GRUNDWISSEN MATHEMATIK. Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard

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1 GRUNDWISSEN MATHEMATIK 8 Grundwissenskatalog G8-Lehrplanstandard Basierend auf den Grundwissenskatalogen des Rhöngymnasiums Bad Neustadt und des Kurt-Huber-Gymnasiums Gräfelfing J O H A N N E S - N E P O M U K - G Y M N A S I U M

2 Funktionale Zusammenhänge Direkte Proportionalität Bei einer direkten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,...wert der einen Größe x der doppelte, dreifache,... Wert der anderen Größe y zugeordnet. Quotientengleichheit: y m (konst.) x m heißt Proportionalitätskonstante. Graph: Eine vom Nullpunkt ausgehende Halbgerade. y x ) Liter Benzin (x) Preis in (y) Schlussrechnung (Dreisatz): 7 7,84 7,84 : 7 =, 0,40 ) Kreisumfang: Der Quotient aus Umfang und Durchmesser eines jeden Kreises ist konstant (Kreiszahl π,4): Flächeninhalt eines Kreises: A = r²π Seite von 4

3 Indirekte (umgekehrte) Proportionalität Bei einer indirekten Proportionalität wird dem doppelten, dreifachen,... Wert der einen Größe die Hälfte, der dritte Teil,... der anderen Größe zugeordnet. Produktgleichheit: x y = a (konst.). Graph: Hyperbel Bsp.: Anzahl der Arbeiter Arbeitszeit Schlussrechnung (Dreisatz): Bsp.: 7 A. 40 h A h = 80 h A. 80 h : = 6 h y x Lineare Funktionen Eine Zuordnung x y, die jedem x aus dem Definitionsbereich genau ein y aus dem Wertebereich zuordnet, heißt eindeutig. Eindeutige Zuordnungen heißen Funktionen. Die Menge, für die eine Zuordnung gesucht werden soll, heißt Definitionsmenge D, die Menge der zugeordneten Werte heißt Wertemenge W. Ein Funktionsterm f(x) ordnet jedem x (aus D) einen Funktionswert y (aus W) zu. Nullstellen sind Schnittpunkte des Graphen G f mit der x-achse: f(x) = 0 Seite von 4

4 Grundbegriffe f: x mx + t mit D = Der Graph ist eine Gerade mit Steigung m und y-abschnitt t. y z.b.: m ; t f : x x mit D = Q Nullstelle x=6 x Steigung: m y x y y x x - w= s= Steigungsdreieck: LE nach rechts und m LE nach oben/unten oder x y nach rechts und nach oben/unten Geradengleichung y = mx + t Je größer m ist, desto steiler ist die Gerade. Für m < 0 fällt, für m > 0 steigt die Gerade; für obenm = 0 verläuft sie parallel zur x-achse Alle Geraden mit gleicher Steigung m sind parallel. Punkt auf Geraden: Ein Punkt liegt auf einer Geraden g, wenn seine Koordinaten die Geradengleichung erfüllen: Seite 4 von 4

5 z.b.: ( 4 ) g mit g : x y x - denn =. 4 (Einsetzen der Koordinaten in Funktionsgl.) Geradengleichung aus Punkten aufstellen z.b.: Gerade g soll durch A( ) und B(- 4) verlaufen: y yayb 4 Steigung: m x x x ( ), also: 4 A B g : y = 4 x + t Nun Koordinaten von A einsetzen: = + t ; daraus bekommt man: t = 4 ; also: y = x + 4 verläuft durch A und B. 4 Schnittpunkt S zweier Geraden berechnen 4 z. B. f : x x 4; g : x x Gleichsetzen der Funktionsterme: x 4 x Seite von 4 x Auflösen nach x: Einsetzen von x in eine der y Funktionsgleichungen: 4 y ( S ( ) ) x

6 Lineare Gleichungssysteme (I) x 9y 8 (II) 0x y 6 Graphische Lösung Gleichungen explizit nach y auflösen (Geradengleichungen) Geraden einzeichnen; der Schnittpunkt ergibt die Lösung. Additionsverfahren Falls nötig, erst mit geeignetem Faktor multiplizieren, damit Koeffizienten (vom Betrag) gleich, z.b. (I) mit multiplizieren: (I) 0x 8y 6 (II) 0x y 6 0 (I)+(II) : 0 y 0 y y in (I) eingesetzt x, also: L={( )} Einsetzungsverfahren aus (I) 8 x 9 y (also(i) nach x aufgelöst!) in (II) 0 8 ( 9 y ) y 6 ausrechnen: 8y 6 y 6; y Seite 6 von 4

7 in (I) (oder (II)) x also: L={( )} Anzahl der Lösungen Genau eine Lösung (Die Geraden schneiden sich) Keine Lösung (Die Geraden sind echt parallel) Unendlich viele Lösungen (Die Geraden sind identisch) Cramersche Regel Liegt ein LGS in folgender Form vor, lassen sich die Lösungen mit Hilfe der Determinanten berechnen: (I) ax + by = c (II) dx + ey = f D = ; D = ; D = Lösungen des LGS: x = y = (D 0) Seite 7 von 4

