Konstruktion: Konstruktion: Konstruktion: Konstruktion: Konstruktion: Konstruktion:

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1 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eiten 7/ 8 ufgaben reiecke (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet. ie hier vorgeschlagenen Konstruktionswege sind nur eispiele unter einige Möglichkeiten.) 1 a) kizze: Konstruktionsbericht: 1. c = 66mm (, markieren) 2. k 1(, r = b = 29mm) 3. k 2(, r = a = 45mm) 4. k 1 mit k 2 schneiden b) kizze: Konstruktionsbericht: 1. c = 5.4cm (, markieren) 2. k 1(, r = b = 4.2cm) 3. k 2(, r = a = 3.9cm) 4. k 1 mit k 2 schneiden c) kizze: Konstruktionsbericht: 1. c =65mm (, markieren) 2. α = b auf Winkelschenkel abtragen (b = 56mm) 4. verbinden. d) kizze: Konstruktionsbericht: 1. c = 68mm 2. Höhenstreifen hc = 41mm 3. α = 60 bei abtragen 4. Höhenstreifen mit chenkel schneiden e) kizze: Konstruktionsbericht: 1. c =64mm (, markieren) 2. α = 56 bei abtragen 3. β = 35 bei abtragen 4. chnittpunkt der chenkel f) kizze: Konstruktionsbericht: 1. b =48mm (, markieren) 2. γ = k (, r = c = 45mm) 4. chenkel mit k schneiden 1, 2 (2 Lösungen) LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 1

2 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eiten 8 / 9 ufgaben reiecke (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet. ie hier vorgeschlagenen Konstruktionswege sind nur eispiele unter einige Möglichkeiten.) 1 g) kizze: Konstruktionsbericht: 1. c =63mm (, markieren) 2. β = k (, r = b = 65mm) 4. chenkel mit k schneiden h) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen h c =40mm 2. unkt festlegen 3. k (, r = b = 44mm) 1, 2 4. Jeweils Winkel γ abtragen 1, 2 (Lösung mit 2 ist falsch beschriftet, wird trotzdem angedeutet) tart mit Höhenstreifen, wenn irgendwie möglich macht es einfacher! i) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen h c =43mm 2. unkt festlegen 3. α = 60 bei abtragen 4. chnittpunkt von chenkel und Höhenstreifen 5. Hilfspunkt festlegen, Hilfswinkel β = 45 bei zeichnen. 6. Winkelschenkel β parallel durch verschieben Wenn nötig mit einem Hilfswinkel arbeiten (und dann parallel verschieben) j) kizze: Konstruktionsbericht: 1. b = 41mm (, markieren) 2. Höhenstreifen h b = 35mm 3. α = 60 bei abtragen 4. Höhenstreifen mit chenkel schneiden 2 k) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen hc = 30mm 2. = c = 40 mm, 3. k (, r = a = 50mm) 4. k mit Höhenstreifen schneiden 1, 2 (2 Lös.) LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 2

3 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eite 9 ufgaben reiecke (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet. ie hier vorgeschlagenen Konstruktionswege sind nur eispiele unter einige Möglichkeiten.) l) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen hc = 30mm 2. festlegen 3. k 1 (, r = a = 35mm) 4. k 1 mit Höhenstreifen schneiden 1, 2 (2 Lös.) 5. k 2 (, r = b = 45mm) 6. k 2 mit Höhenstreifen schneiden 1, 2 (2 Lös.) 7. Total 4 Lösungen, wobei hier die falsch herum angeschriebenen nicht gezeichnet werden. m) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen hc = 25mm 2. festlegen 3. α = 60 bei abtragen 4. Höhenstr. mit chenkel schneiden 5. k (, r = a = 27mm) 6. k mit schneiden 1, 2 (2 Lösungen) n) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Grundseite zeichnen, festlegen 2. β = 45 bei abtragen 3. = 46mm 4. halbieren M a 5. k (M a, r = s a = 50mm) 6. k mit schneiden o) kizze: Konstruktionsbericht: 1. = c = 60mm 2. halbieren M c 3. k 1 (, r = b = 40mm) 4. k 2 (M c, r = s c = 35mm) 5. k 1 mit k 2 schneiden p) kizze: Konstruktionsbericht: 1. = c = 30mm 2. α = 30 bei abtragen 3. k (, r = s b = 40mm) 4. k mit chenkel schneiden Mb1, Mb2 5. M b verdoppeln (2 Lösungen) 2 LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 3

