Damit haben wir schon die Koeffizienten der Gleichung gefunden, in dem wir n noch durch 6 teilen. 5x 2y + 13z = C. (2) = 36 = C.

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1 Aufgabenblatt 6 0 Punkte Aufgabe 1 (Pyramide) Gegeben ist eine Pyramide P mit dem Dreieck ABC als Grundfläche und Spitze D. Es sei A(2 0 2), B(10 7 0), C(0 8 ) und D(8 1 10). a) Gib eine (möglichst einfache) Gleichung für die Ebene E durch A, B und C. 2 b) Berechne die Grundfläche ABC von P. (möglichst vereinfachter Wurzelausdruck) 1 c) Berechne die Höhe h D mit 1 a). (Hesse sche Normalform, Skript S.6, vereinfachter Wurzelausdruck) 1 d) Berechne das (ganzzahlige) Volumen von P und daraus mit 1 b) abermals die Höhe h D. 2 e) Berechne den Winkel φ (in Grad) zwischen der Seite BCD und der Grundfläche ABC. Gib zunächst cos φ als möglichst vereinfachten Wurzelausdruck. Hinweis: Der Winkel zwischen zwei Ebenen stimmt mit dem Winkel zwischen ihren Normalen überein. f) Berechne den Fusspunkt H D E der Höhe h D. Liegt er innerhalb oder ausserhalb des Dreiecks ABC? 12 Lösung a) Für die Geradengleichung bestimmen wir den Normalenvektor der Ebene E. Dazu berechnen wir das Vektorprodukt der Vektoren AB und AC: n = AB AC = = (1) Damit haben wir schon die Koeffizienten der Gleichung gefunden, in dem wir n noch durch 6 teilen n = 2 1 5x 2y + 1z = C. (2) Um die Konstante C auf der rechten Seite der Gleichung zu bestimmten, müssen wir einen der drei Punkte einsetzen. Wir wählen hier den Punkt A und erhalten Damit ist das Gleichungsystem gegeben durch = 6 = C. () 5x 2y + 1z = 6. () b) Die Länge des Vektorprodukts zweier Vektoren gibt den Flächeninhalt des aufgespannten Parallelograms der beiden Vektoren. Demnach gilt ABC = 1 2 n = = = (5) c) Mit der Hesseschen Normalform und der Formel auf S. 6 erhalten wir h D = = = = = (6) 22 1

2 d) Das Volumen V der Pyramide P berechnet sich aus 1 der Determinate von drei Vektoren, die P erzeugen. 6 In dem diesem Fall nehmen wir die Vektoren AB, AC und AD und berechnen V = 1 det ( AB, AC, AD) = det 7, 8, = a) = = = Damit berechnen wir, dass h D = V ABC = = 2 22, (7) was mit dem Ergebnis aus Aufgabenteil c) übereinstimmt. e) Die Normale n der Grundfläche ABC haben wir bereit in a) berechnet. Analog bekommen wir für die Seite BCD die Normale m = BC 10 2 BD = 1 6 = 92. (8) Da der Winkel zwischen zwei Vektoren nicht von deren Länge abhängt berechnen wir den Winkel zwischen n = 2 1 und Damit errechnet sich der Winkel zwischen den Ebenen zu cos φ = n m n m = m = 6. (9) = (10) = 22 7 = (11) = 2 17 φ (12) Je nach dem, wie die Normalen der beiden Ebenen bestimmt wurden ist es auch möglich, das Ergebnis 180 φ zu bekommen. f) Für den Fusspunkt H D E gilt n OH D + h D n = OD OH D = n 8 OD h D n = = (1) 1 Wir können leicht überprüfen, ob unser Ergebnis richtig ist: denn es muss gelten, dass AH D n, oder anders geschrieben AH D n = 0 (Betrachte dazu die schematische Skizze). Wir berechnen 2 H D A n = = 1 ( ( 12) ) = 0. (1)

3 D h D n H D A Um zu bestimmen, ob H D innerhalb des Dreieckes ABC liegt, gibt es zwei Möglichkeiten. Methode 1: Wir betrachten die Projektion des Dreieckes ABC und H D in die x-y- Ebene, welche wir mit A, B, C und H D bezeichen. Hierzu müssen wir jediglich die z-komponente der Vektoren auf 0 setzen und erhalten A = 0, B = B = 7, C = 8 und H D = = (15) C y B H D A x Trägt man diese Punkte nun in einer Skizze auf sieht man sofort, dass H D auf der Geraden durch A und B liegt. Somit ist H D in dem Dreieck ABC enthalten. Methode 2: Wir können folgendes Gleichungssystem lösen λ 1 A + λ 2 B + λ B! = H D Damit erhalten wir durch den Gaussalgorithmus, dass (16) λ 1 = 2, λ 2 = 1 und λ = 0. (17) Damit liegt H D, wie in der Methode 1 bereits schon erkannt, auf der Verbindungslinie zwischen A und B und damit im Dreieck ABC. Aufgabe 2 (Dualbasis) 1 1 Gegeben ist die Basis b 1 = 2, b 2 = 1, b =

4 a) Ist diese Basis (in dieser Reihenfolge) rechts oder linkshändig? (Skript S.61) b) Schreibe u =, v = 1 und w = als Linearkombinationen in dieser Basis Dazu ist zunächst die Dualbasis d 1, d 2, d zu bestimmen. Hinweis: Skript S.62 und S.70. Alle Koeffizienten sind als gekürzte Brüche anzugeben. 7 Lösung a) Analog zum Skript S. 61 berechnen wir, ob die Basis {b 1, b 2, b } rechts- bzw. linkshändig ist, indem wir die Determinante der Matrix A bestimmen, die den jeweiligen i-ten Basisvektor in den Spalten halt. Die Matrix A hat damit die Gestalt 1 1 A = (b 1, b 2, b ) = Die Determinante von A berechnet sich dann zu det A = ( 1) ( 2) 1 2 ( 2) ( 1) = = 20. Demnach ist die Basis negativ orientiert, da det A < 0. b) Zu erst berechnen wir die Dual basis {d 1, d 2, d } zu {b 1, b 2, b }. Um den dualen Basisvektor d i zu finden müssen die folgenden Gleichungen erfüllt sein: Wir berechnen wie auf S. 70 im Skript: 1, für i = j d i b j = δ ij = 0, für i j. (18) d 1 = 1 c b 2 b, d 2 = 1 c b b 1 und d = 1 c b 1 b 2, (19) wobei c = det(b 1, b 2, b ) ist. Aus Aufgabenteil a) wissen wir, dass c = 20. Wir errechnen somit d 1 = = , d 2 = und d = (20) 20 Aus dem Skript wissen wir, dass sich jeder Vektor u als Linearkombination in der Basis {b 1, b 2, b } schreiben lässt durch die Gleichung u = d 1 u b 1 + d 2 u b 2 + d u b. (21) Demnach müssen wir lediglich die Skalarprodukte der Vektoren u, v, w mit den Vektoren der Dualsbasis berechnen. Vektor u: d 1 u = = = 1, (22) 1 2

5 d 2 u = = = , (2) d u = = = (2) Vektor v: d 1 v = = = 0, (25) 1 2 d 2 v = = = , (26) d v = = = (27) Vektor w: d 1 w = = = , (28) d 2 w = = = , (29) d w = = 1 + = (0) Bemerkung: Diese Rechnung lässt sich einfach und kurz mittels Matrizenmultiplikation schreiben: d 1 d 1 u d 1 v d 1 w d 2 u v w = d 2 u d 2 v d 2 w. (1) d d u d v d w Wir berechnen also = (2) Aufgabe (Abstand und Volumen) Die Gerade g gehe durch die Punkte P 1 (1 2 ) und P 2 (5 5 2). Die Gerade h gehe durch die Punkte Q 1 (2 ) und Q 2 ( 5). a) Bestimme P g und Q h, so dass d = P Q minimal wird. Wie gross ist dieses minimale d? b) Für R 1, R 2 g und S 1, S 2 h ist das Volumen V der Pyramide R 1 R 2 S 1 S 2 gleich V = c R 1 R 2 S 1 S 2. Begründe dies. Bestimme die Konstante c. 2 Hinweis: Diese Aufgabe stammt aus der FWP vom 11. Juni

