1 Dichte- und Verteilungsfunktion

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1 Tutorium Yannick Schrör Klausurvorbereitungsaufgaben Statistik Lösungen ID /455 Dichte- und Verteilungsfunktion Ein tüchtiger Professor lässt jährlich 2 Bücher drucken. Die Anzahl der verkauften Bücher pro Jahr in tsd.) kann als stetige Zufallsvariable X mit folgender Dichtefunktion angesehen werden: a x 2, x 2 fx), sonst a) Bestimme a! Lösung: Damit fx) eine gültige Dichtefunktion ist, muss ihr Integral ergeben! fx) dx! Da fx) außerhalb vom Interval [, 2] den Wert hat, folgt: Somit ergibt sich fx) zu: 2 2 fx) dx a x 2 dx a 2 x a 2 a 8 a 8 fx) 8 x2, x 2, sonst b) Über den jährlichen Verkauf wie vieler Bücher kann sich der Professor im Durchschnitt freuen?

2 Lösung: Um die Anzahl der durchschnittlich pro Jahr verkauften Bücher zu ermitteln, müssen wir den Erwartungswert der Zufallsvariablen X berechnen! E X) x fx) dx x fx) dx x x2 dx 8 x dx x dx ) 2 4 x4 ) )) ) ) 4 24 c) Berechnen Sie die Standardabweichung der Verteilung der Zufallsvariablen X! Lösung: Die Varianz einer Zufallsvariablen wird mit der folgenden Formel berechnet: VA) : Somit erhalten wir: VX) a E A)) fa) da x EX)) 2 fx) dx x 5) x2 dx x 5) 2 x 2 dx x 2 x ) x 2 dx x 2 x 2 dx x 4 dx 2 2 x x 2 dx + x dx ) 225 x 2 dx ) x 2 dx 2

3 ) 2 )) 2 5 x5 4 x x ) ) )) 2 Um die Standardabweichung zu erhalten, müssen wir die Wurzel der Varianz berechnen: σ 5, 87 d) Mit welcher Wahrscheinlichkeit verkauft der tüchtige Professor mehr als 8 Bücher in einem Jahr? Lösung: Zur Lösung dieser Frage, müssen wir zunächst ausrechnen, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, dass der Professor weniger als 8 Bücher in einem Jahr verkauft. Anschließend berechnen wir die Gegenwahrscheinlichkeit, um auf den gesuchten Wert zu kommen. W X 8) F 8) Fx) ist die Verteilungsfunktion der Zufallsvariablen X. Diese wird wie folgt berechnet: F x) fx) dx 8 x2 dx 8 x 2 dx Nun können wir W X 8) berechnen: 8 x 8 x W X 8) F 8)

4 Die Wahrscheinlichkeit W X > 8) berechnet sich nun aus der Gegenwahrscheinlichkeit von W X 8): W X > 8) W X 8) e) Wie viele Bücher müsste der Professor pro Jahr drucken lassen, um mit 8%iger Wahrscheinlichkeit ausreichend Bücher für alle Kunden auf Vorrat zu haben? Lösung: Zur Beantwortung dieser Frage müssen wir das,8-faktil berechnen. Dieses erhalten wir durch Gleichsetzung der Verteilungsfunktion mit dem Wert.8:.8! 8 x 64 x x 64 x 8, 5664 In 8% der Fälle ist die Produktion von Büchern aufrunden!) also ausreichend. 4

5 2 Anwendung von Verteilungen Anne Imberg hat vor Kurzem angefangen, [AI] an der RUB zu studieren. Von Kommilitonen in höheren Semestern hat sie gehört, dass die Wahrscheinlichkeit, auf dem Weg von Hattingen zur Uni in einen Stau zu geraten 25% beträgt. Sie interessiert sich für die Frage, wie groß die Wahrscheinlichkeit ist, in ihren 6 Semestern mehr als mal im Stau zu stehen, wenn sie jeden Tag zur Uni fährt jedes Jahr hat 65 Tage). a) Gib eine Verteilung samt Parametern an, die dem Problem entspricht. Es kann angenommen werden, dass Staus statistisch unabhängig sind. Lösung: B95;.25) Mit einer gewissen Wahrscheinlichkeit p in einen Stau zu geraten kann als Bernoulli- Experiment gesehen werden YES-NO trial). Eine Verkettung mehrerer solcher Experimente beschreibt die Binomialverteilung. Diese ist parametrisiert über die Anzahl der Experimente n und die Erfolgswahrscheinlichkeit p ob in den Stau kommen ein Erfolg ist, darüber kann gestritten werden). Das Problem lässt sich also beschreiben mittels einer Binomialverteilung mit 6 Semester 95 Tage Experimenten und einer Erfolgswahrscheinlichkeit von.25. b) Berechne die Wahrscheinlichkeit, öfter als mal im Stau zu stehen. Lösung: Wir wollen W X > ) berechnen. In der Formelsammlung ist allerdings keine Tabelle für Binomialverteilung mit p.25 gegeben und schon gar nicht mit n 95). Wir nähern die Verteilung also zunächst über eine Normalverteilung an: Verteilung kann approximiert werden durch unter den Voraussetzungen Bn; p) N np; ) np p) np 5, n p) 5 n p n p) 95.25) Die Voraussetzungen sind erfüllt. Die Approximation ergibt: X B95;.25) N 27.75; ) ) N 27.75; 4.287) Aber auch für diese Verteilung findet sich keine Tabelle in der Formelsammlung. Wir nähern diese Verteilung wiederum durch eine Standardnormalverteilung Erwartungswert, Standardabweichung ) an. Y X µ N ; ) σ Y X N ; )

