( ) werden einerseits wie üblich mit einer festen Zahl moduliert,
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- Alma Becke
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1 Hans Walser, [ a] Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 1 Worum geht es? n Die Binomialkoeffizienten k ( ) werden einerseits wie üblich mit einer festen Zahl moduliert, andererseits aber auch mit den variablen Zahlen n und k. Entsprechend wird eingefärbt. Die Resultate hängen mit dem kleinen Satz von Fermat zusammen. 2 Binomialkoeffizienten Diese werden in einem Hexagonalraster dargestellt. Binomialkoeffizienten
2 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 2/17 3 Binomialkoeffizienten modulo m 3.1 Modulo 2 Wir tragen jeweils mod n (( k ),2) nur bezüglich gerade und ungerade. ein. Wir unterscheiden also die Binomialkoeffizienten Binomialkoeffizienten modulo 2
3 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 3/ Zwei Farben Wir färben nun die Sechsecke mit zwei Farben ein. Wir erkennen die Struktur des Sierpinski-Dreieckes. Bicolor
4 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 4/17 Dazu noch ein größerer Ausschnitt. Größerer Ausschnitt Wir haben ein schönes schwarzes Dreieck in der Mitte.
5 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 5/ Drei Farben n Wir tragen mod( ( k ),3) ein und färben entsprechend mit drei Farben. Der Farbcode variiert mit der Anzahl der Farben. Die Einsen auf dem Dach haben daher eine andere Farbe. Die Zahl Null wird aber immer schwarz eingefärbt. Den Ausschnitt wählen wir passend, sodass eine schöne Figur entsteht. Modulo 3 Wir haben ein schwarzes Dreieck in der Mitte.
6 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 6/ Vier Farben Modulo 4 Das schwarze Dreieck in der Mitte ist nicht vollständig schwarz.
7 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 7/ Fünf Farben Modulo 5 In der Mitte ist ein vollständig schwarzes Dreieck.
8 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 8/ Sechs Farben Die Figur ist etwas eigenartig. Modulo 6
9 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 9/ Sieben Farben Modulo 7 Nun wieder ein vollständig schwarzes Dreieck in der Mitte.
10 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 10/ Acht Farben Modulo 8
11 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 11/ Neun Farben Modulo 9
12 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 12/ Zehn Farben Modulo Primzahlen Es fällt auf, dass wir bei den Primzahlen jeweils Zeilen haben, die mit Ausnahme der beiden Enden vollständig schwarz sind, also der Zahl null entsprechen (in allen verwendeten Farbcodierungen entspricht die schwarze Farbe der Zahl null). Diese schwarzen Zeilen sind dann die Oberkante eines hängenden vollständig schwarzen gleichseitigen Dreieckes. Dies ergibt sich aus der Rekursion der Binomialkoeffizienten. Zur Primzahl p sind diese schwarzen Zeilen soweit übersehbar auf den Niveaus p, p 2, p 3,.. Beweis folgt.
13 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 13/17 4 Binomialkoeffizienten modulo n n Wir tragen nun mod ( k ),n ein. Die Modulzahl nimmt also pro Zeile um eins zu. ( ) Modulo n Bei den Zeilen mit Primzahlniveau haben wir mit Ausnahme der Enden ausschließlich Nullen.
14 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 14/17 Nun färben wir entsprechend. Das gibt schwarze Zeilen bei den Primzahlniveaus. Modulo n
15 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 15/17 5 Binomialkoeffizienten modulo k n Wir tragen nun mod ( k ), k ein und färben entsprechend. ( ) Modulo k
16 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 16/17 Sind Strukturen erkennbar? Farben modulo k 6 Zahlentheoretisches Wir zeigen: Für eine Primzahl p und 0 < k < p j gilt: Es ist: k p j = p j mod k p j, p = 0 ( p j 1) ( p j 2) p j k1 12k ( ( )) Wir müssen zeigen, dass dieser Ausdruck mindestens einen Primfaktor p enthält. Wegen 0 < k < p j können die Zahlen im Nenner einzeln höchstens die einschlägige Primfaktorpotenz p j1 enthalten. Wenn nun eine der Zahlen i 1, 2,, k 1 { } eine solche Primfaktorpotenz p l mit l < j enthält, dann ist dies auch für die Zahl p j i im Zähler der Fall. Wir können diese Primfaktorpotenz also herauskürzen. Sollte k selber
17 Hans Walser: Binomialkoeffizienten modulo eine Zahl 17/17 eine solche Primfaktorpotenz enthalten, so können wir diese aus p j im Zähler herauskürzen, und es bleibt im Zähler noch mindestens ein Primfaktor p übrig. 7 Der kleine Satz von Fermat Der kleine Satz von Fermat besagt: Für eine Primzahl p und eine natürlich Zahl a gilt: mod( a p, p)= a Beispiel: Es sei p = 5. Interessant sind nur die Zahlen a { 1, 2, 3, 4,5}. Tabelle: a a ( ) mod a 5,5 Der Beweis geht induktiv über a. Zunächst ist mod( 1 p, p)= 1. Sei nun mod( a p, p)= a. Dann ist: ( 1+ a) p p = ( k p )a k k=0 ( )a 0 + = 0 p 1 p1 ( k p )a k p + p k=1 a p ( )a p Wir haben oben gesehen, dass für eine Primzahl p und 0 < k < p der Binomialkoeffizient k p p1 ( )a k den ( ) den Primfaktor p enthält. Damit enthält auch die Summe k p Primfaktor p und es gilt: mod( ( 1 + a) p, p)= mod ( 1 + a p ), p ( ) = 1 + mod a p, p k=1 ( )= 1 + a
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