11. Klasse TOP 10 Grundwissen 11 Umkehrung, Steckbriefaufgabe, Optimierung 10

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1 Umkehrung, Steckbriefaufgabe, Optimierung 10 Umkehrfunktion Beispiel: Gesucht ist die Umkehrfunktion zu f() = , D f =] ; 2], W f = [1; [ Umkehrung bedeutet, zu jedem y-wert jetzt umgkehrt den - Wert zu finden; damit dies eindeutig möglich ist, muss bei der hier vorliegenden quadratischen Funktionsgleichung der Definitionsbereich eingeschränkt werden siehe Skizze! Gleichung schreiben: y = , 2, y 1 y Variablentausch y (auch bei D f, W f ): = y 2 4y + 5, y 2, 1 Nach y auflösen: y 2 + 4y + 5 = 0; y 1/2 = 2 ± = 2 ± 1 Blick auf D f, W f liefert: y = 2 1, da y 2 Also: f 1 () = 2 1, D f 1 = W f, W f 1 = D f In der Zeichnung ist der Graph an der Winkelhalbierenden des 1./3. Quadranten zu spiegeln. Steckbriefaufgabe (d. h. gesucht ist eine Funktion mit vorgegebenen Eigenschaften) Steckbrief-Beispiel: Gesucht ist eine Polynomfunktion 3. Grades mit Min(0 3), Wendepunkt bei = 2 mit Wendetangenten-Steigung 4. Ansatz: f() = a 3 + b 2 + c + d f () = 3a 2 + 2b + c f () = 6a + 2b Die gegebenen Informationen werden jetzt abgearbeitet und mit Hilfe des Ansatzes umgesetzt: Min(0 3) bringt zwei Informationen: Min bei = 0: f (0) = 0: c = 0 Punkt (0 3): f(0) = 3: d = 3 Ferner: WP bei = 2: f (2) = 0: 12a + 2b = 0 Steigung bei = 2 ist 4: f (2) = 4: 12a + 4b = 4 Lösen dieses Gleichungssystems: a = 1 3, b = 2. Also: f() = Nachrechnen zeigt, dass bei = 0 tatsächlich ein Min vorliegt (f (0) > 0) Geradengleichungen aufstellen Fall 1: Gegeben sind Steigung m und Punkt P ( 1 y 1 ): Ansatz y = m + t mit gegebenem m. Einsetzen der Punktkoordinaten für und y liefert t. Fall 2: Gegeben sind zwei Punkte P ( 1 y 1 ) und Q( 2 y 2 ): Steigungsdreieck: m = y 2 y Weiter mit m und P wie in Fall 1. Optimierungsaufgabe Beispiel: Mit einer 50 m 2 -Grassamen-Packung soll entlang einer Mauer eine rechteckige Fläche angelegt werden, die möglichst wenig Zaun zur Eingrenzung benötigt. Rechnung in der Einheit m Rezept: GNADE : b Größe, die etremal werden soll, mit Berechnungsformel: a Zaunlänge l = 2a + b Nebenbedingung: (Braucht man, wenn mehrere Unbekannte [hier: a, b] vorliegen, um eine Unbekannte durch die andere auszudrücken) Fläche a b = 50 Ausdrücken der zu optimierenden Größe durch Funktion einer Variablen: N liefert b = 50 a Einsetzen in G liefert l = 2a + 50 a Umbenennung a liefert Funktion: f() = Differenzieren: f () = = Etremwerte suchen und Ergebnis schreiben: f () = 0 liefert 2 = 25, = +5 ( = 5 nicht sinnvoll; f (5) > 0 Min) Ergebnis: Die kleinste Zaunlänge ergibt sich für a = 5, b = 50 = 10 (aus N), 5 und sie beträgt l = 2a + b = 20.

