matheskript A STOCHASTIK WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG STATISTIK PFLICHT- und WAHLBEREICH GRUNDLAGEN Klasse ABI 2015 Jens Möller

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1 matheskript A STOCHASTIK WAHRSCHEINLICHKEITSRECHNUNG STATISTIK PFLICHT- und WAHLBEREICH GRUNDLAGEN Klasse ABI 205 Jens Möller

2 Autor: Jens Möller Owingen Tel erweiterte Auflage Owingen 204 Bestellung bei folgender Adresse matheskript Simon Geiger Sonnenhalde Frickingen-Leustetten Tel Skript@Leustetten.de

3 ACHTUNG Der Pflichtteil muss ohne TR und ohne Formelsammlung bewältigt werden, d.h. insbesondere elementare Bruchrechenregeln müssen beherrscht werden. STOCHASTIK IM ÜBERBLICK STOCHASTIK STATISTIK und WAHRSCHEINLICHKEIT EREIGNIS GEGENEREIGNIS ZIEHEN mit Zurücklegen Baumdiagramme Null-Hypothese ZIEHEN ohne Zurücklegen Alternativ-Hypothese ERWARTUNGSWERT rechtsseitiger TEST Hypothesentest linksseitiger TEST Ablehnungsbereich Bernoulli-Experiment Annahmebereich Bernoulli-Kette Bernoulli-Formel Binominalverteilung Irrtumswahrscheinlichkeit Fehler. Art ERWARTUNGSWERT

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5 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH LAPLACE-EXPERIMENTE sind Zufallsexperimente, bei denen alle Möglichkeiten des Versuchsausgangs gleichwahrscheinlich sind. BEISPIELE Würfeln, Münzwurf, Glücksrad mit gleich großen Sektoren etc. GEGENBEISPIELE Reißnagel werfen, Pferderennen, Fußballspiele etc. KLASSISCHE WAHRSCHEINLICHKEITSDEFINITION E Ereignis oder Experiment P Wahrscheinlichkeit P E günstige Fälle mögliche Fälle ELEMENTARE REGELN 0 P E E Ereignis P E 0 E unmögliches Ereignis P E E sicheres Ereignis P E P E E Gegenereignis und oder P A B P A P B P A B P A P B P E P E Peine 5würfeln und eine 2würfeln Peine 5würfeln oder eine 2würfeln Pkeine 5würfeln 6 6 KOMBINATORIK n! n Anzahl der Permutationen (Vertauschungen ) von n Elementen n! p! p! 2 Permutationen mit Wiederholungen n n! Anzahl der Kombinationen ( Auswahl ) von k Elementen aus n Elementen k k! nk! sprich : n über k Beispiele : 35 ; 45 ;

6 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH GLÜCKSRAD Bei einem Glücksrad sind 90 mit der Zahl belegt, 60 mit der Zahl 2, 80 mit der Zahl 3 und der Rest mit der Zahl Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten P ; P2 ; P3 ; P BESONDERE EREIGNISSE, Signalworte mindestens 2 2 oder 3 oder 4 = alle außer mindestens P 2 P 2 P 3 P 4 P Pmindestens Pmindestens 2P über dasgegenereignis 4 4 höchstens 3 oder 2 oder 3= alle außer 4 höchstens P 3 P P 2 P 3 P Phöchstens P höchstens 3P4 über das Gegenereignis 2 2 weniger als 3 oder 2 = alle unter 3 weniger als P 3 P P Pweniger als mehr als 2 3 oder 4 alle oberhalb von 2 mehr als P 2 P 3 P Pmehr als

7 MEHRSTUFIGE ZUFALLSEXPERIMENTE GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH URNE mit Zurücklegen Gegeben ist eine Urne mit 4 grünen und 6 blauen Kugeln, insgesamt sind es 0 Kugeln. Wird eine Kugel gezogen, so soll diese anschließend wieder zurückgelegt werden, so dass bei jeder weiteren Entnahme wieder 0 Kugeln im Gefäß sind. Das hat zur Folge, dass die Wahrscheinlichkeiten bei der. und der 2. Entnahme gleich bleiben. RECHENBEISPIELE P grün / grün Pgrün/ blau P mindestens einmal grün P gr / bl P bl / grp gr / gr oder mit dem Gegenereignis rechnen P bl bl P mindestens einmal grün / BAUMDIAGRAMM gr bl 6 0 gr bl gr bl - 3 -

8 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH URNE ohne Zurücklegen Gegeben ist dieselbe Urne mit 4 grünen und 6 blauen Kugeln. Wird eine Kugel gezogen, so soll diese anschließend nicht wieder zurückgelegt werden, so dass sich bei jeder weiteren Entnahme eine Kugel weniger im Gefäß befindet. Das hat zur Folge, dass sich die Wahrscheinlichkeiten bei der 2. Entnahme ändern. RECHENBEISPIELE Pgrün / grün Pgrün/ blau Pblau/ grün Pblau/ blau Pmindestens einmal grün P gr / blp bl / grp gr / gr oder mit dem Gegenereignis rechnen P bl bl P mindestens einmal grün 2 / 3 3 BAUMDIAGRAMM gr bl 5 9 gr bl gr bl - 4 -

9 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH RECHNEN MIT DEM GEGENEREIGNIS P E P nicht E NOTENGEBUNG Studienrat Mildemann praktiziert folgende Art der Notenfindung: Er würfelt 3-mal und nimmt die kleinste der Augenzahlen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erteilt er die Note? /6 5/6. Wurf /6 5/6 2. Wurf /6 5/6 3. Wurf RECHNUNG Pkeine würfeln 58% P eine würfeln P keine 42% oder Peinewürfeln + + = 42% ANMERKUNG Es geht bei dem Prozess darum, bei dreimal Würfeln überhaupt eine zu erhalten, wobei diese beim. oder 2. oder 3. Wurf zum ersten Mal auftreten kann

10 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH DREI JÄGER Drei Jäger schießen auf einen Hasen. Der erste trifft mit der Wahrscheinlichkeit /3, der zweite mit der Wahrscheinlichkeit /4, der dritte mit der Wahrscheinlichkeit /5. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird der Hase getroffen? T /3 2/3 T. Jäger T /4 3/4 T 2. Jäger /5 4/5 RECHNUNG T T 3. Jäger Pnicht getroffen 40% Pgetroffen 60% 5 5 oder P getroffen oder P getroffen oder P getroffen % % % ANMERKUNG Offensichtlich spielt die Reihenfolge, mit der die Jäger schießen, keine Rolle. Die Wahrscheinlichkeit, getroffen zu werden, ist jedes Mal 60%, während die Wahrscheinlichkeit zu überleben 40% beträgt. Man kann auch sagen: Von 00 Hasen überleben 40% die Schießerei

11 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH GEBURTSTAGSPROBLEM Ein Klassiker unter den Problemen der Wahrscheinlichkeitsrechnung ist das sogenannte Geburtstagsproblem. Es sind beispielsweise 30 Personen in einem Raum versammelt. Jemand stellt die Geburtstage der Personen fest. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben? Alle Geburtstage werden in einem Kalender markiert. Das führt zu folgendem GEBURTSTAGSBAUM frei nicht belegter Platz im Kalender. Geburtstag frei belegt Geburtstag frei belegt Geburtstag frei belegt Geburtstag frei belegt Geburtstag frei belegt - 7 -

