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1 Modulare Arithmetik Slide 5 kgv-berechnung Invertieren modulo m Simultane Kongruenzen Restklassenringe Modulare Arithmetik Euler sche Funktion Sätze von Fermat und Euler

2 Modulare Arithmetik Slide 6 kgv-berechnung Aus den Primfaktorzerlegungen r a = i=1 p e i i und b = r i=1 mit ganzen Zahlen e i,f i 0ergibtsich r ggt(a, b) = p min{e i,f i } i und kgv(a, b) = und somit i=1 p f i i a b =ggt(a, b) kgv(a, b). r i=1 p max{e i,f i } i Ein Algorithmus zur Berechnung des ggt liefert damit auch die Berechnung von ab kgv(a, b) = ggt(a, b).

3 Modulare Arithmetik Slide 7 (Multiplikative) Invertierbarkeit von zu m teilerfremden Zahlen Problemstellung: Gegeben a m mit ggt(a, m) =1,findeb m mit ab 1(modm). Lösungsmethode: Bestimme mit dem erweiterten Euklidischen Algorithmus x, y mit ax + my =ggt(a, m) =1. Hieraus folgt: Setze b := x mod m. 1 ax + am ax +0 ax (mod m).

4 Modulare Arithmetik Slide 8 Nicht-Invertierbarkeit von zu m nicht teilerfremden Zahlen Betrachte ein a m mit ggt(a, m) =d 2undsetze b = m d m \{0} und c = a d m. Dann gilt: a b a m d a m c m 0 (mod m) d Wegen a b 0mitb 0heißta ein Nullteiler. Falls zusätzlich a 0, dann heißt a ein nicht-trivialer Nullteiler. Ein Nullteiler kann wegen kein Inverses x mit x a 1besitzen. (x a) b x (a b) x 0 0 Schlussfolgerung: Ein kleinster Rest modulo m ist genau dann invertierbar, wenn er zu m teilerfremd ist.

5 Modulare Arithmetik Slide 9 Erfüllen simultaner Kongruenzen Problemstellung: Für paarweise teilerfremde m 1,...,m k und m = k i=1 m i finde x m mit x b 1 (mod m 1 ),...,x b k (mod m k ). Lösungsmethode: 1. Bestimme M i = m/m i und M i = M i mod m i für i =1,...,k.Esgilt: ggt(m i,m i )=ggt(m i,m i)=1undm i 0(modm j )für alle j i. 2. Bestimme x i mit x i M i 1(modm i)für i =1,...,k. Verwende hierzu den erweiterten Euklidischen Algorithmus oder Raten und Verifizieren. 3. Bestimme u i = x i M i mod m für i =1,...,k. Es gilt: u i 1(modm i )undu i 0(modm j )für alle j i. 4. Bestimme die Lösung x = k i=1 u ib i mod m. Lösung in m ist eindeutig! Warum?

6 Modulare Arithmetik Slide 10 Chinesischer Restsatz Für paarweise teilerfremde m 1,...,m k und m = k i=1 m i gibt es für jede Wahl von b 1 m1,...,b k mk genau ein x m,dasdiesimultanenkongruenzen x b 1 (mod m 1 ),...,x b k (mod m k ) erfüllt.

7 Modulare Arithmetik Slide 11 Beispiellauf zum Chinesischen Restsatz Für m 1 =8,m 2 =9,m 3 =5undm = m 1 m 2 m 3 =8 9 5=360suchenwir nach einem x m,dasdiesimultanenkongruenzen x 7 (mod 8), x 1 (mod 9), x 3 (mod 5) erfüllt. Dazu gehen wir vor wie folgt: 1. M 1 = m 2 m 3 =9 5 =45,M 2 = m 1 m 3 =8 5 =40,M 3 = m 1 m 2 =8 9 =72. M 1 =45mod8=5,M 2 =40mod9=4,M 3 =72mod5=2. 2. Wegen 5 5 1(mod8),4 7 1(mod9)und2 3 1(mod5)gilt x 1 =5,x 2 =7undx 3 =3. 3. u 1 =5 45 mod 360 = 225, u 2 =7 40 mod 360 = 280, u 3 =3 72 mod 360 = x = mod 360 = 343.

8 Modulare Arithmetik Slide 12 Eine Kollektion von abstrakten Rechenregeln 1. a, b, c M :(a + b)+c = a +(b + c) M, a M :0+a = a +0=a. 3. a M, a M :( a)+a = a +( a) =0. 4. a, b M : a + b = b + a. 5. a, b, c M :(a b) c = a (b c). 6. a, b, c M : a (b + c) =a b + a c und (b + c) a = b a + c a M, a M :1 a = a 1=a. 8. a, b M : a b = b a. 9. a M \{0}, a 1 M \{0} : a 1 a = a a 1 =1. Hierbei steht M für (irgend-)eine Menge mit (irgendwie definierten) binären Operationen + und.