2 Grenzwerte 0 1 Beispiel: f() = Definitionslücken: = 0 ergibt 1/2 = 1,5 ± 2,25 2, also 1 = 2, 2 = 1. Mit den Grenzwerten lim 1±0 f() und lim 2±0 f() wird das rechts- bzw. linksseitige Verhalten der Funktion in der Nähe der Definitionslücken ermittelt. Im Folgenden: Rechtsseitig (oberes Vorzeichen), linksseitig (unteres Vorzeichen) 1 h-methode 2 Definitionslücke 1 = 2: lim f() 2±0 = 2(2 ± h) 2 2 lim f(2 ± h) (2 ± h) 2 3(2 ± h) + 2 = 8 ± 8h + 2h ± 4h + h 2 6 3h + 2 = 6 ± 8h + 2h 2 ±h + h 2 = (Nun h ausklammern!) 6 ± 8h + 2h 2 h(±1 + h) ± (Zuletzt betrachte man die Vorzeichen in Zähler (+6, der Rest spielt keine Rolle, da sehr klein) und Nenner (±1), um das Vorzeichen ± zu ermitteln.) Definitionslücke 2 = 1: 2(1 ± h) 2 2 lim f() f(1 ± h) 1±0 (1 ± h) 2 3(1 ± h) + 2 =... = ±4h + 2h 2 h + h 2 = (Nun h ausklammern, kürzen!) h(±4 + 2h) h( 1 + h) ±4 + 2h 1 + h = 4 Kurzform Notwendig ist hierfür, Zähler und Nenner zu faktorisieren (man berechne Nullstellen bzw. Definitionslücken, dann minus Lösung ; falls möglich: kürzen; bei der Grenzwertrechnung verwendet man dann den gekürzten Term): Definitionslücke 1 = 2: f() = 2( + 1)( 1) ( 1)( 2) = 2( + 1) 2 lim f() = 2 3 ± 2±0 ±0 Vorzeichen im Nenner beachten: +0 oder 0? 3 Definitionslücke 2 = 1: Man denke sich 2 ± 0 für eingesetzt lim f() = 2 2 1±0 1 = Es empfiehlt sich, zuerst rechtsseitig zu betrachten und dann für linksseitig mit Farbstift die Vorzeichen an den entsprechenden Stellen zu ändern. 2 h denkt man sich sehr klein (fast 0), aber positiv. 3 Ergibt sich die Situation 0 0, so hat man das Kürzen übersehen; in dieser Situation könnte man notfalls nur mit L Hospital weitermachen.

3 L Hospitalsche Regel 2 Regel von de l Hospital: Sind u und v in den jeweiligen Bereichen differenzierbare Funktionen und ist f() = u() v() und lim u() v() = 0 a a (liegt also die Situation 0 vor), so ist 0 lim a u() v() a u () v (), sofern der letztere Grenzwert eistiert. Der Satz gilt auch in der Situation, auch für lim und auch, wenn der Grenzwert lim u () ± v () ± geht. 1 Beispiele: sin lim 0 lim 2+0 cos [ 0] = = [ 0 0 ] lim = 1 +0 Mehrmalige Anwendung des Satzes ist möglich: sin 1 cos lim 0 sin [ 0] 0 sin + cos = sin lim [ 0] 0 cos + cos sin = 0 2 = Bei Differenzen mit der Situation kann man versuchen, durch geschicktes Umformen einen Bruch-Ausdruck herzustellen: ( 1 lim 0 sin 1 ) sin 0 sin =... = 0 Bei Produkten mit der Situation 0 kann es sinnvoll sein, diese als Bruch zu schreiben (Kehrbruch im Nenner) und so die Situation 0 oder zu erhalten. Beispiel: 0 lim (1 cos 1) 1 cos 1 1 sin 1 ( 1 ) 2 [ 0] sin 1 = 0 In der 12. Klasse lernen Sie eine Funktion ln kennen mit lim ln und Ableitung ln () = 1. Hierfür gilt 0 ln lim ln = [ ] lim = 0 Weitere Grenzwerte mit der ln- und e-funktion (12. Klasse) sowie Formulierung der L Hospitalschen Regeln siehe Formelsammlung 2 Seite 55 sowie Die Bedingung sofern der letztere Grenzwert eistiert ist wesentlich, wie das folgende Beispiel (Situation u() ) zeigt: Mit u() = + sin und v() = 3 ist lim v() ( sin 3 ) = 1 3, der Grenzwert eistiert also und ist gleich 1 u 3 ; jedoch eistiert der Grenzwert lim () v () 1+cos 3 nicht. 2 Barth, Mühlbauer, Nikol, Wörle, Mathematische Formeln und Definitionen, München, bsv/lindauer, 1994.