8 4 Laplace-Experimente Grundbegriffe Jeden möglichen Ausgang eines Zufallsexperiments nennt man jeweils ein Ergebnis, alle Ergebnisse zusammen bilden den Ergebnisraum. Ein Ereignis E wird aus einem oder mehreren Ergebnissen gebildet. Das Gegenereignis E zu einem Ereignis E enthält alle Ergebnisse, die nicht in E enthalten sind. Bsp.: Würfeln mit zwei Würfeln, E = gerade Augenzahl ={; ;...; ; }; E={; 4;...; 0; }; E ={; ;...;} Die Laplace-Annahme Laplace-Experiment: Die Wahrscheinlichkeit P für jedes Elementarereignis (= Ergebnis) ist gleich groß. Bsp.: Werfen eines idealen Würfels, Werfen einer idealen Münze Die Wahrscheinlichkeit P(E) für ein Ereignis E lässt sich dann mit dieser Formel berechnen: Anzahl der Elemente von E P ( E) Anzahl der Elemente von Bsp.: Eine Urne enthält drei rote und zwei schwarze Kugeln, E= Es wird eine rote Kugel gezogen P( E) Seite 8 von 4

9 Gesetz der großen Zahlen Führt man ein Experiment sehr oft hintereinander durch, so nähert sich die relative Häufigkeit für ein Ereignis einem festen Wert an; dieser wird mit Wahrscheinlichkeit des Ereignisses bezeichnet. Zählprinzip Zieht man aus k verschiedenen Mengen mit n, n,, n k Elementen jeweils ein Element, so gibt es insgesamt: n n n n k verschiedene Möglichkeiten z. B.: Menüauswahl -gängig mit 4 Vorspeisen, Hauptspeisen und Nachspeisen: 4 = 60 versch. Menüs Spezialfall: Will man n Objekte der Reihe nach anordnen, so gibt es dafür n! = n (n-) (n-) Möglichkeiten (n Fakultät) Seite 9 von 4

10 Gebrochen-rationale Funktionen Grundlagen Funktionen mit einer Variablen x im Nenner und evtl. Zähler Zur Bestimmung der maximalen Definitionsmenge D muss sichergestellt werden, dass der Nenner nicht Null ergibt. Bsp.: x9 f ( x) x x D = \{} bei x = hat die Funktion f eine Definitionslücke, der Graph G f hat hier eine senkrechte Asymptote. Außerdem hat der Graph G f eine waagrechte Asymptote bei y = und eine Nullstelle bei x = 4,. Schnittpunkt(e) zweier gebr. rat. Funktionen Beim Berechnen der Schnittpunkte entsteht eine Bruchgleichung: Bsp.: x ) x f ( x), g( x x 0,x Bestimmen des Schnittpunkts durch Gleichsetzen der x Funktionsterme: x x 0,x Seite 0 von 4

11 Lösen der Gleichung z. B. durch Über-Kreuz-Multiplizieren: 0, x x x x Ausmultiplizieren und Vereinfachen ergibt dann x = 0,. Die zweite Koordinate erhält man durch Einsetzen des x-werts in eine der beiden Funktionen: f( 0,) = Koordinaten des Schnittpunkts: S( 0, Alternativ: Lösen der Bruchgleichung durch Hauptnennerbildung oder graphisch! ) Rechnen mit Bruchtermen Kürzen durch Faktorisieren: Add./Sub.: Multiplikation: Division (mit Kehrbruch multiplizieren): Seite von 4

12 Potenzen mit ganzzahligen Exponenten Definitionen für n IN a n a a a... a n 0 a für a 0 n a (a 0) n Faktoren a 0, 8 a, d.h. "hoch -" erzeugt den Kehrbruch! a Rechengesetze:. Potenzgesetz. Potenzgesetz. Potenzgesetz x y x y x x x a a a a b a b x x y x y a a x x x y x y a : a a a : b a : b 8 () a ) ( a a Beachte die jeweiligen Definitionsmengen! Gleitkommadarstellung: =,0 0 0,0 =, 0 - Seite von 4

13 6 Strahlensatz Sich schneidende Geraden werden von Parallelen geschnitten: V-Figur Z A B g A B g über dieschenkel : ZA : A B ZA : A B über die Parallelen : ZA : ZB A A : B B «Baum zu Stab, wie Baumschatten zu Stabschatten» A X-Figur Z B g A B Je zwei Abschnitte auf g verhalten sich wie die entsprechenden Abschnitte auf g. Die Abschnitte auf den Parallelen verhalten sich wie ihre Abstände zum Geradenschnittpunkt Z. Seite von 4 g

14 7 Ähnlichkeit Ähnliche Figuren Zwei Figuren F und F heißen ähnlich (F ~ F ), wenn sie formgleich sind, d.h. die eine ein maßstabs- und winkeltreues Abbild der anderen ist (Maßstab Ähnlichkeitsfaktor). Ähnliche Dreiecke Eigenschaften: Wenn zwei Dreiecke ähnlich sind, sind entsprechende Winkel und entsprechende Seitenverhältnisse gleich groß. Ähnlichkeitssätze (analog zu den Kongruenzsätzen): Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn zwei Winkel des einen mit zwei Winkeln des andern übereinstimmen. Zwei Dreiecke sind ähnlich, wenn sie im Verhältnis ihrer Seiten übereinstimmen. Zueinander kongruente Figuren sind auch ähnlich, mit Ähnlichkeitsfaktor gleich. Seite 4 von 4