6 Lösung a) Zu erst schreiben wir die Parametiersierungen der Geraden g und h wie folgt: g x(t) = OP 1 + t r 1 = OP 1 + t P 1 P 2 = t 5 () und Wir haben folgende Skizze. h y(s) = OQ 1 + s r 2 = OQ 1 + s Q 1 Q 2 = 2 + s () g P r 1 d n r 2 Q r 1 h Daraus ergibt sich der Normalenvektor n als der normierte Vektor senkreckt zu r 1 und r 2, also n = r 1 r 2 r 1 r 2 = (5) 2 Zu einem gewählten s R betrachten wir nun die Gerade durch den punkt y(s) mit Richtungsvektor n. Wir suchen nun den Wert s R für den diese Gerade die Gerade g schneidet. Wir suchen also eine Lösung des Gleichungssystems: y(s) + d n! = x(t), (6) wobei d R. Umgestellt, erhalten wir das Gleichungssystem d s t 5 1 = (7) Mit Hilfe des Gaussalgorithmus erhalten wir, dass d =, s = und t = 2 (8) und schlussendlich, dass der Abstand der beiden Geraden d = beträgt und die ntsprechenden Punkte sind 9 8 P = x(t = 2) = 8 und Q = y(s = ) = 6. (9) 7 9 6

7 b) Seien s = S 1 S 2 und r = R 1 R 2 die Vektoren entsprechenden Vektoren zwischen Eckpunkten der Pyramide. Dann haben wir offensichtlich, dass s = S 1 S 2 und r = R 1 R 2. (0) Außerdem sei φ der Winkel zwischen s und r. Da die Richtungen von s und r unabhängig von den Wahlen von S 1, S 2, R 1 und R 2 ist, ist φ konstant, genauso wie der Abstand d zwischen den beiden Geraden. S 1 s S 2 d R 1 r R 2 Das Volumen V des Spats, aufgespannt durch s, r und dem Abstand d der beiden Geraden berechnet sich durch V = s r d. Und daraus ergibt sich das Volumen V der Pyramide als 1 des Gesamtvolumen 6 V des Spats. Wir erhalten somit, dass V = d 6 s r = d sin φ 6 nach der Definition des Vektorproduktes. s r = d sin φ 6 S 1 S 2 R 2 R 2, (1) Aufgabe (Nachrechnen) a) Rechne nach: v w 2 = v 2 w 2 v w 2 für alle v, w R. (Skript S.66) 2 b) Rechne nach: u v w = det(u, v, w) = u v w für alle u, v, w R. (Skript S.67) 2 Lösung a) Wir setzen v = (v 1, v 2, v ) T und w = (w 1, w 2, w ) T und berechnen 2 v 2 w v w 2 v w 2 = v w 1 v 1 w v 1 w 2 v 2 w 1 =(v 2 w v w 2 ) 2 + (v w 1 v 1 w ) 2 + (v 1 w 2 v 2 w 1 ) 2 = + v 2 2w 2 + v 2 w v 2 w v 2 1w 2 + v 2 1w v 2 2w 2 1 2v 2 w v w 2 2v w 1 v 1 w 2v 1 w 2 v 2 w 1 = + v 2 2w 2 + v 2 w v 2 w v 2 1w 2 + v 2 1w v 2 2w v 2 1w v 2 2w v 2 w 2 v 2 1w 2 1 v 2 2w 2 2 v 2 w 2 v 1 w 1 v 2 w 2 v 1 w 1 v w v 2 w 2 v 1 w 1 v 2 w 2 v w v 1 w 1 v w v 2 w 2 v w =(v v v 2 )(w w w 2 ) (v 1 w 1 + v 2 w 2 + v w ) 2 = v 2 w 2 v w 2 7

