Aus Kapitel 4 Technische Mechanik Aufgaben
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- Klaus Kerner
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1 6 Aufgaben Kap. 4 Aus Kapitel 4 Aufgaben 4. Zugproben duktiler Werkstoffe reißen im Zugversuch regelmäßig mit einer größtenteils um 45 zur Kraftrichtung geneigten Bruchfläche. F F 3. Mohr scher Spannungskreis: τ (MPA 45 φ = Analsieren Sie die Spannungsverhältnisse in einer solchen Zugprobe des Querschnitts 0 mm, die unter einer Zugkraft von F = 8 kn gebrochen ist, in den folgenden Schritten:. Schneiden Sie ein Stück der Zugprobe frei und tragen Sie die angreifenden Spannungen in einen, - Lageplan ein. Wie lautet der Spannungstensor? 3. Zeichnen Sie den Mohr schen Spannungskreis. 4. In welchem Winkel treten die Hauptschubspannungen τ ma auf und wie groß sind sie? Zeichnen Sie für das, -Hauptschubspannungssstem einen entsprechend gedrehten Lageplan und tragen Sie in diesen alle auftretenden Spannungen ein. 5. Was ist aus werkstoffkundlicher Sicht der Grund für die um 45 geneigte Bruchfläche? Resultat: Die Hauptschubspannungen betragen τ ma =.. Lageplan: 400 MPA Lageplan im gedrehten Koordinatensstem (alle Zahlenwerte in : 5. Versetzungsgleiten auf den benen der größten Schubspannungen. 4. Auf der freien Oberfläche eines Bauteils herrschen die Spannungen σ = 60, σ = 45 und τ =.. Tragen Sie die Spannungen in einen Lageplan ein. Zeichnen Sie den Mohr schen Spannungskreis. 3. Wie groß sind die Hauptspannungen σ und σ sowie die Hauptschubspannung τ ma? 4. Welcher Winkel liegt zwischen dem, -Koordinatensstem und den Hauptachsensstem? * * Resultat: σ = 80, σ = 65, τ ma = 7,5, ϕ =.
2 Aufgaben Kap Lageplan (alle Zahlenwerte in : Um welchen Winkel ist das Koordinatensstem zu drehen, damit die größtmöglichen Schubspannungen auftreten? 5. Wie lautet der Spannungstensor im, -Hauptschubspannungssstem? 6. Tragen Sie Komponenten des in das Hauptschubspannungssstem gedrehten Spannungstensors in einen entsprechend gedrehten Lageplan ein. Resultat: σ = 30, σ = 80, τ = 0. Zwischen dem, -Koordinatensstem und dem Hauptschubspannungssstem liegt ein Winkel von 45. σ = σ =, τ ma = Mohr scher Spannungskreis: τ ( τ ma = 7,5. bener Spannungszustand, da freie, unbelastete Oberfläche Lageplan (alle Zahlenwerte in : φ = Aus dem Mohr schen Spannungskreis abgelesen: σ = 80, σ = 65, τ ma = 7,5. 4. Aus dem Mohr schen Spannungskreis abgelesen: ϕ =. 4.3 Am dargestellten, 4 mm starken, quadratischen Blech der Seitenlängen 00 mm wird mit gleichmäßig über die jeweiligen Stirnseiten verteilten Kräften F = 3 kn gezogen und F = kn gedrückt. F = 3 kn Mohr scher Spannungskreis: τ ( 55 φ = F = kn z F = kn F = 3 kn. Welche Art von Spannungszustand liegt vor? Wie lautet der Spannungstensor im, -Koordinatensstem? 3. Tragen Sie die vorliegenden Spannungskomponenten in einen Lageplan ein und zeichnen Sie den Mohr schen Spannungskreis. 4. Zwischen dem, -Koordinatensstem und dem Hauptschubspannungssstem liegt ein Winkel von ±55 ±55 Anmerkung: Das Pluszeichen bei den Schubspannungen gilt für eine 45 -Drehung gegen den Uhrzeigersinn, das Minuszeichen für eine 45 -Drehung im Uhrzeigersinn.
3 8 Aufgaben Kap Lageplan im gedrehten Koordinatenssem (alle Zahlenwerte in : * * Lageplan (alle Zahlenwerte in Prozent: Im Kampf gegen die Langeweile sitzen Sie in der letzten Reihe des Hörsaals und zerren an einem Blatt karierten Papiers. Dabei verformt sich das Blatt wie folgt: Unverformter Zustand: quadratisches Karomuster mit Linienabständen von jeweils 5 mm. Verformter Zustand: siehe folgende, nichtmaßstäbliche Skizze: 3. Mohr scher Verzerrungskreis: γ (% 6 5, 4 φ = , ε (% γ = 4 4,8 mm 5,3 mm 4. Aus dem Mohr schen Verzerrungskreis abgelesen: ε = 7, %, ε = 5, %.. Wie lautet der Verzerrungstensor in der, -bene? Zeichnen Sie die vorliegenden Verzerrungen in einen Lageplan ein. 3.ZeichnenSiedenMohr schenverzerrungskreis. 4. Wie groß sind die Hauptdehnungen ε und ε?zeichnen Sie die im Hauptachsensstem herrschenden Dehnungen in einen entsprechend gedehnten Lageplan ein. Resultat: ε = 4%, ε = 6%, ε = %, ε = 7, %, ε = 5, %.. V = 4 % 6 5, 7, 4.5 Leiten Sie eine für die meisten gängigen Konstruktionswerkstoffe gültige, einfache Faustformel zur Berechnung des Schubmoduls G allein aus dem lastizitätsmodul her. 7, 5, Resultat: G =,6 Da die Querkontraktionszahl für die meisten gängigen Konstruktionswerkstoffe um 0,3 liegt, gilt G = (+ν =,6.