4 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eite 10 ufgaben reiecke (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet. ie hier vorgeschlagenen Konstruktionswege sind nur eispiele unter einige Möglichkeiten.) q) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen hc = 28mm 2. Mittelparallele m des Höhenstreifens hc 3. festlegen, k 1 (,r=b=54mm) 4. k 1 mit Höhenstreifen schneiden 1, 2 5. k 2(, r=sa=48mm) 6. k2 mit m schneiden M 1 7. M1 verdoppeln 8. Total 4 Lösungen möglich, allerdings mit falschem Umlaufsinn nicht gezeichnet. r) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen h a = 45mm 2. festlegen 3. k (, r = c = 53mm) 4. k mit Höhenstreifen schneiden 5. jeweils Höhenstreifen h c = 35 mm 6. Höhenstreifen h c mit Gerade schneiden 7. Hier sind eigentlich zwei Lösungen möglich. s) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen h b = 50mm 2. festlegen 3. k (, r = c = 61mm) 4. k mit Höhenstr. chneiden 1, 2 5. Höhenstreifen h c = 40mm 6. chnittpunkt der Höhenstr. 1, 2 (chtung auf richtige osition!!) (2 Lösungen) LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 4

5 eiten 10 / 11 ufgaben reiecke Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet. ie hier vorgeschlagenen Konstruktionswege sind nur eispiele unter einige Möglichkeiten.) t) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen h b = 29mm 2. festlegen 3. k (, r = c = 50mm) 4. k mit Höhenstreifen schneiden 1, 2 5. Mittelparallele m des Höhenstreifens 6. k 2 (, r = sa = 43mm) 7. k 2 mit m schneiden M a 8. M a verbinden und chnittpunkt mit Höhenstr. 1, 2 (2 Lösungen möglich) u) kizze: Konstruktionsbericht: 1. Höhenstreifen h b = 39mm 2. festlegen 3. k 1 (, r = a = 42mm) 4. Höhenstreifen mit k 1 schneiden 5. halbieren M a 6. k 2 (M a, r = s a = 59mm) 7. k 2 mit Gerade schneiden 8. Hier sind eigentlich zwei Lösungen möglich. 2 a) b) c) F 23 β E α α γ β chritt 1: = 82 chritt 2: Ist gleich wie. lso: = 75 as reieck E ist gleichschenklig ( 2 gleiche Winkel α). lso ist der Winkel α = (180 24) : 2 = 156 : 2 = 78 as reieck EF ist auch gleichschenklig ( 2 gleiche Winkel β). lso ist der Winkel β = (180 α) : 2 = (180 78) : 2 = 102 : 2 = 51 er Winkel γ errechnet sich dann im reieck F mit einem Zwischenschritt (Winkel = 180 β = = 129. γ = = 27 α = 78 β = 51 γ = 27 d) chritt 1: = chritt 2: = α chritt 1: = 39 chritt 2: = 22 chritt 3: Ist gleich wie β, also: = 68 α 82 chritt 4: = 52 chritt 3: α = = 46 chritt 5: = 128 = 128 LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 5