4 Vorzeichenbereiche 03 Beispiel: f() = = 2 ( 2 2 8) Zunächst bestimmt man die Nullstellen (und Definitionslücken, falls vorhanden): f() = 0, hier = 0 ergibt: 1 1/2 = 0 (doppelt), 3 = 2 (einfach), 4 = 4 (einfach) Diese zeichnet man auf der -Achse eines Koordinatensystems ein (falls die Funktion Definitionslücken hat, muss man diese ebenfalls einzeichnen): Dadurch ergeben sich im Beispiel vier Bereiche: ] ; 2[, ] 2; 0[, ]0; 4[ und ]4; [. Man überlegt sich nun für jeden der Bereiche das Vorzeichen von f() in diesem Bereich. Hierzu gibt es mehrere Möglichkeiten: Einsetz-Methode : 2 Eine Zahl, die im jeweiligen Bereich liegt, wird in f() eingesetzt. In unserem Beispiel: In ] ; 2[ liegt z. B. 3; Einsetzen in f() liefert: f( 3) = ( 3) 4 2( 3) 3 8( 3) 2 = 81 2 ( 27) 8 9 = 63 positiv! In ] 2; 0[ liegt z. B. 1; Einsetzen: f( 1) = 5 negativ! Ebenso: In ]0; 4[: negativ; in ]4; [ positiv. Linearfaktor-Vorzeichen-Methode : Man schreibt die Polynome in der Linearfaktorzerlegung ( minus Nullstelle ). Damit schreibt (oder überlegt) man für jeden Bereich, welches Vorzeichen der jeweilige Linearfaktor dort hat. In unserem Beispiel: f() = 2 ( + 2)( 4). Dabei ist 2 in jedem der Bereiche positiv; + 2 ist negativ für < 2 und positiv für > 2 usw.: Nach den üblichen Regeln (z. B. minus mal minus ist plus ) überlegt man sich nun das Vorzeichen von f() = 2 ( + 2)( 4) in jedem Bereich: f() + + Dabei erkennt man: Bei einfachen Nullstellen wechselt f() das Vorzeichen, bei geraden Nullstellen (wegen des Quadrats) dagegen liegt kein Vorzeichenwechsel vor. Mit etwas Erfahrung bestimmt man das Vorzeichen nur in einem Bereich 3 und durch Betrachtung der Vielfachheit der Nullstelle (einfach oder doppelt..., d. h. mit oder ohne Vorzeichenwechsel) die Vorzeichen in den angrenzenden Bereichen. In unserem Beispiel kann man ferner auch so argumentieren: 2 ist stets positiv. Der verbleibende Faktor ist eine nach oben geöffnete Parabel, ist also zuerst im Positiven, dann im Negativen, dann im Positiven Siehe Lösen von Gleichungen höheren Grades grund102.pdf 2 Diese Methode ist allerdings mathematisch nicht ganz eakt, da man ja nur einzelne Stellen betrachtet und Beispiele in der Mathematik bekanntlich nicht gelten. Wegen der Stetigkeit jedoch funktioniert diese Methode problemlos, wenn man sich beim Einsetzen nicht verrechnet. 3 Durch Betrachtung bequemer Funktionswerte. In unserem Beispiel etwa sieht man für sehr große das + (lim ); bequem ist auch 1 einzusetzen; bei anderen Funktionstermen auch die 0.

