Ma 11b (CON) Aufgabenblatt Stereometrie (1) 2015/2016

Transkript

1 1. Übertragen Sie aus der Formelsammlung die Skizzen und Formeln nachfolgender Körper aus dem Kapitel Stereometrie in ihr Heft: Würfel, Quader, Dreiecksprisma, Zylinder, Quadratische Pyramide, Rechteckpyramide, Dreieckspyramide, Kegel, Kugel Was bedeutet gerader Körper? Wiederholungsaufgaben aus der Mittelstufe: 2. Berechnen Sie die Oberfläche und das Volumen des folgenden Quaders: a = 6,5 cm, b = 7,5 cm und c = 10,4 cm! Volumen: V = Grundfläche Höhe = a b c = 6,5 7,5 10,4 = 507 cm³ Oberfläche: Jedes Rechteck (a b, a c, b c) gibt es zweimal! O = 2 (a b + a c + b c) = 2 (6,5 7,5 + 6,5 10,4 + 7,5 10,4) = 2 (194,35) = 388,7 cm² 3. Eine Pyramide besitzt eine rechteckige Grundfläche (a = 6 cm, b = 8 cm) und ist 10 cm hoch. Berechnen Sie Volumen und Oberfläche. Fertigen Sie eine Skizze an. Grundfläche: Kantenlängen a = 6 cm, b = 8 cm G = a b = 48 cm² Volumen = Grundfläche G Höhe h P / 3 = / 3 = 160 cm³ Mit der Formel: Seitenflächen: Berechnung von h a und h b mit Hilfe Satz des Pythagoras : Mantelfläche M = 2A 1 + 2A 2 148,14 cm² 4. Die Kanten eines Quaders werden verdoppelt. Wie ändert sich die Oberfläche bzw. das Volumen? Originalvolumen: V Original = a b c Originaloberfläche: O Original = 2 (a b + a c + b c) Alle Kantenlängen werden verdoppelt: a 2a b 2b c 2c Neues Volumen: V neu = 2a 2b 2c = 8 a b c = 8 V Original Originaloberfläche: O neu = 2 (2a 2b + 2a 2c + 2b 2c) = 2 (4a b + 4a c + 4b c) = 4 O Original

2 5. Die drei Kanten eines Quaders stehen im Verhältnis 1 : 2 : 3. Wie lang sind diese, wenn das Volumen 1 m 3 beträgt? a : b : c = 1 : 2 : 3 a = a, b = 2a, c = 3a V = a b c = a 2a 3a = 6 a³ = 1 m³ = 1000 dm³ b 11,01 dm c 16,51 dm (Werte auf zwei Nachkommastellen gerundet) 6. Ein gerades vierseitiges Prisma hat 9 Liter Inhalt. Seine Grundfläche ist ein Rechteck von 15 cm 18 cm Seitenlänge. Berechnen Sie die Oberfläche! geg.: V = 9 l = 9 dm³ G = 1,5 dm 1,8 dm = 2,7 dm² ges.: O, dazu benötigen wir die Höhe h des Prismas Lös.: V = G h 7. Berechnen Sie die fehlenden Stücke und Größen eines Zylinders! a) r = 5 cm h = 12 cm b) r = 9 cm V = 120 cm 3 V = G h O = 2G + M G = r² M = 2r h a) G = (5)² = 25 cm² M = = 120 cm² V = = 300 cm³ b) G = (9)² = 81 cm² M 2 9 0,47 26,67 cm² 8. Ein Kabel von 12 mm Dicke und 50 km Länge soll einen 1 mm starken Bleimantel erhalten. Wie viel Blei ist erforderlich, wenn die Dichte von Blei beträgt? Hohlzylinder: Das Kabel ist 12 mm dick: d innen = 12 mm r innen = r = 6 mm Stärke des Bleimantels: 1 mm, also r außen = R = 7 mm Fläche des Querschnitts der Bleiummantelung (Kreisring): Volumen der Bleiummantelung (Hohlzylinder): Umwandlungen: Daraus ergibt sich eine Masse von etwa 23 Tonnen Blei. 9. Die Grundfläche einer quadratischen Pyramide beträgt 30 cm 2, die Seitenkante s hat die Länge 5 cm. Wie groß sind Oberfläche und Volumen der Pyramide? (Skizze!)

3 Quadratische Pyramide: G = 30 cm² = a² Aus s und a (bzw. 0,5a) errechnet man h a : Aus h a und a (bzw. 0,5a) errechnet man h: Volumen: Manteldreieck: Mantel: Oberfläche: O = G + M 75,8 cm² 10. Eine 8 cm hohe Pyramide hat als Grundfläche ein Quadrat mit der Seitenlänge a = 4 cm. a) Wie groß ist die Oberfläche der Pyramide? b) Von dieser Pyramide wird die Spitze so abgeschnitten, dass der entstehende Pyramidenstumpf eine Höhe von 3 cm hat. Wie groß ist das Volumen des Pyramidenstumpfes? c) Fertigen Sie eine Skizze an. Oberfläche einer quadratischen Pyramide: O = G + M = G + 4 A Dreieck G = 4 4 = 16 cm² Berechnung der Dreieckshöhe (Skizze siehe Nr.9): Dreiecksfläche: Mantelfläche: M = 4 A Dreieck 65,97 cm² Oberfläche: O 16 cm² + 65,97 cm² = 81,97 cm² x = 5 cm Es gilt (Strahlensatz): also: Volumen des oberen Teils: Volumen des unteren Teils: 11. Ein Vierkanteisen (quadratischer Querschnitt) passt genau in ein zylindrisches Rohr. Welche Wandstärke hat das Rohr, wenn sein äußerer Umfang U = 530 mm groß ist und der Umfang des Vierkanteisens 360 mm beträgt? (Skizze!)

4 Äußerer Umfang = 530 mm = 2 r außen Umfang Vierkanteisen = 360 mm = 4a a = 90 mm d = r außen r innen 20,71 mm 12. Eine Pyramide hat das Volumen V = 225 cm 3. Die Grundfläche der Pyramide ist ein Rechteck mit den Seiten a = 6 cm und b = 9 cm. a) Wie groß ist die Oberfläche der Pyramide? b) Diese Pyramide soll so in einen Pyramidenstumpf und eine Pyramide zerlegt werden, dass beide Körper das gleiche Volumen haben. Wie hoch ist der Pyramidenstumpf? Grundfläche der Pyramide: G = 6 9 = 54 cm² Höhe der Pyramide: Berechnung der Seitenflächen (vgl. Nr.3): (a = 6 cm, b = 9 cm) Seitenflächen: Berechnung von h a und h b mit Hilfe Satz des Pythagoras : Mantelfläche: M = 2A 1 + 2A 2 195,41 cm² Oberfläche: O = G + M 249,41 cm² Pyramidenstumpf (unten): Hinweis: Originalpyramide und Obere Pyramide sind zueinander Ähnlich. Es gilt (Begründung Ähnlichkeit k: Streckfaktor): Also: Also ergibt sich für die Höhe des Pyramidenstumpfes:

5 13. Ein Eisenbahndamm hat als Querschnitt ein gleichschenkliges Trapez mit den Parallelseiten 13 m und 5 m. Eine Kante des Bahndammes ist ebenfalls 5 m lang. Wie viel m³ Erde waren für die Aufschüttung eines 500 m langen Damms erforderlich. a = 13 m c = 5 m b = d = 5 m h T = 3 m (Pythagoras) Grundfläche: Volumen des Bahndamms: