Prüfungsteil 2, Aufgabe 4 Analytische Geometrie

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1 Abitur Mathematik: Prüfungsteil, Aufgabe 4 Analytische Geometrie Nordrhein-Westfalen 0 GK Aufgabe a (). SCHRITT: MITTELPUNKT DER GRUNDFLÄCHE BERECHNEN Die Spitze befindet sich einen Meter senkrecht über dem Diagonalenschnittpunkt M der Grundfläche ,5 mit 4 5 0,5 0,5 0, , ,5 4, ,5 4,5 0 4,5 4,5. SCHRITT: KOORDINATEN DER SPITZE ANGEBEN Die Koordinate ist um eine Einheit größer als die Koordinate von M. Also hat S die Koordinaten 4,5 4,5. Aufgabe a (). SCHRITT: DEN VEKTOR BERECHNEN 4,5 5 0,5 4,5 4 0,5. SCHRITT: LÄNGE DES VEKTORS BERECHNEN 0,5 0,5,5, Eine Längeneinheit entspricht einem Meter, also ist die Seite etwa, m lang.

2 3. SCHRITT: SEITENLÄNGEN ANGEBEN Da es sich um eine gerade Pyramide handelt, ist das Dreieck ABS gleichschenklig. Die Seiten und sind also jeweils etwa, m lang. Die Länge der Seite ist mit m schon angegeben (Seitenlänge der quadratischen Grundfläche). Aufgabe a (3). SCHRITT: VOLUMEN BERECHNEN Die Grundfläche ist ein Quadrat der Seitenlänge m und die Höhe der Pyramide ist laut Aufgabenstellung auf m. Im Modell ist also 3 3 3, d. h. das Volumen beträgt m3.. SCHRITT: DIE HÖHE EINER SEITENFLÄCHE BERECHNEN Die Oberfläche der Pyramide setzt sich aus der quadratischen Grundfläche und vier kongruenten Dreiecken als Seitenflächen zusammen. Die Höhe eines dieser Dreiecke bildet mit der Höhe der Pyramide und einer Strecke auf der Grundfläche ein rechtwinkliges Dreieck: Da es sich um eine gerade vierseitige Pyramide handelt, ist genau halb so lang wie die Seitenlänge der Grundfläche. Somit ist nach dem Satz des Pythagoras 0,5 5,. 3. SCHRITT: OBERFLÄCHENINHALT BERECHNEN Die Grundseite einer Seitenfläche beträgt eine Längeneinheit. Der Flächeninhalt einer Seitenfläche ist somit ,56. Für die Gesamtoberfläche der Pyramide gilt also 4 5 3,4. Die Pyramide hat demnach eine Oberfläche von etwa 3,4 m.

3 Aufgabe b. SCHRITT: GERADENGLEICHUNGEN AUFSTELLEN Aus der Abbildung ist ersichtlich, dass die Lichtstrahlen nur die Seitenfläche treffen. Die Eckpunkte des Schattendreiecks sind somit die Schnittpunkte der Geraden b (LB), c (LC) und s (LS) mit der Ebene. Dabei ist 4,5 5 4,5 4,5 0,5 : ,, 0 4,5 4 4,5 4,5 0,5 : , 0 und 4,5 4,5 4,5 4,5 0 : 9 4, ,5,.. SCHRITT: SCHNITTPUNKTE DER GERADEN MIT DER X-Z-EBENE BERECHNEN Die x z Ebene hat die Gleichung 0. Somit gilt für die Koordinate des Schnittpunkts von mit der Wand: ,5. 4 Analog gilt für die Koordinate des Schnittpunkts von mit der Wand: ,5 und für die Koordinate des Schnittpunkts von mit der Wand: 9 4, ,5. Durch Einsetzen dieser Parameter in die entsprechenden Geradengleichungen erhält man 4,5 0,5 5,65 9,5 4 0, 0 4,5 0,5 3,375 9,5 4 0 und 0 4,5 0 4,5 9 4,5 0, 3 d. h. die Schattenpunkte sind 5,65 0, 3,375 0 und 4,

