Maxwell- und Materialgleichungen. B rote t. divb 0 D roth j t divd. E H D B j

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1 Maxwell- und Materialgleichungen B rote t divb D roth j t divd E H D B j elektrische Feldstärke magnetische Feldstärke elektrischeverschiebungsdichte magnetische Flussdichte elektrische Stromdichte DrE BrH jej ext Materialgleichungen für isotropes Medium: rel. Permittivität r, rel. Permeabilität µ r und el. Leitfähigkeit sind Materialkennzahlen hier keine Tensoren

2 Wellengleichung E E E t t, Wellengleichung der elektrischen Feldstärke E, c/ r r dive E E,,,q,,q x E E e x j( tq z) z Einführung einer komplexen Brechzahl n* - Verknüpfung mit komplexer Wellenzahl q z E x E e kz c e Phase n j ( t z) c z abzuleiten aus den Maxwell-Gleichungen und Materialgleichungen für ein homogenes, isotropes Dielektrikum c Vakuumlichtgeschwindigkeit, optische Leitfähigkeit Lösung muss transversale Welle mit Feldvektor senkrecht zum Ausbreitungsvektor sein! O.B.d.A.: linear polarisiert Lösungsansatz ergibt eingesetzt in Wellenglg. () () q q z v z ph j n * mit n* n c c n jk Phasengeschwindigkeit

3 (3) (4) Verknüpfung elektrischer Materialgrößen mit optischen Kennzahlen Vergleich von () mit () ergibt: n k n k c Bestrahlungsstärke ist proportional (5) (6) c E x r E e r kz c a c Einführung einer komplexen dielektrischen Funktion *: * n k c j n k c n * c n reelle Brechzahl k Absorptionszahl n = r für k = und µ r = Maxwell-Beziehung k Absorptionskoeffizient

4 Kramer-Kronig-Dispersionsrelation ' ' ( ') ( ) P d ' ( ') ' ( ) P d ' P Cauchyscher Hauptwert des Integrales bei der Singularität = n und k wie auch und sind nicht unabhängig von einander, sondern über die Kramer-Kronig Dispersionsrelation mit einander verknüpft!

5 Polarisierbarkeit Die ins Material eindringende el.magn. Welle polarisiert die Atome bzw. Moleküle. Polarisation: P N p N E lok D * E E P N E p mittleres induziertes Dipolmoment N Anzahldichte der Atome bzw. Moleküle E lok lokales (mikroskopisches) el. Feld äußeres (makroskopisches) el. Feld - gute Näherung bei nicht gebundenen Elektronen komplexe Polarisierbarkeit - berechnet aus einem atomaren Modell D komplexe dielektrische Verschiebungsdichte

6 Polarisierbarkeit und optische Kennzahlen N * j ( ) (7) Mit µc =µ r / n k Re( nk Im( N folgt aus (5), (6) und (7) (8) N ) ) r r

7 Lorentz-Oszillator Lorentz-Modell anwendbar auf Halbleiter und Isolatoren quantenmechanisch verallgemeinerbar beschreibt durch elektrisches Feld E lok erzwungene Schwingung eines an ein Atom gebundenen Valenzelektrons mit Ladung e und Masse m - anstelle der reduzierten Masse kann Elektronenmasse eingesetzt werden, weil real das Elektron gegen das sehr viel schwerere Kristallgitter schwingt: d r m dt m d r dt m r ee lok beschleunigende, dämpfende, rücktreibende, antreibende Kraft Der -te Term der DGL beinhaltet den Energieverlust durch viskose Dämpfung, der 3-te Term ist gemäß dem Hookschen Gesetz. Mit E lok r( t) ( t) E ( lok () e e / m jt ) j E lok erhält man durch Einsetzen in obige DGL ( t)

8 Dispersionsgleichungen j m e E er p lok ) ( ) ( ) ( (9) (9) Mit (7) und (9) bzw. (7) und (8) Mit (7) und (9) bzw. (7) und (8) j m N e ) ( / * () () () () ) ( / ) ( / m N e nk m N e k n für nichtmagnetische Materialien: µ r = für nichtmagnetische Materialien: µ r =

9 Dielektrische Funktion für Ensemble klassischer Atome mit Elektron en m / / Normale Dispersion: wachsend mit Anormale Disprsion: fallend mit im Dämpfungsbereich Dämpfungs (Absorptions)profil für / e m N ( / Lorentzprofil mit Halbwertsbreite und Dämpfungsmaximum bei ( / ) max e m N )