12 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH RECHNUNG Bei 30 Personen ergibt sich die Wahrscheinlichkeit dafür, dass kein Tag doppelt belegt ist: P( kein Tag ist doppelt belegt ) =... = 0, 294 = 29,4% Daraus folgt die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens ein Tag doppelt belegt ist: ( ) = - ( ) ( ) = - 0, 294 = 0, 706 = 70, 6% P mindestens Tag ist doppelt belegt P kein Tag ist doppelt belegt P mindestens Tag ist doppelt belegt ERGEBNIS Bei 30 zufällig ausgewählten Personen beträgt die Wahrscheinlichkeit, dass zwei Personen am gleichen Tag Geburtstag haben, 70,6%. ERGEBNISSE FÜR VERSCHIEDENE PERSONENZAHLEN Personen pin%. 2, 7, 7 25,3 4, 56,9 70, 6 8, 4 89, 94, 97 98,6 99, 4» 00 ZUSATZFRAGE Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass von 30 Personen mindestens eine mit mir zusammen Geburtstag hat. æ364ö Antwort: p = - ç = - 0,92» 8% çè365 ø 30 Im Vergleich zur ersten Fragestellung ist diese Wahrscheinlichkeit sehr gering. AUFGABE Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben von 5 zufällig ausgewählten Personen mindestens zwei im selben Monat Geburtstag? P (kein gemeinsamer Geburtstag) = P (gemeinsamer Geburtstag) = ERGEBNIS 62% - 8 -

13 DIE BEIDEN PFADREGELN GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH Erste Pfadregel Produktregel Längs eines Pfades werden die Wahrscheinlichkeiten multipliziert. Beispiel und P zuerst grün dann blau P grün P blau Zweite Pfadregel Summenregel Müssen mehrere Pfade berücksichtigt werden, so werden die Wahrscheinlichkeiten addiert. Beispiel / oder / / / P gleiche Farben P grün grün blau blau P grün grün P blau blau BEISPIEL SCHÜTZE Ein Schütze trifft mit einer Wahrscheinlichkeit von 87%. Bestimme die Wahrscheinlichkeit für mindestens zwei Treffer bei drei Versuchen. BAUMDIAGRAMM 87 % 3 % 87 % T T 3 % T 87 % T T 3 % T entlang eines Pfades, multiplizieren 87 % 3 % 87 % 3 % 87 % 3 % 87 % 3 % T T T T T T T T mehrere Pfade, addieren 3 2 P mindestens 2 Treffer P T, T, T 3 P T, T, T 0,87 30,87 0,3 0,95-9 -

14 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH ZOLLKONTROLLE In einem Zugabteil befinden sich unter 9 Personen 4 Schmuggler. Ein Zollbeamter wählt 3 Personen zur Kontrolle aus. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, 3 Schmuggler zu erwischen? Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, mindestens Schmuggler zu erwischen? ERGEBNIS (siehe folgende Seite) KLASSENFAHRT Bei einer Klassenfahrt sollen nach dem Abendessen in der Jugendherberge vom 5-köpfigen Küchendienst zwei Personen spülen. Zur Verfügung stehen 2 Mädchen (M), 2 Jungen (J) und Lehrer (L). Jeder wirft einen Zettel mit seinem Namen in einen Topf. Man zieht zweimal ohne Zurücklegen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit spülen a) zwei Mädchen, b) zwei männliche Personen? c) Mit welcher Wahrscheinlichkeit muss der Lehrer spülen? Zunächst zeichne ein geeignetes Baumdiagramm. BAUMDIAGRAMM (2 M / 2 J / L) M J ( / 2 / ) (2 / / ) L (2 / 2 / 0). Stufe M J L M J L M J 2. Stufe - 0 -

15 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH EINZELEREIGNISSE 2 PM / M 0% PM / J 20% PM / L 0% usw.... WAHRSCHEINLICHKEITSVERTEILUNG Ereignisse M / M M / J M / L J / M J / J J / L L / M L / J Wahrscheinlichkeiten 0% 20% 0% 20% 0% 0% 0% 0% ERGEBNISSE a) P zwei Mädchen P M M / 0% b) P zwei männliche Personen P J L P L J P J J c) PLehrer PM L P J L PL M PL J / / / 0% 0% 0% 30% / / / / 0% 0% 0% 0% 40% ERGEBNIS ZOLLKONTROLLE Pdrei Schmuggler 4,8% P kein Schmuggler P mindestens ein Schmuggler %

16 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH ÜBUNGEN A. EINMAL WÜRFELN a) P (eine 6 oder eine werfen) = b) P (keine 2 werfen) = c) P (eine gerade Zahl werfen) = d) P (eine Primzahl werfen) = e) P (eine durch drei teilbare Zahl werfen) = f) P (eine nicht gerade Primzahl werfen) = g) P (eine von 2 verschiedene gerade Primzahl werfen) = 2. ZWEIMAL WÜRFELN a) P (zweimal eine gerade Zahl werfen) = b) P (zweimal die Zahl 6 werfen) = c) P (eine ungerade und eine gerade Zahl werfen) = d) P (zweimal eine von 5 verschiedene Zahl werfen) = e) P (mindestens eine ungerade Zahl werfen) (mit Gegenw. rechnen) = f) P (die Summe der Augenzahlen soll höchstens 4 sein) = g) P (zwei verschiedene Zahlen werfen) = h) P (die Differenz der Zahlen soll 3 sein) = i) P (höchstens einmal die Zahl 6 werfen) (mit Gegenw. rechnen) = j) P (das Produkt der Augenzahlen soll kleiner als 0 sein) = 3. DREIMAL MÜNZE WERFEN a) P (dreimal die Ziffer werfen) = b) P (höchstens zweimal die Ziffer werfen) = c) P (weder 3-mal Ziffer noch 3-mal Wappen werfen) = d) P (nicht genau zweimal dasselbe werfen) = 4. VIERMAL WÜRFELN Ein WÜRFEL wird viermal geworfen. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, keinmal (d.h. jedes Mal nicht) die Zahl 6 zu werfen? - 2 -

17 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH 5. VIERMAL KUGEL ENTNEHMEN In einer URNE liegen 4 verschieden gefärbte Kugeln. Es wird viermal eine Kugel heraus genommen und dann wieder zurück gelegt. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man alle 4 Kugeln nacheinander herausgenommen hat (d.h. jede Kugel einmal herausgenommen wurde)? LÖSUNGEN A. EINMAL WÜRFELN a) Peine 6 oder eine werfen P6 P b) 2 / P keine 2 werfen 5/6 6 3 c) Peine gerade Zahl werfen 6 2 /2 d) P (eine Primzahl werfen) = P (2 oder 3 oder 5) /2 e) P (eine durch drei teilbare Zahl werfen) /3 f) P (eine nicht gerade Primzahl werfen) = P (3 oder 5) /3 g) P (eine von 2 verschiedene gerade Primzahl werfen) (geht nicht) 0 2. ZWEIMAL WÜRFELN a) Pzweimal eine gerade Zahl werfen Pg / g b) Pzweimal die Zahl 6 werfen P6/6 c) Pg/ u Pu/ g 3 3 / / / P zweimal eine von 5 verschiedene Zahl werfen 25/ d) 3 / 3/ e) Pg g 6 / /2 /3 2/ 2/2 3/ 6 / f) P P P P P P g) Pbeliebige Zahl Pandere Zahl /

18 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH 6/3 5/2 4/ 3/6 2/5 /4 6 /6 36 h) P P P P P P 35 6/6 35/ i) P j) / /2 /3 /4 /5 /6 2/ P P P P P P P ( ) P2/2P2/3P2/4.. etc.. P6/ 36 7/36 3. DREIMAL MÜNZE WERFEN a) Pdreimal die Ziffer werfen PZ / Z / Z / b) Phöchstens zweimal die Ziffer werfen PZ Z Z c) PZ Z Z PW W W 7 / / 7/ / / / / 3/ d) 2 P dreimal dasselbe werfen P Z / Z / Z P W / W / W P genau zweimal dasselbe werfenpdreimal dasselbe werfen 4 3 P nicht genau zweimal dasselbe werfen 4 4 /4 4. VIERMAL WÜRFELN P bei 4-mal Werfen keinmal die 6 werfen ,2% VIERMAL ZIEHEN P4 verschiedene Kugeln ziehen

