Beispiel mit Hinweisen 1 1/2 Vermessungsaufgaben

Transkript

1 eispiel mit Hinweisen 1 1/2 Vermessungsufgben nläßlich einer Erbschft soll ds viereckige Grundstück CD [d = D = 78m, c = CD = 74m, Winkel C = = 45, Winkel CD = = 123, Winkel C = = 79 ] durch eine Gerde g, welche durch verläuft in zwei flächengleiche Stücke ufgeteilt werden. In welcher Entfernung von C schneidet die Gerde g die Seite b oder die Seite c? Um dieses eispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: Trigonometrische Flächenformel Kosinusstz Sinusstz

2 eispiel mit Hinweisen 1 2/2 Vermessungsufgben Lösung: C d D c e x b x g Zunächst lle Werte bspeichern: die Seite unter, den Winkel unter, usw. Die Fläche des Dreiecks CD knn direkt mit der trigonometrischen Flächenformel berechnet werden. Sie wird unter fl1 bgespeichert. Mit dem Kosinusstz wird die Digonle e berechnet und ds positive Resultt unter e gespeichert. Mit der Flächenformel.e.sin()/2 wird die Fläche des Dreiecks C berechnet und unter fl2 gespeichert. Mit dem Sinusstz läßt sich die Seite b berechnen. Offensichtlich ist die Fläche des Dreiecks C größer ls die Fläche des Dreiecks CD. Die gesuchte Gerde g muß lso durch die Seite b verlufen. Der nstz lutet: Die Fläche des neuen Dreiecks X ist hlb so groß wie fl1 + fl2. ls Seiten sind und (b-x) zu verwenden, der Winkel ist der Winkel bb. Mn erhält für die gesuchte Strecke x den Wert 26,26m.

3 eispiel mit Hinweisen 2 1/2 Vermessungsufgben Um die Geschwindigkeit eines uf dem Meer fhrenden Schiffes zu bestimmen, wird ds Schiff vom Ufer us ngepeilt. Dbei erfolgt die Peilung gleichzeitig von den Punkten und us, die 4150m voneinnder entfernt sind. ei der ersten Peilung ist ds Schiff n der Position C und mn mißt die Winkel: < C = und < C = ei der zweiten Peilung 3 Minuten später ist ds oot n der Position D und mn mißt < D = und < D = Wie schnell fährt ds oot? Um dieses eispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: Formel für die Geschwindigkeit Umrechnen von Minuten in Grd Kosinusstz Sinusstz

4 eispiel mit Hinweisen 2 2/2 Vermessungsufgben Lösung: b C e x D c Die Winkel werden in Grd umgerechnet und unter den ezeichnungen, 1 usw gespeichert. Dbei steht für den Winkel und 1 für einen Teil von. Der Winkel D wird berechnet und unter dd1 gespeichert. Mit dem Sinusstz berechnet mn im Dreieck D die Digonle e=d Im Dreieck C berechnet mn zunächst den Winkel cc1=c und dnn mit Hilfe des Sinusstzes die Seite b. Im Dreieck DC berechnet mn den Winkel bei und mit dem Kosinusstz die Strecke x=cd. Die Strecke x ist 1706m lng. us der Formel Geschwindigkeit=Weg/Zeit ergibt sich eine Geschwindigkeit von 34,14 km/h (die Meter werden in km umgerechnet und die Minuten in Stunden).

5 eispiel mit Hinweisen 3 1/3 Vermessungsufgben Ein Flugzeug strtet von einem Punkt der Strtbhn us, fährt m Kontrollpunkt des Flugpltzes vorbei und beginnt von einem Punkt us ohne Richtungsänderung zu steigen. Von dem h = 20m hohen Kontrollturm sieht mn den Strtpunkt unter dem Tiefenwinkel = 7,6 und nch Schwenken des Fernrohres um den Horizontlwinkel = 113,1 den ufstiegspunkt unter dem Tiefenwinkel = 1,3. erechne die Länge der Strecke, die ds Flugzeug uf der Strtbhn zurücklegt! Ds Flugzeug erreicht bei einem konstnten Steigungswinkel = 30 nch 20 Sekunden Steigzeit eine Flughöhe von 1000 m über dem Flugpltz und befindet sich nch dieser Steigzeit im Punkt C seiner grdlinig ufsteigenden Flugbhn. erechne, wie groß die durchschnittliche Fluggeschwindigkeit uf der ufstiegsstrecke C ist! erechne, unter welchem Höhenwinkel, vom Kontrollturm us, ds Flugzeug im Punkt C erscheint! Um dieses eispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: erechnungen n rechtwinkligen Dreiecken Sinusstz Cosinusstz Zusmmenhng v = s/t Räumliches Vorstellungsvermögen (Tipp: bue dir uf der Styroporpltte mit den Zhnstochern Modelle!)

6 eispiel mit Hinweisen 3 2/3 Vermessungsufgben Lösung: c h d b tn (90-7,6 ) = /h = 149,893 m tn (90-1,3 ) = b/h b = 881,322m c² = 20² + b² c = 881,549m d² = 20² + ² d = 151,221m ² = ² + b² - 2.b.cos 113,1 950,19m Fhrtstrecke des Flugzeuges uf der Fhrbhn: c.950m C 1000 m 1000 sin 2000m s 2000 v v 100m / s = 360km/h t 20 durchschnittliche Fluggeschwindigkeit: c.360km/h

7 eispiel mit Hinweisen 3 3/3 Vermessungsufgben 1000m 2000m. h=20m d b D 30 D 2000² 1000² 1732, 05m D = + D = 2682,2m b² = ² + ²- 2...cos = 58,56 d² = ² + D² - 2.d.D.cos d = 2607,2m tn = 980 / d = 20,6 Höhenwinkel: rund 20,6

8 eispiel mit Hinweisen 4 1/2 Vermessungsufgben Im Zuge des zweigleisigen usbus der Tuernbhn-Südrmpe wurde die lte Strecke unter nderem durch die neue gigntische Pfffenberg Zwenberg-rücke ersetzt, die ds Tl von nch überbrückt (s. ild). uf Grund des dichten ergwldes gestlteten sich die Vermessungsrbeiten sehr schwierig und konnten nur us größerer Entfernung vorgenommen werden. Dher wurden von einem Punkt C der Tlsohle folgende Winkel und Entfernungen gemessen: Höhenwinkel nch : Höhenwinkel nch : Entfernung C: 935m Entfernung C: 1071m Horizontler Schwenkungswinkel des Theodoliten: ,8 ) Wie viele Meter befinden sich die Punkte und über der Tlsohle? b) Wie lng ist die rücke und wie viele Promille Steigung ht sie? Um dieses eispiel zu lösen, musst du Folgendes können bzw. wissen: erechnungen n rechtwinkligen Dreiecken Cosinusstz Räumliches Vorstellungsvermögen

9 eispiel mit Hinweisen 4 2/2 Vermessungsufgben Lösung: b. y. c d C sin = / C = 114,902m sin = b / C b = 105,1m Punkt befindet sich c, 115m über der Tlsohle, Punkt etw 105m. cos = c / C c = 927,9m cos = d / C d = 1065,8m y² = c² + d² - 2 c d cos y = 377,0m ² = y² + (-b)² = 377,1m rückenlänge: c. 377m sin = (-b) / = 1,4892 tn = 0, Steigung 26,0 0 / 00