6 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eite 12 ufgaben reiecke (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet. ie hier vorgeschlagenen Konstruktionswege sind nur eispiele unter einige Möglichkeiten.) e) chritt 1: = 63 er ogen markiert das gleichschenklige reieck f) 27 chritt 2: gleichschenklig: Winkel = ( ):2 = 76.5 as reieck ist gleichseitig. omit sind alle Innenwinkel = 60 = 30 2 i) amit ist der Winkel = = 27 = 13.5 g) chritt 1: h) iese Winkel sind = chritt 2: Winkel = = 50 chritt 3: omit ist = = 31 j) ie Höhe F halbiert das reieck, ist also auch Winkelhalbierende. Winkel M = 30 es Weiteren ist das reieck ein rechtwinkliges reieck mit dem rechten Winkel bei (gem. ufgabenstellung) omit ist der gesuchte Winkel = = 30 = α α 14 α 2α chritt 1 / 2: er Winke ist 90 amit ist Winkel M = = 76 chritt 3: as reieck M ist gleichschenklig. lso ist der Winkel M = 14 und der Winkel M = = 152. chritt 4: omit ist der Winkel M = = 28 chritt 5: omit ist der Winkel = = 76 as reieck ist rechtwinklig bei as reieck M ist gleichschenklig as reieck M ist auch gleichschenklig. er Winkel FM ist = 66 gross. omit ist der Winkel M = = 114. Und die beiden asiswinkel im reieck M sind ( ) : 2 = 66 : 2 = 33 amit ist der Winkel F = = 33 Und damit ist = = 57 = 57 chritt 1: Im gleichschenkligen reieck ist α = ( ) : 2 = 40:2 = 20 chritt 2: omit ist 2α = 2 20 = 40 chritt 3: Zu Guter Letzt ist = = 120 = 120 iese ufgabe zeigt, dass kizzen als chaufigur gut taugen, aber sie haben keinesfalls die Form der wirklichen Figur!!! us solchen kizzen kann nicht heraus gemessen werden! LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 6

7 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren a) Rechteck mit kizze: eiten 15 / 16 Konstruktion von arallelenvierecken ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet! Konstruktionsbericht: 1. verbinden und verdoppeln (iagonale wird von halbiert!) 2. verbinden und verlängern 3. k(, r=) (iagonalen im Rechteck sind gleich lang!) 4. k 5. parallel durch verschieben 6. arallele durch b) Rhombus mit g,,, R (die unkte können auch auf der Verlängerung der angegebenen Geraden liegen) kizze: R Konstruktionsbericht: 1. Lot auf durch R (iagonalen stehen senkrecht) 2. chnittpunkt der iagonalen 3. an g spiegeln (iagonale = ymm.achse) 4. mit verbinden, chnittpunkt mit g =, chnittpunkt mit =. 5. Mit Zirkel jeweilige iagonalen verdoppeln (iagonalen halbieren sich) R g LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 7

8 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eiten 16 / 17 Konstruktion von arallelenvierecken (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet)! c) uadrat mit, und g (die unkte können auch auf der Verlängerung der angegebenen Geraden liegen) kizze: Konstruktionsbericht: Winkel von durch legen. (iagonalen sind ymmetrieachse, alle Winkel sind 90 omit ist iagonale auch Winkelh.) Winkel von durch legen. (Grund wie oben) 3. chnittpunkt = 4. Lot von auf (iagonalen stehen senkrecht) 5. iagonalenhälfte verdoppeln d) Rhombus mit,, R kizze: R g Konstruktionsbericht: 1. R verbinden 2. Lot auf R durch (iagonalen stehen senkrecht aufeinander) 3. mit schneiden 4. verdoppeln (iagonalen halbieren sich) 5. verdoppeln (Grund wie oben) e) Ein Rhomboid mit der Ecke auf g und der Ecke auf h. kizze: R g h g h Konstruktionsbericht: 1. halbieren (ie iagonalen halbieren sich) 2. g an spiegeln == g (Jedes arallelenviereck ist punktsymmetrisch am Mittelpunkt ist also das punktsymmetrische ild von. omit liegt auf dem punktsym-metrischen ild von g, auf der Geraden g ) 3. g mit h schneiden ( liegt auf g und gleichzeitig auf h, also muss es auf dem chnittpunkt der beiden liegen) 4. verdoppeln. g LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 8