4 3. SCHRITT: ZWEI SEITENLÄNGEN DES SCHATTENDREIECKS BERECHNEN Die Abbildung legt nahe, dass und gleich lang sind. Wegen 4,5 5,65, ,5 3 und 4,5 3,375, ,5 3 ist dies auch tatsächlich der Fall. 4. SCHRITT: FLÄCHENINHALT DES SCHATTENDREIECKS BERECHNEN Die Grundseite des Schattendreiecks ist die Differenz der Koordinaten von und, also 3,375 5,65,5. Die zugehörige Höhe ist die Differenz der Koordinaten, also 3. Somit ist der Flächeninhalt des Schattendreiecks,5,5 m. Aufgabe c (). SCHRITT: MITTELPUNKT P DER SEITE [AB] BERECHNEN Die Seitenhalbierende der Seite [AB] geht durch den Mittelpunkt von [AB] und durch den Punkt S. Dabei ist ,5 5 4,5. SCHRITT: MITTELPUNKT M DER SEITENHALBIERENDEN BESTIMMEN ist der Mittelpunkt von [ ], also 5 4,5 4,75 4,5 4,5 4,5,5 4,75 4,5,5. Aufgabe c (). SCHRITT: RICHTUNGSVEKTOR PRÜFEN 4

5 Der Laserstrahl verläuft senkrecht aus die Fläche. Der Vektor ist genau dann ein Richtungsvektor dieses Strahls, wenn er auf die beiden Richtungsvektoren und senkrecht steht. Dabei ist 0, ,5 (s.o.) und Also gilt 0,5 0 0,5 0,5 0 0,5 0 und Somit steht senkrecht auf und ist daher ein Richtungsvektor des Laserstrahls. Da die Koordinate des Richtungsvektors null ist, verläuft der Laserstrahl parallel zur Ebene. Somit kann die Lichtquelle nur an der Wand 9 oder an der Decke hängen.. SCHRITT: GERADENGLEICHUNG DER GERADEN m AUFSTELLEN Der Laserstrahl verläuft entlang der Geraden m mit dem Aufpunkt M und dem Richtungsvektor : 4,75 : 4,5 0,,5 3. SCHRITT: SCHNITTPUNKT DER GERADEN MIT DER HALLENWAND BERECHNEN Die betreffende Hallenwand hat die Gleichung 9. Setzt man die erste Koordinate der obigen Geradengleichung gleich 9, so ergibt sich 4,75 9,5 Einsetzen dieses Parameters in die Geradengleichung liefert 4,75 9 4,5,5 0 4,5.,5 3,65 Da die Koordinate dieses Punktes kleiner als 5 ist, befindet sich dieser Punkt unterhalb der Decke. Die Position der Laserlichtquelle ist somit der Punkt 9 4,5,

6 Aufgabe d (). SCHRITT: AUFPUNKT DER EBENE MARKIEREN SCHRITT: RICHTUNGSVEKTOREN ABTRAGEN Trägt man die beiden Richtungsvektoren der Ebene vom Aufpunkt aus ab und verlängert sie bis zur nächsten Raumbegrenzung (Wand, Boden oder Decke), so ergibt sich folgendes Bild: 3. SCHRITT: SPUR DES LASERSTRAHLS EINZEICHNEN 6

7 Die Spur des Laserstrahls auf den Raumbegrenzungen sieht also wie folgt aus: Aufgabe d (). SCHRITT: VORÜBERLEGUNG Die Strecke [BS] liegt genau dann auf der Schnittgeraden, wenn beide Endpunkte sowohl auf der Ebene als auch auf liegen. Dass und auf ist klar, da das ganze Dreieck enthält.. SCHRITT: PRÜFEN, OB B UND S AUF LIEGEN Zu prüfen bleibt, ob 5 5 und 4,5 4,5 auf liegen. Das ist genau dann der Fall, wenn es Zahlen,, und gibt, so dass und , ,5 gilt. 5 0 Die. Koordinate der ersten Gleichung liefert 3 5 und die. Koordinate der ersten Gleichung liefert 5. Die. Koordinate der zweiten Gleichung liefert 3 4,5,5 und die. Koordinate der zweiten Gleichung liefert 4,5. Einsetzen der gerade berechneten Zahlen,, und in obige Gleichungen liefert wahre Aussagen (die Teilgleichungen für alle drei Koordinaten sind jeweils erfüllt). Also liegen und auf, folglich ist die Strecke [BS] ein Abschnitt der Schnittgeraden (s.o.). 7