Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion

Save this PDF as:
 WORD  PNG  TXT  JPG

Größe: px
Ab Seite anzeigen:

Download "Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion"

Transkript

1 Äquivalenzrelation Restklassen Teilbarkeit in Z Kleiner Satz von Fermat Satz von Euler Eulersche ϕ-funktion

2 Äquivalenzrelation Nehmen wir die Menge A = {,,,,,,,,}, z.b. nummerierte Personen. Unter Berücksichtigung der Verwandtschaftsbeziehung zerfällt A in disjunkte Teilmengen (Familien), z.b. {,}, {,,}, {,,}, {}. Die Verwandtschaftsbeziehungen tragen wir in eine Tabelle ein, (a, b) für a verwandt mit b. math. Sprechweise: a äquivalent b, a b. Es gilt hier offensichtlich für a, b, c A: a a Relation ist reflexiv a b = b a symmetrisch a b, b c = a c transitiv (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) (,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,)(,) (,)... (,) (,) (,) (,) (,) (,) Beginnen wir mit den Teilmengen {,} und {}. Symbole statt (a, b) erhöhen die Anschauung.

3 Äquivalenzrelation Die Beziehungen in der Familie {,, } werden hinzugefügt, sowie die der Familie {,,}. Eine Umordnung der Elemente hebt die Struktur der Relation (Teilmenge von AA ) hervor. Den Teilmengen (Äquivalenzklassen) der Zerlegung von A (Partition) entsprechen in der Tabelle nicht überlappende Quadrate, die die Diagonale überdecken. Die Transitivität der Relation garantiert die quadratischen Anordnungen, z.b., = Eine Partition einer Menge kann dadurch erzeugt werden, dass die Elemente der Menge nach einer Eigenschaft (gehört zur Familie F k ) zusammengefasst werden, oder es wird eine Relation (a ist verwandt mit b) herangezogen, die reflexiv, symmetrisch und transitiv ist.

4 Äquivalenzrelation Etwas allgemeiner ergibt sich folgendes Bild: Teilen wir die Zahlen der Menge M = {,,,,,,,,} durch und fassen die Zahlen nach den möglichen Teilerresten 0,, zusammen: M = {,,} {,,} {,,} Die Partition kann auch durch eine Äquivalenzrelation erzeugt werden. Betrachten wir hierzu die Teilmenge {,, }. Es gilt: = 0 +, = +, = +. Die Differenz zweier Zahlen ist durch teilbar (der Rest fällt raus). b a ist genau dann durch teilbar, wenn a und b denselben Teilerrest haben. a b teilt b a andere Bezeichnung a b mod, a kongruent b modulo Das Vorzeichen von b a spielt keine Rolle, möglich wäreauch a b teilt b a.

5 Restklassen Wir fassen die Zahlen aus N 0 zu Restklassen zusammen, deren Elemente bei Division mit jeweils denselben Rest ergeben. 0 = {0,,,,...} = {,,,...} = {,,0,...} = {,,,...} Durch eine Betrachtung der Reste wird Folgendes klar: a b, c d = a+c b+d (mod ) a = n +r c = m +r Wenn a und b den Rest r ergeben und c und d den Rest r, so ist der Rest für a+c und b+d jeweils (r +r ) mod (eventuell muss subtrahiert werden). a b, c d = ac bd (mod ) ac = (...)+r r bd = (...)+r r Es entsteht derselbe Rest r r mod. Mit Kongruentem kann ausgetauscht werden: a bc, c d = a bd (mod ) Begründung: Aus c d folgt bc bd und mit der Voraussetzung erhalten wir a bd Nun sollte verständlich sein, dass z.b. bei Division mit den Rest ergibt: (mod ) Damit eine Rechnung wie ( ) (mod ) möglich wird, müssen die Restklassen auf Z erweitert werden. Für die Division mit erhalten wir 0 = {...,,,,0,,,,...} = Z = {...,,,,,,,...} = +Z = {..., 0,,,,,0,...} = +Z = {...,,,,,,,...} = +Z

6 Teilbarkeit in Z Die Rechnungen zur Restklasse = + = + = + = 0 + = ( ) + = ( ) + = ( ) + = ( ) + verdeutlichen den Sachverhalt: Für alle a Z und b N gibt es q Z (eindeutig) mit a = q b+r, 0 r < b Die Kongruenz-Rechenregeln bleiben erhalten. ( ) (mod ) Teilbarkeit durch Eine Zahl ist durch teilbar, wenn ihre alternierende Quersumme durch teilbar ist. alternierende Quersumme: + + = ( = ) = durch teilbar:,, 00,, 0000,,... 0 mod ( )+ + ( )+ (mod )

7 Kleiner Satz von Fermat Für alle Primzahlen p und alle natürlichen Zahlen a, die kein Vielfaches von p sind gilt: a p mod p z.b. (mod ) Wir betrachten die Zahlen:,,,,,, multiplizieren sie mit (z. B.) und schreiben die Teilerreste mod auf. Dies ergibt:,,,,, Allgemein: Werden die Teilerreste mod p:,,,..., (p ) mit a multipliziert, so ergeben sich mod p dieselben Teilerreste. Die Reihenfolge ist unerheblich. Zur Begründung: b c p (b c) p a(b c) p nicht in a enthalten Damit erhalten wir: ab ac p (ab ac)... (p ) a a a... (p )a... (p ) a p (... (p )) (p )! a p (p )! p (p )!(a p ) p (a p ) Behauptung