5 Kurvendiskussion: Theorie 4 Merkspruch: DASNEW Musteraufgabe Grundwissen 11/5 Ziel: Zu einem gegebenen Funktionsterm f() sollen möglichst viele charakteristische Eigenschaften des Funktionsgraphen gefunden werden. Definitionsbereich (maimaler): Kritisch sind: Brüche: Nenner gleich 0 setzen, liefert Definitionslücken Wurzeln: Radikand 0 setzen, liefert Definitionsbereich Logarithmen: Numerus > 0 setzen, liefert Definitionsbereich lim ± Asymptoten kann es an den Rändern des Definitionsbereichs geben, d. h. zu bilden sind f() (waagrechte Asymptoten) bzw. lim f() (senkrechte Asymptoten an den Defi- 0 nitionslücken). Für lim 0 siehe Grundwissen 11/1, für lim kann man mit der höchsten Potenz des Nenners kürzen (siehe Musteraufgabe Grundwissen 11/5). Deneben kann es bei gebrochen rationalen Funktionen noch schräge Asymptoten geben, wenn der Zählergrad um 1 größer ist als der Nennergrad; man bestimmt die Gleichung der schrägen Asymptote meist durch Polynomdivision. Symmetrie (spezielle): Punktsymmetrie zum Ursprung, falls f( ) = f() Achsensymmetrie zur y-achse, falls f( ) = f() Falls Symmetrie vorliegt, erleichtert dies später oft die Arbeit, z. B. beim Berechnen von Funktionswerten. Nullstellen sind Schnittpunkte mit der -Achse: f() = 0 Erema und Monotonie: f () bilden, f () = 0. Vorzeichenbereiche von f ermitteln ( Methode mit dem Strich siehe Grundwissen 11/3, dabei auch Definitionslücken markieren). f > 0: Graph steigt in diesem Bereich streng monoton; f < 0: fällt. Dazwischen je nach Situation: Definitionslücke, Maimum (steigt-fällt), Minimum (fälltsteigt), Terrassenpunkt (fällt-fällt oder steigt-steigt). Die y-koordinaten dieser Punkte ermittelt man durch Einsetzen in den Original-Funktionsterm f() ganz oben. Wendepunkte und Krümmung: f () bilden, f () = 0. Wiederum Vorzeichenbereiche von f ermitteln. f () > 0: Graph linksgekrümmt in diesem Bereich; f () < 0: rechtsgekrümmt. Dazwischen je nach Situation: Definitionslücke, Wendepunkt (bei Wechsel der Krümmung), Flachpunkt. y-koordinaten wie oben. Skizze: Der Graph kann nun anhand der bisherigen Daten skizziert werden. Auch wenn man einzelne Teile der Kurvendiskussion nicht bearbeiten konnte, ist eine Skizze mit Hilfe einer Wertetabelle stets möglich! Für einige -Werte (z. B. 0 oder ±1) ist die Berechnung von f() ganz einfach; dies sollte auf jeden Fall durchgeführt werden (bei = 0 erhält man den Schnittpunkt mit der y-achse; Vorsicht: Nicht Verrechnen beim Einsetzen negativer - Werte!). Wertebereich: Dieser kann mit Hilfe der Skizze leicht bestimmt werden, indem man betrachtet, welche y-werte beim Graphen vorkommen können (hält man das Lineal parallel zur -Achse und schiebt man es von unten nach oben durch, so sieht man, welche dieser Parallelen vom Graphen geschnitten wird und welche y-werte somit vorkommen).