9 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eite 17 Konstruktion von arallelenvierecken (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet)! f) Rhombus mit, und g (die unkte können auch auf der Verlängerung der angegebenen Geraden liegen) kizze: Konstruktionsbericht: 1. an g spiegeln (er Rhombus ist symmetrisch an der iagonalen) 2. mit g schneiden 3. Lot auf durch 4. verdoppeln 5. verdoppeln g eite 19 Winkelberechnung 1 a) 8-Eck (8-2) 180 = = 1080 b) 13-Eck (13-2) 180 = = 1980 c) 45-Eck (45-2) 180 = = a) regelmässiges echseck Winkelsumme = = : 6 = 120 b) regelmässiges Fünfeck Winkelsumme = = : 5 = 108 c) regelmässiges reizehneck Winkelsumme = = : 13 = a) R Innenwinkel (grün) des 7-Ecks: = 900 ; 900 : 7 = omit sind die gelben Winkel im gleichschenkligen reieck: ( ):2 = er graue Winkel ist wiederum gleich dem grünen Innenwinkel des 7- Ecks. lso ist = = T as reieck ist im Übrigen genau gleich wie das reieck R, somit ist der gesuchte Winkel = ( ) = en Winkel findet man auch über das gleichschenklige reieck T ( und T als gleiche chenkel. omit = = = also = und = b) er grüne Innenwinkel im 8-Eck hat eine Grösse von =1080 ; 1080:8 =135 r a das 8-Eck symmetrisch ist bezüglich s beträgt der Winkel = 135 : 2 = 67.5 er orange markierte Winkel ist ebenfalls gleich 67.5 (auch r ist eine ymmetrie-achse). omit ist der Winkel im Viereck berechenbar: = ( ) = 90 s also = 90 und = 67.5 LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 9

10 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eiten 21 / 225 erechnung und Konstruktion im Trapez 1 = a = c m h Lösungsweg a) 15 cm 6 cm 10.5 cm 9 cm 94.5 cm 2 m=(a+c):2 = (15+6):2=10.5; = m h = = 94.5 b) 14 cm 23 cm 18.5 cm 13 cm cm 2 c = 2m-a = = 23; h = : m = : 18.5 = 13 c) 59.5 cm 9cm cm 15 cm cm 2 m = : h = : 15 = 34.25; a = 2m c = = 59.5 d) 24,5 cm 43.5 cm 34 cm 32 cm 1088 cm 2 m = : h = 1088 : 32 = 34; c = 2m a = = Gegeben Gesucht kizze erechnungen 8cm a) h= 6cm Im rechtwinklig gleichschenkligen reieck a = 12 cm c= 8 cm m = 10 cm 45 ist die Höhe gerade halb so gross wie. lso h = Winkel = 45 = 60 cm 2 =? 6. 6cm Winkel = m = (a+c) : 2 = (12 + 8):2 = 10 b) d = 8 cm a = 8 cm Winkel = 90 = 214 cm 2 h= 8cm m= cm c = 45.5 cm 8 cm 12cm = 214 = m h = 10 6 = 60 a es sich um ein rechtwinkliges Trapez handelt und die rechtwinkligstehende chrägseite gegeben ist, kennen wir sofort die Höhe. h = 8 m = : h = 214 : 8 = c = 2m a = = cm 3 Gegeben kizze Konstruktionsplan a) a = 6.5 cm 1. = 6.5cm c= 4 cm 2. = 70 Winkel = 70 4cm 3. Lot auf (chenkel von ) durch Winkel (, )= einzeichnen ( = 4cm) 6.5cm 5. arallele zu durch chnittpunkt mit (Lot) 6. arallele zu durch (Grund- und eckseite sind parallel) b) c = 6cm d = 4 cm m= 7cm Winkel = 70 4cm M F-Winkel! 7cm 6cm M2 1. = 6cm 2. F-Winkel = 70 (nach oben abtragen!!!) 3. = 4cm 4. halbieren, M 1 5. arallele zu durch M 1 (m ist Mittelparallele von, ) 6. arallele zu durch (Grund- und eckseite sind parallel) 7. m = 7cm M 2 8. M 2 verlängern und mit Grundseite schneiden M1 M2 LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 10

