Quadratische Funktion

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1 Quadratische Funktion sind Funktionen die nur eine Variable enthalten, deren Exponent 2 ist und keine Variable die einen Exponenten enthält, der größer ist als 2. Zum Beispiel die quadratische Funktion f(x)=x². Der Graph dieser Funktion wird Normalparabel genannt. Graph von f(x)=x² (Normalparabel) Eigenschaften: Symmetrie: achsensymmetrisch zur y Achse Scheitelpunkt Schnittpunkt mit Achsen: schneidet die Achsen im Punkt S(0 0) Scheitelpunkt Definitionsbereich: Die Funktion ist für alle Werte x aus R definiert Wertebereich: Die Funktion nimmt nur Werte größer gleich Null an

2 Verschiebung der Normalparabel (Scheitelpunktsform) Wenn man die Normalparabel in x Richtung um x s und in y Richtung in y s verschiebt, so befindet sich der neue Scheitelpunkt bei S(x s y s ) und die Funktionsgleichung der quatratischen Funktion lautet x s= f(x)=(x x s )²+y s (Scheitelpunktsform der quadratischen Funktion) y s=

3 Scheitelpunktsform < > Normalform Scheitelpunkt: S(2 2) Scheitelpunktsform: Quadratische Ergänzung: Normalform: ausmultiplizieren (2. binomische Formel) Normalform: Scheitelpunktsform:

4 Normalform > Scheitelpunktsform f(x)=x² 2x+5 f(x)=x²+6x+10 f(x)=x²+4x+1 f(x)=x²+x 0,5 f(x)= f(x)= f(x)= f(x)=

5 Strecken und Stauchen einer Parabel Wird die Gleichung einer Parabel mit einer Zahl a multipliziert [f(x)=a(x x s )²+y s ], so wird der Graph der Parabel gestreckt a >1 bzw. gestaucht a <1. f(x)=2(x 2)²+1 den Wert a bestimmen eins nach rechts gehen von dort nach oben zählen (+a) bzw. nach unten zählen ( a)

6 Schnittpunkte der Parabeln mit den Koordinatenachsen Schnittpunkt mit der x Achse: Beim Schnittpunkt mit der x Achse ist der y Wert immer Null. Ansatz zur Berechnung: y = 0 setzen (quadratische Gleichung) Gleichung nach x umstellen (pq Formel) S y (x 0y 0) Schnittpunkt mit der y Achse: Beim Schnittpunkt mit der y Achse ist der x Wert null. Setzt man in der quadratischen Funktion den x Wert null, so ist das Ergebnis die konstante Zahl c am Ende der Funktion und der Schnittpunkt mit der y Achse lautet S(0 c). Beispiel: LB S. 93 Nr. 24

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8 Schnittpunkte zweier Funktionen Schnittpunkt berechnen: Wenn sich die Graphen zweier Funktionen f(x) und g(x) schneiden, sind die Schnittpunkte gemeinsame Punkte beider Funktionen. Ansatz zur Berechnung: f(x)=g(x) gleich setzen (quadratische Gleichung) Gleichung nach x umstellen (pq Formel) Mögliche Lösungen (be quadratischer und linearer Funktion) zwei Lösungen eine Lösung keine Lösung zwei Schnittpunkte ein Schnittpunkt kein Schnittpunkt

9 HAK Schnittpunkte mit den Achsen Aufgabe: Berechne die Schnittpunkte der Funktion f(x) mit den Achsen. Gruppe A Gruppe B f(x)=3x² 3x 6 f(x)=2x²+4x 6

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14 Rekonstruktion von Funktionen Sind von einer quadratischen Funktion nur drei Punkte gegeben, so kann diese mithilfe eines linearen Gleichungssystem gelöst werden. Ansatz: Allgemeine Form einer quadratischen Funktion lautet: f(x)=ax²+bx+c Einsetzen der drei Punkte in die Allgemeine Form ergibt drei Gleichungen Lösen des Gleichungssystems ergibt die Variablen a,b,c Beispiel: Gegeben sind die Punkte A( 1 0), B(1 6) und C(3 12) einer quadratischen Funktion. Bestimme die zugehörige Funktionsgleichung. Gausscher Algorithmus Gleichungssystem in eine Dreiecksform bringen Man darf die Gleichungen miteinander addieren, subtrahieren und mit Vielfachen multiplizieren.

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