19 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH ÜBUNGEN B. ZWEI GEFÄSSE In einem ersten GEFÄSS befinden sich eine weiße und drei schwarze, in einem zweiten GEFÄSS zwei weiße und drei schwarze, sonst gleiche Kugeln. Aus jedem GEFÄSS wird je eine Kugel genommen. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P (weiße Kugel und weiße Kugel) = b) P (. Kugel weiß, 2. Kugel schwarz) = c) P (. Kugel schwarz, 2. Kugel weiß) = d) P (beide Kugeln schwarz) = e) P (zwei gleiche Kugeln) = f) P (zwei verschiedene Kugeln) = 2. KARTENSPIEL Aus einem Kartenspiel von 32 Karten wird eine Karte gezogen. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten: EINE KARTE ZIEHEN a) P (Herzkönig) = b) P (Herzkarte) = c) P (As) = d) P (kein König) = e) P (eine Bildkarte) = f) P (eine Zahl) = ZWEI KARTEN ZIEHEN (ohne Zurücklegen) g) P (zwei Asse) = h) P (zwei rote Karten) = i) P (zwei Kreuzkarten) = j) P (zwei Bilder) = k) P (Herzehepaar) = l) P (Ehepaar) = m) P (irgendein König, irgendeine Dame) = - 5 -

20 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH 3. ZIEHEN OHNE ZURÜCKLEGEN In einem Kasten befinden sich zwei weiße und drei schwarze Kugeln. Zwei Kugeln werden - ohne Zurücklegen - nacheinander entnommen. Bestimme die folgenden Wahrscheinlichkeiten: a) P (zwei weiße Kugeln) = b) P (zwei schwarze Kugeln) = (Kontrolle?) c) P (zwei verschiedene Kugeln) = DREI KUGELN ENTNEHMEN d) P (drei schwarze Kugeln) = e) P (zwei schwarze Kugeln) = f) P (eine schwarze Kugel) = g) Welche Fälle gibt es, wenn ohne Zurücklegen drei Kugeln genommen werden? Erstelle ein BAUMDIAGRAMM. 4. ZWEI KUGELN ENTNEHMEN In einem Gefäß befinden sich sechs weiße, drei blaue und eine rote Kugel. Zwei Kugeln werden ohne Zurücklegen entnommen. Bestimme die Wahrscheinlichkeit aller möglichen Fälle. (Kontrolle?) Erstelle ein BAUMDIAGRAMM. LÖSUNGEN B. a) /0 b) 3/20 c) 3/0 d) 9/20 Σ = e) /20 f) 9/20 Σ = 2. a) /32 b) /4 c) /8 d) 7/8 e) 3/8 f) /2 g) 3/248 h) 5/62 i) 7/24 j) 33/248 k) /496 l) /24 m) / a) Pw/ w b) / c) P s s P verschiedene Kugeln Kontrolle: Σ =

21 3 2 P s s s d) / / GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH / / / / / / e) Pw s s Ps w s Ps s w 7 3 P eine schwarze Kugel 0 0 f) g) w s 2 4 w s w s s w s w s w s w/ w/ sw/ s/ ww/ s/ ss/ w/ w s/ w/ s s/ s/ w s/ s/ s w 5 9 b 3 9 r w 9 w 6 9 b b r r 6 9 w 3 9 b a) blau, blau 6/90 b) blau, rot 3/90 c) blau, weiß 8/90 d) weiß, blau 8/90 e) weiß, rot 6/90 f) weiß, weiß 30/90 g) rot, weiß 6/90 h) rot, blau 3/90 Σ = - 7 -

22 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH ÜBUNGEN C Aus einem Skatspiel mit 32 Karten werden verdeckt zwei Karten gezogen [mit Zurücklegen und Mischen] P Bauer / Bauer P Bildkarte / Ass Urne A mit 3 weißen und 2 blauen Kugeln / Urne B mit 2 weißen und 4 blauen Kugeln [Es wird zuerst eine Kugel aus A, dann eine aus B entnommen.] P weiß / weiß P blau / blau P weiß/ blau Familienplanung Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie zunächst drei Mädchen und dann ein Junge geboren werden (vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Jungengeburt oder eine Mädchengeburt gleich groß sind)? P M / M / M / J Aufgrund von Stichproben mit sehr großem Umfang weiß man, dass weltweit unter 000 Neugeborenen 54 Jungen und 486 Mädchen sind. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie mit drei Kindern alle drei Mädchen sind? P M / M / M Klassengemeinschaft In einer Klasse sind 30 Kinder, darunter 8 Jungen. Drei Kinder werden für den Klassendienst ausgelost. Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es drei Jungen? P J / J / J Mit welcher Wahrscheinlichkeit sind es drei Mädchen? PM / M / M Drei Jäger Drei Jäger mit den Trefferwahrscheinlichkeiten 2, 3 und 6 schießen gleichzeitig auf eine Flasche. Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Flasche getroffen? P getroffen Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Flasche genau einmal getroffen? P genau einmal getroffen - 8 -

23 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH LÖSUNGEN C Aus einem Skatspiel mit 32 Karten werden verdeckt zwei Karten gezogen P Bildkarte Ass PBauer / Bauer / Urne A mit 3 weißen und 2 blauen Kugeln / Urne B mit 2 weißen und 4 blauen Kugeln 3 2 Pweiß / weiß Pblau / blau Pweiß/ blau Familienplanung Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass in einer Familie zunächst drei Mädchen und dann ein Junge geboren werden (vorausgesetzt, dass die Wahrscheinlichkeit für eine Jungengeburt oder eine Mädchengeburt gleich groß sind)? PM / M / M / J PM / M / M 0, 486, 48% Klassengemeinschaft In einer Klasse sind 30 Kinder, darunter 8 Jungen. Drei Kinder werden für den Klassendienst ausgelost PJ / J / J 20,% PM / M / M 5,42% Drei Jäger Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Flasche getroffen? PgetroffenP nicht getroffen 72,2% Mit welcher Wahrscheinlichkeit wird die Flasche genau einmal getroffen? Pgenau einmal getroffen 47,2%

24 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH ÜBUNGEN D. Berechne für den zweifachen Wurf mit einem fairen Würfel die Wahrscheinlichkeit für die folgenden Ereignisse: a) Im ersten Wurf fällt eine 6, im zweiten Wurf keine 6. b) In beiden Würfen fällt dieselbe Augenzahl. c) In beiden Würfen fallen verschiedene Augenzahlen. d) Im ersten Wurf fällt eine gerade, im zweiten eine ungerade Augenzahl. e) In beiden Würfen fällt eine gerade Zahl oder in beiden Würfen fällt eine ungerade Zahl. f) Es fällt höchstens eine 6. g) Es fällt mindestens eine Ein Glücksrad hat vier gleich große Sektoren, die mit den Zahlen, 2, 3 und 4 beschriftet sind. Man dreht das Rad zweimal. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, beim zweiten Drehen eine größere Zahl als beim ersten Drehen zu erreichen? 3. Bei einem Wurfspiel soll auf jede von drei Kreisscheiben ein Hartgummiball geworfen werden. Da die Scheiben unterschiedlich groß sind, ist die Trefferwahrscheinlichkeit für jede Scheibe verschieden. Norbert trifft die große Scheibe mit p = 2/3, die mittlere mit p = /2 und die kleine mit p = /4. Er wirft zunächst auf die große, dann auf die mittlere und zuletzt auf die kleine Scheibe. Bei einem Treffer notiert er, bei einem Fehlwurf 0. Die Ergebnisse sind dann dreistellige Ziffernfolgen mit den Ziffern 0 oder. (0//0) bedeutet z.b.: Scheibe 2 wurde getroffen, Scheibe und Scheibe 3 nicht. Berechne die Wahrscheinlichkeiten für alle möglichen Ergebnisse mit der Pfadregel und stelle fest, für welche Fälle die Wahrscheinlichkeit am größten ist. 4. Ein Flugzeug verfügt über zwei Möglichkeiten, im Landeanflug hydraulisch das Fahrwerk auszufahren. Normalerweise wird das Fahrwerk über das Hydrauliksystem ausgefahren. Dieses System fällt mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,00 während eines Fluges aus. Wird durch einen Sensor der Ausfall des Hydrauliksystems gemeldet, so wird automatisch ein Nothydrauliksystem aktiviert. Dieses wiederum fällt nach der Aktivierung während eines Fluges mit einer Wahrscheinlichkeit von 0,0 aus. Wie wahrscheinlich ist es, dass das Fahrwerk hydraulisch nicht ausgefahren werden kann?

