Pyramidenvolumen Was haben Treppenkörper mit Intervallschachtelung zu tun?

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1 Pyramdevolume Was abe Treppekörper mt Itervallscactelug zu tu? Gegebe st ee Pyramde mt der Grudkate a = 5 ud der Höe = 8. De Höe st äqudstat Tele egetelt ud der Pyramde sd 3 Quader ebescrebe. 1) Berece de Voluma der 3 Quader ud gb ee Näerugswert für de Utersumme U a. ) Das Computerprogramm at begoe, de Grapk O ezuzece. Vervollstädge de Grapk durc Ezece der felede Quader. - Was st grapsc der Utersced zwsce U ud O? - Berece das Volume des egezecete, uterste Quaders vo O ud gb ee Näerugswert für O a. 3) Das Computerprogramm at lks de Utersumme U ud rects de Utersumme U 8 dargestellt. - Kezece m lke Dagramm geeget de Verbesserug der Approxmato bem Übergag vo U zu U 8.

2 Pyramdevolume Was abe Treppekörper mt Itervallscactelug zu tu? ) Screbe rects, ebe de Quader, de zugeörge Volumemaßzale. Bestätge de agegebee Näerugswert. - We groß st U 6? 5) Screbe rects, ebe de Quader, de zugeörge Volumemaßzale. Bestätge de agegebee Näerugswert. - We groß st O 8?

3 Pyramdevolume Was abe Treppekörper mt Itervallscactelug zu tu? Be Verdoppelug der Quaderazal (wr wolle us darauf bescräke) st lect esebar, dass glt: (1) ¹ 0ù ( U # U ; () ¹ 0ù ( O $ O ; (3) O &U ' a wobe O - U de Volumemaßzal des uterste Quaders darstellt (ud trvalerwese glt auc: O $ U ). Da u O - U =: l mt wacsedem belebg kle gemact werde ka (maxmaler Feler be der äerugswese Bestmmug des Pyramdevolumes), legt ee Itervallscactelug vor, dere ere Zal de Maßzal des Volumes der Pyramde st., ¹ 0ù ( Verallgemeerug (Aufgabe): &1 j 6) Screbe de Summe: ud a j a für kokretes =, 6 ud 8 mt re ezele Summade auf. Setze für a = 5 ud = 8 ud bestätge durc Verglec mt de früere Berecuge, dass de lke Summe de Utersumme bescrebt, de recte Summe de Obersumme. 7) Zege durc algebrasce Umformuge dass glt: U ' j &1 a ' a 3 &1 j O ' j a ' a 3 j 8) Iformere dc dee alte Hefte (oc vorade?), geegeter Lteratur o.ä. über de Summeformel für de Quadratzale. - Bestätge dass glt: a 3 &1 j ' a 3 (&1) (&1) 6 a 3 j ' a 3 (%1)(%1) 6 Vertausce m Neer 6 mt 3 ud begrüde, dass da der recte Bruc sc mt wacsedem mmer mer der äert! Gb ee Formel für das Volume eer quadratsce Pyramde a!

4 Pyramdevolume Was abe Treppekörper mt Itervallscactelug zu tu? Ee storsce Amerkug (auf de Spure vo Eukld vo Alexadra): I de Elemete (Bücer) des Eukld fdet ma ee adere gedaklce Asatz zur Bestmmug des Volumes eer Pyramde. De Pukte E, F, G, H, I ud K see de Mttelpukte der 6 Setekate eer dreeckge Pyramde mt der Grudfläce G ud der Höe. Scedet ma vo der Pyramde de bede scrafferte Pyramde ab, de zur Ausgagspyramde älc sd, so blebt e Restkörper übrg, der aus dreeckge Prsme bestet. Für das Volume des erste Prsmas glt scerlc: V 1 ' 1 G 1 Bede Prsme müsse jedoc das glece Volume bestze, da ma sc de Pyramde auc gedret vorstelle ka, womt bede Prsme zusamme das Volume: r ' 1 G bestze. Das Volume der Pyramde st damt: bescrebt., wobe k das Volume der klee Pyramde ' 1 G % k Für das Volume eer klee Pyramde glt jedoc: k ' 1 8 (Älcket oder zetrsce Streckug) woraus sc mt der obge Glecug ergbt: ' 1 G % 1 Y 3 ' 1 G Y ' 1 3 G

5 Pyramdevolume Was abe Treppekörper mt Itervallscactelug zu tu? Ee Alteratve (oder: De spe, de Matematker): Nac der Erkets, dass ' 1 G % k glt, ka ma atürlc k etspreced dem vorerge Vorgee zerlege, womt sc ergbt: ' 1 G % 1 1 G % V. Pk Das Verfare gedaklc fortgesetzt fürt zu: ' G 1 % 1 % 1 3 %... % 1 %... Multplzert ma de Ausdruck: S :' 1 % 1 % 1 3 %... % 1 1 mt ud subtraert de Zele 3 voeader so erält ma: S. :' 1 & 1 ] S :' 1 1 & 1 3 %1 1 Für mmer größeres erält ma für de Klammer damt m Grezübergag:! 3 Warum so komplzert, we es auc efacer get? - Wel ma be mace Verfare Stratege lere ka, de vellect oc emal ützlc se werde!

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