Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel

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1 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Rechnen mit bedingten Wahrscheinlichkeiten Aufgabe 4.1 (Klausur vom ) In der Fakultät einer Hochschule werden die drei Studiengänge BWL, Wirtschaftsrecht und Banking&Finance angeboten. Die Studierenden der Fakultät verteilen sich wie folgt auf die drei Studiengänge: ˆ 11% studieren Wirtschaftsrecht ˆ 17% studieren Banking&Finance ˆ der Rest studiert BWL Der Frauenanteil in den drei Studiengängen beträgt: ˆ 48% in Wirtschaftsrecht ˆ 60% in Banking&Finance ˆ 53% in BWL Wie viel Prozent der weiblichen Studierenden der Fakultät studieren a) Wirtschaftsrecht? b) Banking&Finance? c) BWL? Aufgabe 4.2 Eine Bank bietet ihren Kunden Kredite über ein Jahr zu unterschiedlichen Kredithöhen an: Variante Darlehns- Nr. betrag in GE

2 Zur Zeit laufen Kreditverträge, die sich wie folgt aufteilen: Variante Anzahl der Nr. Verträge Die Bank muss damit rechnen, dass einige Kredite nicht zurückgezahlt werden. Im letzten Kalenderjahr wurden trotz anderslautender Vereinbarung einige Kredite nicht zurückgezahlt: Variante Anteil der nicht zurück- Nr. gezahlten Kredite (in %) 1 1,5 % 2 2,0 % 3 2,5 % 4 1,2 % 5 2,1 % Diese Prozentzahlen werden auch als gültig für das laufende Kalenderjahr unterstellt. Für das laufende Kalenderjahr stellen sich der Bank folgende Fragen: a) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass ein Kredit nicht zurückgezahlt wird? b) Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, dass der Darlehnsbetrag GE beträgt, falls das Darlehn nicht zurückgezahlt wird? c) Wenn ein Darlehn nicht zurückgezahlt wird, geht die Bank davon aus, dass ein Verlust von 80% des Darlehnsbetrags entsteht. Mit welchem Gesamtverlust muss die Bank im laufenden Kalenderjahr rechnen? d) Sind das Ereignis ein zufällig ausgewählter Kunde hat einen Kredit über GE aufgenommen und das Ereignis ein zufällig ausgewählter Kunde zahlt den Kredit nicht zurück stochastisch unabhängig? Lösung zu Aufgabe 4.1 0,48 = P (Frau W-Recht) P (W-Recht) = 0,11 0,60 = P (Frau B & FI) P (B &FI) = 0,17 0,53 = P (Frau BWL) P (BWL) = 0,72 P (Frau W-Recht)=0,48 0,11 = 0,0528 P (Frau B & FI)=0,60 0,17 = 0,1020 P (Frau BWL)=0,53 0,72 = 0,3816 2

3 Arbeitstabelle: W-Recht B &FI BWL F 0,0528 0,1020 0,3816 0,5364 M 0,11 0,17 0,72 1 a) P (W-Recht F)= 0,0528 0,5364 = 0,0984 d.h. der Anteil beträgt 10%. b) P (B&FI F)= 0,1020 0,5364 = 0,1902 d.h. der Anteil beträgt 19%. c) P (BWL F)= 0,3816 0,5364 = 0,7114 d.h. der Anteil beträgt 71%. Lösung zu Aufgabe 4.2: B 1 = Kredit über GE B 2 = Kredit über GE B 3 = Kredit über GE B 4 = Kredit über GE B 5 = Kredit über GE A = Kredit wird im kommenden Jahr nicht zurückgezahlt Geben sind im Aufgabentext die Wahrscheinlichkeiten: P (A B 1 ) = 0,015 P (B 1 ) = 0,40 P (A B 2 ) = 0,020 P (B 2 ) = 0,30 P (A B 3 ) = 0,025 P (B 3 ) = 0,15 P (A B 4 ) = 0,012 P (B 4 ) = 0,09 P (A B 5 ) = 0,021 P (B 5 ) = 0,06 Über die bedingten Wahrscheinlichkeiten können wir die Wahrscheinlichkeiten vom Durchschnitt berechnen: P (A B 1 ) = P (A B 1) P (A B 1 ) = P (B 1 ) P (A B 1 ) = 0,40 0,015 = P (B 1 ) 0,006 P (A B 2 ) =... Diese Wahrscheinlichkeiten tragen wir in eine Arbeitstabelle ein: B 1 B 2 B 3 B 4 B 5 A 0,0060 0,0060 0,0038 0,0011 0,0013 A 0,40 0,30 0,15 0,09 0,06 1 a) P (A) = 0,0182 b) P (B 5 A) = P (A B 5) P (A) = 0,0013 0,0182 = 0,0714 3

4 c) Gesamtverlust: Variante Anzahl Wkt. erwartete Schaden Schaden Nr. Anzahl pro Vertrag insgesamt säumiger Kunden , , ,025 18, ,012 5, ,021 6, d) P (B 5 A) = 0,0013 0,0011 = 0,06 0,0182 = P (B 5 ) P (A) d.h. A und B 5 sind stochastisch abhängig 4

5 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Arbeitsblatt Beispiel 1 Es fand eine Umfrage über die Beseitigung von Sperrpfosten statt. Die Sperrpfosten sollen verhindern, dass auf dem Fußweg geparkt wird. A = befragte Person gab an, Auto zu fahren R = befragte Person gab an, Rad zu fahren B = befragte Person sprach sich für eine Beseitigung von Sperrpfosten aus Welche der nachfolgenden Ereignisse sind bedingte Ereignisse? a) 30% aller Befragten gaben an, sowohl Auto als auch Rad zu fahren. b) 53% aller Autofahrer sprachen sich für eine Beseitigung von Sperrpfosten aus. c) 50% aller Befragten sprachen sich für eine Beseitigung von Sperrpfosten aus. d) 90% aller Befürworter der Beseitigung von Sperrpfosten waren Autofahrer. e) 45% aller Befragten waren Autofahrer, die eine Beseitigung von Sperrpfosten befürworteten. f) 83% aller Radfahrer sprachen sich gegen eine Beseitigung von Sperrpfosten aus. g) 58% aller Gegner der Beseitigung von Sperrpfosten waren Radfahrer. h) 29% aller Befragten waren Radfahrer, die sich gegen eine Beseitigung von Sperrpfosten aussprachen. Lösung: a) P (A R) = 0,30 e) P (A B) = 0,45 b) P (B A) = 0,53 f) P (B R) = 0,83 c) P (B) = 0,5 g) P (R B) = 0,58 d) P (A B) = 0,9 h) P (R B) = 0,29 1

6 Beispiel 2 Bei einer Kunden-Umfrage eines Marktforschungsinstituts stellte sich heraus, dass ˆ 37% aller Befragten das Produkt I kaufen ˆ 48% aller Befragten Produkt II kaufen ˆ 25% der Käufer von Produkt II auch Produkt I kaufen a) Wie groß ist der Anteil der Befragten, die 1. mindestens eines der beiden Produkte I, II kaufen? 2. genau eines der beiden Produkte I, II kaufen? 3. sowohl Produkt I als auch Produkt II kaufen? 4. höchstens eines der beiden Produkte kaufen? 5. weder Produkt I noch Produkt II kaufen? b) Wie hoch ist unter den Käufern von Produkt I der Anteil der Kunden, die Produkt II nicht kaufen? c) Sind die Ereignisse Zufällig ausgewählter Kunde kauft Produkt I und Zufällig ausgewählter Kunde kauft Produkt II stochastisch unabhängig? Lösung: Bezeichnen Sie die Ereignisse wie folgt: A= zufällig ausgewählter Kunde kauft Produkt I B= zufällig ausgewählter Kunde kauft Produkt II 2