8 b) Sei nun außerdem noch u = (u 1, u 2, u ) T. Dann berechnen wir u 2 v u v 2 u v w = u v 1 u 1 v u 1 v 2 u 2 v 1 w =w 1 (u 2 v u v 2 ) + w 2 (u v 1 u 1 v ) + w (u 1 v 2 u 2 v 1 ) =w 1 u 2 v w 1 u v 2 + w 2 u v 1 w 2 u 1 v + w u 1 v 2 w u 2 v 1 = det(u, v, w) =u 1 (v 2 w v w 2 ) + u 2 (w 1 v w v 1 ) + u (v 1 w 2 v 2 w 1 ) = u v w. Aufgabe 5 (Determinante) Die Determinante ist total antisymmetrisch, d.h. für alle u, v, w R gilt det(u, v, w) = det(v, u, w) = + det(v, w, u) =... und linear in jedem Argument, d.h. für alle u 1, u 2, v, w R und r R gilt det(u 1 + u 2, v, w) = det(u 1, v, w) + det(u 2, v, w), det(r u, v, w) = r det(u, v, w),... Wegen der totalen Antisymmetrie gilt letzteres auch für das zweite und dritte Argument/Spalte. a) Zeige, dass daraus folgt, dass sich eine Determinante nicht ändert, wenn man zu einer Spalte ein Vielfaches einer anderen Spalte addiert, 2 det(u, v, w) = det(u, v + u, w) = det(u, v, w 17 v) =... b) Berechne mit Hilfe von 5 a) von Hand 2 det Bemerkung: Genau die gleichen Eigenschaften gelten für eine Determinante, wenn man sie als Funktion ihrer drei Zeilen betrachtet. Man betrachtet sie daher am besten als Funktione einer (oder allgemeiner einer n n )Matrix. Lösung Vorbemerkung Als erstes stellen wir fest, dass die Determinante stets = 0 ist, falls ein Vektor doppelt vorkommt (das kommt direkt aus der totalen Antisymmetrie): Somit muss aber natürlich gelten, dass det(a, a, b) = det(a, a, b) det(a, a, b) = 0 Analog natürlich für die anderen Lagen der zwei gleichen Vektoren. die ersten zwei vertauscht a) Wir zeigen es für die Addition eines vielfachen der zweiten Spalte zur ersten. Alle anderen folgen natürlich völlig analog. det(u + s v, v, w) = det(u, v, w) + det(s v, v, w) Linearität = det(u, v, w) + s det(v, v, w) Linearität = det(u, v, w) + s 0 Vorbemerkung = det(u, v, w) 8

9 b) Die Idee ist, dass wir wissen, dass die Determinante der Einheitsmatrix 1 ist. Unser Ziel ist also die gegebene Matrix mit den Regeln und der Bemerkung aus der Aufgabenstellung umzuformen, bis wir die Einheitsmatrix haben det = det = det = ( ) ( 6) det = ( ) ( 6) det / = ( ) ( 6) ( 2/1) det = ( ) ( 6) ( 2/1) det = ( ) ( 6) ( 2/1) 1 det = 216 det = = 216. Spalten: II-I, III-9I Zeilen: II-16I, III-9I Zeilen: III-/1*II Zeilen: II-*III Bemerkung: es wäre natürlich auch möglich nicht ganz bis zur Einheitsmatrix herunter zu rechnen. Aufgabe 6 (rollende Kugel) Über dem Punkt ( 2 0) lässt man auf dem Dach D x + y 6 z = eine Kugel losrollen. Die z Achse ist in Lotrichtung und die Schnittgerade von D mit der xy Ebene sei die Dachrinne. 0 a) Zerlege die Gewichtskraft g = 0 in eine Komponente parallel und eine senkrecht zum Dach. 2 g b) In welchem Punkt (x y 0) der Dachrinne landet die Kugel? 2 Lösung Wir schneiden die Dachebene mit einer Ebene, die aufgespannt wird durch den Lotvektor g = (0, 0, g) und den normalenvektor n = (1,, 6) des Daches durch den Punkt (a b c) auf dem die Kugel auf dem dach landet. Schneiden wir diese Ebene dann mit der Dachebene, so ist die Schnittgerade direkt die Laufrichtung der Kugel. Aufschlagpunkt Als erstes bestimmen wir den Punkt auf dem die Kugel überhaupt auf dem Dach landet. Dieser hat 9

