Pyramidenvolumen. optimale Verpackung aus. Begründe deine Auswahl.

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1 Pyramidenvolumen 1 Je vier Tennisbälle sollen für den Transport und Verkauf zusammen verpackt werden Entwickle mindestens drei verschiedene Vorschläge und wähle eine optimale Verpackung aus Begründe deine uswahl Quelle: MaTEMatik, Lars Holzäpfel, Timo Lauders, Praxis der Mathematik in der chule, Heft Nr 3/ Jahrgang, 1-8 Lösung: Z B: Bälle übereinander in Zylinder: V = 8πr 3,13r 3, = 18πr 6,r Bälle in Quader: V = 3r 3, = 6r gleichseitige Pyramide/Tetraeder: drei Bälle in Dreieck am Boden, darüber zentrisch der Ball: eitenlänge der Pyramide a = (1+ 3)r V = 3 (1+ 3) 3 r 3 19,3r 3, = 3(1+ 3) r 1,71r Die gleichseitige Pyramide hat die effizienteste Raumnutzen (nteil Volumen Bälle/Volumen Packung) und den geringsten Verbrauch an Verpackungsmaterial In den Geschäften hat die orm jedoch Nachteile (schlecht stapelbar) Hier siehst du ein oto eines Bauernhauses mit pyramidenförmigem Dach Nachstehend siehst du das mathematische Modell mit den entsprechenden Maßen, das eine chülerin vom Dach des Bauernhauses gezeichnet hat 1

2 Der Boden des Dachgeschosses, in der Zeichnung BCD, ist ein Quadrat Die Balken, die das Dach stützen, sind die Kanten eines Quaders (rechtwinkliges Prisma) EGHKLMN E ist die Mitte von [T], ist die Mitte von [BT], G ist die Mitte von [CT] und H ist die Mitte von [DT] Jede Kante der Pyramide in der Zeichnung misst 1 m (a) Berechne die läche und das Volumen des Dachgeschosses (b) Berechne die Länge von [E], einer der horizontalen Kanten des Quaders nach: Pisa 000, ufgabenbeispiele Lösung: (a) 1m, Höhe der Pyramide: 1 1m, Volumen V = m 3 = 1, 10 3 m 3 (b) 6m 3 Die Ecken einer dreiseitigen Pyramide haben die Koordinaten (0 0 0), B(a 0 0), C(0 a 0) und (0 0 a) mit a > 0, H ist der Mittelpunkt der trecke [BC] lle Ergebnisse als möglichst einfache Terme mit der Variablen a! (a) Zeichne ein chrägbild der Pyramide mit a =6cm (nur für die Zeichnung) und zeichne [H] ein Berechne die Kantenlänge b = BC, h s = H, den lächeninhalt D des Dreiecks BC und dann das Volumen V und die Oberfläche der Pyramide Berechne den Neigungswinkel ϕ der Geraden H gegen die Grundebene (xy-ebene) auf Bogensekunden genau (b) Man kann das Dreieck BC als Grundfläche und als pitze unserer Pyramide auffassen Der ußpunkt des Lotes von auf die Ebene durch B, C und sei Beweise, dass die Höhe in diesem all h = = a 3 3 ist Zeichne das Dreieck H in wahrer Größe (nicht als chrägbild) und zeichne [] ein Berechne die Koordinaten von (x y z ) Lösung: (a) b = BC = B = C = a h s = b a 3 = 6 z D = 1 bh s = a 3 V = 1 3 a = 3 a + a a3 a = 6 a 3 = tanϕ = H = a = a (3+ 3) = ϕ =,736 = 8 B h s K H C y x