25 LÖSUNGEN D. 5 5 a) P6Pkeine P zwei gleiche 36 6 b) 6 5 P zwei verschiedene 36 6 c) P gerade ungerade d) / e) Pg/ g Pu/ u f) Phöchsteneine P GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH / / g) Pmindestens eine P 2. /234 2/34 3/4 P E P P P P E Es gibt Pfade. 4 C B C A 2 4 C B 3 4 C 4 C B C A 2 4 C B 3 4 C P0/0/0 P0/0/ 0// P0// P/0/0 /0/ P//0 // 2 2 P größter Wert bei : P/0/0P// P Hydraulikversagen 0,000,0 0, P P

26 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH SCHATZSUCHE Goldschatz Durchgang falls rote Karte Aus einem Kartespiel mit32kartenwird eine Karte gezogen Durchgang falls Bildkarte Durchgang falls GELB Ein Gefäß enthält gelbe, 2 rote, 4 blaue Kugeln, eine Kugel wird gewählt. Durchgang falls ROT Durchgang falls gerade Zahl Eine Würfel wird - mal geworfen Durchgang falls oder6 ANFANG Der Phantasie sind keine Grenzen gesetzt; man gelangt zu einer Höhle, in der ein kostbarer Schatz verborgen ist, auf zwei Wegen, die je durch 3 Tore führen. Beim. Tor wird mit einem Würfel geworfen. Beim 2. Tor wird aus einer Schale mit gelben, 2 roten, 4 blauen Kugeln, eine gezogen; beim 3. Tor schließlich zieht man aus einem Spiel von 32 Karten eine Karte. Linker Weg: Man gelangt zur Höhle, wenn man eine gerade Zahl würfelt, dann eine gelbe Kugel zieht und schließlich eine rote Karte zieht. Rechter Weg: Man gelangt zur Höhle, falls man eine oder 6 würfelt, dann eine rote Kugel zieht und schließlich eine Bildkarte (König, Dame oder Bube) zieht. Frage Welcher Weg führt mit der größeren Wahrscheinlichkeit zum Schatz in der Höhle?

27 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH Rechnung P links P rechts Ergebnis Beide Wege führen mit der gleichen Wahrscheinlichkeit zum Ziel. GLÜCKSRAD Bei einem Glücksrad sind 90 mit der Zahl belegt, 60 mit der Zahl 2, 80 mit der Zahl 3 und der Rest mit der Zahl Bestimme die Einzelwahrscheinlichkeiten P ; P2 ; P3 ; P FRAGE Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man bei zweimaligem Drehen jedes Mal eine gerade Zahl erhält? ANTWORT 422 P2/ 2P2/4P4/2P4/

28 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH ZUFALLSVARIABLEN UND ERWARTUNGSWERTE Eine Zufallsvariable X ist eine Funktion, die den Ereignissen E eines Zufallexperimentes bestimmte Werte k zuordnet. Das findet häufig bei Glücksspielen Anwendung. BEISPIEL GLÜCKSRAD (siehe vorherige Seite) Wird das oben beschriebene Glücksrad gedreht, so können die folgenden Ereignisse auftreten: E= ; 2; 3 ; 4 Zufallsvariable : X Auszahlungen beim Glücksrad Ereignisse E Auszahlungen X k ANMERKUNG eigentlich müsste man schreiben X k : E Betrachtet man auch noch die zugehörigen Wahrscheinlichkeiten, so erhält man: Zufallsvariable : X Auszahlungen beim Glücksrad Ereignisse E Auszahlungen X k Wahrscheinlichkeiten P X k Wenn man zuvor einen Einsatz von zahlen muss, dann ergibt sich eine andere Zufallsvariable Y für den Gewinn: Zufallsvariable : Y Gewinn beim Glücksrad Ereignisse E Gewinne Y k 0 4 Wahrscheinlichkeiten P Y k ERWARTUNGSWERT Der Erwartungswert ist die Summe aller Werte, die zuvor mit den zugehörigen Wahrscheinlichkeiten multipliziert worden sind: n n ; E X k P X k k P X k k P X k k Einzelwerte P X k Einzelwahrscheinlichkeiten i i

29 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH Für unser Beispiel ergibt sich damit: Zufallsvariable : Y Gewinn beim Glücksrad 324 EY 0 4 0, 08 ( Verlust) Oder man berechnet zuerst die Auszahlung und zieht dann den Einsatz ab: Zufallsvariable : X Auszahlung beim Glücksrad 6 5 E X Auszahlung EY Gewinn 2 2 FAIRES SPIEL Ein Spiel ist fair, wenn die Gewinnerwartung Null Euro beträgt. ERGEBNIS Pro Spiel wird ein Spieler im Durchschnitt 8 Cent verlieren. Daher handelt es sich bei unserem Glücksrad um kein faires Spiel. BEISPIEL URNE In einer Urne befinden sich 4 grüne und 6 blaue Kugeln. Wird eine Kugel gezogen, so soll diese anschließend wieder zurückgelegt werden. Es werden nacheinander zwei Kugeln gezogen und folgende Spielregeln vereinbart: Wer zwei blaue Kugeln gezogen hat, erhält 2, wer nur eine blaue Kugel gezogen hat, erhält ausgezahlt. Der Einsatz pro Spiel soll,20 betragen. FRAGE Ist das Spiel fair? Zufallsvariable : X Auszahlungen pro Spiel Ereignisse E g / g g / b b / g b / b Auszahlungen X k 0 2 Wahrscheinlichkeiten PX k Zufallsvariable : X Auszahlung pro Spiel EX0 2, E Gewinn E Auszahlung Einsatz, 2, 2 0 ANTWORT Das Spiel ist also fair

30 ÜBUNGEN ZU ERWARTUNGSWERTEN GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH WÜRFELN Um seine wirtschaftliche Lage zu verbessern, gibt Herr Maier demjenigen, der eine 6 würfelt,.-, demjenigen, der eine 3 würfelt, 50 Cent und demjenigen, der eine würfelt, 30 Cent. Andernfalls wird nichts ausgezahlt. Für dreimaliges Würfeln verlangt er,-. Wie hoch wird der durchschnittlich erzielte prozentuale Gewinn sein? Ereignis Auszahlung 6, , 50 0, 30 URNE In einem Gefäß befinden sich gelbe, rote, 2 grüne und 4 blaue (sonst gleiche) Kugeln. Eine Kugel wird jeweils heraus genommen und anschließend wieder zurück ins Gefäß gelegt. Einmal eine Kugel herausnehmen kostet 0,25. Für acht Kugeln werden also 2 verlangt. Folgende Gewinne werden ausgezahlt: 4 blaue, 2 grüne, rote, gelbe Kugel Ereignis Gewinn gelb, 00 rot 0, 50 grün 0, 0 blau nichts Wie viel kann mit diesem Spiel verdient werden? KARTENSPIEL Aus einem Kartenspiel mit 32 Karten wird eine Karte gezogen. Der Einsatz für das Ziehen einer Karte beträgt 0,25. Ereignis Gewinn Herzkönig, 00 Herzdame, 00 Herzbube, 00 Herzass, 00 Kreuzkarte 0, 30 Piquekarte 0, 0 Wie hoch wird der zu erwartende prozentuale Gewinn sein?