7 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Arbeitsblatt Beispiel 1: Die Studierenden der FH Köln kommen wie folgt zur FH: ˆ 10% mit dem Auto/Motorrad/Roller ˆ 15% zu Fuß ˆ 20% mit dem Fahrrad ˆ der Rest mit öffentlichen Verkehrsmitteln Von den Nutzern eines Autos/Motorrads/Rollers sind 2% verspätet, zu Fuß sind 1% verspätet, mit dem Rad sind 3% verspätet und mit öffentlichen Verkehrsmitteln sind 5% verspätet. a) Wie hoch ist der Anteil der Studierenden, die verspätet zur Vorlesung erscheinen? b) Ein Studierender ist verspätet. Wie hoch ist die Wahrscheinlichkeit, dass er mit dem Auto/Motorrad/Roller angereist ist? c) Sind die Ereignisse Ö= ein zufällig ausgewählter Studierender kommt mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur FH V = ein zufällig ausgewählter Studierender ist verspätet stochastisch unabhängig? 1

8 Beispiel 2 (Klausur vom 11. Juli 2006) Die Älteren lieben neue Autos. Fast zwei Drittel der so genannten Generation 60 plus, genau 63 Prozent, besitzen einen Neuwagen. Auf die Frage Haben Sie Ihr Auto neu oder gebraucht gekauft? antworteten im März 2006 bei einer Umfrage in Deutschland die Fahrzeughalter wie folgt: Alter Gebrauchtwagen Vorführwagen Neuwagen Fahrzeughalter % 14% 13% 10 % % 19% 37% 20 % % 17 % 39% 26 % % 15% 49% 20 % 60 plus 23% 14% 63% 24 % Quellen: Aral-Marktforschung, KBA a) Wie viel Prozent der Halter eines Neuwagens sind 1. mindestens 60 Jahre alt? bis 29 Jahre alt? bis 59 Jahre alt? b) Sind die Ereignisse zufällig befragter Fahrzeughalter kaufte einen Neuwagen und zufällig befragter Fahrzeughalter ist mindestens 60 Jahre alt stochastisch unabhängig? 2

9 Lösung zu Beispiel 1 A=ein zufällig ausgewählter Studierender kommt mit dem Auto/Motorrad/Roller zur FH F =ein zufällig ausgewählter Studierender kommt zu Fuß zur FH R=ein zufällig ausgewählter Studierender kommt mit Rad zur FH Ö= ein zufällig ausgewählter Studierender kommt mit öffentlichen Verkehrsmitteln zur FH V = ein zufällig ausgewählter Studierender ist verspätet Im Aufgabentext sind folgende Wahrscheinlichkeiten gegeben: P (A) = 0,10 P (V A) = 0,02 P (F ) = 0,15 P (V F ) = 0,01 P (R) = 0,20 P (V R) = 0,03 P (Ö) = 0,55 P (V Ö) = 0,05 a) P (V A) = P (V A) P (A) = 0,1 0,02 = 0,0020 P (V F ) = P (V F ) P (F ) = 0,15 0,01 = 0,0015 P (V R) = P (V R) P (R) = 0,2 0,03 = 0,0060 P (V Ö) = P (V Ö) P (Ö) = 0,55 0,05 = 0,0275 Daraus lässt sich eine Arbeitstabelle aufstellen: A F R Ö V 0,0020 0,0015 0,0060 0,0275 0,0370 V 0,10 0,15 0,20 0,55 1 d.h. die Wahrscheinlichkeit beträgt 0,037. b) c) Lösung zu Beispiel 2 3