4 Aufgaben Kap Welcher der beiden Verzerrungstensoren ist schlimmer, V oder V? 0, 0,3 V = %, 0,3 0,3 0,4 V = % 0,4 0,9 Resultat: Keiner, beide beziehen sich auf denselben Verzerrungszustand. Man kann sich leicht am Mohr schen Verzerrungskreis überzeugen, dass beide Verzerrungstensoren auf demselben Mohrkreis liegen, sie sind also gleich schlimm. 4.7 Drei gleich große Würfel der Kantenlänge a = 5 cm, von denen der erste aus Stahl ( = 05 GPa, ν = 0,3, der zweite aus Aluminium ( = 70 GPa, ν = 0,3 und der dritte aus PVC ( = 0,5 GPa, ν = 0,5 besteht, fallen im Marianengraben auf die mit.034 m tiefste Stelle des Meeresgrundes.. Wie groß ist dort der Wasserdruck p in N/mm? Wie lautet der Spannungstensor? 3. Bestimmen Sie mithilfe des Hooke schen Gesetzes den dazugehörigen Verzerrungstensor. 4. Welche Volumenänderung (in cm 3 erfahrendiedrei Würfel? 5. Welche igenschaft haben demnach Stoffe der Querkontraktionszahl ν = 0,5? Resultat:. σ = σ = σ z = 0,4. 3. Stahl: ε = ε = ε z = 0,. Alu: ε = ε = ε z = 0,63. PVC ε = ε = ε z = ΔV Stahl = 0,08 cm 3, ΔV Alu = 0,37 cm 3, ΔV PVC = 0cm 3.. Auf einem Quadratmeter Fläche lastet eine Gewichtskraft von m.034 m,0 t 9,8 m =,04 m 3 s 0 8 N. = p =, N = 0, mm 0, , ,4 3. ε = [ σ ν(σ + σ z = ν ( 0,4 = ε,stahl = 0,, ε,alu = 0,63, ε,pvc = 0. z 4. ΔV = ( ε + ε + ε z V mitv = cm 3 = ΔV Stahl = 0,08 cm 3, ΔV Alu = 0,37 cm 3, ΔV PVC = 0cm Sie sind inkompressibel. 4.8 ine quadratische dünne Stahlstange der Länge l = m (Materialdaten: = 05, ν = 0,3, α = 0 5 K wird zwischen zwei starren Betonwänden eingemauert. Nach der Montage erwärmt sich die Stahlstange um ΔT = 40 K. l = m Querschnitt:. Wie groß sind die Dehnung ε sowie die Spannungen σ, σ z und alle Schubspannungen im Stab? Begründen SiekurzIhreAntwort. Berechnen Sie mithilfe des Hooke schen Gesetzes alle anderen Komponenten von Spannungs- und Verzerrungstensor. Resultat:. ε = 0. Die -undz-flächen sind freie Oberflächen. Alle Spannungskomponenten mit den Indizes oder z verschwinden: σ = σ z = τ = τ z = τ z = 0. σ = 8, ε = ε z = 0,5. ε = 0, da beide nden der Stange in -Richtung fiiert sind. Die -undz-flächen sind freie Oberflächen, sodass alle Spannungskomponenten mit den Indizes oder z verschwinden: σ = σ z = τ = τ z = τ z = 0. σ aus σ = [ ε + ν + ν ν (ε + ε + ε z ν αδt = σ = 8. ε = [ σ ν(σ + σ z = 0,5, ε z = ε = 0,5. Alle Gleitungen verschwinden.
5 30 Aufgaben Kap An einem Bauteil aus Aluminium ( = 70 GPa, ν = 0,3 werden mit einer DMS-Rosette die Dehnungen ε a = 0,6, ε b = 0,45 und ε c = 0, gemessen. Zwischen den DMS-Streifen (a, (b und (c liegen jeweils Winkel von 45 gegen den Uhrzeigersinn. Wie groß sind die Hauptspannungen und in welche Richtung sind sie orientiert? Resultat: σ = 49,5 und σ = 0,5. Der Mittelpunkt des Mohr schen Verzerrungskreises liegt bei ε M = (ε a + ε c =0,35. Die fehlende Gleitung (um den Verzerrungskreis zu γ zeichnen beträgt ac = ε b ε M = 0,. Nun können wir den Mohr schen Verzerrungskreis zeichnen: γ ( ε c = 0, ε M ε a = 0,6 ε b = 0,45 ε ( Als Hauptdehnungen lesen wir ab: ε = 0,6 und ε = 0,08. Mit dem Hooke schen Gesetz für den SZ berechnen wir daraus als Hauptspannungen 70 GPa ( σ = 0,3 σ = 0,6 + 0,3 0,08 70 GPa ( 0,3 0,08 + 0,3 0,6 = 49,5 und 000 = 0,5. 000
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