8 Satz von Euler Der kleine Satz von Fermat lässt sich verallgemeinern. Statt p nehmen wir eine natürliche Zahl n. Für eine Primzahl p sind die (p ) Zahlen,,,..., (p ) teilerfremd. Für n treten an ihre Stelle die zu n teilerfremden Zahlen r, r,..., r ϕ(n) die kleiner als n sind (Teilerreste, r = ), für sie gilt also ggt(r i,n) =. Die Anzahl sei ϕ(n), z.b. ϕ() = {,,,} = Der Satz von Euler besagt nun: a ϕ(n) mod n unter der Bedingung ggt(a,n) = Begründung: b c n (b c) n a(b c) ggt(a,n) = n (ab ac) ab ac Damit erhalten wir: r r r... r ϕ(n) ar ar ar... ar ϕ(n) a ϕ(n) r r r... r ϕ(n) n (a ϕ(n) ) r r r... r ϕ(n) n (a ϕ(n) ) Behauptung

9 Eulersche ϕ-funktion Beispiele: ϕ() = {,,,} = Diese Zahlen haben mit den ggt. ϕ() = {,,,,,} = Für Primzahlen p gilt offensichtlich ϕ(p) = p. ϕ( ) = {,,,,,,,,} \{,,} = ϕ( ) = {,,,...,,}\{,0,,0,} = 0 ϕ( ) = {,,,..., }\{,,,..., } = Wir erkennen, dass für Primzahlpotenzen gilt ϕ(p n ) = p n p n = p n ( p ). Die Funktion ist auch multiplikativ: ϕ(m n) = ϕ(m) ϕ(n) für teilerfremde Zahlen m, n. Diese Eigenschaft ermöglicht uns, ϕ(a) für beliebiges a zu ermittelt. Anhand des Zahlenbeispiels m =, n = wird die Beweisidee deutlich. ϕ() =, ϕ() =, z.z. ϕ( ) =. In der obersten Zeile sind die zu teilerfremden Zahlen grau unterlegt Nur die Zahlen in den grau unterlegten Spalten ergeben als ggt mit. Unter ihnen sind diejenigen Zahlen, die mit den ggt bilden. Es sind gerade die Zahlen, die auch zu teilerfremd sind. mod Die Spalten haben alle die Stuktur: k +0 k + k + k + In jeder Spalte sind alle Teilerreste mod vorhanden, i j = k +i k +j, beachte ggt(,) =, darunter jeweils ϕ() = Teilerfremde zu. Nun sollte ϕ( ) = einleuchten.

Äquivalenzrelation. Tischler-Problem. Euklidischer Algorithmus. Erweiterter euklidischer Algorithmus. Lineare diophantische Gleichung

Äquivalenzrelation. Tischler-Problem. Euklidischer Algorithmus. Erweiterter euklidischer Algorithmus. Lineare diophantische Gleichung Äquivalenzrelation Tischler-Problem Euklidischer Algorithmus Erweiterter euklidischer Algorithmus Lineare diophantische Gleichung Rechnen mit Resten Restklassen Teilbarkeit in Z Beispiel einer Kongruenzgleichung

Mehr

Diskrete Mathematik Kongruenzen

Diskrete Mathematik Kongruenzen Diskrete Mathematik Kongruenzen 31. Mai 2006 1 Inhaltsverzeichnis 1. Einleitung 2. Prime Restklassen 3. Die Sätze von Euler und Fermat 4. Lineare Kongruenzen 5. Systeme 2 Einleitung 3 Fragestellung Wie

Mehr

Der kleine Satz von Fermat

Der kleine Satz von Fermat Der kleine Satz von Fermat Luisa-Marie Hartmann 5. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 2 Hauptteil 4 2.1 Prime Restklassengruppen............................ 4 2.2 Ordnung von Gruppenelementen........................

Mehr

Seminar zum Thema Kryptographie

Seminar zum Thema Kryptographie Seminar zum Thema Kryptographie Michael Hampton 11. Mai 2017 Inhaltsverzeichnis 1 Einleitung 3 1.1 Konventionen.................................. 3 1.2 Wiederholung.................................. 3

Mehr

1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3

1 Vorbereitung: Potenzen 2. 2 Einstieg und typische Probleme 3 Das vorliegende Skript beschäftigt sich mit dem Thema Rechnen mit Kongruenzen. Das Skript entsteht entlang einer Unterrichtsreihe in der Mathematischen Schülergesellschaft (MSG) im Jahr 2013. Die vorliegende

Mehr

Musterlösung zur Klausur Grundwissen Schulmathematik am

Musterlösung zur Klausur Grundwissen Schulmathematik am Musterlösung zur Klausur Grundwissen Schulmathematik am 24.2.2012 Aufgabe 1 (10 Punkte) Zeigen Sie: Für alle n N ist n 3 3n 2 +2n durch 6 teilbar. svorschläge Beweis durch Induktion nach n n = 1. Es ist

Mehr

Mathematische Strukturen

Mathematische Strukturen Mathematische Strukturen Lineare Algebra I Kapitel 3 16. April 2013 Kartesisches Produkt Das kartesische Produkt (benannt nach René Descartes) von n Mengen M 1,..., M n ist M 1 M n := {(x 1,..., x n )

Mehr

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich.

3.5 Ringe und Körper. Diese Eigenschaften kann man nun auch. 1. (R, +) ist eine kommutative Gruppe. 2. Es gilt das Assoziativgesetz bezüglich. 3.5 Ringe und Körper Gehen wir noch mal zu den ganzen Zahlen zurück. Wir wissen: (Z, + ist eine Gruppe, es gibt aber als Verknüpfung noch die Multiplikation, es gibt ein neutrales Element bezüglich, es

Mehr

1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl

1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl Westfälische Wilhelms-Universität Münster Mathematik Sommersemester 2017 Seminar: Verschlüsselungs- und Codierungstheorie Leitung: Thomas Timmermann 1.Vortrag: Rechnen mit Restklassen/modulo einer Zahl

Mehr

Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n

Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Lineare Algebra I 5. Tutorium Die Restklassenringe /n Fachbereich Mathematik WS 2010/2011 Prof. Dr. Kollross 19. November 2010 Dr. Le Roux Dipl.-Math. Susanne Kürsten Aufgaben In diesem Tutrorium soll

Mehr

Lösungen der Aufgaben

Lösungen der Aufgaben Lösungen der Aufgaben Aufgabe 1.3.1 Es gibt 42 mögliche Verschlüsselungen. Aufgabe 2.3.4 Ergebnisse sind 0, 4 und 4 1 = 4. Aufgabe 2.3.6 Da in Z 9 10 = 1 ist, erhalten wir x = c 0 + + c m = c 0 + + c m.

