis E zu einem Ereignis E: E = {3} E := \ E = {1, 2} 3. Erkläre an einem Beispiel mit zwei Ereignissen und B die mengenalgebraischen Begriffe = {1, 2, 3,4}, = {2, 3}, B = {2, 4}. (a) oder B. (b) Mindestens eines der Ereignisse oder B. (a) B = {2, 3,4} (c) Weder noch B. (d) Entweder oder B. (b) B = {2, 3,4} (c) B = B = {1} (d) ( B) ( B) = {3, 4}

2 4.(a) Was versteht man unter der relativen Häufigkeit eines Ereignisses? (b) Welche Eigenschaften besitzt die relative Häufigkeit (wenn man sie als Funktion betrachtet)? Beispiele! (c) Welche Eigenschaften besitzt das Wahrscheinlichkeitsmaß P über einem Ergebnisraum? Beispiele! (a) Tritt ein Ereignis bei n Versuchen genau k-mal ein, so heißt h n() := k die relative Häufigkeit von in n dieser Versuchsfolge. (b) 0 h n() 1, h n( ) = 0 und h n() = 1. Die relative Häufigkeit h n() eines möglichen Ereignisses ist gleich der Summe der rel. Häufigkeiten der zugehörigen Elementarereignisse ω. h n( B) = h n() + h n(b) h n( B) Für disjunkte Ereignisse und B gilt h n( B) = h n() + h n(b) h n() = 1 h n() (c) Die gleichen wie die relative Häufigkeit. Ersetze also in der Lösung von Teilaufgabe (b) jedes h n durch P. 5. Welche Gesetzmäßigkeiten an Wahrscheinlichkeitsbäumen gibt es? Beispiele! Die Summe der Wahrscheinlichkeiten auf den Ästen, die von einem Verzweigungspunkt ausgehen, ist stets 1. Die Wahrscheinlichkeit eines Elementarereignisses ist gleich dem Produkt der Wahrscheinlichkeiten auf dem zugehörigen Pfad (1. Pfadregel). Die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses ist gleich der Summe der Wahrscheinlichkeiten der zugehörigen (vollständigen) Pfade (2. Pfadregel). 6.(a) Was ist eine Laplace sche Wahrscheinlichkeitsverteilung? (b) Welche Eigenschaft besitzt sie? (a) Eine Wahrscheinlichkeitsverteilung, bei der jedes Elementarereignis mit der gleichen Wahrscheinlichkeit vorkommt, heißt Laplace sche Wahrscheinlichkeitsverteilung. (b) Für jedes Elementarereignis ω gilt P(ω) = 1. Für jedes Ereignis gilt P() = nzahl der für günstigen Ereignisse =. nzahl der möglichen Ereignisse

3 7. Erkläre, was man unter dem Zählprinzip versteht. nwendungsbeipiele! Ist ein Zufallsexperiment z.b. in 5 Stufen zerlegbar und gibt es für die einzelnen Stufen 10, 8, 6,4 und 2 mögliche usgänge, dann gibt es für das gesamte Zufallsexperiment mögliche usgänge. Beim 4-fachen Würfelwurf gibt es z.b. 6 4 mögliche usgänge, 6 verschiedene Buchstaben kann man zu 6! verschiedenen Wörtern zusammenfügen. 8.(a) Wie lauten die Bezeichnungen der vier grundlegenden uswahlverfahren? (b) Wie können sie im Urnenmodell beschrieben werden? (c) Wie können sie im Verteilungsmodell beschrieben werden? (d) Wie lautet jeweils die Formel für die nzahl der uswahlmöglichkeiten? Bezeichnung Urnenmodell Verteilungsmodell mit Wied. mit Zurückl. M-fachbel. zul. ohne Wied. ohne Zurückl. M-fachbel. verb. Variationen m.b.d.r Kugeln n. id. Kombinationen o.b.d.r Kugeln id. ( n k n + k 1 ) k n! (n k)! ( n k) 9. Nenne für jede der vier grundlegenden uswahlverfahren stochastische Beispiele, die nicht direkt in das Urnen- oder das Verteilungsmodell übertragen werden können. m. Wied. o. Wied. Variationen nzahl der möglichen Tupel beim mehrfachen Würfelwurf nzahl der Belegungen der ersten drei Plätze beim 100-m- Lauf; nzahl möglicher Tanzpaare bei n Männern und k Frauen Kombinationen nzahl der möglichen ungerechten Verteilungen von k id. Bonbons auf n Kinder nzahl der möglichen Blätter beim Schafkopf