6 Kurvendiskussion: Musteraufgabe 5 f() = Theorie: Grundwissen 11/4 D: Nenner 3 = 0 liefert Definitionslücke = 0. Also: D f = IR\{0}. A: lim ± f() = lim = 0. ± 1 Also waagrechte Asymptote y = 0 (d. h. die -Achse ist Asymptote). lim f() = 1 + ; lim f() = Also senkrechte Asymptote =0 (Pol 3. Ordnung) S: f( ) = 3 ( )2 1 = 32 1 = f() ( ) 3 3 Also Punktsymmetrie zum Ursprung. N: f() = = 0 1/2 = ± 1 3 ±0,58 E: f () = 3 6 (3 2 1) 3 2 kürzen! = f () = = 0 = ±1 f < 0 f > 0 f > 0 f < 0 fällt 1 steigt 0 steigt 1 fällt Min D f Ma ( 1 2) (1 2) Durch Einsetzen von 1 in f() Zur Vorzeichenbestimmung beachte man, dass hier bei f der Nenner stets 0 ist und somit das Vorzeichen vom Zähler gemacht wird. W: f () = 4 ( 6) ( ) 4 3 kürzen! = 62 ( ) 4 = f () = = 0 1/2 = ± 2. f < 0 f > 0 f < 0 f > 0 rechts- 2 links- 0 rechts- 2 linksgekrümmt WP D f WP ( ) ( ) 2 Skizze: y W f = IR

7 Differenzieren 6 Zweck: Das Differenzieren (ableiten) einer Funktion f() dient zur Bestimmung der Steigung des Funktionsgraphen. f () ist die Steigung an der Stelle. Nur selten benötigt man die Definition mit dem Differenzenquotienten (siehe Steigungsdreieck): f () f( + h) f() h f( + h) f() y h f( + h) f() + h Wichtige Ableitungen: f() 2 n = 1/2 1 = 1 sin cos f () 1 2 n n /2 = = 1 cos sin 2 Merke: Viele Funktionen lassen sich auf n zurückführen, z. B. g() = 1 = 2. Die Ableitung 2 ergibt sich dann mit alter Eponent runter, neuer ist um 1 kleiner : g () = 2 3 = 2. 3 In manchen Fällen (insbes. bei Wurzeln) kann es sein, dass die Ableitung einen kleineren Definitionsbereich als die Funktion selbst hat. Konstanten ( Ausdrücke ohne ): Bei Addition: Ableitung 0 (fällt weg), z. B. f() = 4 + 7, f () = 4 3. Bei Multiplikation: Bleibt erhalten, z. B. f() = 7 4, f () = = Summe, Differenz: Gliedweise differenzieren, z. B. f() = , f () = Produktregel: f() = u() v() f () = u()v () + u ()v() Das erste lassen mal das zweite differenzieren plus das erste differenzieren mal das zweite lassen Beispiel: f() = sin f () = cos + 1 sin Quotientenregel: f() = z() n() f () = n() z () z() n () NAZ ZAN = [n()] 2 N 2 ( Nenner mal Ableitung des Zählers minus Zähler mal Ableitung des Nenners durch Nenner im Quadrat ) Beispiel: f() = f () = (2 5) = ( 2 5) 2 ( 2 5) 2 Tipps: Nenner nicht ausmultiplizieren; bei nochmaligem Differenzieren kürzen; manchmal lässt sich ein Nenner bequemer mit hoch 1 schreiben, Beispiel: f() = 2 5 = 1 5 = Kettenregel Begriff der Verkettung von Funktionen: Beispiel: f() = sin( 2 ) bedeutet: Zuerst 2 ( Inneres ), dann sin davon nehmen ( äußere Funktion ) Differenzieren verketteter Funktionen f() = u(v()): f () = u (v()) v () Das Äußere differenzieren und das Innere einsetzen mal das Innere nachdifferenzieren. Beispiele: f() = sin( 2 ) f () = cos( 2 ) 2 g() = ( 2 5) 7 g () = 7( 2 5) 6 (2 5) h() = sin 2 h 1 () = 2 cos sin 2 2 2

8 Tangenten, Schnittwinkel 7 Tangenten an den Funktionsgraphen von f im Punkte P ( y): Zunächst bestimmt man den y-wert durch Einsetzen von in f(). Ansatz für die Tangentengleichung: y = m + t Die Steigung m erhält man mit der Ableitung an der Stelle : m = f (). Den y-achsenabschnitt t erhält man durch Einsetzen der Punktkoordinaten. Beispiel: f() = , P (3?). y-wert: f(3) = 2, also P (3 2). Steigung: f () = 2 4, f (3) = 2. Also Tangente: y = 2 + t. P einsetzen: 2 = t t = 8. Also Tangente: y = Schnittwinkel α einer Geraden g() = m + t mit der -Achse: m = tan α. Mit der SHIFT-tan- bzw. INV-tan-Funktion des Taschenrechners erhält man dann α. Beispiel: g() = m = 4 = tan α α 75,96. Schnittwinkel ϕ der Funktionsgraphen von f und g: Schittstelle bestimmen (Funktionsterme gleichsetzen), Steigungen m 1 und m 2 im Schnittpunkt bestimmen (-Wert des Schnittpunkts in Ableitungen f bzw. g einsetzen). Spezialfall: m 1 m 2 = 1: Dann schneiden sie sich senkrecht. m Sonst: Bequem mit der