Mehr

2.4. Kongruenzklassen

2.4. Kongruenzklassen DEFINITION 2.4.1. kongruent modulo 2.4. Kongruenzklassen Wikipedia:1707 wurde Euler als der älteste Sohn des Pfarrers Paul Euler geboren. Er besuchte das Gymnasium in Basel und nahm gleichzeitig Privatunterricht

Mehr

Ganzzahlige Division mit Rest

Ganzzahlige Division mit Rest Modulare Arithmetik Slide 1 Ganzzahlige Division mit Rest Für a,b Æ mit a b gibt es stets eine Zerlegung von a der Form a = q b+r mit 0 r b 1. Hierbei gilt q = a b (salopp formuliert: b passt q-mal in

Mehr

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt

(1.18) Def.: Eine Abbildung f : M N heißt Zurück zur Mengenlehre: Abbildungen zwischen Mengen (1.17) Def.: Es seien M, N Mengen. Eine Abbildung f : M N von M nach N ist eine Vorschrift, die jedem x M genau ein Element f(x) N zuordnet. a) M = N

Mehr

5 Kongruenzrechnung. Definition. Zwei Zahlen heißen kongruent modulo m, wenn sie bei der Division durch m den gleichen Rest lassen.

5 Kongruenzrechnung. Definition. Zwei Zahlen heißen kongruent modulo m, wenn sie bei der Division durch m den gleichen Rest lassen. 5 Kongruenzrechnung Sei m > 0 fest vorgegeben Nach wissen wir: Jede Zahl a läßt sich auf eindeutige Weise durch m mit Rest dividieren, dh: Es gibt genau ein Zahlenpaar q, r mit der Eigenschaft ( ) a =

Mehr

Der chinesische Restsatz mit Anwendung

Der chinesische Restsatz mit Anwendung Der chinesische Restsatz mit Anwendung Nike Garath n.garath@gmx.de Martrikelnummer: 423072 Seminar: Verschlüsslungs- und Codierungstheorie Dozent: Dr. Thomas Timmermann Sommersemester 2017 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n

Die Ringe Z n. Invertierbare Elemente ( Einheiten ) für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n Definitionen Die Ringe Z n für n > 0 wird auf Z n = {0, 1, 2,..., n 1} definiert: Beispiel n = 15 + n : Z n Z n Z n : (a, b) (a + b) mod n n : Z n Z n Z n : (a, b) (a b) mod n 9 + 15 11 = 5 9 15 11 = 9

Mehr

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen

1 Zahlentheorie. 1.1 Kongruenzen 3 Zahlentheorie. Kongruenzen Der letzte Abschnitt zeigte, daß es sinnvoll ist, mit großen Zahlen möglichst einfach rechnen zu können. Oft kommt es nicht darauf, an eine Zahl im Detail zu kennen, sondern

Mehr

Einführung in die Zahlentheorie

Einführung in die Zahlentheorie Einführung in die Zahlentheorie von Peter Hellekalek Institut für Mathematik Universität Salzburg Hellbrunner Straße 34 A-5020 Salzburg, Austria Tel: +43-(0)662-8044-5310 Fax: +43-(0)662-8044-137 e-mail:

Mehr

1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie

1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie Lineare Algebra I WS 2015/16 c Rudolf Scharlau 39 1.5 Restklassen, Äquivalenzrelationen und Isomorphie In diesem Abschnitt wird zunächst der mathematische Begriff einer Relation kurz und informell eingeführt.

Mehr

7 Der kleine Satz von Fermat

7 Der kleine Satz von Fermat 7 Der kleine Satz von Fermat Polynomkongruenz modulo p. Sei p eine Primzahl, n 0 und c 0,..., c n Z. Wir betrachten die Kongruenz ( ) c 0 + c 1 X +... + c n 1 X n 1 + c n X n 0 mod p d.h.: Wir suchen alle

Mehr

1.2 Modulare Arithmetik

1.2 Modulare Arithmetik Algebra I 8. April 2008 c Rudolf Scharlau, 2002 2008 11 1.2 Modulare Arithmetik Wir erinnern an die Notation für Teilbarkeit: m c für m, c Z heißt, dass ein q Z existiert mit qm = c. Definition 1.2.1 Sei

Mehr

1 Modulare Arithmetik

1 Modulare Arithmetik $Id: modul.tex,v 1.10 2012/04/12 12:24:19 hk Exp $ 1 Modulare Arithmetik 1.2 Euklidischer Algorithmus Am Ende der letzten Sitzung hatten wir den größten gemeinsamen Teiler zweier ganzer Zahlen a und b

Mehr

Tutorium: Diskrete Mathematik

Tutorium: Diskrete Mathematik Tutorium: Diskrete Mathematik Vorbereitung der Bonusklausur am 24.11.2016 (Teil 2) 23. November 2016 Steven Köhler mathe@stevenkoehler.de mathe.stevenkoehler.de 2 c 2016 Steven Köhler 23. November 2016

Mehr

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18

Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 Mathematik I für Studierende der Informatik und Wirtschaftsinformatik (Diskrete Mathematik) im Wintersemester 2017/18 9. November 2017 1/34 Beispiel 3.6 Wir können die rationalen Zahlen wie folgt konstruieren:

Mehr

Vorlesung Mathematik 2 für Informatik

Vorlesung Mathematik 2 für Informatik Vorlesung Mathematik 2 für Informatik Inhalt: Modulare Arithmetik Lineare Algebra Vektoren und Matrizen Lineare Gleichungssysteme Vektorräume, lineare Abbildungen Orthogonalität Eigenwerte und Eigenvektoren

Mehr

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik UNIVERSITÄT ULM Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Prof. Dr. Helmut Maier, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 100

Mehr

Einführung in Algebra und Zahlentheorie

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Institut für Algebra und Geometrie 05. September 2013 Klausur zur Vorlesung Einführung in Algebra und Zahlentheorie Name, Vorname: Matrikelnummer: Fachrichtung: Semester: Zur Bearbeitung: Verwenden Sie

Mehr

5 Grundlagen der Zahlentheorie

5 Grundlagen der Zahlentheorie 5 Grundlagen der Zahlentheorie 1 Primfaktorzerlegung Seienm, n N + := {k N k > 0} Man schreibt n n, gesprochen m teilt n oder m ist ein Teiler von n, wenn es eine positive natürliche Zahl k gibt mit mk

Mehr

Zahlentheorie. Axel Schüler, Mathematisches Institut, Univ. Leipzig mailto:schueler@mathematik.uni-leipzig.de 24.10.2002

Zahlentheorie. Axel Schüler, Mathematisches Institut, Univ. Leipzig mailto:schueler@mathematik.uni-leipzig.de 24.10.2002 Zahlentheorie Axel Schüler, Mathematisches Institut, Univ. Leipzig mailto:schueler@mathematik.uni-leipzig.de 24.10.2002 Zur Zahlentheorie rechnen wir Aufgaben, die über dem Bereich = {1, 2,... } der natürlichen

Mehr

χ a : N + {0, 1, 1} {( a χ a (n) = χ a (n ). ψ(mn) < ψ(m)ψ(n).

χ a : N + {0, 1, 1} {( a χ a (n) = χ a (n ). ψ(mn) < ψ(m)ψ(n). September 007, Zahlentheorie 1 a) Formulieren Sie das quadratische Reziprozitätsgesetz einschließlich der Definitionen der Legendre- und Jacobi-Symbole. b) Für a Z \ {0} definieren wir durch χ a (n) =

Mehr

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September 2007

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September 2007 Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Definition Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische)

Mehr

Kongruenz ist Äquivalenzrelation

Kongruenz ist Äquivalenzrelation Kongruenz ist Äquivalenzrelation Lemma Kongruenz ist Äquivalenzrelation Die Kongruenz modulo n ist eine Äquivalenzrelation auf Z. D.h. für alle a, b, c Z gilt 1 Reflexivität: a a mod n 2 Symmetrie: a b

Mehr

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen.

Vorlesung 4. Tilman Bauer. 13. September Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Vorlesung 4 Universität Münster 13. September 2007 1 Kartesische Wir befassen uns in dieser Vorlesung noch einmal mit Mengen. Seien M und N zwei Mengen. Dann bezeichnen wir mit M N das (kartesische) Produkt

Mehr

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschlag zur Klausur am 16. Februar 2016

Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschlag zur Klausur am 16. Februar 2016 Fakultät für Mathematik Institut für Algebra und Geometrie PD Dr. Stefan Kühnlein Dipl.-Math. oec. Anja Randecker Einführung in Algebra und Zahlentheorie Lösungsvorschlag zur Klausur am 16. Februar 016

Mehr

3. Diskrete Mathematik

3. Diskrete Mathematik Diophantos von Alexandria um 250 Georg Cantor 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,

Mehr

modulo s auf Z, s. Def

modulo s auf Z, s. Def 16. Januar 2007 Arbeitsblatt 5 Übungen zu Mathematik I für das Lehramt an der Grund- und Mittelstufe sowie an Sonderschulen I. Gasser, H. Strade, B. Werner WiSe 06/07 21.11.06 Präsenzaufgaben: 1) Seien

Mehr

Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler

Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson. 8 Der Satz von Euler Kapitel 3: Die Sätze von Euler, Fermat und Wilson In diesem Kapitel wollen wir nun die eulersche -Funktion verwenden, um einen berühmten Satz von Euler zu formulieren, aus dem wir dann mehrere interessante

Mehr

Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie

Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie Grundlagen der Arithmetik und Zahlentheorie 1.0 Teilbarkeit In diesem Abschnitt werden wir einerseits die ganzen Zahlen an sich studieren und dabei besonders wichtige Zahlen, die Primzahlen, entsprechend

Mehr

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt:

1 Körper. Wir definieren nun, was wir unter einem Körper verstehen, und sehen dann, dass es noch andere, ganz kleine Körper gibt: 1 Körper Sie kennen bereits 2 Beispiele von Zahlkörpern: (Q, +, ) (R, +, ) die rationalen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation die reellen Zahlen mit ihrer Addition und Multiplikation Vielleicht

Mehr

Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade

Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade Zahlentheorie für den Landeswettbewerb für Anfängerinnen und Anfänger der Österreichischen Mathematik-Olympiade Clemens Heuberger 22. September 2014 Inhaltsverzeichnis 1 Dezimaldarstellung 1 2 Teilbarkeit

Mehr

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik

Mathematische Grundlagen der Computerlinguistik Centrum für Informations- und Sprachverarbeitung (CIS) 10. Juni 2014 Table of Contents 1 2 Äquivalenz Der Begriff der Äquivalenz verallgemeinert den Begriff der Gleichheit. Er beinhaltet in einem zu präzisierenden

Mehr

ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe.

ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe. ggt mit Euklid Satz: Um ggt(k, l) mit dem Euklidischen Algorithmus zu berechnen, braucht man höchstens log Φ k < 3 2 log 2 k rekursive Aufrufe. Das heißt, um den ggt von zwei 1000-Bit-Zahlen zu ermitteln,

Mehr

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe

Kongruenzen und Restklassenringe. 2. Kongruenzen und Restklassenringe 2. Kongruenzen und Restklassenringe Kongruenzen Definition: Wir sagen a ist kongruent zu b modulo m schreiben a b mod m, wenn m die Differenz b-a te Beispiel: Es gilt 2 19 mod 21, 10 0 mod 2. Reflexivität:

Mehr

Mathematik III. (für Informatiker) Oliver Ernst. Wintersemester 2014/15. Professur Numerische Mathematik

Mathematik III. (für Informatiker) Oliver Ernst. Wintersemester 2014/15. Professur Numerische Mathematik Mathematik III (für Informatiker) Oliver Ernst Professur Numerische Mathematik Wintersemester 2014/15 Inhalt 10 Differentialgleichungen 11 Potenz- und Fourier-Reihen 12 Integraltransformationen 13 Algebraische

Mehr

kgv-berechnung Invertieren modulo m Simultane Kongruenzen Restklassenringe Modulare Arithmetik Euler sche Funktion Sätze von Fermat und Euler

kgv-berechnung Invertieren modulo m Simultane Kongruenzen Restklassenringe Modulare Arithmetik Euler sche Funktion Sätze von Fermat und Euler Modulare Arithmetik Slide 5 kgv-berechnung Invertieren modulo m Simultane Kongruenzen Restklassenringe Modulare Arithmetik Euler sche Funktion Sätze von Fermat und Euler Modulare Arithmetik Slide 6 kgv-berechnung

Mehr

Angewandte Diskrete Mathematik

Angewandte Diskrete Mathematik Vorabskript zur Vorlesung Angewandte Diskrete Mathematik Wintersemester 2010/ 11 Prof. Dr. Helmut Maier Dipl.-Math. Hans- Peter Reck Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Universität

Mehr

1 Definition von Relation, Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen

1 Definition von Relation, Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen 1 Definition von Relation, Äquivalenzrelation und Äquivalenzklassen Einleitung 1 Wie der Name schon sagt sind Äquivalenzrelationen besondere Relationen. Deswegen erkläre ich hier ganz allgemein, was Relationen

Mehr

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik

Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik Vorlesung Teilbarkeitslehre und Restklassenarithmetik.1 Gruppentheorie WiewirinVorlesung2gesehenhaben,hatdieMengeZmitderAdditiongewisse Eigenschaften. Wir fassen nun bestimmte Eigenschaften zusammen und

Mehr

Mersennesche Primzahlen

Mersennesche Primzahlen Mersennesche Primzahlen Michael E. Pohst Technische Universität Berlin Die Zahlen von Mersenne Zu einer natürlichen Zahl n wird die zugehörige Mersennezahl M n als M n = 2 n 1 definiert. Für n = 2, 3,

Mehr

1 Der Ring der ganzen Zahlen

1 Der Ring der ganzen Zahlen 1 Der Ring der ganzen Zahlen Letztendlich wird die Addition und Multiplikation in endlichen Körpern auf die Addition und Multiplikation von ganzen Zahlen zurückgeführt. Deswegen müssen wir die an sich

Mehr

Einführung in die Algebra

Einführung in die Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc SS 2009 Einführung in die Algebra Vorlesung 15 Der Hauptsatz der elementaren Zahlentheorie Wir beweisen nun, dass sich jede natürliche Zahl in eindeutiger Weise als Produt

Mehr

Aufgaben zu Kapitel 5

Aufgaben zu Kapitel 5 5.1 a) Seien a, b, c mit a b und b c. Dann gibt es ganze Zahlen n und m mit b = na und c = mb. Daraus folgt c = mna, also ac. Gilt a b und a c, so gibt es ganze Zahlen n und m mit b = na und c = ma. Sind

Mehr

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck

Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck Musterlösung zur Probeklausur zur Angewandten Diskreten Mathematik Dr. Hartmut Lanzinger, Hans- Peter Reck Gesamtpunktzahl: 114 Punkte, 100 Punkte= 100 %, keine Abgabe 1. Es seien m = 1155 und n = 1280.

Mehr

Zahlentheorie. Thomas Huber. 4. Juli Grundlagen Teilbarkeit ggt und kgv Abschätzungen... 8

Zahlentheorie. Thomas Huber. 4. Juli Grundlagen Teilbarkeit ggt und kgv Abschätzungen... 8 Zahlentheorie Thomas Huber 4. Juli 2007 Inhaltsverzeichnis 1 Grundlagen 2 1.1 Teilbarkeit..................................... 2 1.2 ggt und kgv................................... 4 1.3 Abschätzungen..................................

Mehr

Einführung in das Schubfachprinzip

Einführung in das Schubfachprinzip 30.03.2017 Einfache Beispiele Klar: 2 Personen gleichen Geschlechts Wähle 3 Personen. 2 Personen, die im selben Monat Geburtstag haben Wähle 13 Personen. Gleichfarbiges Sockenpaar aus Schublade mit 3 Sockenfarben

Mehr

Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15

Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Logische Grundlagen der Mathematik, WS 2014/15 Thomas Timmermann 26. November 2014 Was kommt nach den natürlichen Zahlen? Mehr als die natürlichen Zahlen braucht man nicht, um einige der schwierigsten

Mehr

Kapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz

Kapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz Kapitel 6: Das quadratische Reziprozitätsgesetz Ziel dieses Kapitels: die Untersuchung der Lösbarkeit der Kongruenzgleichung X also die Frage, ob die ganze Zahl Z eine Quadratwurzel modulo P besitzt. Im

Mehr

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { }

Lösungsmenge L I = {x R 3x + 5 = 9} = L II = {x R 3x = 4} = L III = { } Zur Einleitung: Lineare Gleichungssysteme Wir untersuchen zunächst mit Methoden, die Sie vermutlich aus der Schule kennen, explizit einige kleine lineare Gleichungssysteme. Das Gleichungssystem I wird

Mehr

Kanonische Primfaktorzerlegung

Kanonische Primfaktorzerlegung Mathematik I für Informatiker Zahlen p. 1 Kanonische Primfaktorzerlegung Jede natürliche Zahl n kann auf eindeutige Weise in der Form n = p α 1 1 pα 2 2... pα k k geschrieben werden, wobei k N 0, α i N

Mehr

Zahlentheorie II. smo osm. Thomas Huber. Inhaltsverzeichnis. Aktualisiert: 1. August 2016 vers

Zahlentheorie II. smo osm. Thomas Huber. Inhaltsverzeichnis. Aktualisiert: 1. August 2016 vers Schweizer Mathematik-Olympiade smo osm Zahlentheorie II Thomas Huber Aktualisiert: 1. August 2016 vers. 1.2.1 Inhaltsverzeichnis 1 Kongruenzen I 2 1.1 Denitionen.................................. 2 1.2

Mehr

Studienmaterial Einführung in das Rechnen mit Resten

Studienmaterial Einführung in das Rechnen mit Resten Studienmaterial Einführung in das Rechnen mit Resten H.-G. Gräbe, Institut für Informatik, http://www.informatik.uni-leipzig.de/~graebe 12. April 2000 Die folgenden Ausführungen sind aus Arbeitsmaterialien

Mehr

Seminarvortrag aus Reiner Mathematik Existenz von Primitivwurzeln

Seminarvortrag aus Reiner Mathematik Existenz von Primitivwurzeln Seminarvortrag aus Reiner Mathematik Existenz von Primitivwurzeln Michael Kniely November 2009 1 Vorbemerkungen Definition. Sei n N +, ϕ(n) := {d [0, n 1] ggt (d, n) = 1}. Die Abbildung ϕ : N + N + heißt

Mehr

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 5. November 2005

Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 5. November 2005 Bericht vom 1. Leipziger Seminar am 5. November 2005 Der Eulersche Satz und die Eulersche Phi-Funktion Wir wollen einen berühmten Satz der Zahlentheorie behandeln, den Eulerschen Satz. Dazu müssen wir

Mehr

ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE FÜR LAK Kapitel 2: Kongruenzen und Restklassen

ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE FÜR LAK Kapitel 2: Kongruenzen und Restklassen ELEMENTARE ZAHLENTHEORIE FÜR LAK Kapitel 2: Kongruenzen und Restklassen 621.242 Vorlesung mit Übung im WS 2015/16 Günter LETTL Institut für Mathematik und wissenschaftliches Rechnen Karl-Franzens-Universität

Mehr

Prof. S. Krauter Endliche Geometrie. SS 05. Blatt Wiederholen Sie die Abschnitte zum Rechnen mit Restklassen aus der Einführungsveranstaltung.

Prof. S. Krauter Endliche Geometrie. SS 05. Blatt Wiederholen Sie die Abschnitte zum Rechnen mit Restklassen aus der Einführungsveranstaltung. Prof. S. Krauter Endliche Geometrie. SS 05. Blatt03 1. Wiederholen Sie die Abschnitte zum Rechnen mit Restklassen aus der Einführungsveranstaltung. 2. Die zahlentheoretische Kongruenz ist folgendermaßen

Mehr

Grundbegriffe der Informatik

Grundbegriffe der Informatik Grundbegriffe der Informatik Tutorium 1-14. Sitzung Dennis Felsing dennis.felsing@student.kit.edu http://www.stud.uni-karlsruhe.de/~ubcqr/2010w/tut gbi/ 2011-02-07 Äquivalenzrelationen 1 Äquivalenzrelationen

Mehr

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln...

Kongruenzrechnung. 2 Kongruenzrechnung 7 2.1 Rechnenregeln Addition und Multiplikation... 7 2.2 Rechenregeln bzgl. verschiedener Moduln... Kongruenzrechnung Inhaltsverzeichnis 1 Einführung und Definitionen 2 1.1 Einige Beispiele aus dem Alltag..................... 2 1.2 Kongruenzrechnung im Alltag und Rechenproben........... 3 1.3 Kongruenzen

Mehr

3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung

3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung 1 3.5 Kryptographie - eine Anwendung der Kongruenzrechnung Das Wort Kryptographie leitet sich aus der griechischen Sprache ab, nämlich aus den beiden Worten κρυπτ oς(kryptos)=versteckt, geheim und γραϕɛιν(grafein)=schreiben.

Mehr

2011W. Vorlesung im 2011W Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz

2011W. Vorlesung im 2011W  Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz und Was ist? Mathematik und Institut für Algebra Johannes Kepler Universität Linz Vorlesung im http://www.algebra.uni-linz.ac.at/students/win/ml und Was ist? Inhalt Was ist? und Was ist? Das ist doch logisch!