31 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH OKTAEDER Auf den Flächen eines Oktaeders werden die Zahlen bis 8 geschrieben. Die oben liegende Zahl zählt. Ein Wurf kostet 0,25. Ereignis Gewinn, , 40 ungerade 0, 0 Wie viel verdient die Kasse voraussichtlich bei 500 Würfen? PENTAGONDODEKAEDER Auf den Flächen eines Pentagondodekaeders werden die Zahlen bis 2 geschrieben. Die oben liegende Zahl zählt. Der Einsatz pro Wurf beträgt 0,25. Ereignis Gewinn 2, , ; ; 00, Wie viel verdient die Kasse voraussichtlich bei 400 Würfen? TETRAEDER wird geworfen. Es zählt die Zahl, die unten liegt. Einsatz 0,40 pro Wurf. Wie hoch ist der zu erwartende prozentuale Gewinn? Ereignis Gewinn, , , 25 IKOSAEDER mit 20 Ziffern, rollt sehr schön. Wie viel Euro muss man pro Wurf verlangen, damit das Spiel fair ist? Ereignis Gewinn gerade 2, 00 ungerade nichts LÖSUNG-WÜRFELN Ereignisse E 6 3 sonst Auszahlungen X k 0,50 0,30 0 Wahrscheinlichkeiten 3 P X k

32 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH Zufallsvariable : X Auszahlung pro Wurf 3 EX 0, 50 0, , 030, 6 E Gewinn bei 3 Würfen Einsatz 3E X, 00 0, 90 0, 0 ERGEBNIS Nimmt Herr Maier für 3-maliges Würfeln jeweils.- Euro, so wird sein Gewinn auf lange Sicht voraussichtlich 0% betragen. LÖSUNG-URNE Ereignisse E gelb rot grün blau Auszahlungen X k 0,50 0,0 0 Wahrscheinlichkeiten 2 4 PX k Zufallsvariable : X Auszahlung pro Entnahme , EX 0, 50 0, E Gewinn bei 8 Entnahmen Einsatz 8 E X 2, 00, 70 0, 30 Gewinn in Prozent ERGEBNIS 0,30 00% 0,30 von 2, 00 p = = 5% 2,00 Wird nur häufig genug gespielt, so ist ein Gewinn von 5% zu erwarten. LÖSUNG-KARTENSPIEL Ereignisse E HKö HDa HBu HAss Kreuz Pique Auszahlungen X k 0,30 0,0 Wahrscheinlichkeiten Px k Zufallsvariable : X Auszahlung pro Wurf 42, 400, 80 7, 20 E X 4 0, 30 0, 0 0, E Gewinn Einsatz E X 0, 250 0, 225 0, 025 Gewinn in Prozent ERGEBNIS 0,025 00% 0,025 von 0,250 p = = 0% 0, 25 Es ist ein Gewinn von 0% zu erwarten

33 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH LÖSUNG-OKTAEDER Zufallsvariable : X Auszahlung pro Wurf 4 0, 400, 40, 8 EX 0, 40 0, E Gewinn bei 8 Würfen Einsatz 8 E X 2, 00, 80 0, mal werfen 500 0, 20 2, 50 Gewinn 8 ERGEBNIS Bei 500 Würfen verdient die Kasse 2,50. LÖSUNG-PENTAGONDODEKAEDER Zufallsvariable : X Auszahlung pro Wurf 3, 500, 600, 30 2, 4 E X, 50 0, 60 0, 0 0, E Gewinn Einsatz E X 0, 25 0, 20 0, mal werfen 400 0, 05 20, 00 Gewinn ERGEBNIS Bei 400 Würfen verdient die Kasse 20. LÖSUNG-TETRAEDER Zufallsvariable : X Auszahlung pro Wurf, 00 0, 25 0, 25, 50 E X 0, 25 0, E Gewinn bei 4 Würfen Einsatz E X, 60, 50 0, 0 Gewinn in Prozent 0,0 00% 0,0 von,60 p = = 6, 25%, 60 LÖSUNG-IKOSAEDER Zufallsvariable : X Auszahlung pro Wurf 0 EX2, E Gewinn Einsatz E X 0 Einsatz, 00 ERGEBNIS Bei einem Einsatz von pro Wurf ist das Spiel fair

34 BERNOULLI-EXPERIMEMTE GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH Bei vielen Zufallsexperimenten interessiert nur, ob ein bestimmtes Ereignis eintritt oder nicht. So ist es beim Elfmeterschießen nur wichtig, ob getroffen wird oder nicht, bei einer Qualitätskontrolle nur, ob ein Produkt in Ordnung ist oder nicht. Als erster beschäftigte sich Jakob Bernoulli ( ) ausführlich mit solchen Experimenten. Sie tragen daher seinen Namen. DEFINITION. Ein Zufallsversuch mit nur zwei Ausgängen (Erfolg und Misserfolg) heißt Bernoulli-Experiment. Die Wahrscheinlichkeit für einen Erfolg nennt man die Erfolgswahrscheinlichkeit p. Für die Misserfolgs-Wahrscheinlichkeit q gilt dann q = - p. 2. Wird ein Bernoulli-Experiment n-fach wiederholt, ohne dass sich dabei p und q verändern, so spricht man von einer Bernoulli-Kette der Länge n. ANMERKUNG Erfolg und Misserfolg werden häufig als Treffer und Niete bezeichnet. BERNOULLI-KETTEN BEISPIEL WÜRFELN Man möchte bei dreimaligem Werfen eines Würfels wissen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, genau 2-mal eine 4 zu werfen. Wir machen uns die Situation an einem BAUMDIAGRAMM klar

35 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH BAUMDIAGRAMM n. Wurf n 4 n 2. Wurf n 4 n 4 n 4 n 3. Wurf Ereignisse... (4,4,n) (4,n,4).... (n,4,4) Alle Pfade, die genau zweimal die 4 enthalten, haben die Wahrscheinlichkeit Im Baumdiagramm erkennt man, dass es drei solche Pfade gibt. Beschreibt die Zufallsvariable X die Anzahl der Vieren, so ergibt sich als die Wahrscheinlichkeit, genau zwei Vieren zu erhalten: 2 5 P X zweimal die ,, % Wie aber geht man vor, wenn z.b. gefragt ist, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, bei 0 Würfen genau 3-mal eine 4 zu würfeln. Eine Lösung über das Baumdiagramm wird in diesem Fall doch zu aufwändig. Immerhin ist klar, dass in jedem der entsprechenden Pfade 3-mal eine 4 und 7-mal keine 4 vorkommen. Jeder dieser Pfade hat also die Wahrscheinlichkeit Aber wie viele solcher Pfade gibt es? Die Antwort findet man mit Hilfe der KOMBINATORIK. Es gibt Pfade. [Wähle 3 aus 0 Würfen aus.]