Formel aus der Formelsammlung: tan ϕ = 1 m m 1 m 2 Normale Unter einer Normalen versteht man in der Mathematik eine senkrecht stehende Gerade. Zu einer vorgegebenen Steigung m 1 erhält man die Steigung m 2 der Normalen mit der Gleichung m 1 m 2 = 1. Das Aufstellen der Normalengleichung läuft dann wie das Aufstellen einer Geradengleichung grund110.pdf Nahtstellen Hat man eine abschnittsweise definierte Funktion, so liegen in den Teilbereichen links und rechts der Nahtstelle 0 oft stetige und differenzierbare Standardfunktionen vor, so dass nur noch die Stelle 0 zu untersuchen ist. Hier verwendet man meist das folgende Schema: Prüfung der Stetigkeit: Berechnung des Funktionswertes f( 0 ) und der Grenzwerte von links und von rechts lim f() und lim sind nicht gleich sind gleich nicht stetig an 0 stetig an 0 Wenn nicht stetig, dann auch nicht diffbar Prüfung der Diffbarkeit: Berechnung der Grenzwerte lim () und lim () sind gleich sind nicht gleich diffbar an 0 nicht diffbar an 0 Das Schema ist nicht anwendbar, wenn die Grenzwerte lim f () nicht eistieren. Abschnittsweise definierte Funktionen erhält man auch bei Betragsfunktionen ( Grundwissen 8/5) oder bei Wurzeln von der Sorte 0±0 2 =. Stetigkeit anschaulich: Graph kann mit dem Bleistift in einem Zug ohne Absetzen gezeichnet werden. Diffbarkeit anschaulich: Graph ist glatt. Nicht-Diffbarkeit an der Nahtstelle: Knick; mit der obigen Schnittwinkel-Betrachtung kann der Knickwinkel bestimmt werden.

9 Etrema, Wendepunkte 8 Etrema Kandidaten für Etrema sind Stellen mit waagrechter Tangente, also Stellen mit Steigung 0. Zu Lösen ist also die Gleichung (1) f () = 0. Dies allein reicht jedoch nicht aus, da hinzukommen muss, dass das Vorzeichen der Steigung wechselt (von steigend auf fallend oder umgekehrt). Hierzu: Verwendung der Methode mit dem Strich, d. h. Ermittlung der Vorzeichenbereiche von f ( Grundwissen 11/3): In einem Bereich mit f > 0 steigt der Graph streng monoton, bei f < 0 fällt er. Auf diese Weise hat man gleichzeitig die Monotoniebereiche. Bei einem Wechsel steigend fallend hat man ein Maimum, bei einem Wechsel fallend steigend ein Minimum. Bei gleichem Steigungsverhalten liegt ein Terrassenpunkt vor, d. h. ein Wendepunkt mit waagrechter Tangente. Verwendung der zweiten Ableitung f : Die in (1) ermittelten -Werte setzt man in f () ein. Ist dann an einer solchen Stelle f () > 0, so ist dort der Graph linksgekrümmt, d. h. es handelt sich um ein Minimum, bei f () < 0 entsprechend um ein Maimum. Ist an einer solchen Stelle f () = 0, so ist obige Vorzeichenmethode besser geeignet zur Entscheidung, ob es sich um Maiumum, Minimum oder Terrassenpunkt handelt. Wendepunkte Kandidaten für Wendepunkte sind Stellen mit (2) f () = 0, so genannte Flachpunkte. Dies allein reicht jedoch wieder nicht aus, da hinzukommen muss, dass das Vorzeichen der Krümmung wechselt (von links- auf rechtsgekrümmt oder umgekehrt). Hierzu: Verwendung der Methode mit dem Strich, d. h. Ermittlung der Vorzeichenbereiche von f : In einem Bereich mit f > 0 ist der Graph linksgekrümmt (Merkbeispiel: Standardparabel f() = 2 ), bei f < 0 rechtsgekrümmt. Auf diese Weise hat man gleichzeitig die Krümmung. Verwendung der dritten Ableitung f : Die in (2) ermittelten -Werte setzt man in f () ein. Ist dann an einer solchen Stelle f () 0, so handelt es sich um einen Wendepunkt. Ist f () = 0, so ist obige Vorzeichenmethode besser geeignet. Unter einer Wendetangente versteht man die Tangente im Wendepunkt. Beispiele (nachrechnen!): 1. f() = 2 4. Bei = 1 2 liegt ein Minimum, bei = 0 ein Flachpunkt vor. 2. f() = Bei = 3 liegt ein Maimum vor; bei = 0 und = 1 befinden 2 sich Wendepunkte, wobei (0 0) sogar ein Terrassenpunkt ist. Die Wendetangente im Punkt (1 1) hat die Gleichung y = f() = 4. Bei = 0 befindet sich Minimum und Flachpunkt.