4 10.(a) Wann heißen zwei Ereignisse und B stochastisch unabhängig? (b) Wie kann man die Unabhängigkeit am schnellsten Überprüfen? (c) Gib je ein Beispiele an, so dass die Ereignisse stochastisch abhängig bzw. unabhängig sind. (a) Zwei Ereignisse und B in heißen (stochastisch) unabhängig, wenn P() P(B) = P( B). (b) Die Vierfelder-Tafel muss eine Multiplikationstafel sein. (c) Doppelter Würfelwurf i : 6 bei Wurf Nummer i, B : ugensumme 12 unabhängig: 1 und 2 abhängig: 1 und B 11.(a) Was ist ein Bernoulli-Experiment? (b) Was ist eine Bernoulli-Kette? (c) Gib ein Bespiel für eine Bernoulli-Kette und benenne die auftretenden mathematischen Größen. (a) Ein Bernoulli-Experiment ist ein Zufallsexperiment, das genau zwei verschiedene usgänge besitzt (z.b. T- N, 1-0, z-w). Die Wahrscheinlichkeit für T sei p. (b) Eine Bernoulli-Kette der Länge n ist das n-malige usführen eines bestimmten Bernoulli-Experiments. (c) 7-maliges Werfen eines Laplace-Würfels. BG: Folge der Ereignisse 6 6; Treffer: 6 n = 7 p = (a) Wie berechnet man die Wahrscheinlichkeit für das uftreten von k Treffern in einer Bernoulli- Kette? (b) Wie kann man das kurz ausdrücken? (c) Wie findet man häufig auftretende Werte für B-verteilte Zufallsgrößen? (a) P(X = k) = ( n k) p k q n k, q = 1 p. (b) Man sagt, die Wahrscheinlichkeit einer Bernoulli-Kette ist binomial verteilt und schreibt P(X = k) = B(n; p; k). (c) im Tafelwerk

5 13. Erkläre an einem Beispiel die Begriffe lternativ-test, Entscheidungsregel, Fehlerwahrscheinlichkeit. Gegeben sind zwei Güteklassen für Glühbirnen. lternativen: : p=0,90; B: p=0,70. Eine Stichprobe der Länge 20 soll ufschluss geben, um welche Güteklasse es sich bei einer Lieferung handelt. Festlegeung der Entschei- { } { } X 17: für dungsregel: Falls Entscheidung. X 16: für B Zufallsbedingt könnte die Stichprobe aber nicht repräsentativ für eine der lternativen ausfallen. So erhält man die Fehlerwahrscheinlichkeiten P(F ) und P(F B ) dafür, dass man fälschlicherweise aufgrund der Stichprobe an die falsche lternative glaubt. : p = 0, 9 B : p = 0, 7 X 17 F B X 16 F P(F ) = P 0,9 (X 16) = {wenn B-Exp.,TW} = 13, 4% P(F B ) = P 0,7 (X 17) = {wenn B-Exp.,TW} = 10, 7% 14. Erkläre an einem Beispiel, wie man bei einem zweiseitigen Hypothesentest eine Entscheidungsregel zu einem vorgegebenen Signifikanzniveau bestimmt. Eine Firma behauptet, dass mehr als 90% der produzierten Bauteile funktionieren. Es soll eine Entscheidungsregel gefunden werden, die die Nullhypothese H 0 : p. 90% auf einem Signifikanzniveau von 5% bei einem Stichprobenumfang von 200 Teilen testet. X {0,1,... k} H 0 : p 0, 9 H 0 : p > 0,9 F II X {k + 1,..., n} F I P(F I ) = 1 P(X k) = 1 P 0,9 (X k) 0, 05. }{{} α us dem Tafelwerk erhält man k=187. lso = {0,1,..., 187}; = {188, 189,...,200};

Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008

Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008 GYMNSIUM MIT SCHÜLERHEIM PEGNITZ math.-technolog. u. sprachl. Gymnasium WILHELM-VON-HUMBOLDT-STRSSE 7 91257 PEGNITZ FERNRUF 09241/48333 FX 09241/2564 Grundwissen Stochastik Leistungskurs 10. Februar 2008

Mehr

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen

Zusammenfassung Mathe II. Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zusammenfassung Mathe II Themenschwerpunkt 2: Stochastik (ean) 1. Ein- und mehrstufige Zufallsexperimente; Ergebnismengen Zufallsexperiment: Ein Vorgang, bei dem mindestens zwei Ereignisse möglich sind

Mehr

Zusammenfassung Stochastik

Zusammenfassung Stochastik Zusammenfassung Stochastik Die relative Häufigkeit Ein Experiment, dessen Ausgang nicht vorhersagbar ist, heißt Zufallsexperiment (ZE). Ein Würfel wird 40-mal geworfen, mit folgendem Ergebnis Augenzahl

Mehr

Grundlagen der Stochastik

Grundlagen der Stochastik Grundlagen der Stochastik Johannes Recker / Sep. 2015, überarbeitet Nov. 2015 Fehlermeldungen oder Kommentare an recker@sbshh.de Inhalt 1. Grundlegende Begriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung... 2 1.1.

Mehr

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments,

Ist P(T) = p die Trefferwahrscheinlichkeit eines Bernoulli-Experiments, . Binomialverteilung ==================================================================.1 Bernoulli-Experimente und Bernoullikette -----------------------------------------------------------------------------------------------------------------

Mehr

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen

Kapitel ML:IV. IV. Statistische Lernverfahren. Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen Kapitel ML:IV IV. Statistische Lernverfahren Wahrscheinlichkeitsrechnung Bayes-Klassifikation Maximum-a-Posteriori-Hypothesen ML:IV-1 Statistical Learning c STEIN 2005-2011 Definition 1 (Zufallsexperiment,

Mehr

Wichtiges zur Stochastik

Wichtiges zur Stochastik Wichtiges zur Stochastik Grundbegriffe und ezeichnungen: Ergebnisse werden mit ω (kleines omega, nicht w!) bezeichnet; wenn man mehrere angibt, so wird einfach durchnummeriert: ω 1, ω 2,... Der Ergebnisraum

Mehr

Grundwissen zur Stochastik

Grundwissen zur Stochastik Grundwissen zur Stochastik Inhalt: ABHÄNGIGE EREIGNISSE...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON ERGEBNISSEN...2 ABHÄNGIGKEIT UND UNABHÄNGIGKEIT VON MERKMALEN IN VIERFELDERTAFELN...2 ABSOLUTE HÄUFIGKEIT...2

Mehr

Lernkarten. Stochastik. 4 Seiten

Lernkarten. Stochastik. 4 Seiten Lernkarten Stochastik 4 Seiten Zum Ausdrucken muss man jeweils eine Vorderseite drucken, dann das Blatt wenden, nochmals einlegen und die Rückseite drucken. Am besten druckt man die Karten auf festem Papier

Mehr

Stochastik - Kapitel 2

Stochastik - Kapitel 2 " k " h(a) n = bezeichnet man als die relative Häufigkeit des Ereignisses A bei n Versuchen. n (Anmerkung: für das kleine h wird in der Literatur häufig auch ein r verwendet) k nennt man die absolute Häufigkeit

Mehr

Fit for Abi & Study Stochastik

Fit for Abi & Study Stochastik Fit for Abi & Study Stochastik Prof. Dr. Tilla Schade Hochschule Harz 15. und 16. April 2014 No. 1 Stochastik besteht aus: Wahrscheinlichkeitsrechnung Statistik No. 2 Gliederung Grundlagen Zufallsgrößen

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 12.02.2010 Fakultät für Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Marco Cattaneo Institut für Statistik Ludwig-Maximilians-Universität München Sommersemester 2011 1. Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Diskrete Zufallsvariable 3. Stetige Zufallsvariable 4. Grenzwertsätze

Mehr

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt?

Wie hoch ist das Risiko, dass ein System, das aus mehreren Komponenten besteht, ausfällt? In diesem Kapitel werden wir den egriff Wahrscheinlichkeit und die Grundlagen der Wahrscheinlichkeitsrechnung kennenlernen, um z.. folgende Fragestellungen zu beantworten. Wie hoch ist das Risiko, dass

Mehr

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis

Ergebnis Ergebnisraum Ω. Ereignis. Elementarereignis Stochastik Die Stochastik besteht aus zwei Teilgebieten, der Statistik und der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Die Statistik beschreibt die Vergangenheit und verwendet Informationen, die (in realen Versuchen)

Mehr

Wichtige Definitionen und Aussagen

Wichtige Definitionen und Aussagen Wichtige Definitionen und Aussagen Zufallsexperiment, Ergebnis, Ereignis: Unter einem Zufallsexperiment verstehen wir einen Vorgang, dessen Ausgänge sich nicht vorhersagen lassen Die möglichen Ausgänge

Mehr

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente

Kapitel 6. Kapitel 6 Mehrstufige Zufallsexperimente Mehrstufige Zufallsexperimente Inhalt 6.1 6.1 Mehrstufige Experimente 6.2 6.2 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Seite 2 6.1 Mehrstufige Experimente Grundvorstellung: Viele Viele Experimente werden der der

Mehr

Abiturvorbereitung Mathematik Stochastik. Copyright 2013 Ralph Werner

Abiturvorbereitung Mathematik Stochastik. Copyright 2013 Ralph Werner biturvorbereitung Mathematik Stochastik Copyright 2013 Ralph Werner Zufallsexperiment in Zufallsexperiment ist ein Vorgang, dessen usgang ungewiss ist das beliebig oft wiederholt werden kann dessen Wiederholungen

Mehr

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007

Lehrstuhl für Empirische Wirtschaftsforschung und Ökonometrie Dr. Roland Füss Statistik II: Schließende Statistik SS 2007 . Grundlagen der Wahrscheinlichkeitstheorie. Zufallsereignisse, Ereignisraum und Ereignismenge Zufallsexperiment: nach einer bestimmten Vorschrift ausgeführter, unter gleichen edingungen beliebig oft wiederholbarer

Mehr

Basiswissen Daten und Zufall Seite 1 von 8 1 Zufallsexperiment Ein Zufallsexperiment ist ein Versuchsaufbau mit zufälligem Ausgang, d. h. das Ergebnis kann nicht vorhergesagt werden. 2 Ergebnis (auch Ausgang)

Mehr

Formelsammlung Stochastik

Formelsammlung Stochastik Formelsammlung Stochastik http://www.fersch.de Klemens Fersch 14. Mai 201 Inhaltsverzeichnis 5 Stochastik 3 5.1 Statistik....................................................... 3 5.1.1 Mittelwert - Median

Mehr

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit

Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Kapitel 5 Stochastische Unabhängigkeit Vorlesung Wahrscheinlichkeitsrechnung I vom SoSe 2009 Lehrstuhl für Angewandte Mathematik 1 FAU 5.1 Das Konzept der stochastischen Unabhängigkeit. 1 Herleitung anhand

Mehr

= 7! = 6! = 0, 00612,

= 7! = 6! = 0, 00612, Die Wahrscheinlichkeit, dass Prof. L. die Wette verliert, lässt sich wie folgt berechnen: Ω = {(i 1,..., i 7 ) : i j {1... 7}, j = 1... 7}, wobei i, j für den Wochentag steht, an dem die Person j geboren

Mehr

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

Stochastik. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard GRUNDWISSEN MATHEMATIK Stochastik Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E

Mehr

Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist.

Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. .3. Stochastik Grundlagen Die ABSOLUTE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an, wie oft diese in der Erhebung eingetreten ist. Die RELATIVE HÄUFIGKEIT einer Merkmalsausprägung gibt an mit welchem Anteil

Mehr

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende

Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Universität Duisburg-Essen Essen, den 15.0.009 Fachbereich Mathematik Prof. Dr. M. Winkler C. Stinner Klausur zur Wahrscheinlichkeitstheorie für Lehramtsstudierende Lösung Die Klausur gilt als bestanden,

Mehr

Bedingte Wahrscheinlichkeiten

Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bedingte Wahrscheinlichkeiten Bei der Betrachtung der Ereignisse A und B eines Zufallsexperiments muss man die beiden im folgendem beschrieben zwei Situationen unterscheiden. 1. Das Ereignis A und B tritt

Mehr

4. Die Laplacesche Gleichverteilung

4. Die Laplacesche Gleichverteilung Universität Basel Wirtschaftswissenschaftliches Zentrum Grundlagen der Stochastik Dr. Thomas Zehrt Inhalt: 1. Die Ereignismenge 2. Die Wahrscheinlichkeitsverteilung 3. Eigenschaften einer Wahrscheinlichkeitsverteilung

Mehr

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung

2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung 2.2 Binomialverteilung, Hypergeometrische Verteilung, Poissonverteilung Die einfachste Verteilung ist die Gleichverteilung, bei der P(X = x i ) = 1/N gilt, wenn N die Anzahl möglicher Realisierungen von

Mehr

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments.

1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente. 2) Es gibt mindestens zwei mögliche Ausgänge des Experiments. Übungsmaterial 1 1 Zufallsexperimente 1.1 Ergebnisräume einfacher Zufallsexperimente Damit ein Experiment ein Zufallsexperiment ist, müssen folgende Eigenschaften erfüllt sein: 1) Das Experiment lässt

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Wahrscheinlichkeit Dozentin: Wiebke Petersen 8. Foliensatz Wiebke Petersen math. Grundlagen 1 Motivation Bsp.: In vielen Bereichen der CL kommt Wahrscheinlichkeitstheorie

Mehr

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus,

Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein Element aus, V. Stochastik ================================================================== 5.1 Zählprinzip Wählt man aus n Mengen mit z 1 bzw. z 2,..., bzw. z n Elementen nacheinander aus jeder Menge jeweils ein

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung

Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Einführung in die Wahrscheinlichkeitsrechnung Sven Garbade Fakultät für Angewandte Psychologie SRH Hochschule Heidelberg sven.garbade@hochschule-heidelberg.de Statistik 1 S. Garbade (SRH Heidelberg) Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME

Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Kapitel 9 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Fassung vom 12. Januar 2001 121 WAHRSCHEINLICHKEITS-RÄUME Stichproben-Raum. 9.1 9.1 Stichproben-Raum. Die bisher behandelten Beispiele von Naturvorgängen oder Experimenten

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun http://blog.ruediger-braun.net Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 17. Dezember 2014 Klausurhilfsmittel Vier beidseitig von Hand beschriebene A4-Blätter

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung (SS 2014) Folie 129 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse

Mehr

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse

Teil II. Wahrscheinlichkeitsrechnung. Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Zufallsexperimente (Zufallsvorgänge) Ergebnisse 5 Zufallsexperimente Inhaltsverzeichnis (Ausschnitt) Teil II Wahrscheinlichkeitsrechnung 5 Zufallsexperimente Ergebnisse Ereignisse Wahrscheinlichkeiten Deskriptive Statistik und Wahrscheinlichkeitsrechnung

Mehr

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,...

P (X = 2) = 1/36, P (X = 3) = 2/36,... 2.3 Zufallsvariablen 2.3 Zufallsvariablen Meist sind die Ereignisse eines Zufallseperiments bereits reelle Zahlen. Ist dies nicht der Fall, kann man Ereignissen eine reelle Zahl zuordnen. Zum Beispiel

Mehr

Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Interaktives Skriptum: Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 1. Grundbegriffe Würfeln, Werfen einer Münze, Messen der Lebensdauer einer Glühbirne Ausfall/Ausgang: Würfeln: Augenzahlen 1, 2, 3, 4, 5, 6

Mehr

Modelle diskreter Zufallsvariablen

Modelle diskreter Zufallsvariablen Statistik 2 für SoziologInnen Modelle diskreter Zufallsvariablen Univ.Prof. Dr. Marcus Hudec Zufallsvariable Eine Variable (Merkmal) X, deren numerische Werte als Ergebnisse eines Zufallsvorgangs aufgefasst

Mehr

Wie hoch ist der zu erwartende Gewinnausschüttung des Anbieters des Glücksspiels pro Spiel? (Erwartungswert)

Wie hoch ist der zu erwartende Gewinnausschüttung des Anbieters des Glücksspiels pro Spiel? (Erwartungswert) 1. Einheit: Erwartungswert Beispiel 1: Bei einem einfachen Glücksspiel möchte der Anbieter eines Glücksspiels (Zufallsexperiment) wissen, wie groß die Summe ist, die er pro Spiel an den Spieler auszahlen

Mehr

Wahrscheinlichkeit und Zufall

Wahrscheinlichkeit und Zufall Wahrscheinlichkeit und Zufall Rechnen mit Wahrscheinlichkeiten 16. Juni 2009 Dr. Katja Krüger Universität Paderborn 1 Inhalt Ereignisse i und deren Wahrscheinlichkeit h hk i Laplace-Regel Baumdiagramm