11 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren c) c = 6cm d = 4 cm a = 9cm = 65 4cm 65 9cm 6cm eiten 23 / 24 Konstruktion im Trapez 1. = 9cm 2. = = 4cm 4. arallele durch (Grund- und eckseite sind parallel) 5. = 6cm 6. vervollständigen. d) = 65 = 50 a = 9 cm c = 4 cm 4cm 9cm = 9cm 2. = = = 4cm, danach arallele zu durch (Zerlegung des Trapezes in einen Rhombus und ein reieck) 5. chnittpunkt der arallele mit dem Winkel 6. arallele zu durch, chnittpunkt mit Winkel e) = 65 Winkel = 120 a = 7.5 cm b = 4.5 cm cm 120 F-Winkel! 4.5 cm = 7.5 cm 2. = F-Winkel = 120 (nach unten abtragen!!) 4. = 4.5 cm 5. arallele zu durch (Grund- und eckseite sind parallel) 6. chnittpunkt mit LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 11

12 Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren f) Konstruiere das gleichschenklige Trapez mit s = ymmetrieachse, = chnittpunkt von m und. m s eiten 24 Konstruktion im Trapez 1. an s spiegeln (gleichsch. Trapez ist symmetrisch bezüglich der ymmetrieachse) 2. verbinden 3. Lot auf durch m 4. an m spiegeln (m ist Mittelparallele von, ) 5. chnittpunkt von mit 6. an s spiegeln (s ist ymmetrieachse) s m eite 25 rachenviereck 1 Gegeben Gesucht kizze erechnungen a) = 12 cm = 48 cm 2 = e f : 2 = 12 8 : 2 = 48 = 8 cm b) = 12 cm = 156 cm 2 = 26 cm = f = 2 : e = : 12 = 26 = 156 cm 2 LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 12

13 eite 26 rachenviereck Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren 2 a) Konstruiere das rachenviereck aus s = ymmetrieachse, s,,, R, T kizze: Konstruktion T R R Konstruktionsbericht: 1. an s spiegeln (s ist ymmetrieachse!) 2. s 3. R an s spiegeln R (s ist ymmetrieachse!) 4. R T s 5. R T 6. an s spiegeln s R T eite 28 ufgaben Flächenberechnung in reiecken (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 1 erechnung: = (Grundseite Höhe) : 2 urch Messung finden wir (z.): hc = 1.45 cm lso ist = (c hc) : 2 = (4 1.45) : 2 = 2.9 cm 2 chtung: Je nach Messgenauigkeit entsteht ein anderes Ergebnis, z.. hc = 1.5 cm Fläche = 3 cm 2 2 erechnung: = (Grundseite Höhe) : 2 lso ist = (b hb) : 2 = (20 15) : 2 = 150 cm 2 3 = a = b = c ha hb hc Fläche 8 cm 10 cm 4cm 3.2 cm 16 cm 2 9 cm 5 cm 10 cm 6.67 cm 12 cm 6 cm 30 cm cm 9 cm 26 cm 6 cm 52 cm cm cm cm 20 cm 6 cm 100 cm 10 cm 100 cm cm 2 erechnungen nach Formel: = (Grundseite Höhe) : 2 Höhe = (Fläche 2) : Grundseite Grundseite = (Fläche 2) : Höhe LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 13

14 23 cm 15 cm 18 cm Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eiten 29 / 30 ufgaben Flächenberechnung in reiecken (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 4 a) Höhe = (Fläche 2) : Grundseite h = (50 2) : 15 = 6.67 cm b) Höhe = (Fläche 2) : Grundseite h = (189 2) : 15 = 25.2 cm c) Höhe = (Fläche 2) : Grundseite h = (94 2) : 15 = cm d) Höhe = (Fläche 2) : Grundseite h = (62 2) : 15 = 8.27 cm 15 cm ie trecke ist in dieser ufgabe völlig unwichtig. Für Flächenberechnung im reieck braucht man die Grundseite und die Höhe. Und die Grundseite ist in unserem Fall die trecke (=15cm) 25 cm 5 ie gesuchte Figur berechnen wir als ifferenz der beiden reiecke 35 cm und. o als würde man das weisse reieck aus dem grossen reieck herausschneiden. ie Grundseite beider reicke beträgt 35cm (= ). ie Höhe für das reieck beträgt 33cm ( = 33). as kleine reieck hat die Höhe 18 cm. Figur = - Figur = (35 33) : 2 (35 18) : 2 = = cm 2 ie markierte Fläche hat einen Inhalt von cm 2 6 ie Fläche des gesuchten reiecks wird als ifferenzrechnung gefunden: E = - E 5 cm E = (8 23) : 2 (27 5) : 2 = = 24.5 cm 2 as reieck E hat eine Fläche von 24.5 cm 2 7 urch die gegebenen trecken c und hc können wir die Fläche des reiecks berechnen: a c hc b = (c hc) : 2 = (20 9.6) : 2 = 96 cm 2 ieses Ergebnis müssen wir auch über das Zahlenpaar a und ha (beim rechtwinkligen reieck a und b) erhalten. lso: b = Fläche 2 : a = 96 2 : 12 = 16 cm Es gilt also: b = c hc : a LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 14