10 natürich die selben x- und y-koordnaten wie der Anfangspunkt ( 2 0), seine z-koordinate ist aber so variiert, dass er auf D zu liegen kommt: Somit z = z = Der Punkt auf dem die Kugel auf dem Dach zu rollen beginnt ist also P ( 2 1) Präferierter Weg via Projektionsformel Mittels der Projektionsformeln aus dem Skript können wir den Gewichtskraftvetkor direkt Zerlegen in die Komponente orthogonal zum Dach (sprich parallel zum Normalenvektor) und sein orthogonales Komplement (sprich parallel zum Dach). Somit und o = g n = 6g g (1,, 6) = (1,, 6) p = g n = (0, 0, g) g n = (0, 0, g) g 2 (1,, 6) = (g/2, 9g/2, g 18g/2) = g 2 (, 9, 2 18) = g (, 9, 5) 2 Die Kugel läuft also vom Punkt ( 2 1) entlang der Geraden mit Richtung g (, 9, 5), sprich Richtung 2 (, 9, 5). Somit ist die K = 2 + t t R Für t = 1/5 schneidet K also die xy-ebene, und die Koordinaten des Schnittpunktes sind somit Alternativer Weg: geometrisch ( /5 2 9/5 1 5/5) = (12/5 1/5 0) Normalenvektor der Lotebene Der Normalenvektor der neuen Ebene ist also gegeben durch 0 e = g n = 0 g ( 6) g g = g 1 0 ( 6) = g Ebenengleichung der Lotebene Die Ebenengleichung hat somit den Ansatz E g x + g y = d Wenn wir jetzt noch verwenden, dass der Punkt ( 2 1) darauf liegt, somit Somit g + g 2 = 7g = d Schnittgerade Die Schnittgerade ist also die Lösung des Systems E g x + g y = 7g D x + y 6 z = E g x + g y = 7g 10

11 Mit dem Gaussalgorithmus ( 1 6 g g 0 7g ) ( g 18g 2g ) ( g 9g g ) Wir wählen z = t R als Parameter. Dann gilt mit Rükwärtseinsetzen: 5g y 9g t = g somit somit 5 y 9 t = 1 y = t und somit x = y + 6 z = ( Die Kugel läuft also entlang der Geraden 12/5 /5 K = 1/5 + t 9/5 0 1 t R Durchstosspunkt mit xy-ebene Aus K sieht man direkt, dass die Kugel im Punkt landet. (12/5 1/5 0) t) + 6 t = t 12/5 = 1/5 + t t R Komponenten Zerlegung Wir müssen den Vektor g = (0, 0, g) zerlegen als Linearkombination des Normalenvektors des Daches n = (1,, 6) und (einem Vielfachen) Richtungsvektors der Rollgerade k = (, 9, 5). Wir müssen also das System lösen Somit Die zum Dach parallele Komponente ist somit 1 a + b = 0 a + 9 b = 0 6 a + 5 b = g a = g 2, b = g 2 p = g (, 9, 5) 2 und die zum Dach orthogonale ist a) Die zum Dach parallele Komponente ist und die zum Dach orthogonale ist o = g 2 (1,, 6) p = g (, 9, 5) 2 o = g 2 (1,, 6) 11