36 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH WAHRSCHEINLICHKEIT bei BERNOULLI-KETTEN Die Wahrscheinlichkeit, dass sich bei n Durchführungen eines Bernoulli-Experiments genau k-mal ein Treffer ergibt, ist gegeben durch n P X k p p k X Zufallsvariable k n k n Anzahl der Versuche k Trefferzahl p Wahrscheinlichkeit Kommen wir auf unser Beispiel zurück: Wie groß ist also die Wahrscheinlichkeit, bei 0-maligem Würfeln genau 3-mal eine 4 zu erhalten? Mit n = 0, k = 3 und p ergibt sich die Wahrscheinlichkeit P X ,, % BINOMIALVERTEILTE ZUFALLSVARIABLEN Ist eine Bernoulli-Kette der Länge n und der Erfolgswahrscheinlichkeit p gegeben, so kann zu jeder Trefferzahl deren Wahrscheinlichkeit P X k berechnet werden. Die Zuordnung, die jeder möglichen Trefferzahl k (k = 0; ; 2; ; n) ihre Wahrscheinlichkeit zuordnet, heißt Binomialverteilung mit den Parametern n und p. k Die Zufallsvariable X nennt man binomialverteilt: PX k B k p p Mit dem GTR lässt sich die Wahrscheinlichkeit für k Treffer bei einem n-stufigen Bernoulli- Experiment mit dem Befehl binom pdf (n, p, k) direkt ermitteln. Rufe dazu über die Tastenkombination 2nd VARS das Menü DISTR auf. Wähle den Befehl binom pdf und gib dann die bekannten Werte für n, p und k ein. Für das obige Beispiel mit n = 0, k = 3 und p = 6 ANM ERKUNG Die Zufallsvariable P X k n, p n k ergibt sich P X 3 0, 55 5, 5%. heißt binomialverteilt, weil man bei der Entwicklung des Binoms p q n ganz ähnliche Ausdrücke bekommt: n k

37 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH n n n 2 2 n n pq p p q p q... p q... q 0 2 k n wobei q p ist. n n n n n k k n Die Koeffizienten werden übersichtlich zusammengefasst im sogenannten PASCAL SCHES DREIECK RECHENBEISPIELE 4. Zeile : Zeile : MERKE n k Anzahl der Pfade, die zu k Treffern bei n Versuchen führen n 0 Pfad führt zu 0 Treffern : n n Pfad führt zu n Treffern :... n n n Pfade führen zu Treffer : Treffer im. oder 2. oder oder n. Versuch n n n n Pfade führen zu n Treffern

38 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH DARSTELLUNG von BINOMIALVERTEILUNGEN durch HISTOGRAMME Binomialverteilungen werden vielfach in sogenannten Histogrammen graphisch dargestellt. Das Histogramm bei einer Binomialverteilung besteht aus (n + ) aneinandergrenzenden Rechtecken auf der waagerechten k-achse. Dabei ist das k-te Rechteck um den Wert k zentriert und hat die Höhe P(X = k) und die Breite. Damit stimmt die Maßzahl der Fläche dieses Rechtecks mit der Wahrscheinlichkeit P(X = k) überein. Die Maßzahl der Gesamtfläche aller Rechtecke ist immer gleich. Begründung: Man würfelt 5-mal hintereinander und hat entweder genau 5 oder 4 oder 3 oder 2 oder oder 0 Treffer, damit sind alle möglichen Ereignisse erfasst, die Gesamtwahrscheinlichkeit muss also sein. HISTOGRAMM für die Binomialverteilung mit n = 0 und p = 6 P ( X = k ) 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0, k MERKE Fläche aller Balken ERWARTUNGSWERT bei BINOMIALVERTEILUNGEN Nimmt eine Zufallsvariable X die Werte k, k2,... k n mit den Wahrscheinlichkeiten,,... P X k P X k P X k an, so gilt für den Erwartungswert 2 n n n ; E X k P X k k P X k k P X k k Einzelwerte P X k Einzelwahrscheinlichkeiten i Vielfach wird statt EX auch geschrieben. i Wir wollen dies nun auf die Binomialverteilung anwenden

39 ERWARTUNGSWERT BERECHNEN GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH Bestimme für n = 5 und p = 0,4 den Erwartungswert der zugehörigen Binomialverteilung. Begründe, warum das Ergebnis auch ohne Rechnung plausibel ist. [Die einzelnen Rechnungen werden mit dem GTR durchgeführt.] LÖSUNG Werte k Wahrscheinlichkeiten P X k 0 0, , , ,3456 0, , , , , , , 052 E X kp X k 2, 0000 Begründung: p = 0,4 bedeutet, dass auf jeder Stufe mit einer Wahrscheinlichkeit von 40% ein Erfolg eintritt. Wird dieses Bernoulli-Experiment sehr oft wiederholt, so kann man 5 0,4 = 2 als Durchschnittswert für diese Experimente erwarten. Der Erwartungswert ist ein Mittelwert, der sich auch im Histogramm bei k = 2 zeigt:, E X P ( X = k ) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0, k MITTELWERT Für den Erwartungswert bei einem n - stufigen Bernoulli - Experiment mit Trefferwahrscheinlichkeit p gilt E X np

40 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH BEISPIELE Binomialverteilung für n = 20 und p = 0,2 0,25 0,2 P ( X = k ) 0,5 0, 0, k Wird ein Bernoulli-Experiment, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 20-mal durchgeführt, dann erwartet man im Mittel 4 Treffer. Binomialverteilung für n = 30 und p = 0,2 0,2 P ( X = k ) 0,5 0, 0, k Wird ein Bernoulli-Experiment, bei dem die Trefferwahrscheinlichkeit p = 0,2 ist, n = 30-mal durchgeführt, dann erwartet man im Mittel 6 Treffer. Weitere Beispiele sind denkbar

41 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH EIGENSCHAFTEN von HISTOGRAMMEN Es soll nun untersucht werden, wie die Graphen (Histogramme) der Binomialverteilung von den sie bestimmenden Parametern n und p abhängen. Abhängigkeit von n, wir variieren n und halten p = 0,7 fest

42 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH ERGEBNISSE. Mit zunehmendem n werden die Histogramme flacher und breiter. (Grund: Die Summe der Flächeninhalte bleibt immer gleich.) 2. Mit zunehmendem n nähern sich die Histogramme immer mehr einer Glockenform an. Sie werden immer achsensymmetrischer. 3. Die Stelle der maximalen Wahrscheinlichkeit liegt beim Erwartungswert μ, wenn p eine ganze Zahl ist, ansonsten bei einem der benachbarten ganzzahligen Werte. 4. Die Stelle mit maximaler Wahrscheinlichkeit rückt, ebenso wie μ mit wachsendem n nach rechts. Abhängigkeit von p, wir variieren p und halten n = 20 fest. P ( X= k ) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 n = 20 / p = 0, μ = k P ( X= k ) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 n = 20 / p = 0,3 μ = k

43 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH P ( X= k ) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 n = 20 / p = 0,5 μ = k P ( X= k ) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 n = 20 / p = 0,7 μ = k P ( X= k ) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 n = 20 / p = 0,9 μ = k

44 GRUNDLAGEN PFLICHTBEREICH ERGEBNISSE. Für p = 0,5 ergibt sich ein achsensymmetrisches Histogramm, Glockenform. 2. Für p 0 und p werden die Histogramme etwas asymmetrischer. 3. Für p < 0,5 ist die Verteilung linksschief. 4. Für p > 0,5 ist die Verteilung rechtsschief. 5. Die Stelle der maximalen Wahrscheinlichkeit liegt beim Erwartungswert μ, wenn p eine ganze Zahl ist, ansonsten bei einem der benachbarten ganzzahligen Werte von k. 6. Die Histogramme für die Wahrscheinlichkeiten p und ( - p) liegen symmetrisch zur Geraden n k (siehe nachfolgendes Beispiel). 2 P ( X= k ) 0,4 0,35 0,3 0,25 0,2 0,5 0, 0,05 0 p = 0, p = 0, k KUMULIERTE WAHRSCHEINLICHKEITEN BEI BINOMIALVERTEILUNGEN (siehe 2. Teil) Häufig treten im Zusammenhang mit der Binomialverteilung Fragestellungen auf, bei denen nicht nur die Wahrscheinlichkeiten für eine bestimmte Trefferzahl gefragt ist. Vielmehr interessiert man sich dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Trefferzahl einen bestimmten Wert nicht überschreitet bzw. unterschreitet oder in einem bestimmten Intervall liegt. HYPOTHESENTESTS (siehe 2. Teil)