10 Kurvenscharen 9 Differenzieren von Termen mit Parametern Zu unterscheiden ist zwischen der Variablen, nach der differenziert wird, und dem Parameter (z. B. a, k, t,... ), der die Rolle einer Konstanten spielt, somit wie eine feste Zahl behandelt wird und nach dem nicht differenziert wird. Beispiel: f() = 3 2a 2 + a 2 2a 3 f () = 3 2 2a 2 + a 2 = 3 2 4a + a 2 f () = 6 4a Bedeutung des Parameters Je nachdem, welchen Wert man für den Parameter einsetzt, erhält man verschiedene Funktionen, also eine ganze Schar von Kurven, z. B. a = 1 : f() = a = 0 : f() = 3 a : 1 : f() = Zum Teil können diese Kurven ganz unterschiedlich aussehen, d. h. bei der Kurvendiskussion, die man allgemein mit dem Parameter rechnet, sind eventuell Fallunterscheidungen notwendig. Beispiel: f() = 3 2a 2 + a 2 2a 3 Etrema: f () = 0: 3 2 4a + a 2 = 0; 1/2 = 4a ± 16a a 2 4a ± 2a = = 1a, 3 2 = a. Verwendung der zweiten Ableitung zur Entscheidung der Art des Etremums: f ( 1a) = 2a, f (a) = 2a. 3 Ist a > 0, so ist bei = 1 a ein Maimum und bei = a ein Minimum. Ist a < 0, so ist 3 f ( 1a) = 2a > 0 und somit bei = 1 a ein Minimum und bei = a ein Maimum. 3 3 Ist a = 0, so ist f() = 3 und somit bei = 0 ein Terrassenpunkt. [Bei Verwendung der Methode mit dem Strich (Vorzeichenbereiche von f ) beachte man, dass im Fall a < 0 der Wert a am Zahlenstrahl links von 1 3a einzuzeichnen ist (Zahlenbeispiel!)] Je nach Wahl des Wertes für den Parameter liegen somit auch die charakteristischen Punkte (wie z. B. Maima, Wendepunkte,... ) an unterschiedlichen Stellen. Die Menge aller dieser Stellen bildet meist eine Kurve; sie heißt Ortskurve oder geometrischer Ort. Um sie zu bestimmen, berechnet man zuerst die Koordinaten der gesuchten Punkte. Anschließend eliminiert man aus den Gleichungen für - und y-koordinate den Parameter, indem man eine Gleichung nach dem Parameter auflöst und in die andere einsetzt. Beispiel: Ortskurve der Wendepunkte für obige Funktion. Wendepunkte: f () = 0; 6 4a = 0; = 2a; y = 3 f(2 52 a) = 3 27 a3 WP( 2 52 a 3 27 a3 ) (ist WP, da f () = 6 0). Ortskurve: = 2a nach a auflösen: a = Einsetzen in y = a3 : y = 52( )3 = Die Wendepunkte liegen also auf der Kurve mit der Gleichung y =

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