Mehr

9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie

9. Primitivwurzeln. O. Forster: Einführung in die Zahlentheorie 9. Primitivwurzeln 9.1. Satz. Sei G eine zyklische Gruppe der Ordnung m und g G ein erzeugendes Element. Das Element a := g k, k Z, ist genau dann ein erzeugendes Element von G, wenn k zu m teilerfremd

Mehr

4 Kongruenz und Modulorechnung

4 Kongruenz und Modulorechnung 1 4 Kongruenz und Modulorechnung In unserer Zeitrechnung haben wir uns daran gewöhnt, nur mit endlich vielen Zahlen zu rechnen. Es ist gerade 3 Uhr und in 50 Stunden muss ich abreisen. Wie spät ist es

Mehr

3. Diskrete Mathematik

3. Diskrete Mathematik Diophantos von Alexandria, um 250 Georg Cantor, 1845-1918 Pythagoras um 570 v. Chr Pierre de Fermat 1607/8-1665 Seite 1 Inhalt der Vorlesung Teil 3: Diskrete Mathematik 3.1 Zahlentheorie: Abzählbarkeit,

Mehr

Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie

Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie Grundlagen der Algebra und der elementaren Zahlentheorie Kurz-Skript zur Vorlesung Sommersemester 2011 von Dr. Dominik Faas Institut für Mathematik Fachbereich 7: Natur- und Umweltwissenschaften Universität

Mehr

Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein.

Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Klausur zur Vorlesung Zahlentheorie 21. Juli 2010 12 Uhr 15 14 Uhr 00 Ruhr-Universität Bochum PD. Dr. Claus Mokler Bitte tragen Sie zuerst in Druckschrift Ihren Namen und Ihre Matrikelnummer ein. Name,

Mehr

Beispiel 85. Satz 86 Eine Unteralgebra (bzgl. ) einer Gruppe ist eine Untergruppe, falls sie unter der Inversenbildung 1 abgeschlossen ist.

Beispiel 85. Satz 86 Eine Unteralgebra (bzgl. ) einer Gruppe ist eine Untergruppe, falls sie unter der Inversenbildung 1 abgeschlossen ist. 5.4 Untergruppen Definition 84 Eine Unteralgebra T,, 1 einer Gruppe G = S,, 1 heißt Untergruppe von G, falls T,, 1 eine Gruppe ist. Bemerkung: Nicht jede Unteralgebra einer Gruppe ist eine Untergruppe!

Mehr

Angewandte Diskrete Mathematik

Angewandte Diskrete Mathematik Skript zur Vorlesung Angewandte Diskrete Mathematik Wintersemester 2009/10 Prof. Dr. Helmut Maier Dipl.-Math. Hans- Peter Reck Institut für Zahlentheorie und Wahrscheinlichkeitstheorie Universität Ulm

Mehr

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie

Kapitel 3 Elementare Zahletheorie Kapitel 3 Elementare Zahletheorie 89 Kapitel 3.1 Ganze Zahlen, Gruppen und Ringe 90 Die ganzen Zahlen Menge der ganzen Zahlen Z={..., 3, 2, 1,0,1,2,3,...} Es gibt zwei Operationen Addition: Z Z Z, (a,b)

Mehr

Elemente der Algebra und Zahlentheorie

Elemente der Algebra und Zahlentheorie Manuskript zur Vorlesung Elemente der Algebra und Zahlentheorie gehalten an der U n i v e r s i t ä t R o s t o c k von Prof. Dr. Dieter Neßelmann Rostock, Oktober 008 Fassung vom 16. November 009 Inhaltsverzeichnis

Mehr

Elemente der Algebra

Elemente der Algebra Prof. Dr. H. Brenner Osnabrüc SS 2015 Elemente der Algebra Vorlesung 16 Der Chinesische Restsatz für Z Satz 16.1. Sei n eine positive natürliche Zahl mit anonischer Primfatorzerlegung 1 p r 2 2 p r (die

Mehr

UE Zahlentheorie. Markus Fulmek

UE Zahlentheorie. Markus Fulmek UE Zahlentheorie (Modul: Elementare Algebra (EAL)) Markus Fulmek Sommersemester 2015 Aufgabe 1: Betrachte folgende Partition der Menge r9s t1, 2, 3, 4, 5, 6, 7, 8, 9u Ă N: r9s t1, 4, 7u 9Y t2, 5, 8u 9Y

Mehr

Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie

Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie Anhang I zur Vorlesung Kryptologie: Elementare Zahlentheorie von Peter Hellekalek Fakultät für Mathematik, Universität Wien, und Fachbereich Mathematik, Universität Salzburg Tel: +43-(0)662-8044-5310 Fax:

Mehr

BA-INF 011 Logik und Diskrete Strukturen WS 2013/14 Mögliche Klausuraufgaben Stand vom

BA-INF 011 Logik und Diskrete Strukturen WS 2013/14 Mögliche Klausuraufgaben Stand vom Prof. Dr. Norbert Blum Elena Trunz Informatik V BA-INF 011 Logik und Diskrete Strukturen WS 2013/14 Mögliche Klausuraufgaben Stand vom 5.2.2014 Bitte beachten Sie, dass die tatsächlichen Klausuraufgaben

Mehr

Probabilistische Primzahltests

Probabilistische Primzahltests 23.01.2006 Motivation und Überblick Grundsätzliches Vorgehen Motivation und Überblick Als Primzahltest bezeichnet man ein mathematisches Verfahren, mit dem ermittelt wird, ob eine gegebene Zahl eine Primzahl

Mehr

Lösungsvorschlag zur Nachklausur. Zeigen Sie die folgenden voneinander unabhängigen Aussagen:

Lösungsvorschlag zur Nachklausur. Zeigen Sie die folgenden voneinander unabhängigen Aussagen: Lösungsvorschlag zur Nachklausur Aufgabe 1 Es seien G eine Gruppe und H, K zwei Untergruppen von G. Weiterhin gelte G = {hk h H, k K}. Zeigen Sie die folgenden voneinander unabhängigen Aussagen: a) Sind

Mehr

7 Äquivalenzrelationen

7 Äquivalenzrelationen 71 7 Äquivalenzrelationen 7.1 Äquivalenzrelationen und Klassen Definition Eine Relation R auf einer Menge oder einem allgemeineren Objektbereich heißt eine Äquivalenzrelation, falls sie reflexiv, symmetrisch

Mehr

Mathematisches Institut II Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg

Mathematisches Institut II Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg 1 Mathematisches Institut II 06.07.004 Universität Karlsruhe Priv.-Doz. Dr. N. Grinberg SS 05 Schnupperkurs: Ausgewählte Methoden zur Aufgabenlösung Vorlesung 5: Elementare Zahlentheorie: Teilbarkeit Primfaktorzerlegung

Mehr

Prof. S. Krauter Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen DezDarst.doc. Über die Darstellung von rationalen Zahlen als Dezimalbrüche.

