EPREUVE SPECIFIQUE EN MATHEMATIQUES - Session 2007 SECTION EUROPEENNE Mathématiques et Allemand - Session 2007 Sujet 1

Transkript

1 - Session 2007 Sujet 1 Gegeben ist ein gleichseitiges Dreieck ABC mit AB=5cm. Man nennt I den Mittelpunkt der Strecke [BC]. a) Wie groß ist die Länge AI? Zuerst wird eine Figur gezeichnet. (Siehe unten). Die Länge BI beträgt die Hälfte der Länge der Seite a. AI entspricht der Höhe des Dreieckes. Wir berechnen sie mit Hilfe des Satzes von Pythagoras. Im rechtwinkligen Dreieck AIB : IB=a/2 ; AB=a ; AB 2 = AI 2 + IB 2 Daraus folgt: AI 2 =AB 2 IB 2 =a 2 (a /2) 2 =3a 2 /4 Es ergibt sich: AB gleich Wurzel aus 3a 2 /4, so AB= 3a Mit a= 5 cm, erhalten wir: AI = cm. 2 b) Berechnen Sie das Volumen eines Prismas, dessen Höhe h 4 cm beträgt und dessen Grundfläche das Dreieck ABC ist. (Volumen eines Prismas: V = G x h, wobei G = Grundflächeninhalt und h = Höhe des Prismas) Wir müssen zuerst den Grundflächeninhalt G berechnen. Es geht darum, die Grundfläche des Dreieckes ABC zu berechnen. Die Formel dafür ist: G = AI mal AB durch 2. G= = in Quadratzentimetern Wir multiplizieren mit der Höhe (4cm). Das Ergebnis ist: V =25 3 in Kubikzentimetern c) * Drücken Sie dieses Volumen in Abhängigkeit von a aus, wenn AB = a cm (a>0)! G= AI AB = a 3 2 a= a2 3 4 V =G 4=a 2 3 * Für welchen Wert von a ist dieses Volumen 40 3 cm 3 groß? Wir lösen die Gleichung: V =40 3 Das ist äquivalent zu: a 2 =40, also a= 40=2 10 das Dreieck ABC (alle Seiten sind gleich lang) das Prisma (dessen Grundfläche ABC ist)

2 Sujet 2 Temperatur wird meistens mit Celciusgrad ( C) gemessen. Dem Namen eines deutschen Physikers (Daniel Gabriel Fahrenheit: 1686/1736) nach heißt eine andere Temperatureinheit Fahrenheitgrad ( F). Die Temperatur T in F kann man in Abhängigkeit von der Temperatur t in C durch eine lineare Funktion T = at + b beschreiben. 1) Wasser kocht bei 100 C, aber bei 212 F; Wasser wird zu Eis bei 0 C, aber bei 32 F. Begründen Sie (justifier), dass die folgende Funktionsgleichung T = 1,8 t + 32 lautet. Wir wissen dass T (in F) ist eine lineare Funktion von t (in C) aber wir kennen nicht die Koeffizienten a und b. Mit Hilfe der Informationnen in der Aufgabe wird man ein Gleichungsystem stellen. - Wenn die Temperatur t 100 Celsiusgrad beträgt, dann ist die Temperatur T gleich 212 Fahrenheitgrad. Wir erhalten eine erste Gleichung : (1) 212=a 100+ b oder 100 a+ b=212 - Wenn die Temperatur t Null Celsiusgrad beträgt, dann ist die Temperatur T gleich 32 Fahrenheitgrad. Wir erhalten eine zweite Gleichung : (2) 32=a 0+ b=b Also b ist gefunden: b = 32. Jetzt können wir auch a bestimmen : (1) 212=a Daraus folgt: a = 180 / 100 = 1,8. Die Formel T =1,8t + 32 haben wir also begründet. 2) Am 2. Juni 2004 war die äußere Temperatur 24 C hoch. Wie hoch war sie in F? Die Temperatur t ist angegeben. Gesucht ist ihre Äquivalent T in Fahrenheitgrad. Wir berechnen: T =1, =.. 3) Der absolute Nullpunkt (zéro absolu = point le plus bas de l échelle des températures) beträgt 273,15 F. Wieviel beträgt er in C? Diesmal wird die Temperatur T angegeben. Gesucht ist die Temperatur in Celsiusgrad. Wir lösen: 273,15=1,8t+ 32 t= 273, ,53 1,8 NB: um eine lineare Gleichung zu lösen, bringen wir die Variable t allein auf eine Seite, alle andere Terme auf die andere Seite. Auf (+Akk) eine Seite bringen : mettre dans un membre (de l'équation) 4) In seinem Film Fahrenheit 451 hat der französische Filmregisseur François Truffaut seine Liebe zu Büchern gezeigt. (451 F ist die Temperatur, die bei einem Autodafé (= Buchverbrennung) erreicht wird). Wie hätte der Titel gelautet, wenn die Temperatur in C angegeben worden wäre? Nochmals lösen wir eine lineare Gleichung, wo die Unbekannte die Temperatur t in Celsiusgrad ist Die Gleichung 451=1,8t+ 32 hat folgende Lösung : t= 232,8 (in C) 1,8 Der Titel des Films hätte so lauten können : Celsius 232,8