10 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Sprechstunde Mi 9-10 Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Arbeitsblatt Beispiel 1 Als Wellenreiter an der Ostsee betrachten Sie die beiden Ereignisse: A morgen wird der Wind aus Nordwest wehen B morgen liegt die Wellenhöhe zwischen 1 und 2 m Am besten lässt sich surfen, wenn der Wind aus Nordwest weht und die Wellen nicht zu flach und nicht zu hoch sind, also zwischen einem und zwei Meter Höhe liegen. Die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis A liegt bei 60%, die Wahrscheinlichkeit für das Ereignis B liegt bei 75%. a) Nehmen Sie an, dass die zwei Ereignisse A, B stochastisch unabhängig voneinander sind. Wie groß ist dann die Wahrscheinlichkeit, dass morgen 1) bestes Surfwetter sein wird? 2) der Wind nicht aus Nordwest weht und auch die Wellen nicht zwischen 1 und 2 m liegen? 3) die Wellen zwar zwischen 1 und 2 m liegen, jedoch der Wind nicht aus Nordwest weht? b) Nehmen Sie an, dass die Ereignisse A, B stochastisch abhängig sind. Was lässt sich jetzt über die Wahrscheinlichkeit sagen, dass morgen bestes Surfwetter sein wird? Können Sie eine Mindestwahrscheinlichkeit für dieses Ereignis angeben? Beispiel 2 Auf dem Weg zur FH können Sie in einen Stau geraten oder sich verspäten. Die Wahrscheinlichkeit, in einen Stau zu geraten, beträgt 20%, die Wahrscheinlichkeit, sich zu verspäten, beträgt 25%. Immer wenn Sie in einen Stau geraten, verspäten Sie sich auch. Wie groß ist die Wahrscheinlichkeit, nicht in einen Stau zu geraten und pünktlich in der FH zu sein? Beispiel 3 Eine Misch-Packung Nüsse besteht zu ˆ 60% aus Haselnüssen 1

11 ˆ 25% aus Walnüssen ˆ 15% aus Mandeln Bei dieser Ernte sind etwa ˆ 3% des Gewichts der Haselnüsse verdorben. ˆ 10% des Gewichts der Walnüsse verdorben. ˆ 8% des Gewichts der Mandeln verdorben. a) Mit welchem Gewichtsanteil von verdorbenen Nüssen muss pro Packung gerechnet werden? b) Wie hoch ist unter den verdorbenen Nüssen der Gewichtsanteil der ˆ Haselnüsse? ˆ Walnüsse? ˆ Mandeln? Beispiel 4 Die Freizeitgestaltung (Internet-Surfen, Spielfilm, Kneipenbesuch) sieht wie folgt aus: 1. An 77% aller Tage wird im Internet gesurft. 2. An 20% aller Tage wird ein Spielfilm angeschaut (Kino, TV, DVD). 3. An 15% aller Tage steht ein Kneipenbesuch an. 4. An 12% aller Tage werden sowohl ein Film angeschaut, als auch im Internet gesurft. 5. An 1% aller Tage werden alle drei Freizeitaktivitäten Internet-Surfen, Spielfilm, Kneipenbesuch durchgeführt. 6. An 7% aller Tage werden sowohl ein Spielfilm angeschaut, als auch ein Kneipenbesuch gemacht. 7. An 62% aller Tage wird ausschließlich im Internet gesurft, also kein Kneipenbesuch, kein Spielfilm. a) An wie viel Prozent aller Tage wird keine der drei Freizeitaktivitäten Internet- Surfen, Spielfilm, Kneipenbesuch unternommen? b) Sind die Ereignisse Kneipenbesuch und Spielfilm stochastisch unabhängig? 2

12 Fachhochschule Köln Fakultät für Wirtschaftswissenschaften Prof. Dr. Arrenberg Raum 221, Tel Übungen zur Statistik für Prüfungskandidaten und Prüfungskandidatinnen Arbeitsblatt Beispiel 1 Die Studierenden einer Fachhochschule wohnen wie folgt: ˆ 40% Miet- oder Eigentumwohnung ˆ 20% Wohngemeinschaft ˆ 15% Studentenwohnheim ˆ 5% Untermiete ˆ 20% bei den Eltern Von den Studierenden, die in einer Miet-/Eigentumswohung bzw. WG leben, haben jeweils 50% ein eigenes Auto. Von den Studierenden, die im Studentenwohnheim bzw. zur Untermiete wohnen, haben jeweils 40% ein eigenes Auto. Von den Studierenden, die bei den Eltern wohnen, haben 60% ein eigenes Auto a) Wie hoch ist der Anteil der Studierenden, die ein eigenes Auto besitzen? b) Wie hoch ist unter den Studierenden, die ein eigenes Auto besitzen, der Anteil der Personen, die bei den Eltern wohnen? c) Sind die Ereignisse Studierender wohnt zur Untermiete und Studierender besitzt ein eigenes Auto stochastisch unabhängig? Lösung zu Beispiel 1: A=zufällig ausgewählter Studierender besitzt ein Auto MW WG SW U E A 0,20 0,10 0,06 0,02 0,12 0,50 A 0,40 0,20 0,15 0,05 0,20 1 P (A MW ) = P (A MW ) P (MW ) = 0,50 0,40 = 0,20 usw. a) P (A) = 0,50 P (A E) b) P (E A) = = 0,12 P (A) 0,50 = 0,24 d.h. der Anteil beträgt 24%. 1