6 Nun können wir die Wahrscheinlichkeit berechnen W X > ) W X ) W Y.82) in Tabelle nachschlagen) Die Wahrscheinlichkeit beträgt also etwas über %. c) Berechne die Wahrscheinlichkeit, öfter als 256 mal im Stau zu stehen. W X > 256) W X 256) W Y.287) Nutze Symmetrie der Normalverteilung) W Y.287)) in Tabelle nachschlagen).8925).8925 d) Welche Anzahl an Staus wird Anne mit 9% Wahrscheinlichkeit nicht überschreiten? Lösung: Gefragt ist hier nach dem.9-fraktil. Wir haben die Verteilung auf eine N ; )-Verteilung reduziert, und von der sind die Fraktile bekannt. Φ.9).286 Dies ist aber eben nur das.9-fraktil der N ; )-Verteilung. Daher müssen wir diesen Wert nun auf die nicht-standardisierte Normalverteilung N 27.75; 4.287) zurück transformieren..286 X X Das.9-Fraktil ist also Anne Imberg wird mit 9%iger Wahrscheinlichkeit nicht mehr als Staus durchfahren müssen. 6

7 Stichproben Im Folgenden nehmen wir an, dass die Anzahl der Personen in einem öffentlichen Nahverkehrsfahrzeug normalverteilt ist. Die U-Bahnen der Bogestra vom Typ Tango fassen nominell 75 Personen. Da die Vermutung besteht, dass die Bahnen teilweise überladen fahren, soll in den Stoßzeiten eine Stichprobe durchgeführt werden, die die Nullhypothese testen soll, ob die Bahnen im Durchschnitt tatsächlich überfüllt sind. Die Varianz ist aus vorherigen Messungen bekannt und beträgt 225. a) Es soll ein Intervall für den Erwartungswert µ geschätzt werden, wobei wir uns zu 92% sicher sein wollen, dass der Erwartungswert dieses Intervall nicht verlässt. Das Intervall soll nicht länger als sein. Wie groß müssen wir den Stichprobenumfang n wählen? Lösung: Wir möchten den ) Stichprobenumfang n berechnen und σ 5 ist bekannt. 2 2c σ n muss mindestens groß sein, wobei L die Länge des Intervalls bezeichnet L und c das α )-Fraktil der N, )-Verteilung ist. α wiederum berechnet sich aus 2 der Gleichung Konfidenzniveau α. Konfidenzniveau α α Konfidenzniveau α.92 α.8 c ergibt sich zu c α ) -Fraktil 2 c.96-fraktil c.757 Nun können wir den Stichprobenumfang n anhand folgender Ungleichung bestimmen ) 2 2c σ n L Unsere Stichprobe muss also mindestens den Umfang 28 aufrunden!) haben. ) 2 b) Wie lautet der Name des Tests, der hier durchgeführt werden muss? Lösung: Einstichproben-GAUSS-Test, da Standardabweichung σ bekannt ist. 7

8 c) Mit einer Stichprobe von n wurde ein Mittelwert x 72 errechnet. Als Signifikanzniveau wählen wir α.4. Berechne den Testfunktionswert. Wie lautet die Testentscheidung? Lösung: Wir betrachten die Nullhypothese b): H : µ >) µ gegen H : µ < µ. Zunächst berechnen wir den Testfunktionswert z: z x µ n σ Als nächstes ist der Verwerfungsbereich B zu bestimmen mit x α als α)-fraktil der N, )-Verteilung: B b), x α ), x.4 ), x.96 ),.757) Wir stellen fest, dass der Testfunktionswert z.954 nicht im Intervall B ist. Somit verwerfen wir unsere Nullhypothese nicht. Die Bahnen sind tatsächlich im Durchschnitt überfüllt. d) Wie wäre unsere Entscheidung in Aufgabenteil c) ausgefallen, wenn die Stichprobe einen Mittelwert x 7 ergeben hätte? Lösung: Wir müssen nur den Testfunktionswert z neu berrechnen: 7 75 z Wir stellen fest, dass dieser im Verwerfungsintervall B liegt. Somit hätten wir bei diesem Mittelwert die Nullhypothese verworfen. 8

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