3 Sujet 3 Die Flugbahn eines Körpers (z.b. eines Balls) beim schiefen Wurf wird durch den Graphen der Funktion h(t) = t 5t² beschrieben, wobei h die Höhe (in Zentimetern) und t die Zeit (in Sekunden) bedeuten. schief: oblique der Wurf (werfen) : le jeter, le lancer die Flugbahn : la trajectoire a) Bringen Sie die Funktionsgleichung auf die Scheitelform! h(t) = t 5t² Die Koeffizienten a, b und c sind alle durch 5 teilbar. Wir nehmen -5 als gemeinsamen Faktor : h(t)= 5(t 2 4 t 9) Jetzt bringen wir den Term in Klammern zur Scheitelpunktform. t 2 4t 9 = t 2 2 2t (wir ergänzen mit einem Quadrat) In den drei ersten Termen erkennen die zweite binomische Formel a 2 2ab+ b 2 =(a b) 2 t 2 4t 9 = [t 2 2 2t+ 2 2 ] 2 2 9=(t 2) 2 4 9=(t 2) 2 13 Daraus kommt die Scheitelform für h(t) : h(t) = 5[(t 2) 2 13] = 65 5(t 2) 2 b) Zeichnen Sie die Flugbahn im Koordinatensystem! Eine Skizze zeichnen und beschreiben! Man zeichnet beide Achsen: die x-achse, und die y-achse, und den Ursprung O. Für t=0, startet der Graph in dem Punkt (0, 45) auf der y-achse. Die Flugbahn ist ein Stuck einer Parabel. (Warum? Weil jede quadratische Funktion mit einer Parabel dargestellt ist!). Der Koeffizient a von x^2 ist negativ, das heisst dass die Parabael nach unten geöffnet (gedreht) ist. Sie hat also einen Hochpunkt (den höchsten Punkt des Graphen) das ist der so-genannte Scheitelpunkt! c) Wann ist der höchste Punkt der Flugbahn erreicht und wann schlägt der Körper am Boden ( h=0) wieder auf? Die Koordinaten des Scheitelpunkts S liest man direkt auf der Scheitelpunktform. h(t) = 65 5(t 2)2 Das bedeutet dass, für jede Zeit t h(t) kleiner gleich 65 ist positiv (man subtrahiert 65 mit einer positiven Zahl ; das Ergebnis muss also kleiner als 65 sein) Für t = 2, erreicht der Körper genau die maximale Höhe : h(2) = 65. Das heisst, dass 65 das Maximum der Funktion ist. Der Scheitelpunkt hat die Koordinaten (2 ; 65). d) In welcher Höhe beginnt die Flugbahn? Mit t =0, also in der Höhe h(0) = 45 (cm). Wann erreicht der Körper für einen Augenblick wieder diese Höhe? Es geht darum, die Gleichung h(t)=45 zu lösen. Keine Diskriminante bitte! Nur faktorisieren!! h(t)=45 20 t 5 t 2 =0 5t(4 t)=0 t=0 oder t=4 Also 4 Sekunden später kommt der Ball (der Körper) wieder in dieser Höhe von 45 cm.