Mehr

Stochastik Q11 und Q12

Stochastik Q11 und Q12 Skripten für die Oberstufe Stochastik Q11 und Q12 P(X = 2) = B(20; 0,4; 2) 0,3 0,25 0,2 0,15 0,1 0,05 11. 0 0 1 2 3 4 5 6 7 8 9 10 H. Drothler 2012 www.drothler.net Stochastik Oberstufe Seite 1 Inhalt

Mehr

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG

WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG Mathematischer Teil In der Wahrscheinlichkeitsrechnung haben wir es mit Zufallsexperimenten zu tun, d.h. Ausgang nicht vorhersagbar. Grundbegriffe Zufallsexperiment und Ergebnisse

Mehr

Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt.

Bei 10 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine 1 gewürfelt. Bei 25 dieser Würfe wurde gleichzeitig eine Augenzahl größer als 2 gewürfelt. 3 Wahrscheinlichkeiten 1 Kapitel 3: Wahrscheinlichkeiten A: Beispiele Beispiel 1: Ein Experiment besteht aus dem gleichzeitigen Werfen einer Münze und eines Würfels. Nach 100 Wiederholungen dieses Experiments

Mehr

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen

Rumpfskript. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung. Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Rumpfskript Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Prof. Dr. Ralf Runde Statistik und Ökonometrie, Universität Siegen Vorbemerkung Vorbemerkung Das vorliegende Skript heißt nicht nur Rumpf skript, sondern

Mehr

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6}

Ereignis E: ist ein oder sind mehrere Ergebnisse zusammen genommen. Bsp. E = {2; 4; 6} Laplace-Experimente Begriffsklärung am Beispiel eines Laplace-Würfel mit Augenzahlen (AZ) 1-6: Ergebnis: ist jeder Ausgang eines Zufallsexperimentes heißt ein Ergebnis ω dieses Zufallsexperimentes. Die

Mehr

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc.

Abiturvorbereitung Stochastik. neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB Holger Wuschke B.Sc. Abiturvorbereitung Stochastik neue friedländer gesamtschule Klasse 12 GB 21.02.2014 Holger Wuschke B.Sc. Glücksspiel auf der Buchmesse Leipzig, 2013 Organisatorisches 1. Begriffe in der Stochastik (1)

Mehr

1.3 Stochastische Unabhängigkeit und bedingte

1.3 Stochastische Unabhängigkeit und bedingte 1.3 Stochastische Unabhängigkeit und bedingte Wahrscheinlichkeiten Ziel: komplexere Modelle aus Verkettung ( Koppelung ) von Zufallsexperimenten bauen, insbesondere Ziehung von n-personen aus n-maliger

Mehr

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy.

Es werden 120 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 120 Schülern besitzen 99 ein Handy. R. Brinkmann http://brinkmann-du.de Seite 08..2009 Von der relativen Häufigkeit zur Wahrscheinlichkeit Es werden 20 Schüler befragt, ob sie ein Handy besitzen. Das Ergebnis der Umfrage lautet: Von 20 Schülern

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Begriffe Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Wirtschaftsstatistik I [E1]

Wirtschaftsstatistik I [E1] 040571-1 WMS: Wirtschaftsstatistik 1 :: WiSe07/08 Wirtschaftsstatistik I [E1] Schwab, Harald 1 harald.schwab@univie.ac.at http://homepage.univie.ac.at/harald.schwab October 7, 2007 1 Sprechstunde: MO 17-18h

Mehr

Fachoberschule Ausbildungsrichtung Nichttechnik

Fachoberschule Ausbildungsrichtung Nichttechnik Fachoberschule AR Nichttechnik MATHEMATIK Jahrgangsstufe 12 Lerngebiete: Analysis 12.1 Differenzialrechnung 40 + 14 Std. 12.2 Integralrechnung 12 Std. Stochastik 12.3 Zufallsexperiment und Ereignis 15

Mehr

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte

Einführung. Wahrscheinlichkeit. 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation. 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Einführung 1 Wahrscheinlichkeit: Definition und Interpretation 2 Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung, bedingte Wahrscheinlichkeit Axiome nach Kolmogorov Gegeben sei ein Zufallsexperiment mit Ergebnisraum

Mehr

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück

STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT. Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück STOCHASTISCHE UNABHÄNGIGKEIT Annika Pohlmann Philipp Oel Wilhelm Dück 1 GLIEDERUNG 1) Bedingte Wahrscheinlichkeiten 2) Unabhängigkeit für mehr als zwei Ereignisse 3) Unabhängigkeit für Zufallsvariable

Mehr

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

Informatik II Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung lausthal Informatik II rundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung. Zachmann lausthal University, ermany zach@in.tu-clausthal.de Begriffe Definition: Unter einem Zufallsexperiment versteht man einen,

Mehr

Stochastik. Inhaltsverzeichnis

Stochastik. Inhaltsverzeichnis Stochastik Inhaltsverzeichnis 1. Allgemeine Definition... 2 2. Laplace-Wahrscheinlichkeit... 2 3. Gegenereignis (häufig bei mindestens -Aufgaben)... 3 4. Vereinigung von 2 Ereignissen ( oder -Formulierungen)...

Mehr

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung

Kapitel 2 Wahrscheinlichkeitsrechnung Motivation bisher: Beschreibung von Datensätzen = beobachteten Merkmalsausprägungen Frage: Sind Schlußfolgerungen aus diesen Beobachtungen möglich? Antwort: Ja, aber diese gelten nur mit einer bestimmten

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 10. November 2010 1 Bedingte Wahrscheinlichkeit Satz von der totalen Wahrscheinlichkeit Bayessche Formel 2 Grundprinzipien

Mehr

7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen

7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.7 Spezielle diskrete Wahrscheinlichkeitsverteilungen 7.7.1 Die Laplace-Verteilung Sei X eine gleich verteilte Zufallsvariable mit den Werten in der Menge Ω X = {x i R : i = 1,...,n}, d.h. f (x i = 1

Mehr

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit

2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit 2.2 Ereignisse und deren Wahrscheinlichkeit Literatur: [Papula Bd., Kap. II.2 und II.], [Benning, Kap. ], [Bronstein et al., Kap. 1.2.1] Def 1 [Benning] Ein Zufallsexperiment ist ein beliebig oft wiederholbarer,

Mehr

A Grundlegende Begriffe 6. 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10

A Grundlegende Begriffe 6. 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10 Inhalt A Grundlegende Begriffe 6 1 Zufallsexperimente und Ereignisse 6 Aufgaben 10 2 Relative Häufigkeit und abstrakter Wahrscheinlichkeitsbegriff 13 Aufgaben 16 3 Laplace scher Wahrscheinlichkeitsbegriff

Mehr

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem

Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Wahrscheinlichkeitsrechnung. Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Wahrscheinlichkeitsrechnung Theorie Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem, Monty-Hall-Problem, Drei-Türen-Problem Ziegenproblem,

Mehr

Mathematik 12. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben

Mathematik 12. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben Mathematik 2. Jahrgangsstufe - Hausaufgaben Inhaltsverzeichnis Wahrscheinlichkeitsrechnung 2. Wahrscheinlichkeitsrechnung.......................... 2.. Binomialkoeffizienten Berechnen....................

Mehr

Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff?

Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff? 2. Übung: Wahrscheinlichkeitsrechnung Aufgabe 1 Welche Axiome sind Grundlage der axiomatischen Wahrscheinlichkeitsdefinition von Kolmogoroff? a) P ist nichtnegativ. b) P ist additiv. c) P ist multiplikativ.

Mehr

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5

Inhaltsverzeichnis. Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite. 1.0 Erste Begriffsbildungen Merkmale und Skalen 5 Inhaltsverzeichnis Inhalt Teil I: Beschreibende (Deskriptive) Statistik Seite 1.0 Erste Begriffsbildungen 1 1.1 Merkmale und Skalen 5 1.2 Von der Urliste zu Häufigkeitsverteilungen 9 1.2.0 Erste Ordnung

Mehr

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz

Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe. Eigenschaften der Stichprobe. Klasseneinteilung, Histogramm. Arithmetisches Mittel, empirische Varianz - 1 - Grundgesamtheit, Merkmale, Stichprobe Dimension, Umfang Skalierung Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Eigenschaften der Stichprobe kennzeichnende Größen Punktediagramm, Regressionsgerade,

Mehr

Mathematik für Biologen

Mathematik für Biologen Mathematik für Biologen Prof. Dr. Rüdiger W. Braun Heinrich-Heine-Universität Düsseldorf 27. Oktober 2010 Teil III Wahrscheinlichkeitstheorie 1 Zufallsereignisse Vorüberlegungen Der Ereignisraum Konstruktionen

Mehr

Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli

Übungsaufgaben zum Kapitel Baumdiagramme - Bernoulli BOS 98 S I Im ahmen einer statistischen Erhebung wurden 5 repräsentative Haushalte ausgewählt und im Hinblick auf ihre Ausstattung mit Fernsehern, adiorecordern sowie Homecomputern untersucht. Dabei gaben

Mehr

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6

1 Vorbemerkungen 1. 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2. 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4. 4 Laplace-Experimente 6 Inhaltsverzeichnis 1 Vorbemerkungen 1 2 Zufallsexperimente - grundlegende Begriffe und Eigenschaften 2 3 Wahrscheinlichkeitsaxiome 4 4 Laplace-Experimente 6 5 Hilfsmittel aus der Kombinatorik 7 1 Vorbemerkungen

Mehr

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit

3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit 28 3.3 Bedingte Wahrscheinlichkeit Oft ist die Wahrscheinlichkeit eines Ereignisses B gesucht unter der Bedingung (bzw. dem Wissen), dass ein Ereignis A bereits eingetreten ist. Man bezeichnet diese Wahrscheinlichkeit

Mehr

Stochastik Klasse 10 Zufallszahlen

Stochastik Klasse 10 Zufallszahlen Thema Grit Moschkau Stochastik Klasse 10 Zufallszahlen Sek I Sek II ClassPad TI-Nspire CAS. Schlagworte: Urnenmodell, Histogramm, absolute und relative Häufigkeit, Zufallsexperiment, Wahrscheinlichkeit,

Mehr

a) (A B) tritt ein = A tritt ein oder B tritt ein. = Mindestens eines der Ereignisse A, B tritt ein.