3 (b) V = a3 6 = 1 3 Dh = h = 3a3 = a = a a K = z h = h a z = h a = a 3 a K = h z = 3 a 9 = a 3 x = y = K = a ( a a a ) = a α h α h s z ϕ K H Die Ecken einer geraden, vierseitigen Pyramide haben die Koordinaten (0 0 0), B(a 0 0), C(a a 0), D(0 a 0) und ( a a h) mit a > 0 und h > 0 lle Ergebnisse als möglichst einfache Terme mit den Variablen a und h! (a) Zeichne ein chrägbild der Pyramide mit a =6cm und h =cm (nur für die Zeichnung) Zeichne den Mittelpunkt M der trecke [CD] und die Höhe [] mit dem usspunkt ein Berechne die Längen s und h s der eitenkanten und eitenhöhen und dann das Volumen V und die Oberfläche der Pyramide (b) Mit einem Draht der Länge g = 7a wird ein Modell unserer Pyramide gebaut (Grund- und eitenkanten) Welche Höhe h hat dieses Modell? Drücke für diesen all h s, s, V und nur durch a aus Berechne in unserem Modell den Neigungswinkel ϕ einer eitenkante gegen die Grundebene (xy-ebene) auf Bogensekunden genau Lösung: (a) h s = h + a z s = h s + a = V = 1 3 a h h + a = a + a h s = a +a (b) g = 7a = a+s = a+ h + a h + a = B x ( ) 3a = h + a h = 9a 16 8a 16 = a = h = a 16 a h s = 16 + a a = 16 = a a, s = 16 + a 9a = 16 = 3a V = a3 1, = a +a a ( = a 1+ 1 ) sinϕ = h s = a 3a = 1 3 = ϕ = 19,71 = h ϕ C h s s M D y

4 Die Grundfläche einer dreiseitigen Pyramide mit der pitze ( cm 3 cm 6 cm) ist das Dreieck BC mit (0 0 0), B(6cm,cm 0) und C(0 y c 0) mit y c > 0 (a) Das Volumen der Pyramide ist V = cm 3 Berechne den Inhalt G der Grundfläche Zeichne und B in ein xy-ystem und konstruiere C Begründe die Konstruktion und berechne dann y c (b) Zeichne ein chrägbild der Pyramide Welchen Neigungswinkel ϕ hat gegen die yz-ebene? Lösung: (a) V = 1 3 Gh = G = 3V h = 6cm B = 6 cm +, cm = 6,cm h c G = 1 Bh c = h c = G B = 8cm Cliegt alsoaufderparallelen zubimbstand 8cm DB CE = y c h c = B D y c = B h c D = 6, 8 cm = 8 cm 8,67cm 6 3 D x α E B h c α C y lternative: tanα =, = α =,6 y c = h c 6 cosα 8,67cm (b) (0 3cm 6cm) ist der ußpunkt des Lotes von z auf die yz-ebene: = 6 cm +3 cm = cm ϕ tanϕ = = = 0,98 = ϕ = 16,6 h C y x B 6 ufgaben zur nwendung Die größte ägyptische Pyramide, die Cheopspyramide (erbaut um 600 vchr), ist eine Pyramide mit quadratischer Grundfläche Ihre Grundkante war 33 m lang, ihre eitenkanten 1 m (a) Wie hoch war die Pyramide ursprünglich? (b) DasverwendeteGesteinwiegt,7tprom 3 WievieltGesteinwurdenbenötigt, wenn man von den Gängen und Kammern im Inneren der Pyramide absieht? (c) Heute hat die Cheopspyramide aufgrund der Verwitterung nur noch eine Grundkantenlänge von 7m und eine Höhe von 137m Wie viel Prozent des ursprünglichen Volumens sind inzwischen verwittert?

5 (d) ngenommen, Christo und Jeanne-Claude möchten die Cheopspyramide verhüllen Wie viel m Gewebe benötigen sie dazu mindestens? Lösung: 7 ufgaben zur nwendung Im Hof des Pascal-Gymnasiums steht ein Denkmal für Blaise Pascal Es besteht aus Granit und hat eine Gesamthöhe von, 0 m Die Grundfläche ist ein gleichseitiges Dreieck mit einer eitenlänge von 30cm Die Pyramide ist 3cm hoch 1dm 3 Granit wiegt,9kg Wie schwer ist das Denkmal? Lösung:

6 8 Eine gerade Pyramide mit einer quadratischen Grundfläche der eitenlänge g hat die Höhe h Lösung: (a) g = (a) Löse die ormel V = 1 3 g h für das Volumen der Pyramide nach der eitenlänge g auf (b) Wie groß ist der Winkel, den eine eitenkante der Pyramide mit der Grundfläche einschließt, wenn die Höhe h halb so lang wie die Diagonale des Grundflächenquadrats ist? Die Pyramide wird nun von einer Ebene geschnitten, die parallel zur Grundfläche ist und von dieser den bstand h hat (c) Zeichne die Pyramide und die entstandene chnittfläche in einem chrägbild (d) Welchen Bruchteils des Inhalts der Grundfläche ist der Inhalt der chnittfläche? (e) Welchen Bruchteils des Pyramidenvolumens ist das Volumen der abgeschnittenen kleinen Pyramide? Bayerischer Mathematik Test für die 10 Klasse, 007 (b) (c) (d) 1 (e) 1 8 3V h 9 ufgaben zur nwendung Berechne das Volumen und die Oberfläche der unten abgebildeten Pyramiden Lösung: (a) Volumen = 677,1m 3, Oberfläche = 6,1m (b) Volumen = 17,8m 3, Oberfläche = 919,9m (c) Volumen = 73617,m 3, Oberfläche = 19399,6m 10 Eine gerade Pyramide hat eine quadratische Grundfläche der eitenlänge a = 16, cm und eitenkanten der Länge l =,cm Berechne ihr Volumen 6

7 Lösung: h = 1,6cm, V = 193cm 3 11 Die Grundfläche einer geraden Pyramide ist ein regelmäßiges echseck mit der eitenlänge a; die Höhe der Pyramide beträgt a Bestimme den Inhalt der Oberfläche und das Volumen in bhängigkeit von a! Lösung: O = 3 a ( 3+ 19); V = 3a 3 1 Die Kante eines Würfels ist 8cm lang Diesem Würfel ist eine Pyramide so einbeschrieben, daß ihre pitze mit dem Mittelpunkt der oberen Würfelfläche zusammenfällt Die Mittelpunkte der Würfelgrundkanten sind die Ecken der Pyramidengrundfläche Berechne Oberfläche und Volumen der Pyramide! Lösung: O = 18cm ; V = cm3 13 Wie verhalten sich die Volumina von regulärem Oktaeder und Würfel, wenn ihre Oberflächen gleich groß sind? Lösung: : 3 1 Eine regelmäßige 6-seitige Pyramide hat ein Volumen von 180 3cm 3 und eine Höhe von 1cm (a) Erstelle eine übersichtliche chrägbildskizze der Pyramide! (b) Berechne die Länge einer Grundkante! (Ergebnis: 6cm) (c) Berechne den Oberflächeninhalt der Pyramide! (Exakter Wert!) Lösung: Oberflächeninhalt in cm : Die Länge der Grundkante einer geraden quadratischen Pyramide beträgt a =,0cm, der Mantelflächeninhalt M = 0cm Berechne das Volumen V der Pyramide anhand einer übersichtlichen chrägbildskizze! Lösung: V = 8,0cm 3 7

8 16 Die Grundfläche der Cheops-Pyramide ist ein Quadrat von 7, m eitenlänge Ihre pitze liegt 137 m über dem chnittpunkt der Diagonalen (a) Berechne das Volumen der Pyramide Runde sinnvoll (b) Wieviel Prozent der teine waren bis zur halben Höhe verbaut? Lösung: (a) ca, m 3 (b) 87,% 17 Vier gleichseitige Dreiecke der eitenlänge 7, 60 cm werden so zusammengeklebt, daß sie den Mantel einer quadratischen Pyramide bilden (a) Berechne den Inhalt der Mantelfläche (3 gültige Ziffern) (b) Berechne Höhe und Volumen der Pyramide (3 gz) Lösung: (a) 100cm (b) h = 7,60cm =,37cm, V = 103cm3 18 Eine reguläre achtseitige Pyramide hat die Grundkante a =, m und die Höhe H = 1,8m Berechnen ie das Volumen V der Pyramide! (Rundung des Ergebnisses auf 1 Dezimale!) Lösung: V = 100,1m 3 8