45 PFLICHTBEREICH MUSTERAUFGABEN PFLICHTBEREICH AB

46 PFLICHTBEREICH Aufgabe Eine Urne enthält 5 rote, 3 weiße und 2 gelbe Kugeln. a) Es werden 3 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man keine gelbe Kugel? b) Nun werden 2 Kugeln ohne Zurücklegen gezogen. Mit welcher Wahrscheinlichkeit haben die beiden Kugeln die gleiche Farbe? (4 P) Aufgabe 2 In einem Behälter befinden sich 2 rote und 4 blaue Kugeln. Es werden 2 Kugeln mit Zurücklegen gezogen. a) Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit, dass mindestens eine der beiden Kugeln rot ist. b) Wie viele rote Kugeln hätten sich in dem Behälter befinden müssen, damit die Wahrscheinlichkeit, mindestens eine rote Kugel zu ziehen p = 0,84 betragen hätte? (5 P) Aufgabe 3 In einem Behälter befinden sich 6 Kugeln mit den Nummern bis 6. Es wird solange ohne Zurücklegen gezogen, bis eine gerade Nummer gezogen wird. a) Bestimmen Sie die Wahrscheinlichkeit dafür, dass erst im dritten Zug eine gerade Nummer gezogen wird. b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass man höchstens dreimal zieht? (3 P) Aufgabe 4 Bei einem Glücksspiel wird das abgebildete Glücksrad benutzt. Als Einsatz bezahlt man 3. Das Glücksrad wird einmal gedreht. 2 4 Man erhält den Betrag ausbezahlt, dessen Sektor über dem Pfeil zu stehen kommt. 3 Bestimmen Sie den Erwartungswert für den Gewinn. (3 P) Aufgabe 5 Ein Glücksrad hat die Sektoren mit den Zahlen, 2 und 3 mit folgender Wahrscheinlichkeitsverteilung: Sektor 2 3 Wahrscheinlichkeit 0, 2 0,3 0,5 Das Glücksrad wird zu folgendem Glücksspiel verwendet:

47 PFLICHTBEREICH Der Spieler zahlt zunächst Einsatz. Dann wird das Glücksrad dreimal gedreht. Sind die drei ermittelten Zahlen verschieden, bekommt der Spieler seinen Einsatz zurück. Kommt dreimal die, erhält der Spieler 00. Sonst erhält er nichts. Ist dieses Spiel fair? (3 P) Aufgabe 6 (4 P) Aufgabe 7 Ein Basketballspieler übt Freiwürfe. Erfahrungsgemäß trifft er bei 80% seiner Würfe. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit trifft er mit den ersten beiden Würfen zweimal? b) Geben Sie ein Ereignis A und ein Ereignis B an, so dass gilt: 50 PA0, 2 und PB 0,8 0, (3 P)

48 PFLICHTBEREICH LÖSUNGEN Lösung a) Pkeine gelbe , P zwei gleiche P r r P ww P g g b) Lösung 2 (4 P) a) Pmindestens eine rote Kugel Pkeine rote Kugel b) Es sind 4 blaue und n rote Kugeln, insgesamt n + 4 Kugeln. mindestens eine keine P rote Kugel P rote Kugel ,84 2 n 4 n ,84 0,6 6 0,6 n 4 : 0,6 n4 n n entfällt 2 n n n/ Ergebnis: Es hätten 6 rote Kugeln im Behälter sein müssen. Lösung Pu u g a),, (5 P) b) Phöchstens drei Züge Pu u u 3 2 9,, Lösung 4 ERWARTUNGSWERT E Auszahlung , E Gewinn 2,875 3, 00 0,25 ( Verlust pro Spiel) (3 P) (3 P)

49 PFLICHTBEREICH Lösung 5 FAIRES SPIEL 3 P,, 0,2 0,008 P P drei verschiedene Zahlen GEWINNBERECHNUNG E Auszahlung E Gewinn 3!, 2, 3 60, 2 0,30,5 0,8 0,8 0, ,8 0,80 0,98 0,98, 00 0, 02 ( Verlust pro Spiel) ERGEBNIS Das Spiel ist nicht fair. Lösung 6 a) Für den Erwartungswert gilt: E n p 00,6 6, also muss P(X = 6) maximal sein. (3 P) Daher zeigt Abbildung 3 die Verteilung von X. b) P X P P ,20,25 0,45 P P X 5 5 0,2 0,8 Lösung 7 2 a) P zweitreffer 0,8 0, 64 P b) Ereignis A: Er wirft 0-mal und trifft nie. Ereignis B: Er wirft 50-mal und erzielt dabei genau 40 Treffer. (4 P) (3 P)

50 PFLICHTBEREICH PRÜFUNGSAUFGABEN 203-H Neun Spielkarten (vier Asse, drei Könige und zwei Damen) liegen verdeckt auf dem Tisch. a) Peter dreht zwei zufällig gewählte Karten um und lässt sie aufgedeckt liegen. Berechnen Sie die Wahrscheinlichkeit der folgenden Ereignisse: A: Es liegt kein Ass aufgedeckt auf dem Tisch. B: Eine Dame und ein Ass liegen aufgedeckt auf dem Tisch. b) Die neun Spielkarten werden gemischt und erneut verdeckt ausgelegt. Laura dreht nun so lange Karten um und lässt sie aufgedeckt auf dem Tisch liegen, bis ein Ass erscheint. Die Zufallsvariable X gibt die Anzahl der aufgedeckten Spielkarten an. Welche Werte kann X annehmen? Berechnen Sie P X N Ein Fußballspieler verwandelt erfahrungsgemäß 90% aller Elfmeter. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verwandelt er von drei Elfmetern nur den letzten? mindestens einen b) Für ein Ereignis C gilt: 30 0,9 b a 7 c PC. Geben Sie geeignete Werte für a, b und c an. Beschreiben Sie das Ereignis C in Worten. 204-H An einem Spielautomaten verliert man durchschnittlich zwei Drittel aller Spiele. a) Formulieren Sie ein Ereignis A, für das gilt: (4 P) (4 P) P A b) Jemand spielt vier Spiele an dem Automaten. Mit welcher Wahrscheinlichkeit verliert er dabei genau zwei Mal? (3 P)

51 PFLICHTBEREICH 204-N Ein idealer Würfel wird dreimal geworfen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man dabei dreimal die gleiche Augenzahl? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit dafür, mindestens einmal eine Augenzahl größer als 4 zu werfen? c) Notiert man die Ziffern in der gewürfelten Reihenfolge von links nach rechts, erhält man eine dreistellige Zahl. Mit welcher Wahrscheinlichkeit ist diese Zahl kleiner als 66? (3 P) LÖSUNGEN Lösg 203-H a) PA Pkein Ass bei 9 Kartenund Pkein Ass bei 8 Karten PBPDame / Assoder PAss / Dame b) Da spätestens die 6. Karte ein Ass sein muss, kann die Zufallsvariable X die Werte k =, 2, 3, 4, 5 oder 6 annehmen PX 2 PAss bei X oder PAss bei X (4 P) Lösg 203-N a) P A P TTT,, 0009,,, 0009, 09, % 3 P B P mindestens ein Treffer P T, T, T 0, 0, 00 0, , 9 % b7 30 b P C 0, 9 c c0, 90, P C 0, 9 0, a 23 a b a23 b) b Ereignis C: Der Schütze verwandelt von 30 Elfmetern genau 23. (4 P)

52 PFLICHTBEREICH Lösg 204-H a) Das Ereignis A bedeutet: Man verliert von 0 Spielen 8 oder 9 oder 0 Spiele, also mindestens 8 Spiele. b) P X 2 n 4, p, q, k (3 P) Lösg 204-N // 2 / 2 / 2 3 / 3 / / 6 / 6 P dreimal die gleiche Zahl P P P P a) b) P mindestens einmal größer P höchstens c) P Zahl kleiner als 66 P die ersten beiden Ziffern dürfen nicht gleichzeitig 6 sein (4 P)