13 c) P (A U) = 0,40 0,50 = P (A) d.h. A, E sind stochastisch abhängig. Beispiel 2 Kundenanalyse: 20% aller Kunden kaufen Produkt A, 30% aller Kunden kaufen Produkt B. Ferner sind die Ereignisse, zufällig ausgewählter Kunde kauft Produkt A und zufällig ausgewählter Kunde kauft Produkt B stochastisch unabhängig. Wie hoch ist der Anteil der Kunden, die a) mindestens eines der beiden Produkte A,B kaufen? b) genau eines der beiden Produkte A,B kaufen? c) höchstens eines der beiden Produkte A,B kaufen? d) beide Produkte A,B kaufen? e) weder A noch B kaufen? Lösung zu Beispiel 2: A=zufällig ausgewählter Kunde kauft Produkt A B=zufällig ausgewählter Kunde kauft Produkt B P (A B) = P (A) P (B) = 0,20 0,30 = 0,06 da A, B stoch. unabh. A A B 0,06 0,24 0,30 B 0,14 0,56 0,70 0,20 0,80 1 a) P (A B) = 1 0,56 = 0,44 d.h. der Anteil beträgt 44%. b) P (A B) + P (A B) = 0,14 + 0,24 = 0,38 d.h. der Anteil beträgt 38%. c) 1 P (A B) = 1 0,06 = 0,94 d.h. der Anteil beträgt 94%. d) P (A B) = 0,06 d.h. der Anteil beträgt 6%. e) P (A B) = 0,56 d.h. der Anteil beträgt 56%. Beispiel 3: Von den Studierenden einer Fakultät für Wirtschaftswissenschaften jobben neben dem Studium ˆ 62% der BWL-er ˆ 73% der B & FI-Studierenden 2

14 ˆ 48% der W-Rechtler ˆ 56% der International Business Studierenden Insgesamt 79% aller Studierenden des Fakultät studieren BWL, der Rest der Studierenden verteilt sich zu gleichen Anteilen auf die Studiengänge B & FI, W-Recht und Intern. Bus. Wie viel Prozent der Studierenden, die nebenbei jobben, studieren a) BWL b) B & FI c) W-Recht d) Intern. Bus.? Lösung zu Beispiel 3: J=zufällig ausgewählter Studierender jobbt BWL B & FI W-Recht Int. B. J 0,4898 0,0511 0,0336 0,0392 0,6137 J 0,79 0,07 0,07 0,07 1 P (J BW L) = P (J BW L) P (BW L) = 0,62 0,79 = 0,4898 usw. P (J BW L) a) P (BW L J) = = 0,4898 P (J) 0,6137 = 0,7981 d.h. der Anteil beträgt 79,81%. P (J B&F I) b) P (B&F I J) = P (J) d.h. der Anteil beträgt 8,33%. = 0,0511 0,6137 = 0,0833 P (J W R) c) P (W R J) = = 0,0336 P (J) 0,6137 = 0,0547 d.h. der Anteil beträgt 5,47%. P (J IB) a) P (IB J) = = 0,0392 P (J) 0,6137 = 0,0639 d.h. der Anteil beträgt 6,39%. 3