4 Sujet 4 Ein rechteckiger Platz ist 120 m lang und 80 m breit. 1/ a) Wie groß ist der Umfang des Platzes? b) Wie groß ist der Flächeninhalt des Platzes? Nun wird die Länge um 10% vergrößert und die Breite um 10% verkleinert. 2/ a) Berechnen Sie den Umfang des neuen Platzes! b) Um wie viel Prozent hat der Umfang zugenommen? 3/ a) Berechnen Sie den Flächeninhalt des Neuen Platzes. b) Um wie viel Prozent hat der Flächeninhalt abgenommen?

5 Sujet 5 Gegeben ist eine quadratische Funktion f, die der Zahl x R den Funktionwert f (x)= x x+ 15 zuordnet a) An welchen Stellen hat f den Funktionswert 15? (an welchen Stellen = für welche x-werte) Man löst die folgende Gleichung: f (x)=15 x x=0 x( x+ 2)=0 x=0oder x=2 b) Bestimmen sie die Extremstelle und den Extremwert der Funktion f! Was für einen Extremwert besitzt die Funktion f? Man kann die Funktion zur Scheitelpunktform bringen. Dafür benutzt die allgemeine Formel: f (x)=a(x α) 2 +β mit α= b und β=f (α) 2a Man kann auch die Methode der quadratischen Ergänzung verwenden (aber ziemlich riskant!) f (x)= x x+ 15= [ x 2 2 x 15]= [ x 2 2 x+ 1 16]= [(x 1) 2 16]= (x 1) Diese Form gibt den x-wert des Scheitelpunktes S α=1 an und den y-wert von S: β=16. Der Scheitelpunkt hat also die Koordinaten (1 ; 16). Da der Koeffizient a von x 2 negativ ist, ist der Scheitelpunkt ein Hochpunkt der Parabel von f. Die Funktion besitzt also ein Maximum: 16 ist der Extremwert (das Maximum) ; 1 ist die Extremstelle. Man könnte auch die Funktion ableiten (dériver), die Ableitung f ' (x) auf Vorzeichnen untersuchen, und daraus die Monotonie der Funktion f bestimmen. NB : f ' (x) liest man : f Strich von x 2/ Ein Rechteck ist 5 cm lang und 3 cm breit. Sein Umfang soll unverändert bleiben. Um wie viel muss man seine Länge kürzer und die Breite länger machen, damit der Flächeninhalt des Rechtecks zu einem Maximum wird? Der Umfang ist fixiert. Er soll immer 2(5+3)=16 cm betragen. Nehmen wir an, dass die Länge um x cm abnimmt, und die Breite um y cm zunimmt. Der Umfang soll immer 16 betragen: 2[(5-x) + (3+y)] = 16 => 8 + y x = 8 => x = y. Jetzt drücken wir die Fläche in Abhängigkeit von x aus: F(x) = Breite mal Länge = (5-x)(3+x). Wenn wir F(x) ausmultiplizieren (développer), erhalten wir die selbe Funktion f(x) wie in der Frage 1! So können wir beantworten, dass die Fläche für x=1cm am größten ist. Das Rechteck ist dann ein Quadrat : seine Länge wird 5 1 = 4cm seine Breite wird = 4cm