15 9 cm Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eite 30 ufgaben Flächenberechnung in reiecken (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 8 a) a = Fläche 2 : b = : 50 = 8 cm (ie eite c ist hier unwichtig) b) b = Fläche 2 : a = : 10 = 40 cm (ie eite c ist hier unwichtig) c) hc = Fläche 2 : c = : 20 = 20 cm (ie eite a ist hier unwichtig) 9 Wir lösen diese ufgabe, indem wir vom uadrat die drei markierten reiecke 1, 2 und 3 subtrahieren. o bleibt die rote Fläche übrig. 10 cm 1 5 cm 3 Zuerst berechnen wir die eitenlänge des uadrates: ie Fläche des uadrates beträgt 100cm 2, also ist die eitenlänge s = 10cm (Weil = 100) 2 omit ist die halbe eitenlänge = 5cm. lle drei reiecke sind rechtwinklig, wir können also relativ einfach rechnen: Fläche des reiecks 1 = (Grundseite Höhe) : 2 = (10 5) : 2 = 25 Fläche des reiecks 2 = (Grundseite Höhe) : 2 = (10 5) : 2 = 25 Fläche des reiecks 3 = (Grundseite Höhe) : 2 = (5 5) : 2 = 12.5 ie gesuchte Fläche ist also: uadrat reieck 1 reieck 2 reieck 3 = = 37.5 cm 2 ls ruchteil der uadratfläche: = 3 8 eite 32 ufgaben Flächenberechnung in Vierecken und allgemeinen Vierecken (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 1 as rachenviereck wird in zwei reiecke aufgeteilt: as markierte 12 cm 100 cm reieck und das flächengleiche reieck. Es reicht somit, eines der beiden reiecke zu berechnen und die gefundene Fläche zu verdoppeln. ls Höhe verwenden wir die Hälfte von, als Grundseite die eite. = (Grundseite Höhe) : 2 = (100 12) : 2 = 600 cm 2 ie Fläche des rachenvierecks ist somit = 2 = = 1200cm 2 2 ie Trapezfigur wird in zwei reiecke aufgeteilt. Zum einen das markierte reieck 7 cm, zum anderen das reieck. Von beiden kennen wir die Grundseite, von beiden kennen wir die Höhe (= 9cm) 15cm = (Grundseite Höhe) : 2 = (15 9) : 2 = 67.5 cm 2 = (Grundseite Höhe) : 2 = (7 9) : 2 = 31.5 cm 2 ie Fläche des Trapezes ist somit = 99 cm 2 LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 15