12 b) Die Kugel landet in (12/5 1/5 0) Aufgabe 7 (Formel) Ist {p, q} R linear unabhängig, so steht p q senkrecht auf p und senkrecht auf q und ist nicht 0. a) Für jeden Vektor r R steht dann (p q) r senkrecht zu p q, liegt also in der Ebene, die durch p und q aufgespannt wird. Es muss also Koeffizienten µ, ν R geben mit (p q) r = µ p + ν q. Finde Formeln für µ und ν. (Skalarprodukt) Hinweis: Insgesamt muss die Formel linear in p, q und r sein. b) Rechne ein Beispiel mit p, q, r R, von denen keine zwei senkrecht zueinander stehen, zur Überprüfung der in 7 a) gefundenen Formel. 1 Lösung Vorbermerkung Zwei nicht Nullvektoren p, q stehen genau dann senkrecht aufeinander, wenn ihr Skalarprodukt = 0 ist. a) Wir wissen wegen der Orthogonalität, dass der Vektor (p q) r in der von p und q aufgespannten Ebene liegt, und interssieren uns nun für die Koeffizienten µ und ν. Wir zeigen hier zwei wege. Rechnerischer Weg Wir wählen Nun rechnen wir aus p = p 1 p 2 p p q =, q = p 1 p 2 p q 1 q 2 q q 1 q 2 q, r = r 1 r 2 r p 2 q p q 2 = p q 1 p 1 q p 1 q 2 p 2 q 1 Somit gilt p 2 q p q 2 (p q) r = p q 1 p 1 q p 1 q 2 p 2 q 1 (p q 1 p 1 q ) r (p 1 q 2 p 2 q 1 ) r 2 = (p 1 q 2 p 2 q 1 ) r 1 (p 2 q p q 2 ) r (p 2 q p q 2 ) r 2 (p q 1 p 1 q ) r 1 p r q 1 q r p 1 q 2 r 2 p 1 + p 2 r 2 q 1 = p 1 r 1 q 2 q 1 r 1 p 2 q r p 2 + p r q 2 p 2 r 2 q q 2 r 2 p q 1 p 1 p + p 1 r 1 q etwas umsortieren ergibt p 2 r 2 q 1 + p r q 1 q 2 r 2 p 1 q r p 1 = p 1 r 1 q 2 + p r q 2 q 1 r 1 p 2 q r p 2 p 1 r 1 q + p 2 r 2 q q 2 r 2 p q 1 p 1 p r 1 r 2 r 12

13 Wir sehen, wenn wir in der obersten Zeile vorne noch ein p 1 r 1 q 1 und hinten ein q 1 r 1 p 1 hinzufügen steht gerade p r q 1 q r p 1 in der ersten Zeile. Analog können wir auch in den zwei anderen zwei Zeilen ergänzen, also p 1 r 1 q 1 + p 2 r 2 q 1 + p r q 1 q 1 r 1 p 1 q 2 r 2 p 1 q r p 1 = p 1 r 1 q 2 + p 2 r 2 q 2 + p r q 2 q 1 r 1 p 2 q 2 r 2 p 2 q r p 2 p 1 r 1 q + p 2 r 2 q + p r q q 1 r 1 p q 2 p 2 p q r p (p 1 r 1 + p 2 r 2 + p r ) q 1 (q 1 r 1 + q 2 r 2 + q r ) p 1 = (p 1 r 1 + p 2 r 2 + p r ) q 2 (q 1 r 1 + q 2 r 2 + q r ) p 2 (p 1 r 1 + p 2 r 2 + p r ) q (q 1 r 1 + q 2 r 2 + q r ) p (p 1 r 1 + p 2 r 2 + p r ) q 1 (q 1 r 1 + q 2 r 2 + q r ) p 1 = (p 1 r 1 + p 2 r 2 + p r ) q 2 (q 1 r 1 + q 2 r 2 + q r ) p 2 (p 1 r 1 + p 2 r 2 + p r ) q (q 1 r 1 + q 2 r 2 + q r ) p = (p 1 r 1 + p 2 r 2 + p r ) = p r q 1 q 2 q q 1 q 2 q q r = p r q q r p p 1 p 2 p (q 1 r 1 + q 2 r 2 + q r ) p 1 p 2 p Somit haben wir µ = q r und ν = p r. Alternativer Weg über den Zusammenhang von det, und Da die Vektoren (p q) r und µ p + ν q gleich sind, haben sie natürlicherweise auch dasselbe Skalarprodukt mit dem Vektor p respektive q: Es gilt also p (p q) r = p µ p + ν q = p µ p + p ν q Linearität = µ p p + ν p q Linearität Analog q (p q) r = p µ p + ν q = q µ p + q ν q Linearität = µ q p + ν q q Linearität Wir haben nun also ein etwas kompliziert aussehendes 2 2-Gleichungsssystem in µ und ν: ( p p p q p (p q) r p q q q q (p q) r ) Aus dem Skript können wir nun noch die Defition der Determinante verwenden: Damit sehen wir, dass det(r 1, r 2, r ) = r 1 r 2 r p (p q) r = (p q) r p = det(p q, r, p) q (p q) r = (p q) r q = det(p q, r, q) 1