a) (A B) tritt ein = A tritt ein oder B tritt ein. = Mindestens eines der Ereignisse A, B tritt ein. Lösungsvorschläge zu den Aufgaben von Blatt 6: 43) 7 Telefonzellen ( 7 Kugeln in der Urne); 3 davon sind von je einem Benutzer besetzt ( 3 Kugeln in die Stichprobe). Die Telefonzellen werden nicht mehrfach

Mehr

Stoffzusammenfassung: Statistik und Stochastik. Jan Krieger

Stoffzusammenfassung: Statistik und Stochastik. Jan Krieger Stoffzusammenfassung: Statistik und Stochastik Jan Krieger 18. Januar 2005 1. The time has come, the Walrus said, To talk of many things: Of shoes and ships and sealingwax Of cabbages and kings And why

Mehr

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik

15 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik 5 Wahrscheinlichkeitsrechnung und Statistik Alles, was lediglich wahrscheinlich ist, ist wahrscheinlich falsch. ( Descartes ) Trau keiner Statistik, die du nicht selbst gefälscht hast. ( Churchill zugeschrieben

Mehr

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung

9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung 9. Elementare Wahrscheinlichkeitsrechnung Beispiel (Einmaliges Würfeln): verbal mengentheoretisch I. Zufällige Ereignisse Beispiel (Einmaliges Würfeln): Alle möglichen Ausgänge 1,,, 6 des Experiments werden

Mehr

Beurteilende Statistik

Beurteilende Statistik Beurteilende Statistik Wahrscheinlichkeitsrechnung und Beurteilende Statistik was ist der Unterschied zwischen den beiden Bereichen? In der Wahrscheinlichkeitstheorie werden aus gegebenen Wahrscheinlichkeiten

Mehr

Station 1 Das Galtonbrett, Realmodelle

Station 1 Das Galtonbrett, Realmodelle Station 1 Das Galtonbrett, Realmodelle Zeit zur Bearbeitung: 10 Minuten 1.1 Versuch:. Münzwurf mit dem Galtonbrett Betrachtet wird folgendes Zufallsexperiment: Fünf identische Münzen werden zehn-mal geworfen.

Mehr

Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 12

Übung zur Vorlesung Statistik I WS Übungsblatt 12 Übung zur Vorlesung Statistik I WS 2013-2014 Übungsblatt 12 20. Januar 2014 Die folgenden ufgaben sind aus ehemaligen Klausuren! ufgabe 38.1 (1 Punkt: In einer Studie werden 10 Patienten therapiert. Die

Mehr

WHB11 - Mathematik. AFS II: Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeiten. Thema: Summierte Binomialverteilung

WHB11 - Mathematik. AFS II: Umgang mit Zufall und Wahrscheinlichkeiten. Thema: Summierte Binomialverteilung Binomialverteilung Bisher haben wir berechnet, wie groß die Wahrscheinlichkeit dafür ist, dass bei einer Bernoulli-Kette n der Länge genau k Treffer auftreten. Die Formel dafür war: B (n;p;k) = P (X=k)

Mehr

2 Ereignisse. Für Ereignisse A und B kann durch Bildung des Durchschnitts (engl.: intersection) A B := {ω Ω : ω A oder ω B}

2 Ereignisse. Für Ereignisse A und B kann durch Bildung des Durchschnitts (engl.: intersection) A B := {ω Ω : ω A oder ω B} 5 2 Ereignisse ei einem stochastischen Vorgang interessiert oft nur, ob dessen Ergebnis zu einer gewissen Menge von Ergebnissen gehört. So kommt es zu eginn des Spiels Mensch-ärgere- Dich-nicht! nicht

Mehr

Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten

Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten Kapitel 2 Stochastische Unabhängigkeit, bedingte Wahrscheinlichkeiten 2.1 Stochastische Unabhängigkeit von Ereignissen Gegeben sei ein W-Raum (Ω, C, P. Der Begriff der stochastischen Unabhängigkeit von

Mehr

Kapitel XI - Die n-fache unabhängige Wiederholung eines Experiments

Kapitel XI - Die n-fache unabhängige Wiederholung eines Experiments Institut für Volkswirtschaftslehre (ECON) Lehrstuhl für Ökonometrie und Statistik Kapitel XI - Die n-fache unabhängige Wiederholung eines Experiments Wahrscheinlichkeitstheorie Prof. Dr. W.-D. Heller Hartwig

Mehr

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014

Stochastische Unabhängigkeit. 01. Dezember 2014 Stochastische Unabhängigkeit 0. Dezember 204 Der Begriff der Unabhängigkeit Großbritannien, im November 999. Die Anwältin Sally Clark wird wegen Mordes an ihren Kindern angeklagt. Clark geriet unter Verdacht

Mehr

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung

1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 4 1 Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitsrechnung 1.1 Grundlegende Begriffe Der Begriff wahrscheinlich wird im Alltag in verschiedenen Situationen verwendet, hat dabei auch unterschiedliche Bedeutung.