Prof. S. Krauter Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen DezDarst.doc. Über die Darstellung von rationalen Zahlen als Dezimalbrüche. 1 Prof. S. Krauter Dezimalbruchdarstellung rationaler Zahlen DezDarst.doc Über die Darstellung von rationalen Zahlen als Dezimalbrüche. Anmerkung: Die Beschränkung auf die Dezimaldarstellung ist unnötig.

Mehr

$Id: korper.tex,v /05/10 12:25:27 hk Exp $

$Id: korper.tex,v /05/10 12:25:27 hk Exp $ $Id: korper.tex,v 1.17 2012/05/10 12:25:27 hk Exp $ 4 Körper In der letzten Sitzung hatten wir den Körperbegriff eingeführt und einige seiner elementaren Eigenschaften vorgeführt. Insbesondere hatten wir

Mehr

Bemerkungen. Gilt m [l] n, so schreibt man auch m l mod n oder m = l mod n und spricht. m kongruent l modulo n.

Bemerkungen. Gilt m [l] n, so schreibt man auch m l mod n oder m = l mod n und spricht. m kongruent l modulo n. 3.6 Restklassen in Polynomringen 3.6.1 Einführung und Definitionen Der Begriff der Restklasse stammt ursprünglich aus der Teilbarkeitslehre in Z; (Z = Z, +, ist ein kommutativer Ring). Definition 153 Sei

Mehr

Zahlentheorie Vorbereitungskurs zur Österreichischen Mathematischen Olympiade

Zahlentheorie Vorbereitungskurs zur Österreichischen Mathematischen Olympiade Zahlentheorie Vorbereitungskurs zur Österreichischen Mathematischen Olympiade Inhaltsverzeichnis Clemens Heuberger 1 Teilbarkeit 2 1.1 Grundbegriffe....................................... 2 1.2 Größter

Mehr

Regine Schreier

Regine Schreier Regine Schreier 20.04.2016 Kryptographie Verschlüsselungsverfahren Private-Key-Verfahren und Public-Key-Verfahren RSA-Verfahren Schlüsselerzeugung Verschlüsselung Entschlüsselung Digitale Signatur mit

Mehr

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie

Diskrete Mathematik. Sebastian Iwanowski FH Wedel. Kap. 4: Zahlentheorie Prof. Dr. Sebastian Iwanowski DM4 Folie 1 Referenzen zum Nacharbeiten: Diskrete Mathematik Sebastian Iwanowski FH Wedel Kap. 4: Zahlentheorie Beutelspacher 5 Lang 7, Biggs 20, 22, 23 (jeweils teilweise,

Mehr

4. Funktionen und Relationen

4. Funktionen und Relationen Bestimmung der Umkehrfunktionen c) bei reellen Funktionen geometrisch durch Spiegelung des Funktionsgraphen an der Winkelhalbierenden y = x. y = x 3 y = x y = x y = (x+1)/2 y = x 1/3 y = 2x 1 Seite 27

Mehr

Definition 153 Sei n eine fest gewählte ganze Zahl 0. Für jedes l Z heißt die Menge

Definition 153 Sei n eine fest gewählte ganze Zahl 0. Für jedes l Z heißt die Menge 3.6 Restklassen in Polynomringen 3.6.1 Einführung und Definitionen Der Begriff der Restklasse stammt ursprünglich aus der Teilbarkeitslehre in Z; (Z = Z, +, ist ein kommutativer Ring). Definition 153 Sei

Mehr

Lineare Algebra I (WS 13/14)

Lineare Algebra I (WS 13/14) Lineare Algebra I (WS 13/14) Alexander Lytchak Nach einer Vorlage von Bernhard Hanke 10.01.2014 Alexander Lytchak 1 / 9 Erinnerung: Zwei ganz wichtige Gruppen Für jede Gruppe (G, ) und jedes Element g

Mehr

Primzahlen. Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn Die Primfaktorzerlegung. a = st

Primzahlen. Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn Die Primfaktorzerlegung. a = st Primzahlen Herbert Koch Mathematisches Institut Universität Bonn 12.08.2010 1 Die Primfaktorzerlegung Wir kennen die natürlichen Zahlen N = 1, 2,..., die ganzen Zahlen Z, die rationalen Zahlen (Brüche

Mehr

Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Zahlentheorie. Vorlesung 4. Die Restklassenringe Z/(n)

Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS Zahlentheorie. Vorlesung 4. Die Restklassenringe Z/(n) Prof. Dr. H. Brenner Osnabrück SS 2008 Zahlentheorie Vorlesung 4 Die Restklassenringe Z/(n) Satz 4.1. (Einheiten modulo n) Genau dann ist a Z eine Einheit modulo n (d.h. a repräsentiert eine Einheit in

Mehr

Prof. Dr. Don Zagier Schätze der Zahlentheorie Ergänzendes Material

Prof. Dr. Don Zagier Schätze der Zahlentheorie Ergänzendes Material Prof. Dr. Don Zagier Schätze der Zahlentheorie Ergänzendes Material Felix Boes & Anna Hermann 11 Setember 2013 In der zweiten Vorlesung des heutigen Tages beschäftigen wir uns mit einem Beweis des Quadratischen

Mehr