10 Verallgemeinerung auf mehrere quantenmechanische Oszillatoren Dielektrische Funktion für N i Atome provolumeneinheit mit Übergangsenergie i zwischen zwei atomaren Zuständen und relativer Übergangswahrscheinlichkeit f i (Oszillatorenstärke) Summenregel e N i fi * / m ( ) N i i f N i i i i j i

11 Polarisationsformen Orientierung permanenter Dipole - MW Ionengitter- Schwingungen MIR + FIR Auslenkung gebundener Elektronen NIR + VIS + UV Realteil der Polarisierbarkeit als Funktion der Frequenz: Im Bereich optischer Frequenzen, vor allem im Bereich, ist der Beitrag der Orientierungspolarisation wie auch der der Atompolarisation wegen der Trägheit der Dipole und der Atome (Ionen) klein gegen den der Elektronenpolarisation.

12 Spektrale Abhängigkeit der dielektrischen Funktion Beispiel: 4eV ev Ne m 6 / / Einsatz von Spektralbereich IV: /

13 Spektrale Abhängigkeit von Brech- und Absorptionszahl n und k berechnet aus der dielektrischen Funktion: / n ( ) / k ( ) / / Einsatz von Spektralbereich IV: n k Bereich I und IV: Medium nahezu transparent Bereich II: Medium stark absorbierend Bereich III: Medium reflektierend

14 Spektrale Abhängigkeit der Reflexion Fresnel-Reflexionsgrad bei senkrechtem Einfall aus Medium mit Brechzahl n= (Vakuum, Luft,..) (n ) k R (n ) k Bereich III: Weit oberhalb der Resonanzfrequenz, wo n und k relativ groß ist, starke Reflexion. Photonenenergie>Bindungsenergie der Elektronen Elektronen quasi frei, Isolator mit metallischer Reflexion. Für gute Isolatoren wie die Alkalihalogenide liegt Bereich III im VUV, für Halbleiter wie Ge und Si mit Bandkante im IR liegt Bereich metallischer Reflexion im VIS.

15 Diskussion des Lorentz-Modells Bereich I: / nk Wenn k / n Schwache Absorption Dielektrische Funktion und Reflexionsgrad 5 von Si; E 3eV 4,5 s Beispiele KCl: n=,5 in I, folglich hohe Transparenz im Gebiet I Si: 4 Valenzelektronen / Atom; damit folgt aus () mit unten stehender Übergangsfrequenz für / n 5, also n=3,87 tatsächlich n=3,5 im Niederfrequenzbereich Ge: n=4 im Gebiet I, wegen der großen Brechzahl wie bei Si nennenswerte Reflexion im Bereich I, obwohl keine Absorption dort stattfindet Bereich II: Hohe Absorption, aber auch nennenswerte Brechzahlen und damit auch beträchtliche Reflexion

16 Plasmafrequenz Bereich IV: Einsatz von IV: = bzw. n=k Für () p n k Ne m Nahezu freie Elektronen, schwache Dämpfung; Damit folgt aus () Plasmafrequenz liegt im UV oder VIS Oberhalb der Plasmafrequenz mit zunehmender Frequenz abnehmende Reflexion!

17 Drude-Modell der Metalle Quasifreie Elektronen im Leitungsband von Metallen Übergang vom Lorentz- Modell zum Drude-Modell durch Ansetzen der rücktreibenden Kraft gleich Null: () Ne / m Ne / m ( ) In Metallen (viskose) Dämpfung durch Stöße der Elektronen mit dem Gitter - / 4 s mittlere Zeit zwischen zwei Stößen () p / p / ( ) Metalle sollten sich optisch verhalten wie Isolatoren im Bereich IV:

18 Dielektrische Funktion von Metallen Im Bereich nahe der Plasmafrequenz: p / n k Insbesondere dicht oberhalb der Plasmafrequenz: n k n p Siehe folgendes Bild! p 5,5eV,, ev Bei der Plasmafrequenz verschwindet die Brechzahl, die Phasengeschwindigkeit c/n und die Wellenlänge Vak /n werden folglich unendlich groß alle Elektronen schwingen in Phase!

19 Optische Eigenschaften von Metallen Hohe Absorption und Reflexion unterhalb der Plasmafrequenz, meist im VIS, immer im IR!