Algebra 3.

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1 Algebra 3 Aufgaben 1. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Punkte A( 3), B( ) sowie für jedes a (a R) ein Punkt P a (a a a) gegeben. a) Zeigen Sie, dass alle Punkte P a auf ein und derselben Geraden g liegen. Ermitteln Sie den Schnittwinkel der Geraden g und der x y Ebene. b) Ermitteln Sie die Koordinaten desjenigen Punktes P a, der vom Punkt B den kleinstmöglichen Abstand hat. c) Die Punkte A, B und P a sind Eckpunkte eines Dreiecks. Es gibt genau zwei Werte von a, für die die Seite AB Hypotenuse dieses Dreiecks ist. Ermitteln Sie die beiden Werte a.. In einem kartesischen Koordinatensystem mit dem Koordinatenursprung O sind die Punkte A( ), B( ) und für jedes a (a R) ein Punkt C a ( a ) gegeben. Es existiert genau ein Wert a, so dass die Punkte O, A, B und C a nicht Eckpunkte einer dreiseitigen Pyramide sind. Ermitteln Sie diesen Wert a. 3. In einem kartesischen Koordinatensystem sind die Gerade g durch 3 x = + r (r R) und für t (t R, t ) eine Ebene E t durch x + 3y + 8tz = 1 gegeben. t a) Zeigen Sie, dass die Gerade g parallel zur Ebene E,75 verläuft und geben Sie den Abstand d der Geraden g von dieser Ebene an. b) Untersuchen Sie, ob es einen Wert t gibt, so dass die Ebene E t senkrecht zur Geraden g verläuft. 1

2 Lösungen 1. a) Um zu prüfen, ob die Punkte P a alle auf einer Geraden g liegen, stellt man zwei Geradengleichungen auf. Beide Geraden verlaufen durch einen beliebigen Punkt P a. Ich wähle P 1 ( 1 1). Für den Richtungsvektor der einen Geraden g 1 wählt man den Ortsvektor des Punktes P a, für den der anderen Geraden g den Vektor P a P 1. g 1 : x = g : x = a 1 + t a (t R) 1 a a 1 + s a + 1 (s R) 1 a 1 Nun prüft man, ob gilt: g 1 = g. Dafür müssen die Richtungsvektoren linear abhängig sein und die Geraden müssen einen gemeinsamen Punkt besitzen. Der gemeinsame Punkt ist P 1. a a a = s a + 1 a a 1 a = s x (a ) s x = a a 1 a = s y ( a + 1) s y = a a 1 a = s z (a 1) s z = a a 1 s x = s y = s z Die Richtungsvektoren der Geraden g 1 und g sind linear abhängig und die Geraden haben einen gleichen Punkt. Also liegen alle Punkte P a auf der Geraden g. Für den Schnittwinkel ϕ einer Geraden mit einer Ebene gilt mit a als Richtungsvektor der Geraden und n als Normalenvektor der Ebene: sin ϕ = a n a n

3 Für den Normalenvektor n xy der x y Ebene und die Geradengleichung der Gerade g gilt: n xy = g : x = 1 + t 1 1 sin ϕ = 1 + ( ) + 1 sin ϕ = 1 ϕ, 9 b) Hierfür muss man eine Ebenengleichung aufstellen für eine Ebene E, die senkrecht zu g verläuft und den Punkt B enthält. Der Durchstoßpunkt ist der Punkt mit dem kleinsten Abstand zu B. Also gilt: a n = x y = z x y + z = In dieser Ebene liegt aber noch nicht der Punkt B. Zur Bestimmung einer solchen wird die Null durch einen Parameter ersetzt und der Punkt B in die Gleichung eingesetzt. ( ) () + () = D 1 = D x y + z = 1 Nun wird die Geradengleichung eingesetzt und der Durchstoßpunkt bestimmt. 3

4 ( + t) ( 1 t) + (1 + t) = t + + t + + t = 1 t = t = = Der Punkt P 1 ( 1 1) hat von allen den Punkten P a den kleinsten Abstand von B. c) Wenn das Dreieck ABP a ein rechtwinkliges ist und die Seite AB die Hypotenuse, so muss der Satz des Pythagoras gelten: AB 7 = = AP a + BPa a a a + 3 a + + a a ( ) = (a) + ( a ) + (a + 3) + (a + ) +( a ) + (a ) 9 = a + a + a + + a + a a + 8a + + a + 1a a 8a + 1 = 1a + a = a + 11 a (11 a 1, = 11 1 ± 1 a 1 = a = 11 )

5 . Damit die Punkte O, A, B und C a keine Eckpunkte einer Pyramide sind müssen alle Punkte in einer Ebene liegen. Für die Ebene E, die von den Vektoren OA und OB aufgespannt wird gilt die Gleichung: E : x = + s + t (s, t R) Nun wird der Punkt C a mit der Ebenengleichung gleichgesetzt und das a bestimmt, für das C a in der Ebene E liegt: a = + s + t = s + t a = r = s s = 1 r = 1 a = ( 1) a = 3. a) Die Ebenengleichung der Ebenen E,75 lautet: E,75 : 8x + 3y + z = 1 Wenn die Ebene E,75 parallel zur Geraden g ist, muss das Skalarprodukt des Normalenvektors der Ebene und des Richtungsvektors der Geraden sein = = = Aus der wahren Aussage folgt, dass E,75 g. 5

6 Mit der hesseschen Normalenform bestimmt man den Abstand d eines beliebigen Punktes auf g von E,75. Ich wähle den Punkt P ( ). d = = d = 8 + 3( ) b) Um zu prüfen, ob g E t, werden der Normalenvektor von E t und der Richtungsvektor auf lineare Abhängigkeit untersucht. t x3 8t z 3 = s Aus den y Komponenten folgt, dass s = 3. Dies wird nun eingesetzt: t x = 3 3 t x = 8 3 8t z = 3 t z = 3 1 t x t z Aus der Ungleichheit folgt, dass der Normalenvektor von E t und der Richtungsvektor von g linear unabhängig sind. Also kann E t nicht parallel zu g sein.

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