Mehr

Beispiel: Zufallsvariable

Beispiel: Zufallsvariable Beispiel: Zufallsvariable 3 Münzen werden unabhängig voneinander geworfen. Jede Münze kann entweder Kopf oder Zahl zeigen. Man ist nur an der Zahl der Köpfe interessiert. Anzahl Kopf Elementarereignis

Mehr

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt

Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie. Karin Haenelt Grundbegriffe der Wahrscheinlichkeitstheorie Karin Haenelt 1 Inhalt Wahrscheinlichkeitsraum Bedingte Wahrscheinlichkeit Abhängige und unabhängige Ereignisse Stochastischer Prozess Markow-Kette 2 Wahrscheinlichkeitsraum

Mehr

Mathematische und statistische Methoden II

Mathematische und statistische Methoden II Methodenlehre e e Prof. Dr. G. Meinhardt 6. Stock, Wallstr. 3 (Raum 06-206) Sprechstunde jederzeit nach Vereinbarung und nach der Vorlesung. Mathematische und statistische Methoden II Dr. Malte Persike

Mehr

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2

Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Statistik für Ingenieure Vorlesung 2 Prof. Dr. Hans-Jörg Starkloff TU Bergakademie Freiberg Institut für Stochastik 24. Oktober 2016 2.4 Bedingte Wahrscheinlichkeiten Häufig ist es nützlich, Bedingungen

Mehr

Hauptklausur zur Stochastik für Lehramt

Hauptklausur zur Stochastik für Lehramt Universität Duisburg-Essen Essen, den 20.02.203 Fakultät für Mathematik Dr. Daniel Herden Dipl.-Inf. Christian Thiel Matthias aus der Wiesche Hauptklausur zur Stochastik für Lehramt Bearbeitungszeit: mind.

Mehr

Kinga Szűcs

Kinga Szűcs Kinga Szűcs 28.10.2014 Warum wird Stochastik in der Schule unterrichtet? Welche Vorteile kann der Stochastikunterricht in den MU bringen? Welche Nachteile kann der Stochastikunterricht haben? Welche Ziele

Mehr

Bernoulli-Kette. f) Verallgemeinere das letzte Ergebnis. g) Veranschauliche die Ereignisse in dem Diagramm.

Bernoulli-Kette. f) Verallgemeinere das letzte Ergebnis. g) Veranschauliche die Ereignisse in dem Diagramm. Bernoulli-Kette Die Anzahl der 0/-Folgen der Länge n mit k Einsen sollte bekannt sein. Wir haben 0 Äpfel in einer Reihe vor uns liegen. Jeder Apfel ist mit 40%-iger Wahrscheinlichkeit wurmstichig ( =).

Mehr

Grundwissen Stochastik 5. Klasse bis 10. Klasse

Grundwissen Stochastik 5. Klasse bis 10. Klasse Grundwissen Stochastik 5. Klasse bis 10. Klasse Lehrplanausz"uge Doris Behrendt Gymnasium Marktbreit 14. Mai 2016 2 Lehrplanauszug 5. Klasse... erstes Anwenden des Zählprinzips, Veranschaulichen in Baumdiagrammen...

Mehr

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2011 Mathematik 12 Nichttechnik - S II - Lösung

mathphys-online Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2011 Mathematik 12 Nichttechnik - S II - Lösung Abschlussprüfung Berufliche Oberschule 2011 Mathematik 12 Nichttechnik - S II - Lösung Teilaufgabe 1.0 Ein Händler für Baby- und Keinkinderspielwaren hat in seinem Sortiment unter anderem Spielzeug aus

Mehr

1. rechtsseitiger Signifikanztest

1. rechtsseitiger Signifikanztest Testen von Hypothesen HM2 Seite Geschichte und ufgabe der mathematischen Statistik Stochastik ist die Kunst, im Falle von Ungewißheit auf geschickte Weise Vermutungen aufzustellen. Entwickelt wurde sie

Mehr

Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik 2002, Stochastik S I Nichttechnische Ausbildungsrichtung

Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik 2002, Stochastik S I Nichttechnische Ausbildungsrichtung Alexandra Steiner 7.5.005 A_NT_S_AS_Loes.mcd Abschlussprüfung an Fachoberschulen in Bayern Mathematik 00, Stochastik S I Nichttechnische Ausbildungsrichtung AUFGABENSTELLUNG:.0 Die Post eines kleineren

Mehr

Abschlussprüfung 1998 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Berufsoberschulen

Abschlussprüfung 1998 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Berufsoberschulen BOS 12 NT 98 Seite 1 Abschlussprüfung 1998 zum Erwerb der Fachhochschulreife an Berufsoberschulen Mathematik (nichttechnische Ausbildungsrichtungen) (Arbeitszeit für eine A- und eine S-Aufgabe insgesamt

Mehr

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit

3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit 3. Kombinatorik und Wahrscheinlichkeit Es geht hier um die Bestimmung der Kardinalität endlicher Mengen. Erinnerung: Seien A, B, A 1,..., A n endliche Mengen. Dann gilt A = B ϕ: A B bijektiv Summenregel:

Mehr

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 1

Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie Lösungsvorschläge zu Übungsblatt 1 TUM, Zentrum Mathematik Lehrstuhl für Mathematische Physik WS 2013/ Prof. Dr. Silke Rolles Thomas Höfelsauer Felizitas Weidner Tutoraufgaben: Einführung in die Wahrscheinlichkeitstheorie svorschläge zu

Mehr

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26)

Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Wahrscheinlichkeit (Teschl/Teschl 2, Kap. 26) Gegeben Menge Ω (Wahscheinlichkeitsraum, Menge aller möglichen Ausgänge eines Zufallsexperiments), Abbildung P : P(Ω) [0, 1] (Wahrscheinlichkeit): Jeder Teilmenge

Mehr