16 15 cm Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eiten 33 ufgaben Flächenberechnung in Vierecken und allgemeinen Vierecken (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 3 ie gesuchte Fläche lässt sich am Einfachsten durch ubtraktionsverfahren errechnen. Rechteck reieck cm cm reieck 2. ie beiden reiecke sind jeweils gleichschenklig. Fläche reieck 1 = (Grundseite Höhe):2 = (20 15):2 = 150 cm 2 as reieck 2 kann halbiert werden und ist immer noch gleichschenklig (as kannst du über die Winkel nachprüfen). omit ist die Höhe des reiecks 2 = 7.5 cm) Fläche reieck 2= (Grundseite Höhe):2 = (15 7.5):2 = cm 2 ie Restfläche ist somit Figur = Rechteck reieck 1 reieck2 Figur = = cm 2 4 ie etrachtung der Figur zeigt uns, dass das reieck rechtwinklig ist (ufgabenstellung!). omit können wir die Fläche des reiecks berechnen ( : 2) as reieck ist flächengleich. = (Grundseite Höhe) : 2 = (12 9) : 2 = 54 cm 2 ie Fläche des Rhomboid ist somit = 108 cm 2 5 ie etrachtung zeigt uns, dass das reieck gleichschenklig ist (Kreislinie) 10 cm 7 cm 20 cm 12 cm 1 20 cm 15 cm 9 cm omit ist auch = = 10cm. Weiter wissen wir, dass das reieck rechtwinklig ist (ufgabenstellung) lso können wir Fläche der Figur berechnen: Figur = + = (Grundseite Höhe) : 2 = (10 10) : 2 = 50 cm 2 = (Grundseite Höhe) : 2 = (15 7) : 2 = 52.5 cm 2 10 cm ie Fläche des Vierecks ist somit = cm cm 4 cm 4 cm 13cm 7 cm 7 cm iese reiecke sind doppelt belegt 6 cm 4 cm 4 cm 4 cm ie Figur gliedert sich in mehrere arallelenvierecke (Rhomboiden), welche aneinander gelegt werden. llerdings sind dabei die doppelt belegten reiecke zu viel, die muss man am chluss wieder subtrahieren. ie Fläche der grünen und blauen Rhomboiden wird berechnet: Rhomboid = Grundseite Höhe = 4 13 = 52 cm 2 Total sind 5 solche Rhomboiden vorhanden 5 52 = 260 cm 2 ie doppelt belegten reiecke berechnen sich: reieck = (Grundseite Höhe) : 2 = (4 6 ) : 2 = 12 cm 2 Total sind 4 solche reiecke vorhanden 4 12 = 48 cm 2 ie treifen-fläche hat somit einen Inhalt von = 212 cm 2 LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 16

17 6 cm 8 cm Lösungen Geometrie-ossier 7 - Ebene Figuren eite 34 / 35 ufgaben Flächenberechnung in reiecken (ie Lösungen sind verkleinert gezeichnet) 7 as uadrat ist in 8 gleiche, rechtwinklige reiecke unterteilt. Jedes hat eine Grundseite von 10cm (20cm : 2 = 10cm). Ebenso ist die Höhe jeweils 10cm. ie Fläche eines einzelnen reiecks ist somit reieck = : 2 = 50 cm 2 ie gesuchte Fläche enthält 4 solche reiecke. ie markierte Fläche beträgt also = 4 50 = 200 cm 2 8 ie erechnung der Rhombusfläche kann über die iagonalen erfolgen. Rhombus = (e f ): 2 10 cm 8 cm Hier sind die halben iagonalen gegeben, also heisst unsere Formel: Rhombus = (e f ): 2 = (16 12 ): 2 = 96 cm 2 Man könnte in diesem eispiel auch die vier gleichen rechtwinkligen reiecke berechnen. ie ngabe von ist überflüssig. 9 ie Figur setzt sich aus zwei Teilfiguren zusammen. 6 cm 4 cm 5 cm 3.5cm 13 cm 1. dem reieck (Grundseite = 13cm, Höhe = 8cm) 2. dem reieck E (Grundseite E = 4cm, Höhe R = 3.5cm) omit gilt: Figur = + E Figur = (13 8) : 2 + (4 3.5) : 2 = = 59 cm 2 10 ie Figur besteht aus 4 Teilfiguren. en Rhomboid R, den Rhombus RFG, das reieck RF und das reieck R. llerdings ist dabei die Fläche RE (reieck) doppelt belegt. ie erechnung der Fläche erfolgt also so: Figur = Rhomboid + Rhombus + reieck FR + reieck R reieck RE Figur = (11 7) : 2 + (10 6) : 2 + (10 4) : 2 (10 2) : 2 = ie Fläche der Figur beträgt: cm 2 LoesungenGeometrie-ossier 7 - Ebene Figuren. Räz / eite 17

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