6 Sujet 6 1) Lösen Sie das folgende Gleichungssystem : ìï x + y = 560 í ïî 0,9x + 1, 2y = 556,5 Zuerst die zweite Gleichung vereinfachen: mit zehn multiplizieren, dann durch drei dividieren. Es kommt: (2) 3x + 4y = Aus der ersten Gleichung: (1) y = 560 x. In der zweiten Gleichung y mit 560 x ersetzen (remplacer) : (2) x = 1855 ; x = 385 Dann : y = = ) In einem Ferienkatalog sind für eine Flugreise zwei Preisbeispiele angegeben. ìï 2 Erwachsene und 2 Kinder zahlen 1120 í ïî 3 Erwachsene und 4 Kinder zahlen 1669,50 Angegeben wird auch folgende Werbung: Ab 7 Personen gibt es eine Gruppenermäßigung von 10 %. [die Ermäßigung = le rabais, la réduction] Beweisen Sie, dass die Reise für 4 Erwachsene und 5 Kinder kostet, indem Sie zuerst den normalen Preis für einen Erwachsenen und den normalen Preis für ein Kind bestimmen. VOKABEL (Gleichungen) eine Gleichung auf-stellen : poser une équation eine Gleichung lösen : résoudre une équation die Ungleichung (-en) : inéquation die Lösungen (heraus)finden / suchen / bestimmen der Lösungsweg : la résolution die Lösungsmenge : l'ensemble des solutions ersetzen : remplacer / ich ersetze x duch y.. je remplace x par y ich setze x in y ein (ein-setzen) : substituer / placer (je substitue x à y ; je place x dans y ) eine Gleichung hat zwei Seiten (deux membres, deux côtés) ich bringe alle Terme auf die erste Seite (auf + Akk) : je mets tous les termes dans le premier membre ich dividiere alle Terme (oder beide Seiten) durch 3 ; ( ich habe dividiert) man kann die Gleichung vereinfachen, indem man beide Seiten mit zehn multipliziert. man kann mit einen gemeinsamen Faktor faktorisieren. (ich habe faktorisiert) aus-multiplizieren (ich habe ausmultipiziert) : développer Quadratische Gleichungen: ax 2 + b x+ c=0 die Diskriminante Δ =b 2 4 ac ; die Lösungsformel : x= b± Δ 2a

7 Sujet 7 1) Gegeben ist die Parabel mit der Gleichung: y = 2x 2 4x + 4. Bestimmen Sie die Koordinaten ihres Scheitelpunktes S. Wir bringen den quadratischen Term 2x 2 4x + 4 zur Scheitelpunktform mit Hilfe der Quadratischen Ergänzung : y=2[ x 2 2 x+ 2]=2[ x 2 2 x ]=2(x 1) zweite binomische Formel Aus dieser Form kann man feststellen (constater), dass 2 das Minimum der Funktion ist. Denn, für alle Werte x ist der Term 2(x 1) 2 immer positiv und y ist dann grösser oder gleich 2. Für x gleich 1 wird y genau gleich 2. Das heiβt, dass die Funktion ein Minimum von 2 für x=1 erreicht. Der Scheitelpunkt S der Parabel hat also die Koordinaten (1 ; 2). Der Punkt S entspricht einem Tiefpunkt (er ist der tiefste Punkt der Parabel). 2) Ein quadratischer Holztisch soll entsprechend der unten stehenden Skizze mit Einlegearbeit* verziert* werden. * die Einlegearbeit = la marqueterie. * verzieren = décorer. x m 2 m 0 x 2 Aus Kostengründen muss die verzierte, gestrichelte Fläche möglichst klein sein. a. Für welchen Wert von x ist die verzierte Fläche am kleinsten? b. Wie groß ist der entsprechende Flächeninhalt? Was können Sie feststellen? Man muss den Flächeninhalt von der verzierten Fläche des Tisches berechnen. F(x) = x 2 (Flächeninhalt des linken Quadrates) + (2 x) 2 (Flächeninhalt des rechten Quadrates) Durch ausmultiplizieren ergibt sich: F (x)=x x+ x 2 =2 x 2 4 x+ 4 Es ist genau die selbe Funktion wie in Frage 1! Deswegen kennen wir schon die Antwort: die verzierte Fläche ist am kleinsten für x = 1. Der Flächeninhalt beträgt dann F(1) = 2 (in Quadratmetern). Man kann auch sehen, dass die verzierte Fläche mit x=1 symmetrisch wird, und genau der Hälfte des Tisches entspricht. etwas +Datif entsprechen : correspondre à. das entspricht dem Wert.. (cela correspond à la valeur