53 GRUNDLAGEN WAHLBEREICH GRUNDLAGEN WAHLBEREICH mit GTR-VERWENDUNG

54 GRUNDLAGEN WAHLBEREICH KUMULIERTE WAHRSCHEINLICHKEITEN bei BINOMIALVERTEILUNGEN Häufig treten im Zusammenhang mit der Binomialverteilung Fragestellungen auf, bei denen nicht nur die Wahrscheinlichkeit für eine bestimmte Trefferzahl gefragt ist. Vielmehr interessiert man sich dafür, mit welcher Wahrscheinlichkeit die Trefferzahl einen bestimmten Wert nicht überschreitet bzw. unterschreitet oder in einem bestimmten Intervall liegt. BEISPIEL Mit welcher Wahrscheinlichkeit erhält man beim zehnmaligen Werfen einer Laplace-Münze höchstens sechsmal Wappen? Nach unseren bisherigen Betrachtungen müssten wir nun die Wahrscheinlichkeiten für die Trefferzahlen von 0 bis 6 addieren: PX 6 PX 0PX P X 2 P X 3 P X 4PX 5PX 6 P ( X= k ) 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 n = 0 / p = 0,5 μ = k Wahrscheinlichkeiten z u s a m m e n f a s s e n 0,9 0,8 0,7 0,6 0,5 0,4 0,3 0,2 0, 0 n = 0 / p = 0,5 kumuliert P ( X 6 ) k

55 GRUNDLAGEN WAHLBEREICH Aus dem oberen Histogramm ergibt sich das untere Histogramm durch Aufsummieren der einzelnen Balkenflächen von 0 bis 6. Würde man die Summe bis zum 0-ten Balken bilden, so erhielte man im unteren Diagramm den 0-ten Balken mit der Fläche. BERECHNUNGEN mit dem GTR Mithilfe des GTR lassen sich die kumulierten Wahrscheinlichkeiten leicht ermitteln. Für eine binomialverteilte Zufallsvariable X erhält man die Summe der Wahrscheinlichkeiten bis zu einer bestimmten Trefferzahl k mit dem Befehl binom cdf (n, p, k). Man ruft dazu über die Tastenkombination 2nd VARS das Menü DISTR auf, wählt den Punkt binom cdf und gib dann die gewünschten Werte ein. Für unser Beispiel (höchstens sechsmal Wappen bei 0-maligem Münzwurf) ergibt sich damit: P X 6 0, , 8 % VERSCHIEDENE FÄLLE P X k 0 höchstens k Treffer k n P X k k- 0 weniger als k Treffer k n k- P X k 0 k mindestens k Treffer n k+ P X k 0 k mehr als k Treffer n Pk X k k 2 k 2 0 mindestens k und höchstens k 2 n - 5 -

56 GRUNDLAGEN WAHLBEREICH SIGNALWÖRTER Hierbei bietet es sich besonders an, mit dem GEGENEREIGNIS zu rechnen. Mindestens Treffer: P X P X 0 Höchstens (n ) Treffer: P X n P X n MERKE Der GTR liefert immer nur die Werte für P X k, nicht aber die Werte für PX k Um diese zu bestimmen, muss man mit dem GEGENEREIGNIS rechnen., GTR - Einsatz P X k berechnet man mit binom pdf ( n, p, k) P X k berechnet man mit binom cdf ( n, p, k) P X k -P X k - binom cdf ( n, p, k) P X k -P X k - binom cdf ( npk,, ) P k X k P X k P X k binom cdf ( n, p, k ) binom cdf ( n, p, k ) TYPISCHE FRAGESTELLUNGEN Ein Laplace-Würfel wird 00-mal geworfen. a) Mit welcher Wahrscheinlichkeit ergibt sich () genau 0-mal eine Sechs, (2) höchstens 20-mal eine Sechs, (3) mindestens 0-mal aber weniger als 20-mal eine Sechs? b) Wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mehr als eine Sechs zu erhalten?

57 GRUNDLAGEN WAHLBEREICH LÖSUNGEN a) P X (), % Die einfache Wahrscheinlichkeit (Bernoullikette) berechnet man per GTR mit binom pdf (n,p,k). (2) PX , 8 % Die kumulierte Wahrscheinlichkeit (Bernoullikette) berechnet man per GTR mit binom cdf (n,p,k). (3) P0 X 20PX 9PX , 9 % Differenz kumulierter Wahrscheinlichkeiten b) Mindestens mehr als mehr als Aufgabe Wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mehr als eine Sechs zu würfeln? VERFAHRENSWEISE EREIGNIS mehr als eine Sechs würfeln PX ANSATZ Wahrscheinlichkeit über 90 % PX 0, 9 Der GTR kennt nur P X, daher muss umgeformt werden. GEGENEREREIGNIS höchstens eine Sechs würfeln PX UMFORMUNG PX PX ANSATZ mit dem GEGENEREIGNIS PX 0,

58 GRUNDLAGEN WAHLBEREICH Gesucht ist die Größe n (wie oft muss gewürfelt werden?) Man definiert nun eine Funktion für den GTR, wobei Y die kumulierte Wahrscheinlichkeit und X die Anzahl der Würfe sein soll. FUNKTION (im Formeleditor Y = eingeben) TABELLE (über TABLE aufrufen) Man durchsucht nun die Tabelle, bis die Bedingung Y 0, 9 erfüllt ist, dabei muss die Schrittweite der Tabelle auf ΔTbl = eingestellt sein, ansonsten erhält man bei den Zwischenwerten die Anzeige Error in der Y -Spalte. Wie man sieht, ist die Bedingung ab n = 22 erfüllt. Man muss also mindestens 22-mal würfeln, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mehr als 90% mehr als eine Sechs zu erhalten. VARIATION Mindestens mindestens mindestens Aufgabe Wie oft muss man einen Würfel mindestens werfen, um mit einer Wahrscheinlichkeit von mindestens 90% mindestens eine Sechs zu würfeln? PX PX 0 0, 9 ERGEBNIS Das Ereignis würde bereits nach 3 Würfen (also schneller) eintreten

59 GRUNDLAGEN WAHLBEREICH HYPOTHESENTESTS bei Binomialverteilungen / SIGNIFIKANZTEST Ein statistisches Testverfahren lässt sich im Prinzip mit einem Gerichtsverfahren vergleichen. Das Verfahren hat (meistens) den Zweck festzustellen, ob es ausreichend Beweise gibt, den Angeklagten zu verurteilen. Es wird dabei immer von der Unschuld eines Verdächtigen ausgegangen. So lange große Zweifel an den Belegen für ein tatsächliches Vergehen bestehen, wird ein Angeklagter freigesprochen. Nur wenn die Indizien für die Schuld eines Angeklagten deutlich überwiegen, kommt es zu einer Verurteilung. Es gibt demnach zu Beginn des Verfahrens ZWEI HYPOTHESEN H 0 der Verdächtige ist unschuldig (Nullhypothese) H der Verdächtige ist schuldig Man wird versuchen stets, die Gegenhypothese zu beweisen. (Gegenhypothese / Alternativhypothese) Um einen Unschuldigen nicht zu leicht zu verurteilen, wird die Hypothese der Unschuld erst dann verworfen, wenn ein Irrtum sehr unwahrscheinlich ist. Aufgrund der stochastischen Struktur des Testproblems lassen sich aber - wie in einem Gerichtsverfahren - Fehlentscheidungen grundsätzlich nicht vermeiden. BEISPIEL LOSVERKÄUFER / LINKSSEITIGER TEST Ein Losverkäufer behauptet, dass sich in einer Urne unter 00 Losen mindestens 40 Gewinne befinden. Ein Spieler ist skeptisch und will die Aussage prüfen. Dazu entnimmt er der Urne 20 Lose (mit Zurücklegen). Bei wie vielen Gewinnlosen kann er der Behauptung des Losverkäufers widersprechen, wenn die Irrtumswahrscheinlichkeit höchstens 5% betragen soll? WIE WIRD VERFAHREN? HYPOTHESE und GEGENHYPOTHESE aufstellen (unverzichtbar) H : p 0, 4 ( Nullhypothese) Anzahl der Gewinne mindestens 40% 0 H : p 0, 4 ( Gegenhypothese) Anzahl der Gewinne geringer als 40%