9 Modulare Arithmetik Slide 13 Gruppen, Ringe und Körper (M,+) ist eine (additive) Gruppe 1.,2.,3. (M,+) ist eine (additive) abelsche Gruppe 1.,2.,3.,4. (M,+, ) isteinring 1.,...,6. (M,+, ) isteinkommutativerringmiteinselement 1.,...,8. (M,+, ) isteinkörper 1.,...,9. Beispiele für kommutative Ringe mit Einselement: (, +, ) und( m, +, ). In ( m, +, ) istfür a 0das additive Inverse a identisch mit m a: a +(m a) =m 0(modm). Beispiele für Körper: (, +, ), (, +, ) und(, +, ).

10 Modulare Arithmetik Slide 14 Prime Restklassen In gibt es multiplikative Inverse a 1 nur für a {1, 1}. In m hingegen sind genau die zu m teilerfremden kleinsten Reste invertierbar. Wir definieren: m = {a m x m : a x 1 (mod m)} = {a m ggt(a, m) =1} Bemerkung ( m, ) ist eine (multiplikative) abelsche Gruppe genannt die Gruppe der primen Restklassen. Folgerung: Für eine Primzahl p gilt p = p \{0}. Somit ist ( p, +, ) einkörper.

11 Modulare Arithmetik Slide 15 Beispiel: Prime Restklassen modulo 9 Die Multiplikationstafel für 9 = {1, 2, 4, 5, 7, 8} sieht aus wie folgt: Es gilt:: (mod9). Also sind 3 und 6 in 9 nicht-triviale Nullteiler.

12 Modulare Arithmetik Slide 16 Algebraische Struktur der Restklassenringe Die Abbildung h : m m1 mk,gegebendurch h(a) =(amod m 1,...,amod m k ) ist eine Bijektion und erfüllt die Homomorphiebedingung h(a + b) =h(a)+h(b) undh(a b) =h(a) h(b), d.h., die Ringe ( m, +, ) und( m1 mk, +, ) sindisomorph(strukturgleich): ( m, +, ) ( m1 mk, +, ). Analog liefert h eingeschränkt auf m einen Gruppenisomorphismus: ( m, ) ( m 1 m k, ).

13 Modulare Arithmetik Slide 17 Modulare Arithmetik Ansatz Sei m = k i=1 m i für paarweise teilerfremde m i (zum Beispiel die Primzahlpotenzen der Primfaktorzerlegung von m). Rechnen modulo m 1,...,m k (kleine Zahlen) ist leichter als Rechnen modulo m (große Zahlen). Führe also die Rechnung modulo der m i aus und übertrage das Ergebnis mit Hilfe des Chinesischen Restsatzes in m. Beispiel: m =360= Um mod 360 zu berechnen, nutze eine Hilfsabbildung h : und gehe vor wie folgt: h (199 mod 8, 199 mod 9, 199 mod 5) = (7, 1, 4), 217 h (217 mod 8, 217 mod 9, 217 mod 5) = (1, 1, 2). 2. (7, 1, 4) (1, 1, 2) = (7, 1, 3) in (7, 1, 3) h (Hierzu s. den früheren Beispiellauf zum chinesischen Restsatz.)

14 Modulare Arithmetik Slide 18 Die Euler sche Funktion Die Funktion ϕ, gegebendurch ϕ(m) := m, heißt Euler sch. Für eine Primzahl p gilt ϕ(p) =p 1. Da die nicht zu p teilerfremden Zahlen in p r gerade die Zahlen 0,p,2p,..., (p r 1 1)p sind (p r 1 viele), gilt ϕ(p r )=p r p r 1 =(p 1)p r 1. Für m mit Primfaktorzerlegung m = k i=1 pr i i ( p r 1 1 p m k, ): k ergibt sich wegen ( m, ) ϕ(m) = k k ϕ(p r i i )= (p i 1)p r i 1 i=1 i=1 i.

15 Modulare Arithmetik Slide 19 Der kleine Satz von Fermat Satz (Fermat): n 2istgenaudanneinePrimzahl,wenndieBedingung erfüllt ist. a n \{0} : a n 1 1 (mod n)

16 Modulare Arithmetik Slide 20 Der Satz von Euler Satz (Euler): Für alle n 2undallea n gilt a ϕ(n) 1 (mod n). Folgerung: Bei einer Potenz modulo n mit einer Basis aus modulo ϕ(n) rechnen. n darf man im Exponenten Beispiel: Bei Rechnungen modulo 13 dürfen wir zur Basis 7 im Exponenten modulo 12 rechnen: mod (mod 13).

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