14 Damit wird unser Gleichugngssystem: Mit der Cramerschen Regel folgt also und ( p p p q det(p q, r, p) p q q q det(p q, r, q) ) det(p q, r, p) q q det(p q, r, q) p q µ = p p q q p q 2 det(p q, r, q) p p det(p q, r, p) p q ν = p p q q p q 2 Dies können wir nun noch deutlich vereinfachen, mit folgender Festestellung: det(p q, r, p) = p q r p = p r q p p p q r det(p q, r, q) = p q r q = p r q q p q q r Setzen wir das nun in unsere Lösungen für µ und ν ein, so erhalten wir und analog det(p q, r, p) q q det(p q, r, q) p q µ = p p q q p q 2 ( p r q p p p q r ) q q ( p r q q p q q r ) p q = p p q q p q 2 = p r ( q p q q q p q q ) + q r ( p p q q + p q 2 ) p p q q p q 2 = p r (0) q r ( p p q q p q 2 ) p p q q p q 2 = q r ( p p q q p q 2 ) p p q q p q 2 = q r det(p q, r, q) p p det(p q, r, p) p q ν = p p q q p q 2 =... = p r Das heisst, wir haben nun sehr einfache Formeln für µ und ν gefunden: µ = q r ν = p r 1

15 b) Zur Kontrolle nehmen wir die Vektoren Dann gilt also p = (1, 1, 0), q = (1, 0, 1), r = (1, 0, 0) p q = (1, 1, 1) (p q) r = (0, 1, 1) = 1 p + 1 q det(p q, r, p) = 1 det(p q, r, q) = 1 p p = 2 q q = 2 p q = 1 Somit nach den komplizierten Formeln aus 7 a) µ = = = 1 ν = 1 2 ( 1) = = 1 und mit den den einfachen Formeln: Also wie erwartet. Zur Kontrolle nehmen wir die Vektoren Dann gilt also µ = q r = 1 ν = p r = 1 p = (1, 2, ), q = (, 5, 6), r = (7, 8, 9) p q = (, 6, ) (p q) r = (78, 6, 66) det(p q, r, p) = 108 det(p q, r, q) = 5 Somit nach den komplizierten Formeln aus 7 a) p p = 1 q q = 77 p q = ( 5) 2 µ = = 6588 = ( 108) 2 ν = = = 50 beziehungsweise mit den verienfachten µ = q r = ( ) = 122 ν = p r = = 50 15

16 Und zur Kontrolle rechnen wir nach Stimmt also. 122 (1, 2, ) + 50 (, 5, 6) = ( , , ) = (78, 6, 66) 16

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